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1、误差理论与数据处理(第 6 版)费业泰答案(最全 ) 误差理论与数据处理第一章绪论1-1研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。答： 研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。1-2试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随
2、机误差、粗大误差。系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。1-3试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对
3、误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。 +多少表明大了多少，-多少表示小了多少。(2)就测量而言 ,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定o15 测得某三角块的三个角度之和为1800002”,试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于： 180 o00?02?180o?2? 相对误差等于：2?2?2? ?0.00000308641?0.000031% o 180180?60?60?648000?1 1-6在万能测长仪上， 测量某一被测件的长度为50mm，已知其最大绝对误差为1m，试问该被测件的真实长度为多少？解： 绝对误差测得值真值，即：LL
4、L0 已知： L50，L1m0.001mm，测件的真实长度0L L500.00149.999（mm）1-7用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差测得值实际值，即：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 100.2100.5 0.3（ Pa）1-8 在
5、测量某一长度时，读数值为2.31m，其最大绝对误差为20?m，试求其最大相对误差。相对误差 max?绝对误差 max?100% 测得值20?10-6 ?100%2.31 ?8.66?10-4% 1-9、解：4?2(h1?h2)由 g?，得 2T 4?2?1.04230g?9.81053m/s2 2.0480 4?2(h1?h2)?h，对 g?进行全微分，令h?h1?h2，并令 ?g，?T 代替 dg，dh，T2 dT 得4?2?h8?2h?T ?g?23TT 从而 ?g?h?T?2的最大相对误差为：ghT ?gmax?hmax?T?2max ghT =0.00005?0.0005 ?2?1.0
6、42302.0480 2 =5.3625?10?4% 4?2(h1?h2) 由 g? ，得 T? 2T T?2.04790 ?gmax?hmax?T?2max ghT 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - - - ABS?gmT?hm?2hgxaABSx 由?Tm?m，?gxg有mT?hi 2h n(m 1-10 检定 2.5 级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V的电压表，发现 50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否
7、合格？最大引用误差 ? 某量程最大示值误差?100%测量范围上限?2?100%?2%?2.5%100 该电压表合格1-11 为什么在使用微安表等各种表时，总希望指针在全量程的2/3 范围内使用？答：当我们进行测量时，测量的最大相对误差: xmaxxm ?s%即: A0A0?max?xms%A0 所以当真值一定的情况下，所选用的仪表的量程越小，相对误差越小，测量越准确。因此我们选择的量程应靠近真值，所以在测量时应尽量使指针靠近满度范围的三分之二以上1-12 用两种方法分别测量L1=50mm， L2=80mm。 测得值各为 50.004mm，80.006mm。试评定两种方法测量精度的高低。相对误差
8、L1:50mm I1?50.004?50?100%?0.008% 50 3 L2:80mm I2?80.006?80?100%?0.0075% 80 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - - - I1?I2 所以 L2=80mm 方法测量精度高。113 多级弹导火箭的射程为10000km 时， 其射击偏离预定点不超过0.lkm，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高? 解：射手的相对误差为：多级火箭
9、的射击精度高。1-14 若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm，其测量误差分别为?11?m 和?9?m； 而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm。其测量误差为 ?12?m，试比较三种测量方法精度的高低。相对误差11?m?0.01% 110mm 9?m?0.0082 % I2?110mm 12?m?0.008% I3?150mmI1? I3?I2?I1 第三种方法的测量精度最高第二章误差的基本性质与处理2-1试述标准差、平均误差和或然误差的几何意义。答：从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从N 维空间的一个点到一条直线的距离的函数；从几何学的角度出发，平均误差可以理解
10、为N 条线段的平均长度；2-2试述单次测量的标准差和算术平均值的标准差，两者物理意义及实 4 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 际用途有何不同。2-3 试分析求服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在中的概率2-4测量某物体重量共8 次，测的数据 (单位为 g)为 236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40，是求算术平均值以及标准差。?236.4? ? 236.
11、430.05?(?0.03)?0.11?(?0.06)?(?0.01)?0.08?0.07?0 8 ? ?0.0599 ?0.0212 2-5 用別捷尔斯法、极差法和最大误差法计算2-4，并比较2-6 测量某电路电流共5 次， 测得数据（单位为 mA） 为 168.41， 168.54，168.59，168.40，168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。x?168.41?168.54?168.59?168.40?168.50 5 ?168.488(mA) ? ?vi?152i 5?1?0.082(mA) ?0.037(mA) 或然误差： R?0.6745?0.6745?0.
12、037?0.025(mA) 平均误差：T?0.7979?x?0.7979?0.037?0.030(mA) 2-7 在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量5 次，测得数据（单精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 位为 mm）为 20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。5 x?20.0015?20.0016?20.0018?20.0015?20
13、.0011 5 ? 20.0015(mm) ?0.00025 正态分布p=99%时， t?2.58 ?lim?t? ?2.58 ?0.0003(mm) 测量结果：X?x?limx?(20.0015?0.0003)mm 27 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5 次，测得数据 (单位为 mm)为 200015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99的置信概率确定测量结果。解：求算术平均值求单次测量的标准差求算术平均值的标准差确定测量的极限误差因 n5 较小，算术平均值的极限误差应按t 分布处理。现自由度为： n14；10.990.01，
14、查 t 分布表有： ta4.60 极限误差为6 写出最后测量结果精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 2-9 用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差?0.004mm，若要求测量结果的置信限为?0.005mm，当置信概率为99%时，试求必要的测量次数。正态分布p=99%时， t?2.58 ?limx? ? 2.58?0.004?2.0640.005 n?4.26 取 n?5 210 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准
15、差0.001mm，若要求测量的允许极限误差为0.0015mm，而置信概率P为 0.95 时，应测量多少次？解：根据极限误差的意义，有?t?t 根据题目给定得已知条件，有?n?0.0015 t n?0.0015?1.5 0.001 查教材附录表3 有若 n5，v4，0.05，有 t2.78，t n?2.78 5?2.78?1.24 2.236 若 n4，v3，0.05，有 t3.18，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - - - t n?3.1
16、8 4?3.18?1.59 2 即要达题意要求，必须至少测量5 次。2-12 某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa）为 102523.85，102391.30，102257.97，102124.65，101991.33，101858.01，101724.69，101591.36 ， 7 其权各为 1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。x?pxi?1 88ii?102028.34(Pa) ?p i?1i ?pivxii?18 i?182?86.95(Pa) (8?1)?pi ?2413'24''，其?241336212-13 测量某角度共两次，测
17、得值为，?标准差分别为 ?1?3.1,?2?13.8，试求加权算术平均值及其标准差。p1:p2? ?1?12:1?22?19044:961 x?2413'20''? ?x?x19044?16''?961?4''?24?13'35'' 19044?961pii?p i?12?3.1''?i19044?3.0'' 19044?961 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 21
18、页 - - - - - - - - - - 2-14 甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角?各重复测量5 次，测得值如下：?甲:7?2?20?,7?3?0?,7?2?35?,7?2?20?,7?2?15?; ?乙:7?2?25?,7?2?25?,7?2?20?,7?2?50?,7?2?45?; 试求其测量结果。甲： x甲?72'?20?60?35?20?15?7?2'30 5 ?甲?18.4 8 ?x 甲? ?8.23 25?25?20?50?45?7?2'33 5 乙： x 乙?72'? ?乙? ?13.5 ? ?6.04 p 甲:p 乙?1?2?:12乙 1
19、1:?3648:6773 8.2326.042 x?p 甲 x 甲?p 乙 x 乙 3648?30?6773?33?72'?7?2'32 p甲?p 乙 3648?6773 p 甲p 甲?p 乙?8.23?3648?4.87? 3648?6773?x?x 甲X?x?3?x?7?2'32''?15'' 2-15试证明 n 个相等精度测得值的平均值的权为n 乘以任一个测量值的权。证明：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 21 页
20、- - - - - - - - - - 解：因为 n 个测量值属于等精度测量，因此具有相同的标准偏差：n个测量值算术平均值的标准偏差为：?x 已知权与方差成反比，设单次测量的权为 P1，算术平均值的权为P2，则P1:P2?1?2:1?2 x?1:n? P2?nP1 m/s2、标准差为 2-16 重力加速度的20 次测量具有平均值为9.811 0.014m/s2。另外 30 次测量具有平均值为9.802m/s2，标准差为9 0.022m/s2。假设这两组测量属于同一正态总体。试求此50 次测量的平均值和标准差。p1:p2?1 2122?:122?1?0.014?20?2:1?0.022?2?24
21、2:147 ?242?9.811?147?9.802?9.808(m/s2) 242?147 ?0.014242 ?0.0025（m/s2）242?14720 2-17 对某量进行 10 次测量，测得数据为14.7， 15.0， 15.2， 14.8， 15.5，14.6， 14.9， 14.8， 15.1， 15.0， 试判断该测量列中是否存在系统误差。?14.96 按贝塞尔公式?1?0.2633 按别捷尔斯法 ?2?1.253?vi?110i (10?1)?0.2642 由 ?2?1?u 得 u?2?1?0.0034 ?1?1 2?0.67 所以测量列中无系差存在。n?1u? 2-18 对
22、一线圈电感测量10 次， 前 4 次是和一个标准线圈比较得到的，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 后 6 次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH） ：50.82，50.83，50.87，50.89；50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。试判断前 4 次与后 6 次测量中是否存在系统误差。使用秩和检验法：排序：10 T=5.5+7+9+10=31.5 查表T?14 T?30 T?
23、T? 所以两组间存在系差2-19 对某量进行 10 次测量，测得数据为14.7， 15.0， 15.2， 14.8， 15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。?14.96 按贝塞尔公式?1?0.2633 按别捷尔斯法 ?2?1.253? ?v i?1 10 i (10?1) ?0.2642 由精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - - - ?2? ?1?u 得 u?2?1?0.0034 ?
24、1?1 2 ?0.67 所以测量列中无系差存在。n?1 u? 2-20 对某量进行 12 次测量，测的数据为 20.06， 20.07， 20.06， 20.08，20.10，20.12，20.11，20.14，20.18，20.18，20.21，20.19，试用两种方法判断该测量列中是否存在系统误差。解：(1)残余误差校核法?20.125 ?(?0.065?0.055?0.065?0.045?0.025?0.005)?(?0.015?0.015?0.055?0.055?0.085?0.0?0.54 11 因为 ?显著不为 0，存在系统误差。（2）残余误差观察法残余误差符号由负变正，数值由大到
25、小，在变大，因此绘制残余误差曲线，可见存在线形系统误差。（3）?1 0.05 ?2?v12i?0.06 ?2?1?u?1 ?2u?1? 0.19?1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 21 页 - - - - - - - - - - u?0.603 所以不存在系统误差。2-22 12 第三章误差的合成与分配3-1 相对测量时需用54.255mm 的量块组做标准件，量块组由四块量块研合l?1.25mm，而成，它们的基本尺寸为l1?40mm，l2?12mm，3 l4?1.005mm
26、。经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分别为13 ?l1?0.7?m,?l2?0.5?m,?l3?0.3?m, ?l4?0.1?m,?liml1?0.35?m,?liml2?0.25?m,?liml3?0.20?m,?liml4?0.20?m。试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。修正值 =?(?l1?l2?l3?l4) =?(?0.7?0.5?0.3?0.1) =0.4(?m) 测量误差 : ?l=?2liml?2liml?2liml?2liml 1234 =?(0.35)2?(0.25)2?(0.20)2?(0.20)2 =?0.51(?m) 3-2 为求长方体体
27、积V，直接测量其各边长为a?161.6mm，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 21 页 - - - - - - - - - - b?44.5mm,c?11.2mm,已知测量的系统误差为?a?1.2mm，?b?0.8mm，?c?0.5mm，测量的极限误差为?a?0.8mm， ?b?0.5mm，?c?0.5mm， 试求立方体的体积及其体积的极限误差。V?abc V?f(a,b,c) V0?abc?161.6?44.5?11.2 ?80541.44(mm) 体积 V 系统误差 ?V为
28、： 3 ?V?bc?a?ac?b?ab?c 14 ?2745.744(mm3)?2745.74(mm3) 立方体体积实际大小为：V?V0?V?77795.70(mm3) ?limV?(?f22?f22?f22)?a?()?b?()?c ?a?b?c 222?(bc)2?a?(ac)2?b?(ab)2?c ?3729.11(mm3) 测量体积最后结果表示为: V?V0?V?limV?(77795.70?3729.11)mm3 33 长方体的边长分别为1，2, 3 测量时：标准差均为；标准差各为 1、2、3 。试求体积的标准差。解：长方体的体积计算公式为：V?a1?a2?a3 体积的标准差应为：?
29、V?(?V22?V22?V22)?1?()?2?()?3 ?a1?a2?a3 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 现可求出： ?V?V?V?a2?a3 ；?a1?a3；?a1?a2 ?a1?a2?a3 若： ?1?2?3? 则有：?V?(?V22?V22?V22?V2?V2?V2)?1?()?2?()?3?()?()?()?a1?a2?a3?a1?a2?a3?(a2a3)2?(a1a3)2?(a1a2)2 若： ?1?2?3 则有
30、： ?V?22(a2a3)2?12?(a1a3)2?2?(a1a2)2?3 15 3-4 测量某电路的电流I?22.5mA，电压 U?12.6V，测量的标准差分?0.1V，求所耗功率P?UI及其标准差 ?P。别为 ?I?0.5mA，U P?UI?12.6?22.5?283.5(mw) P?f(U,I)?U、I 成线性关系?UI?1 ?P?(?f22?f?f?f2)?U?()2?I?2()?u?I ?U?I?U?I ?f?f?U?I?I?U?U?I?22.5?0.1?12.6?0.5 ?U?I ?8.55(mw) 3-9测量某电路电阻R两端的电压U，按式 I=U/R 计算出电路电流，若需保证电流
31、的误差为0.04A，试求电阻R和电压 U 的测量误差为多少？解：在 I=U/R 式中，电流I 与电压U 是线性关系，若需要保证电流误差不大于 0.04A，则要保证电压的误差也不大于0.04R。312 按公式 V=r2h 求圆柱体体积，若已知 r 约为 2cm， h 约为 20cm，要使体积的相对误差等于1，试问 r 和 h 测量时误差应为多少? 解：若不考虑测量误差，圆柱体积为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 21 页 - - - - - - - - - - V?r2?h?3.
32、14?22?20?251.2cm3 根据题意，体积测量的相对误差为1，即测定体积的相对误差为：?1% V 即?V?1%?251.2?1%?2.51 现按等作用原则分配误差，可以求出测定 r 的误差应为：? ?r?12.511?0.007cm 2?V/?r1.412?hr 测定 h 的误差应为：?h? ?12.511?0.142cm 2?V/?h1.41?r216 3-14 对某一质量进行4 次重复测量，测得数据 (单位 g)为 428.6， 429.2，426.5，430.8。已知测量的已定系统误差?2.6g,测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所示。若各误差均服从正态分布，试求该质量
33、? 4 ?428.775(g)?428.8(g) 最可信赖值x?428.8?2.6?431.4(g) ?f13?f222)ei?()?i ?x?(?x4i?1?xii?1i ?4.9(g) 测量结果表示为 :x?x?(431.4?4.9)g 52 第四章测量不确定度41 某圆球的半径为r，若重复 10 次测量得 rr =(3.1320.005)cm， 试求该圆球最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 21 页 - - - - - - -
34、- - - 置信概率17 P=99。解：求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度已知圆球的最大截面的圆周为：D?2?r 其标准不确定度应为：?D?2u?r?r?22?2?r22?4?3.14159?0.0052 0.0314cm 确定包含因子。查t 分布表 t0.01（9） 3.25，及 K3.25 故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为：UKu3.250.03140.102 求圆球的体积的测量不确定度圆球体积为： V?4?r3 3 其标准不确定度应为：?V?2u?r?r? 24?r?222r2?3.14159?3.1324?0.0052?0.616 确定包含因子。查t 分布表 t0.01（9）
35、3.25，及 K3.25 最后确定的圆球的体积的测量不确定度为UKu3.250.6162.002 4-2望远镜的放大率D=f1/f2，已测得物镜主焦距f11=（19.80.10）cm，目镜的主焦距f22=（0.8000.005）cm，求放大率测量中由 f1、f2 引起的不确定度分量和放大率D的标准不确定度。4-3测量某电路电阻R两端的电压 U，由公式 I=U/R 计算出电路电流I，若测得 Uu=（16.500.05）V，RR= （4.260.02）、相关系数UR=-0.36,试求电流 I 的标准不确定度。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师
36、归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 4-4 某校准证书说明，标称值10?的标准电阻器的电阻R在 20C时为?10.000742?129? （P=99% ） ，求该电阻器的标准不确定度，并说明属于哪一类评定的不确定度。?由校准证书说明给定18 ?属于 B 类评定的不确定度?R在10.000742?-129?，10.000742?+129?范围内概率为99%，不为 100% ?不属于均匀分布，属于正态分布a?129 当 p=99%时，Kp?2.58 ?UR?a129?50(?) Kp2.58 4-5 在光学计上用52.5m
37、m 的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由三块量块研合而成， 其尺寸分别是： l1?40mm， l2?10mm， l3?2.5mm，量块按“级”使用，经查手册得其研合误差分别不超过?0.45?m、?0.30?m、?0.25?m（取置信概率P=99.73% 的正态分布），求该量块组引起的测量不确定度。L?52.5mm l1?40mm l2?10mm l3?2.5mm ?L?l1?l2?l3 ?p?99.73% ?Kp?3 Ul1?a0.45a0.30?0.15(?m) Ul2?0.10(?m) kp3kp3 a0.25?0.08(?m) kp3 Ul3? UL? l1?Ul2?Ul3 ? ?
38、0.20(?m) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 19 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 21 页 - - - - - - - - - -