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1、2022年初二数学勾股定理经典例题解析初二数学勾股定理经典例题解析经典例题透析类型一：勾股定理的干脆用法1、在RtABC中，∠C=90°（1）已知a=6， c=10，求b， （2）已知a=40，b=9，求c； （3）已知c=25，b=15，求a.思路点拨: 写解的过程中，肯定要先写上在哪个直角三角形中，留意勾股定理的变形运用。解析：（1） 在ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，b=（2） 在ABC中，∠C=90°，a=40，b=9，c=（3） 在ABC中，∠C=90°，c=25，b=15，a=举一反三【变式】:如图∠
2、B=∠ACD=90°， AD=13，CD=12， BC=3，则AB的长是多少?【答案】∠ACD=90°AD=13， CD=12∴AC2 =AD2-CD2=132-122=25∴AC=5又∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2-BC2=52-32=16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在 中， ， ， . 求：BC的长.思路点拨：由条件 ，想到构造含 角的直角三角形，为此作 于D，则有， ，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进
3、而求出BC的长.解析：作 于D，则因 ，∴ （ 的两个锐角互余）∴ （在 中，假如一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.依据勾股定理，在 中，.依据勾股定理，在 中，.∴ .举一反三【变式1】如图，已知： ， ， 于P. 求证： .解析：连结BM，依据勾股定理，在 中，.而在 中，则依据勾股定理有.∴又 （已知），∴ .在 中，依据勾股定理有，∴ .【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。分析：如
4、何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，依据本题给定的角应选后两种，进一步依据本题给定的边选第三种较为简洁。解析：延长AD、BC交于E。∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE= = 。DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE= = 。∴S四边形ABCD=SABE-SCDE= AB•BE- CD&bull
5、;DE=类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点动身，沿北偏东60°方向走了 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。（1）求A、C两点之间的距离。（2）确定目的地C在营地A的什么方向。解析：（1）过B点作BE/AD∴∠DAB=∠ABE=60°30°+∠CBA+∠ABE=180°∴∠CBA=90°即ABC为直角三角形由已知可得：BC=500m，AB=由勾股定理可得：所以（2）在RtABC中
6、，BC=500m，AC=1010m∴∠CAB=30°∠DAB=60°∴∠DAC=30°即点C在点A的北偏东30°的方向举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形态如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥AB， 与地面交于H.解：OC=1米 （大门宽度一半），OD=0.8米 （卡车宽度一半）在RtOCD中，由勾股定理得：CD= =
7、=0.6米，CH=0.6+2.3=2.9（米）>2.5（米）.因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现安排在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分.请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论.解析：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为AB+BC+CD=3，AB+BC
8、+CD=3图（3）中，在RtABC中同理∴图（3）中的路途长为图（4）中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH=CH由∠FBH= 及勾股定理得：EA=ED=FB=FC=∴EF=1-2FH=1-∴此图中总线路的长为4EA+EF=3>2.828>2.732∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线.举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A动身，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程.解：如图，在RtABC中，BC=底面周长的一半=
9、10cm， 依据勾股定理得（提问：勾股定理）∴ AC= = = ≈10.77（cm）（勾股定理）.答：最短路程约为10.77cm.类型四：利用勾股定理作长为 的线段5、作长为 、 、 的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于 ，直角边为 和1的直角三角形斜边长就是 ，类似地可作 。作法：如图所示（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角ACB，使AB为斜边；（2）以AB为一条直角边，作另始终角边为1的直角 。斜边为 ；（3）顺次这样做下去，最终做到直角三角形 ，这样斜边 、 、 、 的长度就是、 、 、 。举一反三 【变式】在数轴上表示 的
10、点。解析：可以把 看作是直角三角形的斜边， ，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为 。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并推断是否正确1.原命题：猫有四只脚.（正确）2.原命题：对顶角相等（正确）3.原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.（正确）4.原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.（正确）思路点拨：驾驭原命题与逆命题的关系。解析：1. 逆命题：有四只
11、脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.（正确）总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做打算。7、假如ΔABC的三边分别为a、b、c，且满意a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，推断ΔABC的形态。思路点拨：要推断ΔABC的形态，须要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ：a2-
12、6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0，∴ （a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0。 （a-3）2≥0， （b-4）2≥0， （c-5）2≥0。∴ a=3，b=4，c=5。 32+42=52，∴ a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来探讨图形的位置关系的，在证明中也常要用到。举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。【答案】：连结AC∠B=9
13、0°，AB=3，BC=4∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）∴AC=5AC2+CD2=169，AD2=169∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）【变式2】已知:ABC的三边分别为m2-n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m>n），推断ABC是否为直角三角形.分析:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a2+b2=c2即可证明：所以ABC是直角三角形.【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF= AB。请问FE与DE是否垂直?请说明。【答案】答：
14、DE⊥EF。证明：设BF=a，则BE=EC=2a， AF=3a，AB=4a，∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。连接DF（如图）DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。∴ DF2=EF2+DE2，∴ FE⊥DE。经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再依据勾股定理列出方程，求出未知数的值进
15、而求面积。解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，依据题意得：（3x）2+（4x）2=202化简得x2=16；∴直角三角形的面积= ×3x×4x=6x2=96总结升华：直角三角形边的有关计算中，经常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。【答案】如图，等边ABC，作AD⊥BC于D则：BD= BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线相互重合）AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等）∴BD=1在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，即：AD2=AB2-BD2=4-
16、1=3∴AD=SABC= BC•AD=注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为 a。【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，依据题意得：由（1）得：x+y=7，（x+y）2=49，x2+2xy+y2=49 （3）（3）-（2），得：xy=12∴直角三角形的面积是 xy= ×12=6（cm2）【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长
17、为n+3，由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2=（n+3）2化简得：n2=4∴n=±2，但当n=-2时，n+1=-1<0，∴n=2总结升华：留意直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的状况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40解析：此题可干脆用勾股定理的逆定理来进行推断，对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：b2=c2-a2=（c-a）（c+a）来推断。例如：对于选择D，82&
18、ne;（40+39）×（40-39），∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。同理可以推断其它选项。 【答案】：A【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。解：连结AC∠B=90°，AB=3，BC=4∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）∴AC=5AC2+CD2=169，AD2=169∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）∴S四边形ABCD=SABC+SA
19、CD= AB•BC+ AC•CD=36类型二：勾股定理的应用2、如图，马路MN和马路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m。假设拖拉机行驶时，四周101m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在马路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响?请说明理由，假如受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒?思路点拨：（1）要推断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到马路的距离是否小于101m， 小于101m则受影响，大于101m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要
20、求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必需找到拖拉机行至哪一点起先影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析：作AB⊥MN，垂足为B。在 RtΔABP中，∠ABP=90°，∠APB=30°， AP=160，∴ AB= AP=80。 （在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）点 A到直线MN的距离小于101m，∴这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在马路MN上沿PN方向行驶到点C处学校起先受到影响，那么AC=101（m），由勾股定理得： BC2=1012-802=3600，∴
21、BC=60。同理，拖拉机行驶到点D处学校起先脱离影响，那么，AD=101（m），BD=60（m），∴CD=120（m）。拖拉机行驶的速度为 : 18km/h=5m/st=120m÷5m/s=24s。答：拖拉机在马路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法，若图形缺少直角条件，则可以通过作协助垂线的方法，构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走捷径，在花园内走出了一条路。他们仅仅少走了_步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。解析
22、：他们原来走的路为3+4=7（m）设走捷径的路长为xm，则故少走的路长为7-5=2（m）又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。【答案】4【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）干脆写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形?平行四边形ABCD的面积是多少?（3）求出图中线段AC的长（可作协助线）。【答案】（1）单位正三角形的高为 ，面积是 。（2）如图可干脆得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积 。（3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示
23、），则在RtACK中， ，故类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，经常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决.3、如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5.求线段EF的长。思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，依据直角三角形的特征，三角形的中线有特别的性质，不妨先连接AD.解：连接AD.因为∠BAC=90°，AB=AC. 又因为AD为ABC的中线，所以AD=DC=
24、DB.AD⊥BC.且∠BAD=∠C=45°.因为∠EDA+∠ADF=90°. 又因为∠CDF+∠ADF=90°.所以∠EDA=∠CDF. 所以AEDCFD（ASA）.所以AE=FC=5.同理：AF=BE=12.在RtAEF中，依据勾股定理得：所以EF=13。总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等学问。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同始终角三角形中求解。（二）方程的思想方法4、如图所示，已知ABC中，∠C=90&d
25、eg;，∠A=60°， ，求 、 、 的值。思路点拨：由 ，再找出 、 的关系即可求出 和 的值。解：在RtABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°，则 ，由勾股定理，得 。因为 ，所以 ，总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。解：因为ADE与AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，在RtABF中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，所以 。 所以 。设 ，则 。在RtECF中， ，即 ，解得 。即EF的长为5cm。第18页 共18页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页