2022年《初等数论》试卷及参考答案 .pdf

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1、初等数论试卷一、 单项选择题：（1 分/题 20 题=20 分）设x为实数，x为x的整数部分，则 () 1xxx；1xxx；1xxx；1xxx下列命题中不正确的是() 整数12,na aa的公因数中最大的称为最大公因数；整数12,na aa的公倍数中最小的称为最小公倍数整数a与它的绝对值有相同的倍数整数a与它的绝对值有相同的约数设二元一次不定方程axbyc（其中, ,a b c是整数，且,a b不全为零）有一整数解00,xyda b，则此方程的一切解可表为() 00,0, 1, 2,;abxxt yyt tdd00,0, 1, 2,;abxxt yyt tdd00,0, 1, 2,;baxxt

2、 yyt tdd00,0, 1, 2,;baxxt yyt tdd下列各组数中不构成勾股数的是() ，；，；，；，下列推导中不正确的是() 11221212mod,modmod;abmabmaabbm11221212mod,modmod;abmabma abbm111212modmod;abma abam112211modmod.abmabm模的一个简化剩余系是() 0,1,2,9;1,2,3,10;精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - -

3、- 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4;1,3,7,9.modabm的充分必要条件是() ;m ab;ab m;m ab.ab m设43289fxxxx，同余式0 mod5fx的所有解为 () 1x或1;1x或4;1x或1 mod5 ;无解9、设f(x)=10nna xa xa其中0,modiaxxp是奇数 若为 f(x)0 mod p的一个解，则 :( ) Amod( )0 mod,1pf xp一定为的一个解B0mod,1,( )0 modpf xp一定为的一个解C00( ),( )0 modmod,modpfxf xpxxpxxp当 不整除时一定有解其中D00mod( )0 m

4、od,modxxpf xpxxp若为的一个解则有1010( ),0 mod,nninf xa xa xaaapnp设其中为奇数则同余式( )0 modf xp 的解数： （）A有时大于p 但不大于 n; B可超过 p C等于 p D等于 n 11若 2 为模 p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的:( ) A3 B11 C13 D23 12若雅可比符号1am，则( ) A2mod,xam同余式一定有解B2,1,moda mxap当时 同余式有解; C2(,modmpxap当奇数)时 同余式有解; 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳

5、- - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - - D2(),modapxap当奇数 时同余式有解132mod 2,3, 2,1,xaa若同余式有解 则解数等于( ) A 4 B3 C2 D1 14 模 12 的所有可能的指数为;( ) A1，2，4 B1，2，4，6，12 C1，2，3，4，6，12 D无法确定15 若模 m 的单根存在，下列数中，m 可能等于 : ( ) A2 B3 C 4 D12 16对于模 5，下列式子成立的是: ( ) A322indB323indC350indD3331025indindind17下列函数中不是可乘

6、函数的是: ( ) A茂陛鸟斯 (mobius)函数 w(a) ; B 欧拉函数a；C不超过 x 的质数的个数x；D除数函数a；18 若x对模m的指数是ab，a0，ab0，则x对模m的指数是 ( ) AaBbCabD无法确定19fa，g a均为可乘函数，则( ) Afa g a为可乘函数；Bfag a为可乘函数Cfag a为可乘函数；Dfag a为可乘函数20设a为茂陛乌斯函数，则有( )不成立A11B11C21D90二填空题：（每小题 1 分，共 10 分）21 3 在 45!中的最高次n _；22 多元一次不定方程：1122nna xa xa xN，其中1a，2a，na，N 均为整数，2n

7、，有整数解的充分必要条件是_；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 23 有 理 数ab，0ab，,1a b， 能 表 成 纯 循 环 小 数 的 充 分 必 要 条 件 是_；24 设0modxxm为一次同余式modaxbm，a0 modm的一个解， 则它的所有解为 _；25 威尔生（ wilson）定理： _；26 勒让德符号5031013=_；27 若,1a p，则a是模 p 的平方剩余的充分必要条件是_(欧拉判别条件 )；28

8、 在模m的简化剩余系中，原根的个数是_；29 设1， g 为模p的一个原根，则模2p的一个原根为 _；3048_。三简答题：（5 分题 4 题 20 分）31命题 “ 任意奇数的平方减1 是 8 的倍数 ” 对吗？说明理由。32“ 若,1a m，x通过模m的简化剩余系，则ax也通过模m的简化剩余系 ” 这命题是否正确？正确请证明，不正确请举反例。33求模 17 的简化剩余系中平方剩余与平方非剩余。34设1212kkappp为a的标准分解式， 记S a为a的正因数的和，a为a的正因数的个数，则S a？a？为什么？四计算题。（7 分题 4 题 28 分）35 求不定方程6x+93y=75 的一切整

9、数解。36 解同余方程组1 mod53 mod62 mod7xyz37解同余式2x11(mod125)38求模 13 的所有原根。五、证明题：（7 分/题 2题=14 分）39、试证：2222xyz， （x，y）=1 y 是偶数的整数解可写成：22(2)xab2yab222zab精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 这里0ab，,1a b，并且一为奇数，一为偶数。40、设 a 为正整数，试证：|( )()d ad aadad其中|d

10、a表示展布在a 的一切正因数上的和式。六、应用题：（8 分）41、求 30！中末尾 0的个数。参考答案：一单项选择：ABCDD ；DACCB ；DCAAD ；BCBAB 。二填空题：2121；2212,|na aaN；23,101b；240,0, 1, 2,mxtta m；251p！+10 mod,pp为素数； 261；27121 modpap；28m；29 g 与gp中的单数； 3016 三简答题： 31答：命题正确。2211211mm211m22241mmm m而1m m必为 2 的倍数。86 页32正确证明见教材47P。33 在 摸 p 的 简 化 剩 余 系 中 与22211 ,2 ,

11、2p同 余 的 数 是 数 p 的 平 方 剩 余 ，117,182pp，222211,24,39,416，222258,62,715,813故 1，2，4，8，9，13，15，16 为摸 17 的平方剩余，而3，5，6，7，10，11，12，14 为摸 17的平方非剩余。341211111iikkiiiiiips apppp12111ka证明：若fa为可乘函数，则|11ikiiaiffpfp分别令.1f aa fa，它们为可乘函数，即得出。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15

12、 页 - - - - - - - - - - 四计算题35解：因为6,933| 75，故原不定方程有解。又原方程即23125xy，而易见方程2311xy有解0016,1xy。所以原方程的一个解是00400,25xy所以，原方程的一切整数解是：（）40031252xtrtt 是整数36解：因为模5，6，7 两两互质，由孙子定理得所给同余方程组关于模5 6 7210 有唯一解，分别解同余方程：421 mod5x，351 mod6x，301 mod7x，得3 mod5x，1 mo d 6x，4 mod7x因此所给同余方程组的解是：42 3 1351330 4 2 mod210 x即：26151 mo

13、d210 x37解：从同余方程211 mod51 mod5xx得，222111511 mod5,1010 mod5tt再从得，2111 mod 5 ,16 mod5tt因此于是，是22223211 mod5,6511 mod5t的解 又从得32230025 mod 5,121 mod5tt因此即222 mod5 ,65256tx所以是所给方程的一个解，于是所解为：56 mod125x解毕。38解：2131223,122,3gg为其质因数13136,423，故 g 为模 13 的原根的主要条件是：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -

14、- - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 61 mod13g，41 mod13g用g=1，2， 12 逐一验证，得： 2，6，7，11 为模 13 的原根，因为124，故模 13 原根只有 4 个，即为所求。五、证明题：39证明：易验证所给的解为原方程的解，因y 为偶数，原方程可化为：2222zx zxr但,|,2222zxzxzxzxz,|,2222zx zxzx zxx而，所以（2zx，2zx）=1 由书中引理，我们可假设2zx=2a，2zx=b2显然ab， (a，b)=1， 于是X=2ab2，z=2a+2b，y=2ab因子为奇数，

15、所以a，b 一定是一为奇，一为偶，证毕40证明：假定1d，-，kd为a的所有正约数，那末1ad，-，kad也是a的所有正约数，于是( )d ad=()d aad再因为在a的完全剩余系中任一数a的最大公约数必定是1d，-，kd中某一个数，而完全剩余系中与a的最大公约数为id的数有()imd，所以：()d amd= m 证毕精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 六应用题：41解： 5 在 30！中的最高次幂 =305+2305+3305=

16、6+1+0=7 2 在 30！的最高次幂 =302+2302+3302+4302+5302=15+7+3+1+0=26 10=2 5，故30！的末尾有7 个零。20XX 年 4 月广东省高等教教育育自学考试初等数论试卷一、单项选择题。（本大题共15 小题，每小题2 分，共 30 分）1-36，420，48 三个数的公因数是（）A 1， 3， 4， 5， 6， 12 B. 1,2,3,4,6,12 C. 2,3,4,6 D1,2,3,4,5,6,12 2.设 a,bZ?(整数集 )，p 是素数，且p ab。则（）A a,b 中恰有一个是p 的倍数B.a,b 中没有 p 的倍数C.a,b 中必有一

17、个是p 的倍数D. a,b 都是 p 的倍数3.设 a,b是非零整数 ,d=(a,b),则下列成立的是 ( ) A,a babd d轾犏=犏臌B.,aba bd dd轾犏=犏臌C.2,a babd dd轾犏=犏臌D.2,aba bd dd轾犏=犏臌4.设且, , ,1,a b c vZaubv?=则对于任意dZ+?(正整数集 )( ) A.(,)ad bdd=B.(,)ad bdabd=C.(,)ad bdab=D.,ad bdd轾=犏臌5.对任意实数a,必有 ( ) A.1aa轾轾-= -+犏犏臌臌B. aaa轾-=-犏臌C.aa轾轾-=-犏犏臌臌D. aa-= -6.下列不定方程中,有整数

18、解的是 ( ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - - A.27753348xyz+=B.27756572xyz+=C.42701433xyz-+=D.100204532xyz+=7.设 a,b,(mod)Z mZabm+挝?则( ) A.(a,b)=(a,m) B.(a,b)=(b,m) C.(a,m)=(m,b) D.(a-b,m)=(a,m) 8.下列集合中 ,是模 15 的简化剩余系的是( ) A.1,2,3,5,7,8,11,

19、13B.1,2,37,8C.1,4,8,7,11,13,14D.29,14,2,2,19,19, 7,8-9.下列同余式中成立的是( ) A.48361(mod 49)oB.20271(mod 25)oC. 7244(mod 72)oD.41351(mod 41)o10.设同余式(mod)axbmo有解 ,则下述断语中正确的是( ) A. 该同余式有模m 的 m-1 个解B. 在模 m 的一组完全剩余系中,有(b,m)个数满足该同余式C. 在模 m 的一组完全剩余系中,有(a,m)个数满足该同余式D. 在模 m 的一组完全剩余系中,有(ab,m)个数满足该同余式11.设素数 p2,a,b 分别

20、是模 p 的平方剩余和平方非剩余,则下列成的是 ( ) A.ab 是模 p 的平方非剩余B.2ab是模 p 的平方非剩余C2a b是模 p 的平方剩余D.22a b是模 p 的平方非剩余12.设对模 m 的指数为 k.,则( ) A.k mB.m kC.k aD,()kmj13.若模 m 的原根存在 ,则 m 可能是 ( ) A.15 的倍数B.16 的倍数B.81 的 2倍D.42 的倍数14.若 x 对模 m 的指数是 ab,a0,b0,则bx对模 m 的指数是 ( ) A.abmB.b 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

21、 - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - - C.ab-D.a 15.设 g 是模 m 的一个原根 ,()cmj=.K 是模 c 的一个非负完全剩余系,则 L=,tg tK?是( ) A.模 m 的一个完全剩余系B 模 m 的一个简化全剩余系C 模 c 的一个完全剩余系D 模 c 的一个简化全剩余系二. 填空题（本大题共10，每小题 2 分，共 2 分）16.设4532264223511 ,25713 ,ab=创?创?35335713c =创?,则, ,a b c轾犏臌=17.若 a,b,是两个整数 ,b0,设,aamrbb轾禳镲镲犏=睚犏镲

22、镲臌铪,则用 m,r 表达的 b 除 a 的带余式是. 18.100!32!的标准分解中7 的指数为. 19.有理数(0,( , )1)aab a bb=能表示成纯循环小数的充分必要条件是. 20.设1212kaakmpppa=L,12,kp ppL是 m 的互不相同的素数,则()mj=. 21.设 a,b,c,m 都是整数 ,(mod)abacmo,则当时,(mod)bcmo. 22.设1212kaakmpppa=L,ip为互异的奇素数(i=1,2.,k),( ,)1a m =,则同余式2(mod)xamo有解时 ,解数为. 23.设 m 是偶数 ,则模 m 有原根的充分必要条件是. 24.

23、设 a对模 m 的指数为 t,则1(mod)kamo成立的充分必要条件是. 25若12,ta aaL是与 m 互素的 t 个整数，则12(,)tind a aaoL(mod()mj三、计算题。（本大题共4 题，第 26，27 小题各 5 分，第 28，29 小题各 7分，共 24 分）26解不定方程的整数解12357531.xy+=27.求 3 对模 52 的指数 . 28.解同余方程组2(mod 3)3(mod 4)3(mod 5)xxx?o?o?o?29对哪些奇素p,3 是模 p的二次剩余 ? 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳

24、- - - - - - - - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 四、应用题（本题10 分）30今天是星期三，试求经过20031001999(20012)t =+天后是星期几？五、证明题（本大题共2 题，每小题8 分，共 30 分）31求证 3是模 17 的原根 . 32.已知 383 是素数，求证有解2219(mod 383)xo。20XX 年 4 月广东省高等教教育育自学考试初等数论试题答案及评分参考一、单项选择题15BCDAB 610ACDBC 1115ADCDB 二、填空题16.45652323571113创创?17.或()aaabbabmbrb

25、b轾禳镲镲犏=+=+睚犏镲镲臌铪g18.12 19.或存在一个正整数 t,( ,10)1b=使得成立101(mod )tbo。2011121111122()()()kkkkppppppaaaaaa-L或12111(1)(1)(1)kmppp-L21（a,m）=1 22.2k23.m=2,4 或2pa，其中a为正整数， p 为素数24t k2512tindaidnaidna+L三、计算题26解： （123，57）=3 531，所以方程有整数解。化简方程得4 11 91 7 7y+=. (1 分) 解得4 11 923=?19361=?于是1193619(41192)6=-?-创精品资料 - -

26、- 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 41(6)1913=?+?故41(6177)1916177177?创=知方程有特解006177,13177xy= -?（3 分）一般解为6177191317741xtyt?= -?=?（0,1,2,t =北L） （5 分）27、解：（）5224j=，24 的正因数为1，2，3，4，6，8，12，24 （2 分）依次检验：，（123433 39 327 329 mod 52)汉汉631(mod 52)o（4 分）故

27、 3 对模 52 的指数是 6 （5 分）28、 解：1233,4,5,60mmmm=12320,15,12MMM=而1232,3,3MMM=（3 分）故此同余组的解为220231533123(mod 60)x 捍?创+创23(mod 60)o（7 分）29、解：显然5p 3，由二次互反律，有3 1112223(1)(1)33ppppp-骣骣骣鼢?珑?鼢?=-=-珑?鼢?珑?鼢?桫桫桫（1分）由于如p 1(mod3)，如 p2(mod3)1,13po-?骣? =?桫如 p1(mod4)，如 p3(mod4)11,21(1)p-o-?-?(3 分) 所以1231(1)3ppp-骣骣鼢珑鼢 =?-

28、珑鼢鼢珑桫桫精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 1(mod 3)1(mod 4)ppoo?或21(mod 3)31(mod 4)pp汉-汉-?（5 分）1(mod12)p酆?所以只有当(mod 12)p 罕时，3 是模 p 的二次剩余（7 分）四、应用题30、解：要求t模 7的余数2004(mod 7),125(mod 7)汉由欧拉定理6641(mod 7), 51(mod 7)汉（2 分）于是20032003333 655200

29、44442(mod 7)汉春?（5 分）1001006 16441255552(mod 7)?春?（7 分）于是199966 33314444(mod 7)t?春（9 分）于是再过t天就是星期日（10 分）五 证明题31、证：求得4(17)162j=，其不同素因数只有2 （2 分）(17)82j=（4 分）而(17)8233161(mod17)j=汗（6 分）所以 3 是模 17 的一个原根（8 分）32、证：219373=?，于是219373383383383骣骣骣鼢?珑?鼢?=珑?鼢?珑?鼢?桫桫桫（1 分）由二次互转律3 1 383 1223383383(1)38332-骣骣骣鼢?珑?鼢

30、?=-= -珑?鼢?珑?鼢?桫桫桫21(1)133骣骣-鼢珑鼢= -= -= - -=珑鼢珑鼢桫桫（4 分）2733831823238373737373骣骣骣骣骣鼢鼢?珑珑鼢鼢=?珑珑鼢鼢?珑珑鼢鼢?桫桫桫桫桫精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 27318( 1)1-=-=（7 分）所以2191383骣?=?桫故同余方程2219(mod 383)xo有解（8分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - - -