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1、精选优质文档-倾情为你奉上2014年上海市高中数学竞赛（新知杯）答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1 23 45 6151171980 888060二、解答题9（本题满分14分）在锐角三角形ABC中，已知求三角形ABC的外接正三角形面积的最大值解 设三角形DEF是三角形ABC的外接正三角形，如图所示记，则由正弦定理可得， 4分 所以 ， 当 时等号成立 所以，三角形ABC的外接正三角形的边长的最大值为于是，三角形ABC的外接正三角形面积的最大值为 14分10（本题满分14分）设n是给定的大于2的整数有n个外表上没有区别的袋子，第k个袋中有k个红球，（nk）
2、个白球，把这些袋子混合后，任选一个袋子，并且从中连续取出三个球（每次取出不放回），求第三次取出的是白球的概率解 设选出的是第k个袋子，连续三次取球的方法数是第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下4种情况：白，白，白， 取法有种；白，红，白， 取法有种；红，白，白， 取法有种；红，红，白， 取法有种所以，第三次取出的是白球的种数为 4分故在第k个袋子中第三次取出的是白球的概率为 6分而选到第k个袋子的概率为故所求的概率为 14分11（本题满分16分）正实数满足：求的最大值（这里，表示实数x，y中的较小者） 解 由，得又由，得于是 10分类似的，由，得 14分综上可得 ，当时，等号成立 所以，的最
3、大值为13. 16分12（本题满分16分）求的排列的个数，使得对正整数都成立解 先考虑为偶数的情况设(为正整数)对，由及为整数知，或，注意其中，所以；这里，的取法是唯一的事实上，注意到两两不等，不断地利用可知，只能取，进而只能取，以此类推知同理，由知的取法也是唯一的因此当时，符合题意的排列恰有个 6分再考虑为大于的奇数的情况设(为正整数)类似于偶数的情形知，对成立，因此；且 8分不妨设首先可知的取法唯一事实上，注意到两两不等，不断地利用可知，只能取2，只能取3，以此类推知对于剩下的数，我们证明有种取法事实上，由可知，即有两种取值方式以下对每个，当(这些数均不小于)取定后，再利用知，取自集合，且不能取该集合中这些元素，故的取法数为当均取定后，的取值方式唯一确定，从而根据乘法原理知，的取法有种 14分以上表明，在符合题意的排列中，满足的排列共有个同理可知，满足的排列亦有个因此，当时，符合题意的排列有个综上所述，当为偶数时，符合题意的排列恰有1个；当为奇数时，符合题意的排列恰有个 16分 专心-专注-专业