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1、精选优质文档-倾情为你奉上第4章 多自由度系统振动分析的数值计算方法用振型叠加法确定多自由度系统的振动响应时，必须先求得系统的固有频率和主振型。当振动系统的自由度数较大时，这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作量很大，必须利用计算机来完成。在工程中，经常采用一些简单的近似方法计算系统的固有频率及主振型，或将自由度数较大的复杂结构振动问题简化为较少阶数的振动问题求解，以得到实际振动问题的近似分析结果。本章将介绍工程上常用的几种近似解法，适当地选用、掌握这类实用方法，无论对设计研究或一般工程应用都将是十分有益的。4.1 瑞利能量法瑞利（Rayleigh）能量法又称瑞利法，是估算多自由系统振动基频
2、的一种近似方法。该方法的特点是：需要假定一个比较合理的主振型；基频的估算结果总是大于实际值。由于要假设主振型，因此，该方法的精度取决于所假设振型的精度。4.1.1 第一瑞利商设一个自由度振动系统，其质量矩阵为、刚度矩阵为。多自由度系统的动能和势能一般表达式为(4.1.1)当系统作某一阶主振动时，设其解为(4.1.2)将上式代入式（4.1.1），则系统在作主振动时其动能最大值和势能最大值分别为(4.1.3)根据机械能守恒定律，即可求得(4.1.4)其中，称为第一瑞利商。当假设的位移幅值列向量取为系统的各阶主振型时，第一瑞利商就给出各阶固有频率的平方值，即(4.1.5)在应用上式时，我们并不知道系
3、统的各阶主振型，只能以假设的振型代入式（4.1.4），从而求出的相应固有频率的估计值。从理论上讲，可用式（4.1.4）近似求解各阶固有频率，但由于对系统的高阶主振型很难作出合理的假设，所以，该式一般只用来估算系统的基频。4.1.2 第二瑞利商瑞利能量法也可以应用于由柔度矩阵建立的位移运动方程。这时自由振动方程(4.1.6)代入式（4.1.1），注意到、是对称矩阵，以及，则系统的势能为(4.1.7)由式（4.1.2）可得(4.1.8)将上式代入式（4.1.7），系统势能的最大值为(4.1.9)由可得(4.1.10)称为第二瑞利商。可以证明，若所选假设振型很接近于第一阶主振型，则由第一瑞利商和第二
4、瑞利商计算出的值确实接近于，而且比实际值稍大（所谓上限估计）。对于同一假设振型，第二瑞利商比第一瑞利商更接近真实值，但其精确程度主要取决于假设振型接近于第一阶主振型的程度。例4.1 在图4.1.1所示三自由度系统中，试用瑞利能量法估算系统的第一阶固有频率。已知，。图 4.1.1【解】 系统的质量矩阵为刚度矩阵为柔度矩阵为粗略地假设振型为，从而得 （1） （2） （3）式（1）、（2）代入式（4.1.4）得式（1）、（3）代入式（4.1.10）得系统的第一阶固有频率的精确值为，显然第二瑞利商的结果较接近精确值，但误差还较大，这是因为假设振型与第一阶精确振型相差较远的缘故。如果在图4.1.1的每一
5、个质量上顺坐标方向分别作用一单位力，则以该静变形曲线作为假设振型，即取则有由式（4.1.4）得由式（4.1.10）得可见，假设振型与第一阶主振型愈接近，则瑞利商结果愈接近于基频。例4.2 如图4.1.2所示，已知梁的弯曲刚度为，不计其质量，求系统的第一阶固有频率。图4.1.2【解】 系统的质量矩阵为柔度矩阵为粗略地选取假设振型为 ，则代入式（4.1.10）得系统第一阶固有频率的精确值为。其误差约为1%。在系统柔度矩阵已知的情形下，若假设振型用，则计算精度还可提高。4.2 邓克莱法邓克莱(Dunkerley)法又称迹法。前述的瑞利能量法给出了系统最低阶固有频率的上限估计值，而邓克莱法则给出了系统
6、最低阶固有频率的下限估计值。如前所述，自由度系统的位移方程：(4.2.1)设其解为 代入式（4.2.1），并以除全式得主振型方程(4.2.2)其特征方程为当系统的质量矩阵为对角矩阵时，可展开为由代数方程理论（多项式根与系数之间的关系）可知，上式中项的系数变号后等于的n个根之和，即 (4.2.3)对等式（4.2.3）作如下处理：等式左边，由于，即，故近似地只保留一项。等式右边，令(4.2.4)称为动力矩阵（dynamic matrix），则式（4.2.3）右边为动力矩阵的迹，记为。因为是第个质量处作用单位力时系统在该处的柔度系数。设想系统只有一个质量存在，则系统成为单自由度系统，这时系统的刚度，
7、固有频率为， 即，于是有(4.2.5)综上所述，式（4.2.3）可写为(4.2.6)即系统的最低阶固有频率平方值的倒数，近似等于各质量单独存在时固有频率平方值的倒数之和。由于式（4.2.3）的左边舍去了一些正数值，从而所得的值比真值小。式（4.2.6）称为邓克莱公式，计算出的结果为最低阶固有频率的下限估值。由于等式右边为动力矩阵的迹，故邓克莱法又称为迹法，它只适用于为对角矩阵的系统。邓克莱法在准确度上一般不如瑞利能量法，但由于它的计算较简单，且易考虑各质量或刚度的变化对最低阶固有频率的影响，故工程上仍经常应用它。例4.3 用邓克莱法计算例4.1中系统的基频。【解】 由例4.1可知，系统的质量矩
8、阵和柔度矩阵分别为， 动力矩阵为其迹为由式（4.2.5）得系统的基频为， 上述结果与精确值相比误差较大，大约为8.08。例4.4 已知一均质悬臂梁如图4.2.1所示，式中为抗弯刚度，为梁的总质量，为梁长，其第一阶固有频率的平方。若在梁的自由端放置一激振器质量为，设激振器质量与梁的质量之比，试用邓克莱法估算系统的基频值，并说明激振器质量对均质梁固有频率的影响。图 4.2.1【解】 已知悬臂梁的固有频率的平方为 （1）由材料力学可知，其端点的柔度系数为，激振器固有频率的平方为 （2）将式（1）、（2）代入式（4.2.6），得系统基频的平方为 （3）由上式可知，系统的固有频率与质量比值有关。将式（3
9、）式改写为 （4）对于不同的质量比，式（4）的值如表4-1所示：表4.2.1 不同质量比的值1/201/101/213.2012.9582.0101.554误差（%）8.915.842.855.8表4.2.1中的误差是与比较而言，可见，只有当激振器的质量为梁的质量的1/20以下时，激振器质量对梁的固有频率影响才可接受。4.3 李兹法前述两种方法只限于估算振动系统的基频，但工程实际中往往需要求出前几阶的固有频率及相应主振型，应用瑞利能量法的困难在于较高阶固有频率的假设振型难于选择。李兹法在瑞利法的基础上较好地克服了上述困难，可计算系统的前几阶固有频率及主振型。李兹（Ritz）法不需要直接给出假设
10、振型，而是将假设振型表示为有限（低维）个独立的假设模态的线性组合(4.3.1)其中 ， 为列阵，可预先选定，为待定常数。将式（4.3.1）代入式（4.1.4），第一瑞利商为(4.3.2)显然，由上式还求不出固有频率，但与有关。由于瑞利法是固有频率的上限估计，故的选择应当使上式给出的固有频率值最小，即上式对的偏导数应等于零。令 ，于是由可得 (4.3.3)而同理 于是，式（4.3.3）可写为这个方程可合并为一个矩阵方程(4.3.4)(4.3.5)上式中，和为阶对称阵，分别称为广义刚度矩阵（generalized stiffness matrix）和广义质量矩阵（generalized mass
11、matrix）。这样，式（4.3.4）可改写为(4.3.6)这样，问题又归结为特征值问题，所不同的是，现在为阶矩阵的特征值问题，而不是原系统阶矩阵的特征值问题。因而，李兹法是一种缩减自由度的近似解法。由上式求得的个特征值就是原系统前阶固有频率平方的近似值。将解得的个特征矢量进行归一化，代入式（4.3.1）可求得原系统前阶主振型的近似值，即(4.3.7)由式（4.3.6）可知，各对矩阵是正交的，即有所以上式说明用李兹法求得的阶近似主振型对质量矩阵也是正交的，同时它们对刚度矩阵也是正交的，因此，对它们可以用振型叠加法分析系统的各种响应。同理，如果将式（4.3.1）代入第二瑞利商式（4.1.10），
12、也可归结为减维特征值问题：(4.3.8)这里(4.3.9)应当指出，由李兹法求得的个值中，前个或个值比较接近于真值，而后面的值误差比较大。因此，若想求前个固有频率及主振型的近似解，缩减的自由度数目最好不小于个，这样就能得到较精确的解。例4.5 图4.3.1(a)所示为一等直杆，杆长为，截面面积为，密度为, 试用聚缩质量的方法将其离散为有限自由度系统，并用李兹法求杆纵向振动时第一阶固有频率和主振型的近似解。图4.3.1【解】 将直杆等分为五段，每段的质量等分为两半，各集中于每段的两端，然后将五段合并聚缩为5个质量，各聚缩质量之间由刚度为的5个弹簧相连接，如图4.3.1(b)所示。每段杆的拉压刚度
13、确定为。 这样，我们就得到五自由度的离散系统。系统的质量矩阵和刚度矩阵分别为， 系统的柔度矩阵为因为只要求第一阶固有频率和主振型，故缩减为两个自由度处理，选取两个假设模态，由式（4.3.5），有广义质量矩阵和广义刚度矩阵分别为，由式（4.3.6）得特征方程为解得 ， 故，对应的、为， 由式（4.3.7），求各阶主振型的近似值， 若用式（4.3.8）求解可由特征方程解得 ， 故，对应的、为， 近似主振型为， 本题精确解为， ， （归一化模态振型）对比之下，按式（4.3.6）或式（4.3.8）求解，第一阶固有频率和主振型都接近于真值，第二阶固有频率及主振型的误差较大。而用式（4.3.8）求基频及其
14、主振型则更接近于真值。4.4 矩阵迭代法矩阵迭代法也称振型迭代法，它采用逐步逼近的方法来确定系统的主振型和频率。4.4.1 求第一阶固有频率和主振型求系统的基频时，矩阵迭代法用的基本方程是位移方程，即或 (4.4.1)令 (4.4.2)矩阵称为系统的动力矩阵。如果将随意假定的振型向量代入上式，等式并不成立，但是通过不断的迭代却可以逐步逼近所要求解的固有频率和振型向量。迭代过程如下：（a）选取某个经过归一化的假设振型，用动力矩阵前乘以假设振型，然后归一化，可得，即（b）将得到的和相比较，如果，就再以为假设振型进行迭代，并且归一化得到，即（c）如果，则继续重复上述迭代过程，得直至时停止。此时，而相
15、应的特征矢量即为第一阶主振型，。可以证明，上述过程一定收敛于最低固有频率及第一阶主振型。由于振动系统的个主振型是线性无关的，因此，任意的假设振型可以表示为各阶主振型的线性组合，即(4.4.3)得：即(4.4.4)由于固有频率的排序，上式中的系数， 分别小于相应的系数，因此，比更接近。第二次迭代：即(4.4.5)重复上述过程，第次迭代后，得即（因为）(4.4.6)可见，经过一次迭代，第一阶主振型的成分得到比其他主振型更大的加强，反复的迭代下去，当迭代次数足够大时，与只相差系数，即为所求的第一阶振型向量，将其归一化后为，即为所求的第一阶主振型向量，即所以归一化因子即为(4.4.7)从以上的讨论可以
16、看出：尽管开始假设的振型不理想，它包含了各阶的主阵型，而且第一阶主振型在其中所占的分量不是很大。但在迭代过程中，高阶振型的分量逐渐衰减，低阶振型的分量逐渐增强，最终收敛于第一阶主振型。假设振型越接近，则迭代过程越快；假设振型与相差较大，则迭代过程收敛得慢，但最终仍然得到基频和第一阶主振型。 如果在整个迭代过程中，第一阶主振型的分量始终为零，则收敛于第二阶主振型；如果前阶主振型的分量为零，则收敛于第阶主振型。例4.6 求3自由度振动系统的第一阶固有频率和振型向量（精确值为，）,已知 【解】 任取初始振型向量，然后依顺序迭代计算,各次计算结果见表4.4.1。表4.4.1 振型向量迭代过程及结果迭代
17、向量1111.0001.6672.0001.0001.7862.2141.0001.8002.2431.0001.8022.2471.0001.8022.2471.0001.8022.2473.0004.6675.0005.0435.0485.049由此得到：，。4.4.2 求解高阶固有频率及主振型当需要用矩阵迭代法求第二阶、第三阶等高阶频率及振型时，其关键步骤是要在所设振型中消去较低阶主振型的成分。如由展开定理其中如果要在中消去成分，则只需取假设振型为(4.4.8)其中(4.4.9)称为清除矩阵。用进行迭代，则可求得第二阶固有频率和主振型。 如果在假设振型中消去前阶主振型成分，则需取新的假设
18、振型(4.4.10)其中 称为前阶清除矩阵。应用作为假设振型将得到第阶固有频率和主振型。 运算中不可避免地存在舍入误差，即在迭代过程中难免会引入一些低阶主振型分量，所以在每一次迭代前都必须重新进行清除运算。实际上，可以把迭代运算和清除低阶振型运算合并在一起，即将清除矩阵并入动力矩阵中去，并入原理如下：因为 ，所以 从中清除，即令(4.4.11)称之为已含清除矩阵的新动力矩阵，用进行迭代将得到第二阶主振型和固有频率。因此，包含前阶清除矩阵的动力矩阵为(4.4.12)例4.7用矩阵迭代法求图4.4.1所示三自由度扭转系统的第二阶固有频率及振型。已知：,，第一阶固有频率及主振型分别为：，。 图4.4
19、.1【解】 已知第一阶固有频率和主振型，于是，可计算出：由式（4.4.11）得到含清除矩阵的动力矩阵选取初始假设振型。现经过十二次迭代后，得到，4.5 子空间迭代法子空间迭代法是矩阵迭代法和李兹法相结合的一种近似计算方法，它将矩阵迭代法每次迭代一个假设的振型改为同时迭代前阶假设振型，这样对于一次性求解大型振动系统中的前阶固有频率和主振型就比较方便。对一个自由度系统，质量矩阵和刚度矩阵均为阶矩阵，设系统的前阶振型为所有阶振型张成的线性空间的一个子空间，取前阶假设振型进行迭代，即选取初始的迭代矩阵(4.5.1)由式（4.4.2），系统的动力矩阵,作矩阵迭代(4.5.2)再用李兹法计算，先计算自由度
20、缩减后的质量矩阵和刚度矩阵(4.5.3)计算自由度缩减后的特征值问题(4.5.4)求出个特征值 和特征向量，将特征值与特征向量表示为(4.5.5)第一次迭代完成后，如果各特征值满足精度要求，则取(4.5.6)如果各特征值不满足精度要求，则取(4.5.7)将上式作为初始迭代矩阵进行第二次迭代，即重复（4.5.2）到（4.5.5）的步骤，得到迭代后的个特征值和特征向量，重复进行迭代过程，直到满足精度要求为止。子空间迭代法具有明显优势，尤其当系统的特征值具有重根或者几个特征值比较接近时，矩阵迭代法计算特征值时收敛速度很慢，而子空间迭代法具有李兹法的优点可以解决这个问题。对于大型复杂结构，具有较多的自
21、由度，而实际研究只需要前十几阶或前几十阶固有频率和主振型就可以满足工程精度要求了，所以可以利用子空间迭代法求系统的固有频率和主振型。例4.8 利用子空间迭代法求图4.5.1所示振动系统的第一阶固有频率和主振型。图4.5.1多自由度振动系统【解】 系统的质量矩阵为 系统的刚度矩阵为任意取初始模态矩阵进行第一次迭代如下：(归一化)计算自由度缩减后的广义质量矩阵和刚度矩阵代入方程求特征值问题，得到解出对应的振型矩阵为进行第二次迭代(归一化)计算自由度缩减后的质量矩阵和刚度矩阵代入方程求特征值问题，得到解出 相应的振型为：由此得到第一阶固有频率为 主振型为 与精确值(),主振型非常接近。习题4-1 题
22、4-1图示弹簧质量系统作垂直振动。已知弹簧刚度，质量，求此系统的固有频率和主振型(画出主振型图)。4-2 如题4-2图示两个质量和，固结于拉紧的软绳上，绳的质量不计。巳知，当质量沿着垂直于绳的方向作微振动时，绳的拉力保持不变。试列出振动的微分方程，并求出系统的固有频率和主振型(画出主振型图)。 题4-1图 题4-2图 题4-3图4-3 一汽车重，拉着一个重的拖车。若挂钩的弹簧常数为。求此系统的固有频率和主振型(画出主振型图)。4-4 如题4-4图所示，不计质量的刚杆可绕水平轴转动，杆的右端附有质量，同时用弹簧悬挂另一质量，杆的中点支以弹簧，使杆成水平。已知，。试求系统的固有频率和主振型。 题4
23、-4图 题4-5图4-5 如题4-5图示两个相同的单摆用弹簧相连。当两摆在铅垂位置时，弹簧不受力。求此系统在铅直面内作微振动时的固有频率和主振型。4-6 在题4-1中，设运动的初始条件为：时，初位移，初始速度。求此系统的响应。4-7 试对题4-7图示三自由度系数，确定柔度系数，建立柔度矩阵，并按矩阵形式写出位移方程。题4-7图4-8 如图所示，3个互不相等的质量等距离地固结在张力大小均为的弦上。试求系统的固有频率。巳知，。 题4-8图 题4-9图4-9 计算图示系统的固有频率，当摆处于铅直位置时为静平衡状态。4-10 试用瑞利法求题4-8系统的基频，取假设振型。4-11 如图所示的简支梁的抗弯刚度为，本身质量不计，假设。试用瑞利法求系统的基频。题4-11图4-12 用里兹法求题4-11系统的第一、二阶固有频率。4-13 用邓克莱法求题4-11系统的基频。4-14 用矩阵迭代法求题4-11系统的固有频率和主振型。专心-专注-专业