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1、2022高中数学易错知识点汇总 中学数学易错学问点汇总中学数学易错学问点汇总为了帮助同学们复习，削减不必要的丢分，苏州中学网特意总结了这一中学数学易错学问点。总结了中学数学常见的错误，供同学们参考。1在应用条件ABB，ABA时，易忽视A是空集的状况。2求解与函数有关的问题易忽视定义域优先的原则，尤其是在与实际生活相联系的应用题中，推断两个函数是否是同一函数也要推断函数的定义域，求三角函数的周期时也应考虑定义域。3推断函数奇偶性时，易忽视检验函数定义域是否关于原点对称,优先考虑定义域对称。4解对数不等式时，易忽视真数大于0、底数大于0且不等于1这一条件。5用判别式法求最值（或值域）时，须要就二次
2、项系数是否为零进行探讨，易忽视其运用的条件，应验证最值。6用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽视探讨二次项的系数是否为0。尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽视。7用均值定理求最值（或值域）时，易忽视验证“一正（几个数或代数式均是正数）二定（几个数或代数式的和或者积是定值）三等（几个数或代数式相等）”这一条件。8用换元法解题时，易忽视换元前后的等价性。9求反函数时，易忽视求反函数的定义域。10求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示,而应用逗号连接多个区间。11用等比数列求和公式求和时，易忽视公比1的状况。12已知Sn求an时,易忽
3、视n1的状况。13用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时,易忽视斜率不存在的状况；题目告知截距相等时，易忽视截距为0的状况。14.求含系数的直线方程平行或者垂直的条件时，易忽视直线与x轴或者y轴平行的状况。15用到角公式时，易将直线L1、L2的斜率1、2的依次弄颠倒；运用到角公式或者夹角公式时，分母为零不代表无解，而是两直线垂直。16在做应用题时,运算后的单位要弄准，不要忘了“答”及变量的取值范围；在填写填空题中的应用题的答案时,不要忘了单位。应用题往往对答案的数值有特别要求，如很多时候答案必需是正整数。17在分类探讨时,分类要做到“不重不漏、层次分明,进行总结”。18在解答题中，假如要应用教材
4、中没有的重要结论，那么在解题过程中要给出简洁的证明，如运用函数y=x+1的单调性求某一区间的最值时，应先x证明函数y=x+1的单调性。x19在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果肯定要用集合或区间表示；不能用不等式表示。20两个不等式相乘时,必需留意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；同时要留意“同号可倒”即AB0，0线与另一个平面内的两条相交直线分别平行而导致证明过程跨步太大，正确的判定方法是：假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。31函数的图象的平移、方程的平移以及点的平移公式易混：（1）函数的图象的平移为“左+右-,上+下-”；如函数y2x+4的图象左移2
5、个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为y=2（x2）+43。即y=2x+5。（2）方程表示的图形的平移为“左+右-,上-下+”；如直线2xy+4=0左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为2(x2)-(y3)+4=0。即y=2x+5。（3）点的平移公式：点P(x,y)按向量=(h，k)平移到点P(x，y)，则xx+h，yy+k。32椭圆、双曲线A、B、之间的关系易记混。对于椭圆应是A2B22，对于双曲线应是A2B22。33“属于关系”与“包含关系”的符号易用混，元素与集合的关系用aA，集合与集合的关系用AB。34“点A在直线A上”与“直线A在平面上”的符号易用混，如：AA，A.35椭圆
6、和双曲线的焦点在轴上与焦点在轴上的焦半径公式易记混；椭圆和双曲线的焦半径公式易记混。它们都可以用其其次定义推导，建议不要死记硬背，用的时候再依据定义推导。36两个向量平行与与两条直线平行易混,两个向量平行(也称向量共线)包含两个向量重合,两条直线平行不包含两条直线重合。37各种角的范围：两条异面直线所成的角0两个向量的夹角0180锐角0扩展阅读：中学数学学问点汇总(易错、易混、易忘)育英辅导班内部资料中学数学易错易混易忘题分类汇编“会而不对，对而不全”始终以来成为制约学生数学成果提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对确定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三
7、教学阅历细心选择学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中的确存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者细心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中披荆斩棘，实现自已的志向报负。忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。例1、设Ax|x28x150，Bx|ax10，若ABB，求实数a组成的集合的子集有多少个？此题由条件ABB易知BA，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽视这种特别状况而造成求解满意条件的a值产生漏解现象。解析：集合A化简
8、得A3,5，由ABB知BA故（）当B时，即方程ax10无11或。35解，此时a=0符合已知条件（）当B时，即方程ax10的解为3或5，代入得a综上满意条件的a组成的集合为0,11,，故其子集共有238个。35时，要树立起分类探讨的数学思想，（1）在应用条件ABAB将集合是空集的状况优先进行探讨（2）在解答集合问题时，要留意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特殊是互异性对集合元素的限制。有时须要进行检验求解的结果是满意集合中元素的这特性质，此外，解题过程中要留意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：Ax,y|x2y24，2Bx,y|x3y42r2，其中r0,若AB求r的取值范围。将集合所
9、表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B表示以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r的取值范围。思维立刻就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要留意集合语言的应用。已知集合Ax|x24x0、Bx|x22a1xa210，若BA，1或a1。则实数a的取值范围是。答案：a求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。例2、已知x22y21,求x2y2的取值范围4此题学生很简单只是利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求解，但极易忽视x、y满意x22y21这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩
10、大。4-1-育英辅导班内部资料解析：由于x22y2y221得(x+2)=1-44221，-3x-1从而x+y=-3x-16x-12=222+283因此当x=-1时x+y有最小值1,当x=-82822时，x+y有最大值33。故x+y的取值范围是1,22283事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件x22y21对4x、y的限制，明显方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3x-1，2转化为三角最值求解。y2。此外本题还可通过三角换元（05（）x2y221b0上改变，则x22y的最大值为高考重庆卷）若动点（x,y）在曲线4bb2b2b240b440b24（D）2b（A）4（B）4（C）42bb4
11、2bb2答案：A求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。例3、a2x11fx是R上的奇函数，（1）求a的值（2）求的反函数fxx12求解已知函数的反函数时，易忽视求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。解析：（1）利用fxfx0（或f00）求得a=1.2x11yxxfxx，设yfx,则21y1y由于y1故2，211y1x22x111x1,1所以fxlog21x1x1fxx2121（2）由a1即1y1yxlog2，而（1）在求解函数的反函数时，肯定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为R可省略）。（2）应用f1(b)af(a)b可省略求反
12、函数的步骤，干脆利用原函数求解但应留意其自变量和函数值要互换。（201*全国理）函数A、C、fxx11x1的反函数是（）yx22x2x1B、yx22x2x1yx22xx1D、yx22xx1-2-育英辅导班内部资料答案：B求反函数与反函数值错位例4、已知函数称，则A、gfx12x1，函数ygx的图像与yfx1的图象关于直线yx对1xygx的解析式为（）x32x2x1x3B、gxC、gxD、gxx1x2x2x解答本题时易由ygx与yf1x1互为反函数，而认为yf1x1的=反函数是yfx1fx则ygxfx112x11x132x而错选A。x解析：由1x12x12x1x11得fx从而yfx1再求1x2x
13、211x2x。正确答案：B1xyf1x1的反函数得gx函数yf1x1与函数yfx1并不互为反函数，他只是表示f1xyfx1则f1yx1，中x用x-1替代后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来看：设1y互换即得yfx1的反函数为yfx1，故yfxxf1y1再将x、1的反函数不是yf1x1，因此在今后求解此题问题时肯定要谨慎。-1-1（201*高考福建卷）已知函数y=log2x的反函数是y=f(x)，则函数y=f(1-x)的图象是（）答案：B推断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。例5、推断函数f(x)lg1x2x22的奇偶性。-3-育英辅导班内部资料此题常犯的错误是不
14、考虑定义域，而按如下步骤求解：f(x)lg1x2x22fx从而得出函数fx为非奇非偶函数的错误结论。21x0解析：由函数的解析式知x满意即函数的定义域为1,00,1定义域关于原点对称，x22在定义域下fxlg1x2x易证fxfx即函数为奇函数。（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在推断函数的奇偶性时肯定要先探讨函数的定义域。（2）函数fx具有奇偶性，则fxfx或fxfx是对定义域内x的恒等式。常常利用这一点求解函数中字母参数的值。推断下列函数的奇偶性：fx4x2x24fxx11sinxcosx1xfx1sinxcosx1x答案：既是奇函数又是偶函数非奇非偶函数
15、非奇非偶函数易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。例6、函数fxlog22x22x11111证明fx是奇函数且在x或x的反函数为fx，22其定义域上是增函数。可求只需探讨原函数f1x的表达式，再证明。若留意到f1x与fx具有相同的单调性和奇偶性，fx的单调性和奇偶性即可。2x12x1解析：fxlog2log22x12x1log22x12x1fx，故fx为奇函数从而f1x为奇函数。又令t2x1211t1在,和,上均为增函数且ylog2为增函数，2x12x122故11fx在,和,上分别为增函数。故f1x分别在0,和,0上分别为22增函数。对于反函数学问有如下重要结论：（1
16、）定义域上的单调函数必有反函数。（2）奇函数的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。（3）定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。（4）周期函数不存在反函数（5）原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即f1(b)af(a)b。-4-育英辅导班内部资料（1）（99全国高考题）已知exexf(x)2，则如下结论正确的是（）A、C、fx是奇函数且为增函数B、fx是奇函数且为减函数fx是偶函数且为增函数D、fx是偶函数且为减函数1则使fx1成立的x的f1x是函数fx1axaxa1的反函数，答案：A（2）（201*天津卷）设2a21a21a21,)B、(,)C、(,a)D、(a,)取
17、值范围为（）A、(2a2a2a2a11a1答案：A（时，fx单调增函数，所以fx1ffxf1xf11.）2a证明或推断函数的单调性要从定义动身，留意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。例7、试推断函数fxaxba0,b0的单调性并给出证明。x在解答题中证明或推断函数的单调性必需依据函数的性质解答。特殊留意定义x1D,x2Dfx1fx2fx1fx2中的x1,x2的随意性。以及函数的单调区间必是函数定义域的子集，要树立定义域优先的意识。解析：由于fxfx即函数fx为奇函数，因此只需推断函数fx在0,上的单调性x1x20，即可。设fx1fx2x1x2ax1x2bx1x2由于x1x20故当bbx1,x
18、2,时，此时函数在fxfxfx012aa上增函数，同理可证函数bbfx在0,a上为减函数。又由于函数为奇函数，故函数在a,0为减函数，在bbb,为增函数。综上所述：函数在和上分别为增函数，在fxaaabb0,a和a,0上分别为减函数.（1）函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中，应引起足够重视。-5-育英辅导班内部资料（2）单调性的定义等价于如下形式：fx在a,b上是增函数fx1fx20，fx在x1x2a,b上是减函数点112fx1fx20，这表明增减性的几何意义：增（减）函数的图象上随意两x1x22x,fx,x,fx连线的斜率都大于（小于）零。fxaxba0,b
19、0是一种重要的函数模型，要引起重视并留意应用。但留意本题中不x（3）能说bbbb,0上为减函数,在叙在0,fx在,aa,上为增函数，aafxax1xa0（1）用单调性的定义推断函数fx在ax述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“”和“或”，（1）（潍坊市统考题）（2）设fx在0x1的最小值为ga，求yga的解析式。0,上的单调性。1112a1答案：（1）函数在,为增函数在0,为减函数。（2）ygaaaaa0a1（2）（201*天津）设a0且exafxxae为R上的偶函数。（1）求a的值（2）试推断函数在0,上的单调性并给出证明。答案：（1）a1（2）函数在0,上为增函数（证明略）在
20、解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件运用，导致错误结论。例8、（201*全国高考卷）已知函数fxax33x2x1上是减函数，求a的取值范围。fx0xa,b是fx在a,b内单调递减的充分不必要条件，在解题过程fxx3在R上递减，但fx3x20。fx3a2x6x1（1）当fx0时，fx是减函数，则解得中易误作是充要条件，如解析：求函数的导数a0故fx3a2x6x10xR03a3。（2）当a3时，18（3）当a3时，fx3x33x2x13x易知此时函数也在R上是减函数。39-6-育英辅导班内部资料在R上存在一个区间在其上有的取值范围是fx0，所以当a3时，函数fx不是减函
21、数，综上，所求a,3。其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：f(x)0fx可导，若函数与f(x)为增函数的关系:f(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不肯定。如函数f(x)x3在(,)上单调递增，但f(x)0，f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件。f(x)0时，f(x)0与f(x)为增函数的关系:若将f(x)0的根作为分界点，因为规定f(x)0，即抠去了分界点，此时f(x)为增函数，就肯定有f(x)0。当f(x)0时，f(x)0是f(x)为增函数的充分必要条件。f(x)0与f(x)为增函数的关系:f(x)为增函数，肯定可以推出f(x)0，但反之不肯定，因为f(x)0，即为f
22、(x)0或f(x)0。当函数在f(x)0，则f(x)为常数，函数不具有单调性。f(x)0是f(x)为增函数的某个区间内恒有必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是中学阶段探讨的重点，我们肯定要把握好以上三个关系，用导数推断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避开探讨以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的探讨问题，要谨慎处理。因此本题在第一步后再对a维的严密性。（1）（201*新课程）函数A、b3和a3进行了探讨，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件运用而导致的错误还许多，这须要同学
23、们在学习过程中留意思yx2bxcx0,是是单调函数的充要条件是（）0B、b0C、b0D、b0答案：A（2）是否存在这样的K值，使函数上递增？答案：k在fxk2x4231xkx22x在1,2上递减，在2,321。（提示据题意结合函数的连续性知f20，但f20是函数在1,2上递减，2）2,上递增的必要条件，不肯定是充分条件因此由f20求出K值后要检验。应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特殊是易忘推断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内。例9、已知：a0,b0,a+b=1,求(a+1a)+(b+21b)的最小值。2-7-育英辅导班内部资料错解:(a+值是8上面的解答中，两次用到
24、了基本不等式a+b2ab，第一次等号成立的条件是a=b=二次等号成立的条件ab=解析：原式=a+b+22221a)+(b+21b)=a+b+22211+22ab+42ab+2ab+44ab11+4=8(a+aab)+(b+21b)的最小212,第1ab，明显，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。22221111112+4=(a+b)+(+)+4=(a+b)-2ab+(+)-+4ababa2b2a2b21ab11111=(1-2ab)(1+22)+4由ab()=得：1-2ab1-=,且2216，1+22172422ababab12511125原式17+4=(当且仅当a=b=时，等号成
25、立)(a+)+(b+)的最小值是。222ab2222在应用重要不等式求解最值时，要留意它的三个前提条件缺一不行即“一正、二定、三相等”，在解题中简单忽视验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。（97全国卷文22理22）甲、乙两地相距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元。（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？答案为:（1）y
26、sabv2a0vc（2）使全程运输成本最小，当vbc时，行驶速度v=ab；当abc时，行驶速度v=c。在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有依据性质进行分类探讨的意识和易忽视对数函数的真数的限制条件。例10、是否存在实数a使函数明理由。本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性推断方法，在解题过程中易忽视对数函数的真数大于零这个限制条件而导致a的范围扩大。解析：函数fxlogaax2x在2,4上是增函数？若存在求出a的值，若不存在，说fx是由xax2x和ylogax复合而成的，依据复合函数的单调性的推断方fxlogaax2法（1）当a1时，若使x在2,4上是增函数，则xax2x在2,4上
27、是增函212ax数且大于零。故有2a解得a1。（2）当a育英辅导班内部资料142函数，则xaxx在2,4上是减函数且大于零。2a不等式组无解。综上416a40所述存在实数a1使得函数fxlogaax2x在2,4上是增函数要娴熟驾驭常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性确定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性确定于其底数的范围（大于1还是小于1），特殊在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类探讨的数学思想（对数型函数还要留意定义域的限制）。（1）（黄岗三月分统考变式题）设a间。答案：当00，且a1试求函数yloga43xx
28、2的的单调区333a1，函数在1,上单调递减在,4上单调递增当a1函数在1,上单调222递增在3,4上单调递减。21fxlogax3axa0,a1在区间(,0)内单调递增，则a的21399取值范围是（）A、,1)B、,1)C、(,)D、(1,)4444（2）（201*高考天津）若函数答案：B.（记g2则gx3xa当a1时，要使得fx是增函数，则需有gx0xx3ax，231恒成立，所以a3.冲突.解除C、D当0a1时，要使fx是函数，则需有gx0恒4231成立，所以a3.解除A）422用换元法解题时，易忽视换元前后的等价性12求sinycosx的最大值31此题学生都能通过条件sinxsiny将问
29、题转化为关于sinx的函数，进而利用换3元的思想令tsinx将问题变为关于t的二次函数最值求解。但极易忽视换元前后变量的等价性而造成例11、已知sinxsiny错解，解析：由已知条件有siny2sinx13，而11sinx且sinysinx1,1（结合sinx1,1）得33122令siyncxo=ssinxcos2x=sin2xsinx33-9-育英辅导班内部资料2222tsinxt1则原式=t2tt1依据二次函数配方得：当t3333sinx24时，原式取得最大值93。即“学问”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素养的核心就是提高学生对数学思想方法的相识和运用，数学素养的综合体现
30、就是“实力”，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换探讨对象，将问题移至新对象的学问背景中去探讨，从而使非标准型问题标准化、困难问题简洁化，变得简单处理。换元法又称协助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟识的形式，把困难的计算和推证简化。（1）（高考变式题）设a0，000求f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a的最大值和最小值。2答案：f(x)的最小值为2a2212(0a)1222
31、a，最大值为21222a22a(a)22（2）不等式xax答案：a3的解集是(4,b)，则a_，b_。21,b36（提示令换元xt原不等式变为关于t的一元二次不等式的解集为2,b8）已知Sn求an时,易忽视n的状况例12、（201*高考北京卷）数列（1）求a2,a3,a4的值及数列an前n项和sn且a11,an13sn。1an的通项公式。此题在应用sn与an的关系时误认为an的状况的验证。易得出数列snsn1对于随意n值都成立，忽视了对n=1an为等比数列的错误结论。解析：易求得111416a2,a3,a4。由a11,an1sn得ansn1n2故33392741111an1ansnsn1ann
32、2得an1ann2又a11，a2故该数列从第333331n1二项起先为等比数列故an14n2。n233-10-育英辅导班内部资料对于数列an与sn之间有如下关系：ans1n1利用两者之间的关系snsn1n2可以已知sn求an。但留意只有在当a1适合an的形式。（201*全国理）已知数列则数列snsn1n2时两者才可以合并否则要写分段函数an满意a11,ana12a23a3n1an1n2an的通项为。1n1答案：（将条件右端视为数列nan的前n-1项和利用公式法解答即可）ann!n22利用函数学问求解数列的最大项及前n项和最大值时易忽视其定义域限制是正整数集或其子集（从1起先）例13、等差数列a
33、n的首项a10，前n项和sn，当lm时，smsl。问n为何值时sn最大?等差数列的前n项和是关于n的二次函数，可将问题转化为求解关于n的二次函数的最大值，但易遗忘此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。解析：由题意知sn=fnna1nn12dd2dna1n此函数是以22n为变量的二次函数，因为a10，当lm时，smsl故d0即此二次函数开口向下，故由flfm得当时x当llm2fx取得最大值，但由于nN，故若lm为偶数，当nlm1时sn最大。2lm2时，sn最大。m为奇数时，当n数列的通项公式及前n项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从1起先）上的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观
34、点应用函数学问解决问题。特殊的等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数且没有常数项，反之满意形如snan2bn所对应的数列也必定是等差数列的前n项和。此时由snsanb知数列中的点n,n是同始终线上，这也是一个很重要的结论。此外形如nn前n项和sncanc所对应的数列必为一等比数列的前n项和。（201*全国高考题）设结论错误的是（）A、dan是等差数列，sn是前n项和，且s5s6，s6s7s8，则下列0B、a70C、s9s5D、s6和s7均为sn的最大值。答案：C（提示利用二次函数的学问得等差数列前n项和关于n的二次函数的对称轴再结合单调性解答）解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使
35、解题思维受阻或解答过程繁琐。-11-育英辅导班内部资料例14、已知关于的方程x23xa0和x23xb0的四个根组成首项为34的等差数列，求ab的值。留意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。解析：不妨设34是方程x23xa0的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程2x23xa0的另一根是此等差数列的第四项，而方程x3xb0的两根是等差数列的中间两项，依据等差数列学问易知此等差数列为：2735313579,b,故a从而ab=。1616844,44等差数列和等比数列的性质是数列学问的一个重要方面，有解题中充分运用数列的性质往往起到事半功
36、倍的效果。例如对于等差数列an，若nmpq，则anamapaq；对于等比数列an，若nmuv，则anamauav；若数列an是等比数列，Sn是其前nan是等差数列，Sn是其前n*项的和，kN，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列；若数列项的和，kN，那么Sk，S2k*Sk，S3kS2k成等差数列等性质要娴熟和敏捷应用。2（201*全国理天津理）已知方程x为2xm0和x22xn0的四个根组成一个首项34C、14的等差数列，则mn=（）A、1B、12D、38答案：C用等比数列求和公式求和时，易忽视公比的状况例15、数列an中，a1（I）求使anan11，a22，数列anan1是公比为q（q
37、0）的等比数列。（II）求数列an的前2n项的和S2nan1an2an2an3成立的q的取值范围；对于等比数列的前n项和易忽视公比q=1的特别状况，造成概念性错误。再者学生没有从定义动身探讨条件数列anan1是公比为q（q0）的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数列而找不到解题突破口。使思维受阻。解：（I）数列an由anan1an1是公比为q的等比数列，an1an2anan1q，an2an3anan1q2，an1an2an2an3得anan1anan1qanan1q21qq2，即152，解得0qq2q10（q0）-12-育英辅导班内部资料（II）由数列anan1是公比为q的等比数列，得an1
38、an2aqn2q，这表明数列an的anan1an1，a22，当q1时，全部奇数项成等比数列，全部偶数项成等比数列，且公比都是q，又a1S2na1a2a3a4a2n1a2n(a1a2a3an)(a2a4a6a2n)a1(1qn)a2(1qn)3(1qn)，当q1时，1q1q1qS2na1a2a3a4a2n1a2n(a1a2a3an)(a2a4a6a2n)(1111)(2222)3n本题中拆成的两个数列都是等比数列，其中an2q是解题的关键，这种给出数列an的形式值得关注。另外，不要以为奇数项、偶数项都成等比数列，且公比相等，就是整个数列成等比数列，解题时要慎重，写出数列的前几项进行视察就得出正确
39、结论.对等比数列的求和肯定要留意其公比为1这种特别状况。高考往往就是在这里人为的设计陷阱使考生产生对现而不全的错误。（201*高考全国卷一第一问）设等比数列围。答案：an的公比为q，前n项和sn0（1）求q的取值范1,00,在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n项和不会采纳错项相减法或解答结果不到位。例16、（201*北京理）已知数列（1）求数列an是等差数列，且a12,a1a2a312an的通项公式（2）令bnanxnxR求数列bn前项和的公式。an的通项公式再由数列bn的通项公式分析可知数列bn是一本题依据条件确定数列个等差数列和一个等比数列构成的“差比数列”，可用错项
40、相减的方法求和。解析：（1）易求得an（2）由（1）得bn2n2nxn令sn2x4x26x32nxn（）则（留意错过一位再相减）得xsn2x24x32n1xn2nxn1（）用（）减去（）-13-育英辅导班内部资料x1xn2n123nn1nx当1xsn2x2x2x2x2nx当x1sn1x1xx1时sn2462nnn1综上可得：n2x1xn1当x1snnx当x1时sn2462nnn11x1x一般状况下对于数列cn有cnanbn其中数列an和bn分别为等差数列和等比数列，则其前n项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，事实上课本上等比数列的求和公式就是这种状
41、况的特例。（201*全国卷一理）已知求数列an的unanan1ban2b2abn1bnnN,a0,b0当ab时，前n项和sn答案：a1时snn1an2n2an1a22a当a1时sn21ann32.不能依据数列的通项的特点找寻相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清，导致多项或少项。例17、求Sn1111112123123n本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。解：由等差数列的前n项和公式得123nn(n1)2，1111211，就分别得到,，,2()，n取1，2，3，112
42、123123nn(n1)nn1Sn2(11)2(11)2(11)2(11)22334nn12(112n)n1n1“裂项法”有两个特点，一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个数（也可三个或更多）相乘，且这两个数的第一个数是前一项的其次个数，假如不具备这些特点，就要进行转化。同是要明确消项的规律一般状况下剩余项是前后对称的。常见的变形题除本题外，还有其它形式，例如：求1111，方法还是抓通项，即122224326n22n11111()，问题会很简单解决。另外还有一些类似“裂项法”的题目，2n2nn(n2)2nn2-14-育英辅导班内部资料如：an1nn1，求其前n项和，可通过分母有理化的方
43、法解决。数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。221421621(2n)21（201*济南统考）求和Sn221421621(2n)21答案：Sn112n1111111111n2n12n12n1133557易由特别性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件运用，缺乏严谨的逻辑思维。例18、（201*年高考数学江苏卷，20）设无穷等差数列an的前n项和为Sn.3()若首项a1，公差d1，求满意S2(Sk)2的正整数k；2k()求全部的无穷等差数列an，使得对于一切正整数k都有Sk2(Sk)2成立.本小题主要考查数列的基本学问，以及运用数学学问分析和解决问题的实力.学
44、生在解第()时极易依据条件“对于一切正整数k都有Sk2(Sk)2成立”这句话将k取两个特别值确定出等差数列的首项和公差，但没有相识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立的充分条件。还应进一步的由特别到一般。解：（I）当a1由S3,d1时Snna1n(n1)d3nn(n1)1n2n2222214131kk2(k2k)2，即k(k1)0又k0,所以k4.422n2k2(Sk)2,得（II）设数列an的公差为d，则在S(Sn)2中分别取k=1,2,得S1(S1),2S4(S2)由（1）得若a1若a12a1a12,（1）即43212d(2a1d)（2）4a122d0或d6,a1
45、0或a11.当a10时,代入(2)得0,d0,则an0,Sn0,从而Sk(Sk)2成立20,d6,则an6(n1),由S318,(S3)2324,Sn216知s9(S3),故所得数列不符合题意.当a11时,代入(2)得若a146d(2d)2,解得d0或d21,d0,则an1,Snn,从而Sk2(Sk)2成立;若a11,d2,则an2n1,Sn13(2n1)n2,从而S(Sn)2成立.综上，共有3个满意条件的无穷等差数列：an:an=0，即0，0，0，；an:an=1，即1，1，1，；an:an=2n1，即1，3，5，-15-育英辅导班内部资料事实上，“条件中使得对于一切正整数k都有Sk2(Sk
46、)2成立.”就等价于关于k的方程的解是一切正整数又转化为关于k的方程的各项系数同时为零，于是本题也可采纳这程等价转化的思想解答，这样做就能避开因忽视充分性的检验而犯下的逻辑错误。在上述解法中肯定要留意这种特别与一般的关系。（1）（201*全国）已知数列cn,其中cn2n3n,且数列cn1pcn为等比数列.求常数p答案：p=2或p=3（提示可令n=1,2,3依据等比中项的性质建立关于p的方程，再说明p值对随意自然数n都成立）用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽视探讨二次项的系数是否为尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽视.例19、已知双曲线x2y24，直线ykx1，探讨直线与双曲线公共点的个数探讨直线与曲线的位置关系，一般将直线与曲线的方程联立，组成方程组，方程组有几解，则直线与曲线就有几个交点，但在消元后转化为关于x或y的方程后，易忽视对方程的种类进行探讨而主观的误认为方程就是二次方程只利用判别式解答。ykx122222解析：联立方程组消去y得到1kx2kxk40（1）当1k0时，22xy4即k1，方程为关于x的一次方程，此时方程组只有解，即直线与双曲线只有一个