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1、名师整理精华知识点空间向量与立体几何知识点1. 空间向量的概念：在空间，具有大小和方向的量称为空间向量向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向向量AB的大小称为向量的模（或长度），记作|AB模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a方向相同且模相等的向量称为相等向量2. 空间向量的加法和减法：求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则即：在空间以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形OACB，则以O起点的对角线OC就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为
2、向量加法的平行四边形法则特别地，在ABC中，D为BC的中点，则1()2ADABAC. 求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则即：在空间任取一点O，作OAa，OBb，则BAab3. 实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算 当0时，a与a方向相同； 当0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0a的长度是a的长度的倍4. 设，为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律分配律：abab；结合律：aa5. 如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线6. 向量共线的充要条件：对于空间任
3、意两个向量a，0b b，/ab的充要条件是存在实数，使ab7. 平行于同一个平面的向量称为共面向量8. 向量共面定理：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x，y，使APxAByAC； 或对空间任一定点O， 有O P O A x A B yA C； 或若四点P，A，B，C共面，则1OPxOAyOBzOC xyz9. 已知两个非零向量a和b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则AOB称为向量a，b的夹角，记作a，b两个向量夹角的取值范围是：a，0b，10. 对于两个非零向量a和b，若a，2b，则向量a，b互相垂直，记作ab精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -
4、 - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点11. 已知两个非零向量a和b，则cosa ba，b称为a，b的数量积，记作a b即cosa ba ba，b零向量与任何向量的数量积为012.a b等于a的长度a与b在a的方向上的投影cosba，b的乘积13. 若a，b为非零向量，e为单位向量，则有：cose aa eaa，e；0aba b；a baba ba bab与 同向与 反向，2a aa，aa a；cos a，a bba b；a ba b14. 向量数乘积的运算律：a bb a；
5、aba bab；abca cb c15. 若i，j，k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p， 存在有序实数组 x，y，z，使得pxiyjzk，称xi，yj，zk为向量p在i，j，k上的分量16. 空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数组 x，y，z，使得pxaybzc17. 若三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是 p pxaybzc，x，y，zR这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，a，b，c称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底18. 设1e，2e，3e为有公共起点O的三个两两垂直
6、的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e，2e，3e的公共起点O为原点，分别以1e，2e，3e的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OPp存在有序实数组 x，y，z，使得123pxeyeze把x，y，z称作向量p在单位正交基底1e，2e，3e下的坐标，记作(px，y，)z此时，向量p的坐标是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标(x，y，)z19. 设1(ax，1y，1)z，2(bx，2y，2)z，则12(abxx，12yy，12)zz12(abxx，12yy，12)zz. 1(ax，1y，1)z1
7、21212a bx xy yz z若a、b为非零向量，则12121200aba bx xy yz z若0b，则12/ /ababxx，12yy，12zz精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点222111aa axyzcos a，121212222222111222x xy yz za bba bxyzxyz1(A x，1y，1)z，2(B x，2y，2)z，则222212121ABdABxxyyzz20. 在空间中，取
8、一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置可以用向量OP来表示在空间直角坐标系中，点P的坐标就是向量OP的坐标 . 21. 若点1(A x，1y，1)z，2(B x，2y，2)z，则：线段AB的中点C的坐标为12(2xx，122yy，12)2zz；点P在直线AB上，且APAB，则点P的坐标为：121()OPOAABxxx，121()yyy，121()zzz. 22. 直线l垂直，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法向量空间中不共线三点A、B、C确定的平面ABC的法向量有无数条，我们可以这样来求出它的一个法向量：设平面ABC的法向量(nx，y，)z，则nAB，nAC，进而可以得到关于x、
9、y、z的两个三元一次方程，对其中一个变量赋值就可以得到一个法向量n. 23. 若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则/abababR，0ababa b24. 若直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，且a，则/aa0ana n，/aaanan25. 若空间不重合的两个平面，的法向量分别为a，b，则/abab，0aba b26. 设异面直线a，b的夹角为，方向向量为a，b，其夹角为，则有coscosa ba b27. 设直线l的方向向量为l，平面的法向量为n，l与所成的角为，l与n的夹角为，则有sincoslnln28. 设1n，2n是二面角l的两个面，的法向量，则向量1n，2n的
10、夹角（或其 补 角 ） 就 是 二 面 角 的 平 面 角 的 大 小 若 二 面 角l的 平 面 角 为， 则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点1212cosnnn n29. 点A与点B之间的距离可以转化为两点对应向量AB的模AB计算30. 在直线l上找一点P，过定点A且垂直于直线l的向量为n，则定点A到直线l的距离为| cosdPAPA，|PA nnn31. 点P是平面外一点，A是平面内的一定点，n为平面的一个法向量，则点P到平面的距离为|cosdPAPA，|PA nnn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -