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1、供水分配问题一、摘要：本题要求讨论出合理的灾区乡镇供水分配方案，以确保民众的满意度最大。根据民政厅对各受灾区防旱救灾的文件要求，在保证民众满意度最大的同时，还更应该注重统筹兼顾，公平分配，使各地方各民众都能够达到最好的满意度。根据问题的要求，可以建立两种数学模型，模型一通过建立线性函数，讨论民众的总体满意度，运用LINGO软件计算出给各乡镇分配水的数量，并借助Excel作图分析；模型二主要是在模型一的基础上，考虑各地方满意度反应一致，运用标准差缩小分配落差，建立线性函数模型，可以计算出各地方满意度均达到900/0以上。建议采用模型二对灾区进行供水分配。关键词：统筹兼顾、线性函数、LINGO软件
2、、Excel作图、标准差、缩小分配落差、最优分配额。二、问题重述与分析 7月份跃进县持续干旱少雨，全县5个受灾乡镇出现了严重旱灾，极影响民众生活生产，县里启动紧急救灾预案，向各受灾乡镇每日运送生活用水2000t，各乡镇每日基本用水需求量见表，供水量与民众需求量差别越大，民众越不满意，试制定合理的供水分配方案，使民众满意度最大。乡镇12345需求量t400600300500400图表显示各受灾区对供水量的需求各不相同，但总体需求量大过了政府所能承受的供应量，如果只要求群众满意度最大，则会引起民众争议。如何分配才使得才能使得民众满意度最大。在满意度最大的同时，是否做到了统筹兼顾的原则，怎样做才是统
3、筹兼顾的最优方案，民众呼声一致。因此，采用建立两个数学模型取最优方案。三、模型假设与变量说明1、假设各受灾乡镇的受灾情况相同，且需水量只与本地相关； 2、假设表中数据真实有效，需水量无其他变动； 3、假设民众的满意度只与供求差值有关； 4、假设运送的水均能到达民众家中，无其他损耗因素； 5、设向各地运水量分别为xi（t），民众不满意度为y，则民众满意度为Z=1-y。四、模型的建立与求解由问题中所给数据，我们得出以下约束条件：由于问题中没有给出关于实际供水量与民众满意度之间的关系，所以民众满意度与实际供水量之间成正比关系：假设K值等于1；在整个受灾地民众的不满意度为： 模型一利用LINGO软件可
4、求解（详见附录一），若使得整个受灾地民众不满意度最低为 ，民众满意度Z1=0.6666各灾镇实际供水量为：；应用Excel作图（图表1）由此可看出除了灾镇2，其余灾镇实际供水量都等于需求量，满意度均为100%，而灾镇2满意度则只有66.67%，在这种不均衡的情况下，必然引起灾镇2民众的强烈不满。为了实现公平，缩小各灾镇供水差异，因为各灾镇灾情不同，所以，在通过建立模型二使各灾镇民众满意度相差最小，则有： 模型二利用LINGO软件可求解(详见附录二)，整个受灾民众不满意度为 ，民众满意度Z2=0.5454各灾镇实际供水量为：；应用Excel作图（图表2）图表数据显示：各乡镇的民众满意度均在90%
5、以上，而总体满意度为54.54%。通过对模型一和模型二的对比发现，采用模型一送水方案可以获得整体的满意度最大，但不能够满足统筹兼顾的方针政策；如果采用模型二送水方案，则会有民众满意度Z1-Z2=-0.1212，民众总体满意度会降低，但能够做到公平公正。综合上述信息对比，建议采用模型二对灾区进行供水分配。五、模型的评价与改进本文综合考虑了送水分配对民众满意度和统筹兼顾建立了两个模型，并计算出了相应的供应数据。最后可将建立的数学模型运用到实际中去。具体有点有下：1、 模型通用性强。模型建立在解决灾区乡镇送水问题基础上，对于很多物资配送等问题均实用，也可以运用到多方经济投入的优化中。例如：多县扶贫支
6、助、救灾物资发放等。2、 模型考虑全面。将民众的满意度和民众切实的需求想结合，最优地解决了民众满意度与需求矛盾的关系。可以得知，在分析问题时不能片面地追求单一结果。3、 运用线性函数、标准差等数学方法建立数学模型，然后运用数学软件求解，避免了繁杂的人工计算。 但模型也有不足之处：其一，两个模型都只能满足其中一个优势，解决了群众最大满意度，却不能解决人性化的统筹兼顾；同样，解决了全面的需求落差小，却不能达到最大满意度。其二，模型还有许多实际问题被忽略，太过于理想化。模型有待根据实际问题具体改进。六、参考文献【1】民政部办公厅关于切实做好旱灾区群众生活安排的紧急通知，来源：法律教育网.chinal
7、awedu./falvfagui/fg22598/59660.shtml ；访问时间2012年5月30日【2】关于进一步做好当前旱灾救灾工作的紧急通知，baike.baidu./view/8235139.htm【3】baike.baidu./view/92066.htm，线性规划的模型建立。【4】标准差与平均值之间的关系，百度百科。【5】数学建模，高等教育，启源，2011年2月七、附录模型一用LINGO求解%建立方程式min=(400-x1)/400+(600-x2)/600+(300-x3)/300+(500-x4)/500+(400-x5)/400;y=(400-x1)/400+(600-
8、x2)/600+(300-x3)/300+(500-x4)/500+(400-x5)/400;x1+x2+x3+x4+x5=2000;bnd(0,x1,400);！x1乡镇1；bnd(0,x2,600);！x2乡镇2；bnd(0,x3,300);！x3乡镇3；bnd(0,x4,500);！x4乡镇4；bnd(0,x5,400);！x5乡镇5；%求最优解LINGO12.0运行结果 Objective value: 0.3333333 Infeasibilities: 0.000000 Variable Value Reduced Cost X1 400.0000 -0.8333333E-03 X
9、2 400.0000 0.000000 X3 300.0000 -0.1666667E-02 X4 500.0000 -0.3333333E-03 X5 400.0000 -0.8333333E-03 Y 0.3333333 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.3333333 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.1666667E-02模型二用LINGO求解%建立方程式LINGO12.0运行结果min=abs(1-(x1/400)-y/5)+abs(1-(x2/600)-y/5)+abs(1-
10、(x3/300)-y/5)+abs(1-(x4/500)-y/5)+abs(1-(x5/400)-y/5);y=(400-x1)/400+(600-x2)/600+(300-x3)/300+(500-x4)/500+(400-x5)/400;x1+x2+x3+x4+x5=2000;bnd(0,x1,400);bnd(0,x2,600);bnd(0,x3,300);bnd(0,x4,500);bnd(0,x5,400);%最优解 Objective value: 0.000000 Objective bound: 0.000000 Variable Value Reduced Cost X1 363.6364 0.000000 X2 545.4545 0.000000 X3 272.7273 0.000000 X4 454.5455 0.000000 X5 363.6364 0.000000 Y 0.4545455 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.0000009 / 9