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1、静矩与形心位置3.1惯性矩、极惯性矩和惯性积3.2平行移轴公式3.3第3章 平面图形的几何性质转轴公式 主惯性轴和主惯性矩3.43.1 静矩与形心位置3.1.1 静矩的概念ddyAzASz ASy An 同一平面图形对于不同的坐标轴，其静矩不同。n 静矩的值可能为正，可能为负，也可能为零。n 静矩的量纲为长度3，其常用的单位为mm3或cm3。定义乘积zdA和ydA分别为微面积dA对y轴和z轴的静矩(或面积矩)。微面积dA对y轴和z轴的静矩在整个平面图形的面积A上的积分，称为平面图形对y轴和z轴的静矩，分别记为Sy和Sz：3.1 静矩与形心位置3.1.2 静矩与形心坐标ddAzCyACy ASy
2、AAz ASzAAn 若平面图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心，即该轴必为一根形心轴；反之，若某一轴通过平面图形的形心，则平面图形对该轴的静矩为零。n 若平面图形有对称轴，由对称性可知，对称轴必过形心，因此，平面图形对其对称轴的静矩为零。形心坐标用静矩表示：静矩用形心坐标表示：zCyCSAySAz3.1 静矩与形心位置组合图形对某轴的静矩就等于各简单图形对该轴静矩的代数和：1111iiiinnzziCiinnyyiCiiSSA ySSAz组合图形的形心坐标公式：1111iiniCiCniiniCiCniiAzzAA yyA3.1 静矩与形心位置【例3.1】已知T形截面如图所示，y轴
3、为截面的纵向对称轴。试求截面形心轴zC一侧的面积对zC轴的静矩SzC及整个截面对z轴的静矩Sz。【解】： 将截面分割为、两个部分 各部分的面积和形心坐标分别为： 由形心坐标公式得：求形心坐标 由对称性得：0Cz 121200 40(mm )20mmCAy，222200 40(mm )140mmCAy，121212200 40 20200 40 14080(mm)200 40200 40iiCCCCiA yA yA yyAAA3.1 静矩与形心位置计算 亦可由此验证上面计算结果的正确性。CzS534020040 (40200)2402008040 (4020080)25.12 10 (mm )C
4、CzCySy计算zS 根据组合图形静矩的概念和计算公式可得：126312200 40 20200 40 1401.28 10 (mm )iziCCCSA yA yA y 也可直接对整个截面利用静矩和形心坐标关系，计算更简便：63(200 40200 40) 801.28 10 (mm )zCSAy3.2 惯性矩、极惯性矩和惯性积3.2.1 惯性矩惯性矩的概念22ddyAzAIzAIyAn 同一平面图形对于不同坐标轴的惯性矩一般是不同的。n 平面图形对任一轴的惯性矩恒为正值。n 惯性矩的量纲为长度4，其常用的单位为mm4或cm4。定义乘积z2dA和y2dA分别为微面积dA对y轴和z轴的惯性矩(或
5、二次轴矩)。微面积dA对y轴和z轴的惯性矩在整个平面图形的面积A上的积分，称为平面图形对y轴和z轴的惯性矩，分别记为Iy和Iz：3.2 惯性矩、极惯性矩和惯性积常见简单截面的惯性矩1) 矩形截面的惯性矩ddAb y 求Iz：33/222/2/2/2dd|312hhzhAhybhIyAy b yb 同理可得Iy：312yhbI 该矩形截面对与上下底边重合的z1、z2轴的惯性矩 和 ：1zI2zI1332200dd|33hhzAybhIyAy b yb1330220dd|33zhAhybhIyAy b yb 同理，亦可求得其对与左右侧边重合的坐标轴的惯性矩为 。 33hb3.2 惯性矩、极惯性矩和
6、惯性积2) 圆形截面的惯性矩22d2dARyy 求Iz：42222d2d64RzARdIyAyRyy 根据圆的对称性可得：464yzdII 由三角形的性质可知：3220dd12hzAhybhIyAybyh3) 三角形截面的惯性矩( )b yhybh dddhyAb yybyh3.2 惯性矩、极惯性矩和惯性积（3）惯性半径工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积，即：22yyzzIAiIAi 式中：iy、iz分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径。 常用单位：mm或cm。已知平面图形的面积A和惯性矩Iy、Iz，可得惯性半径：yyzzIiAIiA3.2 惯性矩、极惯性矩和惯性积3.
7、2.2 极惯性矩极惯性矩的概念定义2dA为微面积dA对坐标原点O的极惯性矩。微面积dA对坐标原点O的惯性矩在整个平面图形的面积A上的积分，称为平面图形对点O的极惯性矩，记为IP：2PdAIAn 同一平面图形对于不同坐标原点的极惯性矩一般是不同的。n 平面图形对任意坐标原点的极惯性矩恒为正值。n 极惯性矩的量纲为长度4，其常用的单位为mm4或cm4。222yz22222Pd(+)dddAAAAIAyzAyAzA平面图形对其所在平面内的任一点的极惯性矩等于该图形对过此点的一对正交坐标轴的惯性矩之和。PzyIII3.2 惯性矩、极惯性矩和惯性积圆截面图形的极惯性矩d2dA 4/222P0d2d32D
8、ADIA 也可根据式 ，结合圆形截面的惯性矩得：PzyIII44P4264436zyDIDDII对于如图所示空心圆截面，极惯性矩IP为：44/2224/4P2()d2d3)322(1DAd DdA DI式中：d为内径；D为外径； = d/D。3.2 惯性矩、极惯性矩和惯性积3.2.3 惯性积定义zydA为微面积dA对z、y轴的惯性积。微面积dA对z、y轴的惯性积在整个平面图形的面积A上的积分，称为平面图形对z、y轴惯性积，记为Izy：dzyAIzy An 同一平面图形对于不同坐标轴的惯性积一般也是不同的。n 惯性积的值可能为正，可能为负，也可能为零。n 惯性积的量纲为长度4，其常用的单位为mm
9、4 或cm4。z、y坐标轴中有一根为平面图形的对称轴时，该平面图形对这两根坐标轴的惯性积Izy为零。3.3 平行移轴公式3.3.1 惯性矩和惯性积的平行移轴公式同一平面图形对两个不同的坐标轴的惯性矩并不相同，如果其中一轴是图形的形心轴，并且两者平行：2222d() dd2ddzCAACCAAAIyAyaAyAayAaA其中2dCCzAyAIdAAAdCCzAyASzC轴为形心轴，根据静矩的性质有 ，于是得：0CzS2CzzIIa A同理：2CyyIIb ACCzyz yIIabA平面图形对平面内任一轴的惯性矩等于它对与该轴平行的形心轴的惯性矩加上平面图形的面积与两轴间距离平方的乘积；平面图形对
10、平面内任意一对正交坐标轴的惯性积等于它对与该正交坐标轴平行的一对形心轴的惯性积加上平面图形的面积与两对平行轴之间距离的乘积。平行移轴公式：3.3 平行移轴公式22CCCCzzyyzyz yIIa AIIb AIIabAn z轴与zC轴、y轴与yC轴必须平行，且zC轴、yC轴必须为形心轴，a、b分别为两对平行轴之间的距离；n 在一组互相平行的坐标轴中，平面图形对其形心轴的惯性矩最小；n 在惯性积的平行移轴公式中，a、b应为平面图形形心在Ozy坐标系中的坐标，是有正负的。根据平行移轴公式，已知平面图形对其形心轴的惯性矩，即可求得其对与形心轴平行的其他轴的惯性矩；亦可根据 进行相反的计算。2CzzI
11、Ia A3.3 平行移轴公式【例3.2】如图所示三角形截面的形心位于C点，已知该截面对与其底边重合的z轴的惯性矩Iz=bh3/12，z、zC、z1三根轴互相平行。试求该三角形截面对z1轴的惯性矩 。【解】：三角形截面的面积A=bh/2，z轴到形心轴zC轴的距离为h/3，z1轴到形心轴zC轴的距离为2h/3。根据惯性矩的平行移轴公式得：1zI23CzzhIIA1223CzzhIIA联立解得23233129236CzzhbhhbhbhIIA1232324336924CzzhbhhbhbhIIA3.3 平行移轴公式3.3.2 组合截面的惯性矩和惯性积组合截面对某一轴的惯性矩等于组成截面的各简单图形对
12、该轴的惯性矩之和，组合截面对某一对正交坐标轴的惯性积等于组成截面的各简单图形对该正交坐标轴的惯性积之和，即：111iiinzzinyyinzyzyiIIIIII组合截面对某一点的极惯性矩等于组成截面的各简单图形对该点的极惯性矩之和，即：PP1iniII3.3 平行移轴公式【例3.3】计算如图所示圆环形截面对于其形心轴z、y轴的惯性矩Iz、Iy，以及对形心O点的极惯性矩IP。由对称性可知【解】：zyII采用“负面积法”，有4444()646464zyDd DdIIdD设 ，则44(1)64zyDII444444P(1)(1)(1)646432zyDDDIII3.3 平行移轴公式【例3.4】求如图
13、所示T形截面对其形心轴 zC轴的惯性矩。【解】：由平行移轴公式得设、两矩形的形心坐标轴z、z与T形截面形心坐标轴zC的间距分别为a、a 。I30 1020(mm)a II503020(mm)a I32244,I,I60 202020 6052 10 (mm )12CzzIIa AII32244,II,II20 602020 6084 10 (mm )12CzzIIaA4444,I,II52 1084 10136 10 (mm )CCCzzzIII于是3.3 平行移轴公式【例3.6】求如图所示平面图形对其水平形心轴z轴的惯性矩Iz 。平面图形对z轴的惯性矩Iz，可看作大矩形对z轴的惯性矩Iz1减
14、去两个空心圆形对z轴的惯性矩Iz2：【解】：13374120 2008 10 (mm )1212zbhI 24422274802250802.915 10 (mm )64644zDIa A1277748 102.915 105.085 10 (mm )zzzIII 3.3 平行移轴公式表3.1 常见平面图形的形心位置、惯性矩及惯性半径3.3 平行移轴公式表3.1 常见平面图形的形心位置、惯性矩及惯性半径3.4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩3.4.1 惯性矩和惯性积的转轴公式以上三式即为惯性矩和惯性积的转轴公式，此三式给出了当坐标系在平面内绕原点转动时，平面图形的惯性矩和惯性积随转角变化的规律。
15、式中，以逆时针转向为正，反之为负。1cos2sin222zyzyzzyIIIIII1cos2sin222zyzyyzyIIIIII11sin2cos22zyz yzyIIII11PzyzyIIIII将前两式相加得l 平面图形对过平面内同一点的任意一对正交坐标轴的惯性矩之和为一常数，同时也等于平面图形对该点的极惯性矩。l 当平面图形对一对正交轴中某一轴的惯性矩为极大值时，对另一轴的惯性矩必为最小值。3.4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩3.4.2 主惯性轴和主惯性矩若平面图形对某两根正交坐标轴的惯性积等于零，则称这两根轴为主惯性轴，简称主轴。平面图形对于主惯性轴的惯性矩称为该平面图形的主惯性矩。如
16、果主惯性轴过图形的形心，则称此轴为形心主惯性轴，简称形心主轴。平面图形对于形心主轴的惯性矩称为该平面图形的形心主惯性矩。0022max22min2222zyzyzzyzyzyyzyIIIIIIIIIIIIII惯性矩在主轴处取得极值，则两个主惯性矩Iz、Iy，一个是极大值，另一个是极小值。3.4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩如果平面图形有一条对称轴，则平面图形对于该对称轴和与其垂 直的另一根轴的惯性积一定为零。也就是说，只要正交坐标系中 有一根轴为对称轴，无论另一根轴位置如何，这两根轴都是主惯 性轴。因为平面图形的形心一定在对称轴上，故对称轴一定是形心主轴， 与对称轴垂直的所有轴线全都是主惯性轴
17、，而只有过形心的那一 根是形心主轴。如果平面图形有两条对称轴，则两条对称轴都是形心主轴。如果平面图形有三条或三条以上的对称轴，则过图形形心的任何 轴都是形心主轴，且平面图形对任一形心主轴的惯性矩都相等。由惯性积的性质可知：3.4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩如果平面图形没有对称轴（如一般组合图形），可按以下步骤确定其形心主惯性轴和形心主惯性矩：选定参考坐标系，确定出平面图形形心C在参考坐标系中的 坐标；过图形形心C建立形心正交轴zC、yC。选择形心正交轴时， 应以图形对选定轴的惯性矩和惯性积的计算方便为原则；利用转轴公式求出形心主惯性轴，求出其方位角，确定其位 置；利用主惯性矩公式求出形心主惯
18、性矩。p 本章小结 截面（或平面图形）的几何性质是与横截面的形状和尺寸有关的几何量。杆件的强度、刚度和稳定性均与横截面的几何性质有关。 平面图形的静矩和惯性矩是关于坐标轴定义的，极惯性矩是关于一个点定义的，惯性积是关于一对正交坐标轴定义的。惯性矩、极惯性矩的值恒为正，静矩、惯性积的值可正、可负、也可能为零。 平面图形对其形心轴的静矩为零，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴。 惯性矩和惯性积的平行移轴公式为： 根据平行移轴公式，已知平面图形对其形心轴的惯性矩，即可求得其 对与形心轴平行的其他轴的惯性矩。在一组互相平行的坐标轴中，平 面图形对其形心轴的惯性矩最小。 惯性矩与惯性半径的关系
19、为：2CzzIIa A2CyyIIb ACCzyz yIIabA22yyzzIAiIAi，p 本章小结 平面图形对其所在平面内的任一点的极惯性矩等于该图形对过此点的一对正交坐标轴的惯性矩之和，即：IP = Iz + Iy。 组合图形的形心坐标 与静矩的关系为： 组合图形的形心坐标公式为： 组合图形的惯性矩、极惯性矩 和惯性积的计算公式为： z、y坐标轴中有一根为平面图形的对称轴时，则惯性积Izy = 0。 若Izy = 0，则z、y轴为平面图形的主惯性轴，Iz、Iy称为该平面图形的 主惯性矩。 若Izy = 0，且z、y轴过平面图形的形心，则称z、y轴为形心主惯性轴， Iz、Iy称为该平面图形的形心主惯性矩。11iinnzziCiiSSA y11iinnyyiCiiSSAz1111iinniCiCiiCCnniiiiAzA yzyAA，PP1111iiiinnnnzzyyzyzyiiiiIIIIIIII，