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1、精选优质文档-倾情为你奉上第九章 直线、平面、简单几何体 学法指导： 1必须明确本章内容的复习目标：（1）准确理解和系统掌握空间直线和平面的各种位置关系（特别是平行与垂直的位置关系），能够运用概念、公理、定理等进行严密的推理判断和逻辑论证；（2）正确理解空间的各种角和距离的概念，能将其转化为平面角和线段的长度，并能熟练地运用平面几何及三角知识来计算；（3）通过图形能迅速判断几何元素的位置关系，能熟练绘制符合要求的空间图形的直观图、截面图，熟练地处理折叠、截面的问题. 但要注意立体几何中的示意图不反映元素关系的真实结构，逻辑论证仍是关键；（4）理解用反证法证明命题的思路，会证一些简单的问题.2要
2、掌握解题的通法，推理严谨，书写规范（1）转化法是空间直线和平面的位置关系的判断与证明的常用方法，线线关系（主要指平行和垂直）、线面关系、面面关系三者中，每两者都存在着依存关系，充分、合理地运用这些关系是解题的关键；另外，转化法还常常运用在求距离时点的位置的变化，以及线面距、面面距间的转化；（2）求角或距离的方法： “一作、二证、三计算”，即先作出所求角或表示距离的线段，再证明它就是所要求的角或距离，然后再进行计算，尤其不能忽视第二步的证明.向量法9-1 立体几何中的平行问题教学目标：1.了解空间中两条直线的位置关系（相交、平行、异面）；了解直线和平面的位置关系(直线在平面内,直线与平面相交,直
3、线与平面平行)；了解两个平面的位置关系（相交、平行）。2.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能灵活运用它们解题.3.掌握两平面平行的判定和性质，并用以解决有关问题.教学重点：利用两条直线平行、直线与平面平行和面面平行的判定定理解决相关的证明问题。教学难点：线/线、线/面、面/面之间的相互联系。教学过程设计：一、要点回顾：1.空间中两条直线的位置关系：（1）相交：（2）平行：公理4： 平行于同一直线的两条直线平行 （3）异面：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。判定定理： 2.空间中直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内： 公理1： 符号语言： （2）直线与平面平行：定义 记作
4、： 判定定理： 如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和平面平行 符号语言： 图形语言：（3）直线和平面相交：符号语言： 3.空间中平面和平面的位置关系：（1）平面和平面相交：公理2： 符号语言：图形语言：（2）平面和平面平行：两个平面没有公共点。判定定理： 性质定理： 一个重要结论：二、基础回顾：1.如下图，正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E=C1F.求证：EF平面ABCD.方法一：方法二：说明：欲证线面平行，先证线线平行，欲证线线平行，可先证线面平行，反复用直线与平面的判定、性质，在同一题中也经常用到。2.如图，已知
5、四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，侧面PDC为正三角形且平面 ，E为PC的中点，求证：PA/EBD。三、考题训练：例1.（2007全国）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧棱 底面 分别为 的中点（1）证明 平面 ；（2）设 ，求二面角 的大小解法一：（1）作 交 于点 ，则 为 的中点连结 ，又 ，故 为平行四边形 ，又 平面 平面 所以 平面 （2）不妨设 ，则 为等腰直角三角形取 中点 ，连结 ，则 又 平面 ，所以 ，而 ，所以 面 取 中点 ，连结 ，则 连结 ，则 故 为二面角 的平面角 所以二面角 的大小为 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系 设 ，则 ，
6、取 的中点 ，则 平面 平面 ，所以 平面 （2）不妨设 ，则 中点 又 ， ，所以向量 和 的夹角等于二面角 的平面角 所以二面角 的大小为 （其中第2问放在后面求二面角部分讲解）例2.（08安徽）如图，在四棱锥 中，底面 四边长为1的菱形， , , , 为 的中点， 为 的中点.（）证明：直线 ；（）求异面直线AB与MD所成角的大小； （）求点B到平面OCD的距离。方法一（综合法） （1）取OB中点E，连接ME，NE 又 （2） 为异面直线 与 所成的角（或其补角），作 连接 ， 所以 与 所成角的大小为 （3） 点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作 于点Q， 又 ,线段A
7、Q的长就是点A到平面OCD的距离 ， ，所以点B到平面OCD的距离为 方法二(向量法)作 于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为 轴建立坐标系 ,(1) 设平面OCD的法向量为 ,则 即 取 ,解得 (2)设 与 所成的角为 , , 与 所成角的大小为 (3)设点B到平面OCD的距离为 ,则 为 在向量 上的投影的绝对值, 由 , 得 .所以点B到平面OCD的距离为 四、能力提升1.（08四川卷19）如图，平面 平面 ，四边形 与 都是直角梯形， ， （）证明： 四点共面；（）设 ，求二面角 的大小；【解1】：（）延长 交 的延长线于点 ，由 得 ，延长 交 的延长线于 同理可得 故
8、，即 与 重合，因此直线 相交于点 ，即 四点共面。（）设 ，则 ， ，取 中点 ，则 ，又由已知得， 平面 ，故 ， 与平面 内两相交直线 都垂直。所以 平面 ，作 ，垂足为 ，连结 由三垂线定理知 为二面角 的平面角。 故 所以二面角 的大小 【解2】：由平面 平面 ， ，得 平面 ，以 为坐标原点，射线 为 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系 （）设 ，则 故 ，从而由点 ，得 故 四点共面（）设 ，则 ， ，在 上取点 ，使 ，则 ，从而 又 ，在 上取点 ，使 ，则 从而 故 与 的夹角等于二面角 的平面角， ，所以二面角 的大小 五、课堂小结：1.“线/线”的证明方法序号文字语言图
9、形语言符号语言感悟1公理4：平行于同一直线的两直线平行2线/面的性质定理：3垂直于同一个平面的两直线平行4面/面的性质定理5平行四边形的对边分别平行6三角形的中位线与它对应的底边平行2.线/面的证明方法：序号文字语言图形语言符号语言感悟1线/面的判定定理：2如果两个平面平行，其中一个平面内的一条直线与另一个平面平行3.面/面的证明方法：序号文字语言图形语言符号语言感悟1判定定理2推论3垂直于同一直线的两直线平行六、课外作业：1.（2004天津）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是正方形，侧棱 底面ABCD， ， 是PC的中点。（1）证明 平面EDB；（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值。
10、点评：本题考查直线与平面平行、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力， 方法一：（1）证明：连结AC、AC交BD于O。连结EO 底面ABCD是正方形 点O是AC的中点。在 中，EO是中位线 而 平面EDB且 平面 ，所以， 平面EDB。（2）解：作 交CD于F。连结BF，设正方形ABCD的边长为 。 底面ABCD F为DC的中点 底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故 为直线EB与底面ABCD所成的角。在 中， 在 中 所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为 方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设 （1）证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG
11、。依题意得 ， ， 底面ABCD是正方形 G是此正方形的中心，故点G的坐标为 这表明 而 平面 且 平面EDB 平面EDB（2）解：依题意得 ， 取DC的中点 连结EF，BF ， ， ， ， 底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故 为直线EB与底面ABCD所成的角。在 中， ， ，所以，EB与底面ABCD所成的角的正切值为 。 七、板书设计：八、教学反思：9-2立体几何中的垂直问题教学目标：1.了解空间两条直线垂直的概念；2.掌握空间中直线和平面垂直的判定和性质；3.了解空间中两个平面垂直的判定和性质。教学重点：教学难点：教学过程设计：一、要点回顾1.线线垂直的判定：（1）利用线线
12、平行：一条直线垂直于两条平行线中的一条，则垂直于另一条（2）利用勾股定理逆定理（3）利用等腰三角形性质（4）利用平面图形性质(5)线面垂直的性质： (6)利用线面垂直、线面平行：(7)利用三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。（反之也成立逆定理）2.线面垂直判定（1）判定定理1如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。（2）判定定理2如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直。（3）面面垂直的性质：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面（4）面面垂直推论:如果两个相交平
13、面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线 l 垂直于另一个平面（5）面面平行性质：一直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面线面垂直性质（1）定义如果一条直线和一个平面垂直则这条直线垂直于平面内的任意一条直线（2）性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行。（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面（6）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直（7）如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直3.（1）面面垂直判定如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直推论:如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两
14、个平面互相垂直（2）面面垂直性质推论:如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线 l 垂直于另一个平面垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：（1）平行转化：(2)垂直转化：每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的.例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. 二、基础体验：1、(06安徽文6)设 均为直线,其中 在平面内，则“l”是“ ”的（ A ）(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件2（07四川卷）如图， 为正方
15、体，下面结论错误的是（）（A） 平面 （B） （C） 平面 （D）异面直线 与 所成的角为60解：异面直线 与 所成的角为45，选3.（08上海卷13） 给定空间中的直线l及平面a，条件“直线l与平面a内无数条直线都垂直”是“直线l与平面a垂直”的（ C ）条件A充要 B充分非必要 C必要非充分 D既非充分又非必要三、考题训练：例1.（07全国2）如图，正三棱柱 的所有棱长都为 ， 为 中点（）求证： 平面 ；（）求二面角 的大小本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力解法一：（）取 中点 ，连结 为正三角形， 正三棱柱 中，平面 平面
16、， 平面 连结 ，在正方形 中， 分别为 的中点， ， 在正方形 中， ， 平面 （）设 与 交于点 ，在平面 中，作 于 ，连结 ，由（）得 平面 ， 为二面角 的平面角在 中，由等面积法可求得 ，又 ， 所以二面角 的大小为 解法二：（）取 中点 ，连结 为正三角形， 在正三棱柱 中，平面 平面 ， 平面 取 中点 ，以 为原点， ， ， 的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平面 （）设平面 的法向量为 ， ， ， 令 得 为平面 的一个法向量由（）知 平面 ， 为平面 的法向量 ， 二面角 的大小为 例2. 如图,在底面为直角梯形的四棱锥
17、,BC=6.()求证: ()求二面角 的大小.解法一：（） 平面 ， 平面 又 ， ， ， ，即 又 平面 （）连接 平面 ， 为二面角 的平面角在 中， ， ， ， 二面角 的大小为 解法二：（）如图，建立坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，又 ， 面 （）设平面 的法向量为 ，设平面 的法向量为 ，则 ， ， 解得 ， 二面角 的大小为 四、能力提升：1.（08全国二19）如图，正四棱柱 中， ，点 在 上且 （）证明： 平面 ；（）求二面角 的大小解：以 为坐标原点，射线 为 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系 依题设， ， （）因为 ， ，故 ， 又 ，所以 平面 （
18、）设向量 是平面 的法向量，则 ， 故 ， 令 ，则 ， ， 等于二面角 的平面角， 所以二面角 的大小为 五、课堂小结：六、课外作业：1.（08山东）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD， ,E，F分别是BC, PC的中点.（）证明：AEPD; （）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为 ，求二面角EAFC的余弦值.解：由（）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B（ ，-1，0），C（C，1，0），D（0，2，0），P（
19、0，0，2），E（ ，0，0），F（ ），所以 设平面AEF的一法向量为 则 因此 取 因为 BDAC，BDPA，PAAC=A，所以BD平面AFC，故 为平面AFC的一法向量.又 =（- ），所以 cosm, = 因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为 2.（08陕西卷19）三棱锥被平行于底面 的平面所截得的几何体如图所示，截面为 ， ， 平面 ， ， ， ， ， （）证明：平面 平面 ；（）求二面角 的大小解：（）如图，建立空间直角坐标系，则 ， ， 点坐标为 ， ， ， ， ，又 ， 平面 ，又 平面 ， 平面 平面 （） 平面 ，取 为平面 的法向量，设平面 的法向量为
20、，则 ，如图，可取 ，则 ， ，即二面角 为 补充资料：1.（07湖南）如图，在三棱锥 中， ， ， 是 的中点，且 ， （I）求证：平面 平面 ；（II）试确定角 的值，使得直线 与平面 所成的角为 本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力解法1：（） ， 是等腰三角形，又 是 的中点， ，又 底面 于是 平面 又 平面 ， 平面 平面 （） 过点 在平面 内作 于 ，则由（）知 平面 连接 ，于是 就是直线 与平面 所成的角依题意 ，所以 ：在 中， ；在 中， ， ， 故当 时，直线 与平面 所成的角为 解法2：
21、（）以 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，于是， ， ， 从而 ，即 同理 ，即 又 ， 平面 又 平面 平面 平面 （）设平面 的一个法向量为 ，则由 得 可取 ，又 ，于是 ，即 ， 故交 时，直线 与平面 所成的角为 （07全国1） 四棱锥 中，底面ABCD为平行四边形，侧面 底面ABCD，已知 ， ， ， 。（）证明： ；（）求直线SD与平面SBC所成角的大小。（1）解法一：作 ，垂足为 ，连结 ，由侧面 底面 ，得 底面 因为 ，所以 ，又 ，故 为等腰直角三角形， ，由三垂线定理，得 解法二：作 ，垂足为 ，连结 ，由侧面 底面 ，得 平面 因为
22、 ，所以 又 ， 为等腰直角三角形， 如图，以 为坐标原点， 为 轴正向，建立直角坐标系 ，因为 ， ，又 ，所以 ， ， ， ， ， ，所以 （2） ， . 与 的夹角记为 ， 与平面 所成的角记为 ，因为 为平面 的法向量，所以 与 互余 ， ，所以，直线 与平面 所成的角为 七、板书设计：八、教学反思：9-3空间中直线、平面的位置关系教学目标：1.掌握空间中直线与直线、直线和平面、平面与平面的各种位置关系；2.掌握立体几何中文字语言、图形语言、符号语言的相互转换，并且能利用定理进行命题真假的判断。教学重点：1.直线和平面平行、垂直的判定定理和性质定理2.平面和平面平行、垂直的判定定理和性
23、质定理.教学难点：利用定理和一般结论判断所给命题的真假教学过程设计：一、要点回顾：（1）平行转化：(2)垂直转化：二、基础体验：1.（06北京卷）设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( C )（A）若AC与BD共面，则AD与BC共面（B）若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 (C) 若AB=AC，DB=DC，则AD=BC (D) 若AB=AC，DB=DC，则AD BC解：A显然正确；B也正确，因为若AD与BC共面，则必有AC与BD共面与条件矛盾；C不正确， D正确，用平面几何与立体几何的知识都可证明。选C2（06天津卷）若 为一条直线， 为三个互不重合的平面，
24、给出下面三个命题： ； ； 其中正确的命题有（C）0个 1个 2个 3个解：若 为一条直线， 、 、 为三个互不重合的平面，下面三个命题： 不正确； 正确； 正确，所以正确的命题有2个，选C.3(06上海卷) 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 （ A ）（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件4（06重庆卷）若 是平面 外一点，则下列命题正确的是( D )（A）过 只能作一条直线与平面 相交 （B）过 可作无数条直线与平面 垂直（C）过 只能作一条直线与平面 平行 （D）过 可作无数条直线与平面 平行三、
25、考题训练1（06辽宁卷）给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行；垂直于同一平面的两个平面互相平行；若直线 与同一平面所成的角相等，则 互相平行；若直线 是异面直线，则与 都相交的两条直线是异面直线。其中假命题的个数是（D）1 2 3 42(06广东卷) 给出以下四个命题:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线相互平行;如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直.其中真命题的个数是( )A.4 B.
26、3 C.2 D.1解：正确，故选B.3.(06福建卷) 对于平面 和共面的直线 、 下列命题中真命题是( C )（A）若 则 （B）若 则 （C）若 则 （D）若 、 与 所成的角相等，则 4（06湖北卷）6、关于直线m、n与平面 、 ，有下列四个命题：若 且 ，则 ；若 且 ，则 ；若 且 ，则 ；若 且 ，则 ；其中真命题的序号是( D )A B C D解：用排除法可得选D5.（06福建） 是空间两条不同直线， 是两个不同平面，下面有四个命题： 其中，真命题的编号是_， _;（写出所有真命题的编号）解： 是空间两条不同直线， 是两个不同平面，下面有四个命题： ,为真命题； ，为ie假命题；
27、 为假命题； 为真命题，所以真命题的编号是、.6（07北京卷）平面 平面 的一个充分条件是（）存在一条直线 存在一条直线 存在两条平行直线 存在两条异面直线 解：平面 平面 的一个充分条件是存在两条异面直线 ，选 四、能力提升1（07天津卷）设 为两条直线， 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A若 与 所成的角相等，则 B若 ， ， ，则 C若 ， ， ，则 D若 ， ， ，则 解：项中若 与 所成的角相等，则 可以平行、相交、异面故错；项中若 ， ，则 可以平行、异面故错；项中若 则 可以平行、相交；而D项是对，因为此时 所成的角与 所成的角是相等或是互补的，则 【分析】对于A当
28、 与 均成 时就不一定；对于B只需找个 ，且 即可满足题设但 不一定平行；对于C可参考直三棱柱模型排除，故选D.2（07重庆卷）垂直于同一平面的两条直线（A）平行（B）垂直（C）相交（D）异面解：垂直于同一平面的两条直线平行. 选A.3（07辽宁卷）若 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）A若 ，则 B若 ， ，则 C若 ， ，则 D若 ， ， ，则 解：由有关性质排除A、C、D，选B.4（07江苏卷）已知两条直线 ，两个平面 ，给出下面四个命题： 其中正确命题的序号是（ ）A、 B、 C、 D、解：中， 有可能是异面直线；中， 有可能在 上，都不对，故选（C）。
29、五、课堂小结：六、课外作业：1(07广东卷) 若l、m、n是互不相同的空间直线， 、 是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是A若 ，则 B若 ，则 C. 若 ，则 D若 ，则 解：对A，当 ， 时， 只是平行于 中某一直线而非所有，因而 未必能平行于n；对B，只有在 垂直与两面的交线才有结论 成立；对C，直线 和m可以是异面，立方体的棱就能体现这种关系。选D.2.已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） ， ， ， ， ， ， ， 解：A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C中n可以在 内，不正确，选D.3.（08安徽卷
30、3）已知 是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ B）A B C D 4.（08湖南卷5）已知直线m,n和平面 满足 ,则( D ) 或 或 5.（08上海卷13）给定空间中的直线l及平面 条件“直线l与平面 内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面 垂直”的（C）充分非必要条件必要非充分条件C充要条件 既非充分又非必要条件6.（08天津卷5）设 是两条直线， 是两个平面，则 的一个充分条件是（ C ）A B C D 7、（05江苏4）已知两条直线 ，两个平面 ，给出下面四个命题：（ ） 其中正确命题的序号是A B C D七、板书设计：八、教学反思：9-4空间角教学目标：1.理解
31、两异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角的平面角的概念；2.会利用几何法、向量法求角（两异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角的平面角）教学重点：利用向量法求空间角教学难点：建立适当的空间直角坐标系，利用向量法求解立体几何综合问题。教学过程设计：一、基础回顾：1.异面直线所成的角（1）定义： （2）范围： .（3）基本求法： 2.直线和平面所成的角：（1）定义： （2）范围： （3）基本求法： 3.二面角（1）相关定义：从一条直线出发的两个 组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小是用它的 的大小来
32、度量的。（2）二面角的范围 ： 。 （3）常见求法： 、 、 、 、 .定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角. 用定义时，要认真观察图形的特征.三垂线法：已知二面角其中一个面内到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角.垂面法：在棱上取一点（通常是特殊点）作棱的垂面.射影法：利用面积射影公式 ，其中为平面角的大小.此方法不必在图中画出平面角来（此法仅能在小题中使用）.向量法：二、基础体验：1（06四川卷）已知二面角 的大小为 ， 为异面直线，且 ，则 所成的角为( B )（A） （B） （C） （D） 解：已知二面角 的大小为 ， 为异面
33、直线，且 ，则 所成的角为两条直线所成的角， = ，选B.2.直三棱柱 中， 点 分别是 的中点， ，则BD与AF所成的角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 三、考题训练：例1（04广东18）如右下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2。E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=BF=1。求直线EC1与FD1所成的角的余弦值。思路一：本题易于建立空间直角坐标系，把 与 所成角看作向量 的夹角，用向量法求解。思路二：平移线段C1E让C1与D1重合。转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。（图1）解法一：以A为原点， 分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间
34、直角坐标系，则有 D1(0,3,2)、E (3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2),于是 设EC1与FD1所成的角为 ，则: 直线 与 所成的角的余弦值为 解法二：延长BA至点E1,使AE1=1,连结E1F、DE1、D1E1、DF，有 D1C1/E1E, D1C1=E1E,则四边形D1E1EC1是平行四边形。则E1D1/EC1.于是E1D1F为直线 与 所成的角。在RtBE1F中， .在RtD1DE1中, 在RtD1DF中, 在E1FD1中,由余弦定理得： 直线 与 所成的角的余弦值为 .说明“转化”是求异面直线所成角的关键。平移线段法，或化为向量的夹角。一般地，异面直线 l1、l
35、2的夹角的余弦为： .练习1(07全国) 如图，正四棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（）A B C D 解：如图，连接BC1，A1C1，A1BC1是异面直线 与 所成的角，设AB=a，AA1=2a， A1B=C1B= a，A1C1= a，A1BC1的余弦值为 ，选D。2.（08全国二10）已知正四棱锥 的侧棱长与底面边长都相等， 是 的中点，则 所成的角的余弦值为（ C ）A B C D 例2.（1）(07全国II) 已知正三棱柱 的侧棱长与底面边长相等，则 与侧面 所成角的正弦值等于（ ）A B C D 解：已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，取A1C1的中点
36、D1，连接BD1，AD1，B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角， ，选A。（2）如图，在体积为1的直三棱柱 中， 求直线 与平面 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）解：法一： 由题意，可得体积 ， 连接 ， 平面 ， 是直线 与平面 所成的角 ， ，则 即直线 与平面 所成角的大小为 法二： 由题意，可得 体积 ， ， 如图，建立空间直角坐标系 得点 ， ， 则 ，平面 的法向量为 设直线 与平面 所成的角为 ， 与 的夹角为 ， 则 ， 。练习：如图,在正三棱柱 中，侧棱长为 ，底面三角形的边长为1，则 与侧面 所成的角是_解： ，点 到平面 的距离为 ， ， 例3.如图，在三棱
37、锥 中，侧面 与侧面 均为等边三角形， ， 为 中点（）证明： 平面 ；（）求二面角 的余弦值证明：（）由题设 ，连结 ， 为等腰直角三角形，所以 ，且 ，又 为等腰三角形，故 ，且 ，从而 所以 为直角三角形， 又 所以 平面 （）解法一：取 中点 ，连结 ，由（）知 ，得 为二面角 的平面角由 得 平面 所以 ，又 ，故 所以二面角 的余弦值为 解法二：建立空间直角坐标系 设 ，则 的中点 ， 故 等于二面角 的平面角 ，所以二面角 的余弦值为 总结：二面角的求法：1.几何法：二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法：直接利用定义，图 (1)利用三垂线定理及其逆定理，图(2)最常用。作
38、棱的垂面，图(3)图4另外，特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角；2.向量法：从平面的法向量考虑，设 分别为平面 的法向量，二面角 的大小为 ，向量 的夹角为 ，则有 或 （图5）图5 如果AB、CD分别是二面角 的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为 。 说明在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取 时，会算得 ，从而所求二面角为 ，但依题意只为 。因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。四、能力提升：1.（2003京春文11，理8）如图91，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别