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1、应用技术型高等教育“十二五”规划教材经济数学微积分 微 积 分 第一章 函数与极限一、集合一、集合二、函数二、函数第一节第一节 函数函数一、集合的概念1.1.集合集合(set): :具有确定性质的对象的具有确定性质的对象的总体总体.组成集合的每一个对象称为该集合的组成集合的每一个对象称为该集合的元素元素.，Ma .Ma 例如：太阳系的九大行星；例如：太阳系的九大行星； 教室里的所有同学。教室里的所有同学。如果如果 a 是集合是集合 M 中的元素，则记作中的元素，则记作否则记作否则记作 ,21naaaA 由有限个元素组成的集合称为由有限个元素组成的集合称为有限集有限集由无限个元素组成的集合称为由
2、无限个元素组成的集合称为无限集无限集2分类：分类：列举法列举法描述法描述法所具有的特征所具有的特征xxM 的子集是就说则必若BABxAx, .BA 4. 集合之间的关系集合之间的关系相等与就称集合且若BAABBA,).(BA ,2, 1A例如：例如：,0232 xxxC.CA 则则).(例如：例如：2,10 x xxR规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集5. 数集分类数集分类:N 自然数集自然数集Z 整数集整数集Q 有理数集有理数集R 实数集实数集数集间的关系数集间的关系:*NNZQR*N正整数集正整数集 研究某一问题时所考虑
3、的对象的全体研究某一问题时所考虑的对象的全体称为全集，用称为全集，用 I 表示；把差集表示；把差集 I A 特别称为余特别称为余集或补集，记作集或补集，记作Ac .1. 并集并集:2. 交集交集:3. 差集差集:4. 余集余集:|BxAxxBA 或或|BxAxxBA 且且|BxAxxBA 但但二、集合的运算三、区间和邻域1.1.区间区间(interval): :是指介于某两个实数之间的是指介于某两个实数之间的.,baRba 且且bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记作记作bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记作记作oxaboxab全体实数全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区
4、间的端点.),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.bxax bxax 称为半闭半开区间称为半闭半开区间,称为半开半闭区间称为半开半闭区间,),ba记作记作,(ba记作记作2.2.邻域邻域(neighborhood): :且是两个实数与设, a).,(0 aU记记作作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径 . ),( axaxaU记记作作xa a a . 0),(0 axxaU,. 0邻域的称为点数集 aaxx
5、点点 的去心的去心 邻域邻域a xa a a 把开区间把开区间),( aa称为称为a 的左的左邻域，邻域，把开区间把开区间),(aa 称为称为a 的右的右邻域，邻域，因变量因变量自变量自变量.),()(ffDxxfyyDfRRDfRD :，则则称称映映射射设设数数集集记为记为上的函数上的函数为定义在为定义在,D)(xfy D 称为称为定义域定义域，记作记作Df ，即，即 Df = D .函数值的全体构成的数集称为函数值的全体构成的数集称为值域值域，记为：记为：定义定义. 1四、函数的概念()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f2.2.函数的两要素函数的两要素: :定义域
6、定义域与与对应法则对应法则.xyDW约定约定: 定义域定义域是使表达式有意义的自变量能取是使表达式有意义的自变量能取的一切实数值的一切实数值.21xy 例如，例如，1 , 1 : D211xy 例例如如，)1 , 1( : D定义定义: :.)(),(),(的图形的图形函数函数称为称为点集点集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxyWD 如果自变量在定义如果自变量在定义域内任取一个数值时，域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做一个，这种函数叫做单单值函数值函数，否则叫做，否则叫做多值多值函数函数222ayx 例如，例如，是是多值函数多值函数 (1)
7、符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当3.几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyoxxx sgn(2) 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线xxxx 1显然显然: 0, 10, 12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.例例综上，有综上，有:5352 . 0)5800(2 . 0300
8、015. 015001 . 050005. 05800 xxyx时，时，当当 58005352 . 05800280024515. 0280013001051 . 013008004005. 08000 xxxxxxxxxy，M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 x,)(, 0,成成立立有有若若MxfXxMDX 1函数的有界性函数的有界性(bounded).)(否否则则称称为为无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数Xxf五、函数的几种特性2函数的奇偶性函数的奇偶性(parity)偶函数偶函数有对于轴对称关于设,DxyD则则,)()(xfxf yx)( xf )(xfy
9、ox-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称称xf有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD 则则),()(xfxf .)(为奇函数为奇函数称称xf奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy 3函数的单调性函数的单调性(monotonicity),)(DIDxf 区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI ;I上上是是单单调调增增加加的的),()()1(21xfxf 恒有恒有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI()fx则则称称函函数数在在区区间间)(xfy )(1xf)(2xfxyoI.)(上上是是单单
10、调调减减少少的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf,)(DIDxf 区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI ),()()2(21xfxf 恒有恒有4函数的周期性函数的周期性(periodicity)2l 2l23l 23l（通常说周期函数的周期是指（通常说周期函数的周期是指最小正周期最小正周期）.,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的)()(xflxf 且且为周为周则称则称)(xf.)( ,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数
11、xfl.恒成立恒成立六、反函数( (inverse functioninverse function) )0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函数函数oxyDW)(yx 反函数反函数o射射是是单单射射，则则它它存存在在逆逆映映设设函函数数)(:DfDf,)(:1DDff 的的为为函函数数称称此此映映射射ff1 反函数反函数. .)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(1xfy 反函数反函数xy 定理（反函数存在定理）定理（反函数存在定理）：单调函数单调函数 f 必存在单调必存在单调的反函数的反函数 ，且此反函数与，且此反函数与 f 具有相同的单调性具有相同的单调性.例
12、例1xy2) 1(1yxxy解解),1 11，即原函数的值域为xy),1 ) 1(12fDxy反函数为反函数的相关视频8反函数18反函数28反函数38反函数4七、复合函数(compound function)(compound function),uy 设设,12xu 21xy 定义定义:,自变量自变量x,中中间间变变量量u因变量y的的和和为为上的函数上的函数定义在定义在，则称，则称，和和设有函数设有函数gfgfDxgDxxRDgffggf)(,| 复合函数复合函数，其中其中)()(xgfxgf 例例,ln)(,2)(2uufyxxgu ,), 2fgDR 则则因此能够形成复合函数因此能够形成
13、复合函数)2ln()(2xxgf 注意注意: :1. 不是任何两个函数都可以复合成一个不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的复合函数的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2. 复合函数可以由两个以上的函数经过复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成复合构成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 幂函数幂函数)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 八、八、 初等函数初等函数xay xay)1( )1( a)1 , 0()10( aaayx且且指数(exponential function)(exponent
14、ial function)和对数函数指数函数指数函数 对数函数对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 正弦函数正弦函数xysin xysin 三角函数三角函数xycos xycos 余弦函数余弦函数正切函数正切函数xytan xytan xycot 余切函数余切函数xycot 反三角函数反三角函数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函数数xyarctan xyarctan 反正切函数反正切函数xycot 反余切函数反余切函数arcxycot arc 幂函数幂函数
15、,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数. 由常数和基本由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为数，称为初等函数初等函数.九、九、 常见的经济函数常见的经济函数一、需求函数一、需求函数 如果价格是决定需求量的最主要因素，如果价格是决定需求量的最主要因素，可以认为可以认为 Q 是是 P的函数。记作的函数。记作)(PfQ 则则 f 称为称为需求函数需求函数.需需求求的的含含义义：消消费费
16、者者在在某某一一特特定定的的时时期期内内，在在一一定定的的价价格格条条件件下下对对某某种种商商品品具具有有购购买买力力的的需需要要 二、供给函数二、供给函数 如果价格是决定供给量的最主要因素，如果价格是决定供给量的最主要因素，可以认为可以认为 Q 是是 P 的函数。记作的函数。记作)(PGQ 则则 G称为称为供给函数供给函数.供给的含义：供给的含义：在某一时间内，在一定的价格条件在某一时间内，在一定的价格条件下，生产者愿意并且能够售出的商品下，生产者愿意并且能够售出的商品 一般地，供给函数可以用以下简单一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替：函数近似代替：线性函数：线性函数：0,babaP
17、Q其中幂函数：幂函数：指数函数：指数函数：0,0,kAkPQA其中0,0,bAaeQbP其中 在同一个坐标系中作出需求曲线在同一个坐标系中作出需求曲线 D和供给曲线和供给曲线 S ，两条曲线的交点称为供需平衡点，该点的横坐标称为两条曲线的交点称为供需平衡点，该点的横坐标称为供需平衡价格供需平衡价格 .E0P0Q供需平衡点供需平衡点供需平供需平衡价格衡价格三、市场均衡三、市场均衡四、成本函数四、成本函数 成本是生产一定数量产品所需要的成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素投入的价格或费用总额，各种生产要素投入的价格或费用总额，它由固定成本与可变成本两部分组成它由固定成本与可变成本两部分组成.
18、可可变变固固总总CCC 支付固定生产支付固定生产要素的费用要素的费用支付可变生产支付可变生产要素的费用要素的费用产产量量可可变变成成本本固固定定成成本本产产量量总总成成本本平平均均成成本本 QQCQCQQCACC)()(21 即即五、收益函数五、收益函数 总收益是生产者出售一定数量产品所得到总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入的全部收入. 用用 Q 表示出售的产品数量，表示出售的产品数量，R 表表示总收益示总收益, 表示平均收益，则表示平均收益，则RQQRRQRR)(,)( 如果产品价格如果产品价格 P 保持不变，则保持不变，则PRPQQR ,)(成本、收益、利润函数公开课 视频成本
19、、收益、利润函数1 视频视频成本、收益、利润函数成本、收益、利润函数2 视频成本、收益、利润函数3 第一章第一章第二节第二节 数列的极限数列的极限一、数列极限的定义一、数列极限的定义二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质 “一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭” 庄周庄周1.1.引例：截丈问题引例：截丈问题 11,2x 2x nx 12nnx 0第一天截剩下的部分 第二天截剩下的部分 第 n 天截剩下的部分 3x 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 21,2121231,21,2n称为无穷数列，简称数列数列。 其中的每个数称为数列的项， 按自然数 1,2,12,nu uu称
20、为通项(一般项)。 .nunu如 12n12n2111,2 22n一般项这个引例反映了数列的某种特性： 对数列 无限的接近这个常数 a ， a 称为其极限， 如果存在某个常数 a ，当 n 无限增大时，nu2.2.数列的定义数列的定义 编号依次排列的一列数 ,nu数列记为 否则称为发散数列。 则称这个数列为收敛数列， 如 1 2 3,2 3 41nn 1n 1n1 111,2 3n1nn1nn 1,2,3, ,n n n11,1,1,1,n11n11n一般项 一般项 一般项 一般项 收敛到 0收敛到1发散 发散 收敛数列的特性特性： 无限地接近无限地接近某个常数 a nu随 n 的无限增大，
21、3.3.数列的变化趋势数列的变化趋势极限极限 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 播放播放播放播放观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 观察数列 时的变化趋势 当 111
22、nnn 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 1nu1111nnn通过对演示的观察，得 当 n 无限增大时， 11 nnun无限接近于1。 两个数 a 和 b 之间的接近程度可以用两数之差的绝对值 ba来度量 1,100给定 11,100n由 100,n 只要 11,100nu有 1,1000给定 11,1000n由 1000,n 只要 11,1000nu有 1,10000给定 11,10000n由 10000,n 只要 11,10000nu有 0,给定 n 只要 1,nu有 定义：定义：设 nu为一数列，如果存在常数 a ，对于任意 nua记 l
23、imnnua nua n或 或者称数列 nu收敛于a . nu给定的正数 (不论它多么小)，总存在正整数 N ，使得当 时， nN则称 a 是数列 的极限， , N 1limnnua0,使 时， nNnua证明 1nu( 1)1nnn 1n0,欲使 即使 1,n只要 1n因此，取 1,N 则 nN时, 有 故 1limlim1 nnnnnun( 1), nnnun证明数列 nu的极限为1. 例例1 1 已知 思考：思考：取 11N 可不可以？ 0,N成立 1nu成立， 即可。 ( 1)1nnn 成立。 注意注意 （1）的作用在于衡量 与 a 的接近程度，只要求 nu0（2）一经给出，暂看作是固
24、定的，由其决定 N （3）22 ,3 , 也可用 代替， N 时,有10nq故1lim0.nnq亦即ln1.lnnq 1nq例例2 2 设 的极限为 0. 1 lnln ,nq即 ln1lnNq因此，取 1.1.收敛数列极限的唯一性收敛数列极限的唯一性定理定理1 1 收敛数列的极限唯一。二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质 2.2.收敛数列的有界性收敛数列的有界性有界性有界性 0,M否则无界。 2n有界，无界定理定理2 2 收敛数列一定有界。 使对一切,nu有界 成立，则nuM nu如221nn注意注意 收敛必有界，发散不一定无界无界必发散，有界不一定收敛，1( 1 )n虽有界但不收敛数列0n
25、u( 0),( 0).3.3.收敛数列的保号性收敛数列的保号性lim,nnua如果 0a 且0,N则nN当 时，定理定理3 3 0 ,0 .lim,nnua且则0a 推论：推论：如果从某项起 0nu且极限是a。 定理定理4 4 如果数列收敛于 a ，则其任一子数列也收敛， nu注意注意 如果数列 有两个子数列收敛于不同极限， nu发散。 nu则 证明数列 发散的方法： nua. 定义 c. 找到 nu的一个发散子列 d. 找到 nu的两个有不同 11n4.4.收敛数列与其子列的关系收敛数列与其子列的关系 子列：子列：在数列中任意抽取无限多项并保持其在原数列中的 如 1 ,1都是其子列 先后次序
26、，这样得到的数列称为原数列的子数列(或子列)。 b. 无界必发散 极限的子列 1. 数列极限的两种定义及应用2. 收敛数列的性质:唯一性 ; 有界性 ; 保号性;任一子数列收敛于同一极限小结小结 练习：P24 1; 3.3。证明 |nnuaua时, 就有limnnua0,0 ,N存在则当nNlimnnua即反例：1( 1) nnulim1nnu原数列发散 第一章第一章第三节第三节 函数的极限函数的极限一、函数极限的定义一、函数极限的定义二、函数极限的性质二、函数极限的性质 问题的引入问题的引入 对应函数值 无限接近于确定的数 a . f n即当 时， n 而 ,nuf nnN数列极限 lim,
27、nnua如果自变量可以取全体实数 函数 当自变量在某一变化趋势下的极限 f x一、函数极限的定义一、函数极限的定义 arctanyxOxy1321yxOxy1lim 21xxlim arctanxx01limxxx1limxxx31 2分两种情况讨论： 0 xxx 1xyxOxy1y1.1.自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限 如果 函数 则称 limxf xA记作 ( )f xx 时的极限, f x A 为函数当x 定义1 设函数 无限增大时, 当 f xx f xA或 无限接近确定的常数A ， 1limxx如 2 lim arctanxx2lim arctanxx0直线
28、 y0 是 1yx的水平渐近线。 则 yC 是 yf x的水平渐近线。 一般的，如果 lim,xf xC2.2.自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限 ,f xA ,f xA(1)(1)如果 时， 0 xx就说 A 是 当 时的极限。 f x0 xx包含两层意思两层意思： 用 表示 f xA是指 可以任意小， f xA这是在 的过程中实现的， 0 xx所对应的函数值满足 ,f xA即与 充分接近的 x 0 x而这些 x 必在 0 x的某邻域内，用 表示， 00 xx与在 处 0 x f x是否有定义或有定义而 是多少没有关系。 0f x即当时，00 xx成立， f xA就说
29、A 是 当 时的极限 f x0 xx定义定义2 2 0,则称常数 A 为函数 f x当0 xx时的极限,0lim( )xxf xA或 f xA0,0,记作即0lim( )xxf xA0 xx f x在点0 x0,设的某去心邻域内有定义， 00 xx时, 有( )f xA当00 xx时, 有( )f xA当如果x0 xy yf x0 x0 xAAA在0 x处是否有定义或有定义时 f x是多少 0f x当 0 xx时的变化趋势, f x注意注意 几何解释：不影响 例例1 1 证明 00lim22.xxxx0,20,解：当 时， 00 xx022xx成立， 所以 00lim22.xxxx要使 022
30、,xx需要 ,20,(2)(2)单侧极限单侧极限 有些函数在定义域内某些点两侧表达式不同，如 1,0sgn0,01,0 xyxxxyxO而有些函数仅在定义域内某点一侧有定义 这时只能单侧的讨论极限，如上例。 1 1 的左侧无限接近于 则称( )f x A 为函数如果 当 0从xx无限接近确定的常数A ， 左极限：左极限： 0时x时的左极限 f x当0 xx0f x0lim( )xxf xA0f x0lim( )xxf xA右极限：右极限： 00f xf x注意注意 0limxxf x存在 定义 常用于判定分段点 处的极限 0limxf x 100010 xxf xxxx例例4 4 求 0lim
31、.xf x求 解： 左右极限不相等，极限不存在10lim1xx 0limxf x1 0lim(1)xx1.1.唯一性唯一性 f xM2.2.局部有界性局部有界性 0,0,M则 使 00 xx 0f x 3.3.局部保号性局部保号性 0limxxf xA如果 使 00 xx0 ,A或 0,则 0f x 或 且 0A如果 0lim,xxf xA如果 存在，则唯一。 0limxxf x推论推论 0f x 0 x 若在 或 0f x 0limxxf xA且 或0A0A则 二、函数极限的性质二、函数极限的性质 时， 时， 内， 1.唯一性 2.局部有界性3.局部保号性小结小结 1.自变量趋于有限值时函数
32、的极限 2.自变量趋于无穷大时函数的极限 一、函数极限的定义 二、函数极限的性质 极限的相关公开课8 1.极限的概念8 2.极限例题8 3.极限例题 第一章第一章第四节第四节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大一、无穷小一、无穷小二、无穷大二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系当 定义定义1 若0 xx时, 函数 0 ,f x 则称函数 f x0 xx例如：1lim10,xx函数 1x当 1x时为无穷小; sinlim0,xxx函数 sinxx x时为无穷小;1lim0,1nn数列 11n当 n()x 或为 时的无穷小无穷小.时为无穷小. 一、无穷小一、无穷小 ()x 或说明说明
33、: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 0lim0 xxf x0, 0,当00 xx时, 0f x显然 C 只能是 0 !CC其中 为0 xx时的无穷小量. 0limxxf xA f xA,定理定理 1 ( 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系 ) f xM定义定义2 若任给任给 M 0 , 000 xx一切满足不等式的 x , 总有则称函数)(xf当0 xx 时为无穷大, 使对 0limxxf x 若在定义中将 式改为 f xM则记作 0lim xxxf x 0( lim) xxxf xxXx lim.xf x (正数正数 X ) , 记作 , f xM总存在 二、无穷
34、大二、无穷大 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 例如例如, 函数 cos , f xxx x2 fn()n 当2 n但 02fn,时所以x f x不是无穷大! 但反之不真 ! 注意注意: 11lim1xx11yx若 0lim, xxf x则直线0 xx为曲线 yf x的铅直渐近线 .铅直渐近线说明说明: xyO1 若 f x为无穷大, 1f x为无穷小 ;若 f x为无穷小, 且 0,f x则 1f x为无穷大. 则据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理2 在自变量的同一变化过程中,说明说明: 三、无穷小与无穷
35、大的关系三、无穷小与无穷大的关系 性质性质1 有限个无穷小的和仍是无穷小. 四、无穷小、无穷大的运算法则四、无穷小、无穷大的运算法则 性质性质2 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小. 推论推论 1 常数与无穷小的乘积仍是无穷小.性质性质3 有限个无穷小的乘积仍是无穷小. 有限个无穷大的和仍是无穷大. 无限个无穷小的和仍是无穷小. 如如22212limnnnnn12如如limnnn0有界函数与无穷大的乘积仍是无穷大. 如如21limnnn0常数与无穷大的乘积仍是无穷大. 非零有限个无穷大的乘积仍是无穷大. 例例 求求.sinlimxxx解： sin1x 01limxx利用定理 2 可知.0sinl
36、imxxx说明说明 : y = 0 是 xxysin的渐近线 . Oxyxxysin1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th13. 无穷小与无穷大的关系 Th2小结小结 第一章第一章第五节第五节 极限运算法则极限运算法则 一、函数极限的运算法则一、函数极限的运算法则二、数列的极限运算法则二、数列的极限运算法则 lim,lim,f xAg xB则有 limf xg x limlimf xg xAB定理定理 1 若 一、函数极限的运算法则一、函数极限的运算法则 limf xg x limlimf xg xA B（3）若 B0, 则 limf xg x limlimf xg x
37、AB（1）（2）1例例22201lim21xxxx2例例322lim 2sincosxxx lim,limf xg x注意： 都存在时才可以用此法则， ,型需变换 如 1lim1xxx111lim11xxx说明说明: 定理 3 中的（1）（2）可推广到有限个函数的情形.推论推论 1 limlimC f xCf x( C 为常数 )推论推论 2 limlimnnf xf x( n 为正整数 )设 01,nnf xaa xa x则 00im.lxxf xf x ,P xR xQ x其中 ,P x Q x都是 多项式 , 00,Q x则 00lim.xxR xR x说明说明: 若00,Q x不能直接
38、用商的运算法则 . 若 设有分式函数 （1）有理函数的极限）有理函数的极限 x = 0 时分母不为0 !例例4 35079lim3xxxxx350709003 3 x = 3 时分母为 0 !31lim3xx例例5 93lim23xxx)3)(3()3(lim3xxxx61（2）分解因式约分法）分解因式约分法 x = 1时为 !例例6212lim11xxxx21(1)2lim1xx xx1(2)(1)lim(1)(1)xxxxx12lim1xxx32例例7 7 求求3232342lim753xxxxx解: x 时,分母 , 分子 ,（3）生成无穷小量法）生成无穷小量法22423lim537xx
39、xxx3232342lim753xxxxx3.7分子分母同除以3,x一般有如下结果：一般有如下结果： 为非负常数 )nmba,0(00mn 当mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当例例11 11 求求.24lim0 xxx解: 42424242xxxxxx142x 原式（4）根式有理化法）根式有理化法12例例11 11 求求解: （5）利用无穷小与有界函乘积仍为无穷小求极限）利用无穷小与有界函乘积仍为无穷小求极限0sinlimxxx1lim0 xxsin1xsinlimxxx设 0lim,xxxa且 x 满足010 xx时, ,xa又 lim,uaf uA
40、则有 0limxxfx limuaf uA定理定理3 （复合函数的极限运算法则）（复合函数的极限运算法则） 说明说明: 若定理中若定理中 0lim, xxx则类似可得 0limxxfx limuf uA例例14 14 求求解解: 令.39lim23xxx392xxuux3lim63lim3xx 原式 =uu6lim6内容小结内容小结1. 极限运算法则(1) 无穷小运算法则(2) 函数极限的运算法则(3) 数列的极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法0) 1xx 时, 用代入法( 要求分母不为 0 )0)2xx 时, 对00型 , 约去公因子x)3时 , 分子分母
41、同除最高次幂“ 抓大头”(2) 复合函数极限求法设中间变量思考及练习思考及练习1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 为什么 ?答答: 不存在 . 否则由)()()()(xfxgxfxg利用极限四则运算法则可知)(limxg存在 , 与已知条件矛盾.问2. 2. 求求2lim1.xxxx 3. 3. 试确定常数试确定常数 a a 使使33lim10.xxax2. 2. 求求2lim1.xxxx 解法解法 1 原式 =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令,1xt 20111lim1tttt21则原式 =22011limttt111lim20tt 0t3. 3. 试确定常数试确定常数 a a 使使33lim10.xxax解解 : 令,1xt 则33010lim1tatt01atatt3301lim330lim10tta 故1a因此