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1、2013 届高三学情调研卷数学2012.09注意事项：1本试卷共4 页，包括填空题（第1 题第 14 题） 、解答题（第15 题第 20 题）两部分本试卷满分为160 分，考试时间为120 分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内试题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答卷纸一、填空题：本大题共14 小题，每小题5分，共 70 分请把答案填写在答卷纸相应位置上1已知集合Ax|x23x4，x R ，则 AZ 中元素的个数为2已知23iiabi(a，bR，i 为虚数单位 )，则 ab3为了调查城市PM2.5 的值，按地域把36 个城市分成甲、乙、丙三
2、组，对应的城市数分别为6，12，18若用分层抽样的方法抽取12 个城市，则乙组中应抽取的城市数为4有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为5已知非零向量a，b 满足 | a| | ab| 1，a 与 b 夹角为 120 ，则向量b 的模为6在平面直角坐标系xOy 中， 已知焦点为F 的抛物线y22x 上的点 P 到坐标原点 O 的距离为15，则线段 PF 的长为7已知等比数列an的公比 q12，Sn为其前 n 项和，则S4a48右图是一个算法的流程图，最后输出的k9在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边
3、分别为a，b，c，已知 a1，A60 ，c33，则 ABC 的面积为开始k1 S0 S20 kk2SSkY N 输出 k 结束(第 8 题) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 10在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的圆心在第一象限，圆C 与 x 轴交于 A(1，0)，B(3，0)两点，且与直线xy10 相切，则圆C 的半径为11已知函数f(x)ex k，x0，(1k)xk，x 0是 R 上的增函数，则实数k 的取值范围是12已
4、知 ，为平面， m，n 为直线，下列命题：若 mn，n ，则 m ；若 m ，m ，则 ；若 n，m ， m ，则 mn； 若 ，m ，n ，则 mn其中是真命题的有(填写所有正确命题的序号) 13已知直线xa(0a2)与函数 f(x)sinx 和函数 g(x)cosx 的图象分别交于M，N 两点，若MN15，则线段 MN 的中点纵坐标为14已知函数f(x)2x2m 的图象与函数g(x)ln| x| 的图象有四个交点，则实数m 的取值范围为二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分14 分）已知平面向量a (1
5、， 2sin )，b(5cos ， 3)（1）若 ab，求 sin2的值；（2）若 ab，求 tan( 4)的值16 （本小题满分14 分）如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中， ABAC，D 为 BC 的中点（1）若平面 ABC平面 BCC1B1，求证： ADDC1；（2）求证： A1B/平面 ADC1A B C D A1 B1 C1 (第 16 题)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 17 （本小题满分14 分）经观察，人们发
6、现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为Ekv3t，其中 v 为鲑鱼在静水中的速度， t 为行进的时间 (单位： h)，k 为大于零的常数如果水流的速度为3 km/h，鲑鱼在河中逆流行进 100 km（1）将鲑鱼消耗的能量E 表示为 v 的函数；（2）v 为何值时，鲑鱼消耗的能量最少? 18 （本小题满分16 分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C：x2a2y2b2 1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为12，右准线为l：x4M 为椭圆上不同于A，B 的一点，直线AM 与直线 l 交于点 P（1）求椭圆 C 的方程；（2）若AMMP，判断点B是否在以PM 为直径的圆上，并说明理由；（3
7、）连结 PB 并延长交椭圆C 于点 N，若直线 MN 垂直于 x 轴，求点 M 的坐标A B P M N xyO (第 18 题) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 19 （本小题满分16 分）设 t0，已知函数f (x)x2(xt)的图象与x 轴交于 A、B 两点（1）求函数 f (x)的单调区间；（2）设函数 yf(x)在点 P(x0，y0)处的切线的斜率为k，当 x0(0，1时， k12恒成立，求t 的最大值；（3）有一条平
8、行于x 轴的直线l 恰好与函数y f(x)的图象有两个不同的交点C，D，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值20 （本小题满分16 分）已知数列 an的首项 a1a，Sn是数列 an的前 n 项和，且满足： S2n3n2anS2n1，an0，n2，nN*（1）若数列 an是等差数列，求a 的值；（2）确定 a 的取值集合M，使 a M 时，数列 an是递增数列精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 2013 届高三学情调研卷数学附加题2
9、012.09注意事项：1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共40 分，考试时间30 分钟3答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸21 【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做2 题，每小题10 分，共计20 分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲如图， CP 是圆 O 的切线， P 为切点，直线CO 交圆 O 于 A，B 两点， ADCP，垂足为 D求证： DAP BAPB选修 42：矩阵与变换设 a0，b0，若矩阵Aa 00 b把圆 C：x2y2
10、1 变换为椭圆E：x24y231（1）求 a，b 的值；（2）求矩阵 A 的逆矩阵A1C选修 44：坐标系与参数方程在极坐标系中， 已知圆 C： 4cos 被直线 l： sin( 6)a 截得的弦长为23，求实数 a 的值D选修 45：不等式选讲A B D C P O (第 21A 题) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 已知 a，b 是正数，求证：a24b21ab4【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分请
11、在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22如图， PA平面 ABCD，AD/BC ， ABC90 ，ABBCPA1，AD3，E 是 PB 的中点（1）求证： AE平面 PBC；（2）求二面角BPCD 的余弦值23在一个盒子中有大小一样的7 个球，球上分别标有数字1，1，2，2，2，3，3现从盒子中同时摸出 3 个球，设随机变量X 为摸出的 3 个球上的数字和（1）求概率 P(X7)；（2）求 X 的概率分布列，并求其数学期望E(X)PABCDE(第 22 题) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - -
12、- - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 2013 届高三学情调研卷数学参考答案及评分标准2012.09说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题：本大题共14 小题，每小题5分，共 70
13、分14 2 6 34 41351 6727 5 811 936102 1112，1) 121371014(，12ln2)二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分14 分）解： （1）因为 ab，所以 132sin 5cos 0，3 分即 5sin2 30，所以 sin2 356 分（2）因为 ab，所以 15cos 2sin 308 分所以 tan 5610 分所以 tan( 4)tan tan41tan tan411114 分16 （本小题满分14 分）证明：（1）因为 ABAC，D 为 BC 的中点，所以ADBC因为平面 ABC平
14、面 BCC1B1，平面 ABC平面 BCC1B1BC，AD平面 ABC，所以 AD平面 BCC1B15 分因为 DC1平面 BCC1B1，所以 ADDC17 分（2）(证法一 )连结 A1C，交 AC1于点 O，连结 OD， 则 O 为 A1C 的中点因为 D 为 BC 的中点，所以OD/A1B11 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 因为 OD平面 ADC1，A1B/ 平面 ADC1，所以 A1B/平面 ADC114 分(证法二
15、 ) 取 B1C1的中点 D1，连结 A1D1， D1D，D1B则 D1C1BD所以四边形BDC1D1是平行四边形所以D1B/ C1D因为 C1D平面 ADC1，D1B/ 平面 ADC1，所以 D1B/平面 ADC1同理可证 A1D1/平面 ADC1因为 A1D1平面 A1BD1，D1B 平面 A1BD1，A1D1D1BD1，所以平面 A1BD1/平面 ADC111 分因为 A1B平面 A1BD1，所以 A1B/平面 ADC114 分17 （本小题满分14 分）解： （1）鲑鱼逆流匀速行进100km 所用的时间为t100v32分所以 Ekv3tkv3100v3100kv3v3(v(3，)6 分
16、（2）E 100k3v2(v3)v3(v3)2100k2v2(v4.5)(v 3)210 分令 E 0，解得 v4.5 或 v0(舍去 )因为 k0，v3，所以当v(3，4.5)时， E 0，当 v(4.5，)时， E 0故 E100kv3v3在(3，4.5)上单调递减，在(4.5，)上单调递增13 分所以，当v4.5 时， E 取得最小值即 v4.5km/h 时，鲑鱼消耗的能量最小14 分A B C D A1 B1 C1 （第 16 题图）O A B C D A1 B1 C1 （第 16 题图）D1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归
17、纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 18 （本小题满分16 分）解： （1）由ca12，a2c4解得a2，c1所以 b23所以椭圆方程为x24y2314 分（2）因为AMMP，所以 xM1，代入椭圆得yM32，即 M(1，32)，所以直线 AM 为： y12(x2)，得 P(4，3)，所以 BM(1，32)， BP (2，3)8 分因为BM BP52 0，所以点B 不在以 PM 为直径的圆上10 分（3）因为 MN 垂直于 x 轴，由椭圆对称性可设M(x1，y1)，N(x1， y1)直线 AM 的方程为： yy1x12(x
18、2)，所以 yp6y1x12，直线 BN 的方程为： yy1x12(x2)，所以 yp2y1x12， 12 分所以6y1x12 2y1x12因为 y10，所以6x122x12解得 x11所以点 M 的坐标为 (1，32)16 分19 （本小题满分16 分）解： （1）f (x)3x22txx(3x2t)0，因为 t0，所以当 x2t3或 x0时， f (x)0，所以 (， 0)和(2t3， )为函数 f (x)的单调增区间；当 0 x2t3时， f (x)0，所以 (0，2t3)为函数 f (x)的单调减区间 4 分（2）因为 k3x022tx012恒成立，所以2t3x012x0恒成立，6 分
19、因为 x0（ 0， 1，所以 3x012x023x012x06，即 3x012x06，当且仅当x066时取等号精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 所以 2t6，即 t 的最大值为628 分（3）由（ 1）可得，函数f (x)在 x0 处取得极大值0，在 x2t3处取得极小值4t327因为平行于x 轴的直线l 恰好与函数 yf (x)的图象有两个不同的交点，所以直线 l 的方程为 y4t32710 分令 f (x)4t327，所以 x
20、2(xt)4t327，解得 x2t3或 xt3所以 C（2t3，4t327） ，D（t3，4t327） 12 分因为 A（0，0） ，B（t，0） 易知四边形ABCD 为平行四边形AD(t3)2(4t327)2，且 ADABt，所以(t3)2(4t327)2t，解得： t348216 分20 （本小题满分16 分）解： （1）在 S2n3n2anS2n1中分别令n2，n3，及 a1a 得(aa2)212a2a2， (aa2a3)2 27a3(aa2)2，因为 an0，所以 a212 2a，a332a2 分因为数列 an是等差数列，所以a1a3 2a2，即 2(122a) a32a，解得 a3
21、4 分经检验 a3 时，an3n，Sn3n(n 1)2，Sn13n(n1)2满足 S2n3n2anS2n1（2）由 S2n3n2anS2n1，得 S2nS2n1 3n2an，即 (SnSn1)(SnSn1)3n2an，即(SnSn1)an3n2an，因为 an 0，所以 SnSn13n2，(n2)， 6 分所以 Sn1Sn3(n1)2，得an1an6n3，(n 2) 8 分所以 an2an16n9，得an2an6，(n2) 即数列 a2，a4，a6，及数列a3，a5，a7，都是公差为6 的等差数列， 10 分因为 a2122a，a3 32a所以 ana，n1，3n2a6，n为奇数且 n3，3n
22、2a6，n为偶数，12 分要使数列 an是递增数列，须有a1a2，且当 n 为大于或等于3 的奇数时， anan1，且当 n 为偶数时， anan1，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 即 a122a，3n2a63(n1)2a 6(n 为大于或等于3 的奇数 )，3n2a63(n1)2a 6(n 为偶数 )，解得94a154所以 M(94，154)，当 aM 时，数列 an 是递增数列 16 分精品资料 - - - 欢迎下载 -
23、- - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 2013 届高三学情调研卷数学附加题参考答案及评分标准2012.09说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只
24、给整数分数，填空题不给中间分数21 【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做2 题，每小题10 分，共计20 分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲证明：因为CP 与圆 O 相切，所以DPA PBA 2 分因为 AB 为圆 O 直径，所以 APB90 ，所以 BAP90 PBA 6 分因为 ADCP，所以 DAP 90 DPA，所以 DAP BAP 10 分B选修 42：矩阵与变换解（ 1） ：设点 P（x，y）为圆 C：x2y21 上任意一点，经过矩阵 A 变换后对应点为P （x ，y）则a 00 bxyaxbyxy，所以x ax，y
25、by 2 分因为点 P （x ，y ）在椭圆 E：x24y231 上，A B D C P O (第 21A 题) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 所以a2x24b2y231，这个方程即为圆C 方程 6 分所以a24，b23，因为 a0，b 0，所以 a 2，b3 8 分（2）由（ 1）得 A2 00 3，所以 A112 00 33 10 分C选修 44：坐标系与参数方程解：因为圆C 的直角坐标方程为(x2) 2y24，直线 l
26、 的直角坐标方程为x3y2a0 4 分所以圆心 C 到直线 l 的距离 d|22a|2|1a| 6 分因为圆 C 被直线 l 截得的弦长为2 3，所以 r2d23即 4(1a)23解得 a0，或 a 2 10 分D选修 45：不等式选讲已知 a，b 是正数，求证：a24b21ab4证明：因为a，b 是正数，所以a24b24ab 2 分所以 a24b21ab4ab1ab24ab1ab4即 a24b21ab 4 10 分22 （1）根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，3，0)，P(0，0，1)，E(12，0，12)，AE(12，
27、0，12)，BC(0，1， 0)，BP(1，0，1)因为AEBC 0，AEBP0，所以AEBC，AEBP所以 AEBC，AEBP因为 BC，BP 平面 PBC，且 BCBPB，所以 AE平面 PBC 4 分PABCDExyz精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - - （2）设平面 PCD 的法向量为n(x，y，z)，则 nCD0，nPD0因为CD(1，2， 0)，PD(0， 3， 1)，所以 x2y0，3yz0令 x2，则 y1，z3所以
28、 n(2，1，3)是平面 PCD 的一个法向量 8 分因为 AE平面 PBC，所以AE是平面 PBC 的法向量所以 cosAEn|AE|n|5 714由此可知，AE与 n 的夹角的余弦值为5714根据图形可知，二面角BPCD 的余弦值为5 714 10 分23解（ 1）P(X7)C23C12 + C22C12C37835，P(X8)C22C13C37335所以 P（X7）1135. 4 分（2）P(X6)C12C13C12 + C33C371335，P(X5)C22C12 + C23C12C37835，P(X4)C22C13C37335所以随机变量X 的概率分布列为X4 5 6 7 8 P33
29、583513358353358 分所以 E(X)433558356133578358335610 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - - -