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1、基于数学核心素养的考试、命题基于数学核心素养的考试、命题思考与建议思考与建议首都师范大学首都师范大学 数学科学学院数学科学学院数学课标修订组数学课标修订组王尚志王尚志目目 录录 一、课标进展与人才培养、选拔一、课标进展与人才培养、选拔 二、基于数学核心素养考试、命题趋势二、基于数学核心素养考试、命题趋势 三、基于数学核心素养命题要素三、基于数学核心素养命题要素 四、典型试题分析四、典型试题分析 五、思考与建议五、思考与建议问问 题题 “What is the key in math and math education ?” 在数学和数学教育中，什么是关键？在数学和数学教育中，什么是关键？ 数
2、学教育一次大讨论数学教育一次大讨论 定义、概念，定理、结论，例题、习题，等等定义、概念，定理、结论，例题、习题，等等 The problem is the key. 问题是数学灵魂问题是数学灵魂P. Harmous 不断地发现、提出问题，不断地分析、解决问题不断地发现、提出问题，不断地分析、解决问题一、课标进展与人才培养、选拔一、课标进展与人才培养、选拔 标准专家评审标准专家评审 陈部长讲话陈部长讲话 课标定位：课标定位： 龙头，路线图龙头，路线图 教育模式发展三阶段：教育模式发展三阶段： 师徒书院师徒书院农耕时代农耕时代 学校模式学校模式工业时代工业时代 信息技术环境下教与学模式信息技术环境
3、下教与学模式科技时代科技时代 一、课标进展与人才培养、选拔一、课标进展与人才培养、选拔1.课标修订的基本思路立德树人立德树人工程幼儿园到研究生的课程高中课程标准修订学生核心素养学生数学核心素养内容标准、学业质量标准教学、评价与考试一、课标进展与人才培养、选拔一、课标进展与人才培养、选拔2.数学核心素养数学核心素养（1）数学核心素养）数学核心素养 学生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的学生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的适应个人终身发展和社会发展需要的数学思维品质与数学思维品质与关键能力。关键能力。内涵、数学价值、教育价值、表现、水平内涵、数学价值、教育
4、价值、表现、水平数学抽象、逻辑推理数学抽象、逻辑推理数学建模、直观想象数学建模、直观想象数学运算数学运算 、数据分析、数据分析能力与素养差异？能力与素养差异？一、课标进展与人才培养、选拔一、课标进展与人才培养、选拔2.数学核心素养数学核心素养（2）数学核心素养与课程目标）数学核心素养与课程目标四基四基 +四能四能（四基：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（四基：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验四能：发现、提出问题能力，分析解决问题能力）四能：发现、提出问题能力，分析解决问题能力）|数学核心素养数学核心素养 数学抽象、逻辑推理、数学建模数学抽象、逻辑推理、数学建模直观想象、数学
5、运算、数据分析直观想象、数学运算、数据分析|用数学的眼光观察世界，用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达现实世界用数学的语言表达现实世界。|兴趣、自信、好学习习惯（学会学习）兴趣、自信、好学习习惯（学会学习）发展发展科学精神、科学精神、应用能力应用能力、创新意识。创新意识。|数学：科学价值、应用价值、文化价值、审美价值数学：科学价值、应用价值、文化价值、审美价值一、课标进展与人才培养、选拔一、课标进展与人才培养、选拔2.数学核心素养数学核心素养（3）数学核心素养历史沿革）数学核心素养历史沿革历史发展历史发展 课程：课程：知识立意知识立意能力立意能力立
6、意素养立意素养立意 三个能力：三个能力：运算能力、逻辑推理、空间想象运算能力、逻辑推理、空间想象|五个能力：五个能力：抽象概括、逻辑推理、空间想象、抽象概括、逻辑推理、空间想象、运算求解、数据处理运算求解、数据处理|六个核心素养六个核心素养数学抽象、逻辑推理、数学建模数学抽象、逻辑推理、数学建模直观想象、数学运算直观想象、数学运算 、数据分析、数据分析一、课标进展与人才培养、选拔一、课标进展与人才培养、选拔2.数学核心素养数学核心素养（4）数学核心素养独立性与整体性）数学核心素养独立性与整体性 数学核心素养相对独立性数学核心素养相对独立性 数数学每一个核心素养有自身独立性，在学习学学每一个核心
7、素养有自身独立性，在学习学科科过程中，在发现与提出、分析与解决学过程中，在发现与提出、分析与解决学科科问题和实际问题和实际问题中，它们各自在不同环节会发挥不同作用问题中，它们各自在不同环节会发挥不同作用。 数学核心素养整体性数学核心素养整体性 我们更需要强调整体性，我们更需要强调整体性，数学各数学各个核心素养是一个核心素养是一个有机联系的整体，它们不是两两个有机联系的整体，它们不是两两“不交不交”的独立素的独立素养，而是相互养，而是相互“交着交着”相互相互“渗透渗透”的的。一、课标进展与人才培养、选拔一、课标进展与人才培养、选拔2.数学核心素养数学核心素养（4）数学核心素养独立性与整体性）数学
8、核心素养独立性与整体性 例如，数学核心素养整体性例如，数学核心素养整体性 基本关系基本关系数学抽象数学抽象-直观想象直观想象-逻辑推理逻辑推理-数学建模数学建模 | | 数学运算数学运算 数据分析数据分析一、课标进展与人才培养、选拔一、课标进展与人才培养、选拔2.数学核心素养数学核心素养（5）数学核心素养形成要素）数学核心素养形成要素 表现：表现：每一个核心素养具体表现每一个核心素养具体表现 水平：水平：三个水平三个水平 过程：过程：数学学习过程数学学习过程会学习；会学习； 运用数学解决问题过程；运用数学解决问题过程； 创造思维过程创造思维过程发现与提出问题、分析与解决问题发现与提出问题、分析
9、与解决问题 这些过程交互这些过程交互 关键环节：关键环节：情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思一、课标进展与人才培养、选拔一、课标进展与人才培养、选拔 浙江、上海实验浙江、上海实验 评价体系：评价体系：纸笔测试纸笔测试 + 综合素质综合素质 纸笔测试：语数外纸笔测试：语数外 + 七（六）选三七（六）选三 + 学业质量水平学业质量水平 综合素质：综合素质： 文理不分科考试：文理不分科考试：数学，文理科比例数学，文理科比例 选择空间拓展选择空间拓展 导师制导师制 选课走班教学选课走班教学 北京、天津、山东、海南推进指导意见北京、天津、山东、海
10、南推进指导意见一、课标进展与人才培养、选拔一、课标进展与人才培养、选拔 浙江、上海实验浙江、上海实验 评价体系：评价体系：纸笔测试纸笔测试 + 综合素质综合素质 纸笔测试：语数外纸笔测试：语数外 + 七（六）选三七（六）选三 + 学业质量水平学业质量水平 综合素质：综合素质： 文理不分科考试：文理不分科考试：数学，文理科比例数学，文理科比例 选择空间拓展选择空间拓展 导师制导师制 走班选课教学走班选课教学 北京、天津、山东、海南推进指导意见北京、天津、山东、海南推进指导意见l不分文理l自主选考l三位一体l等级赋分l多次机会l取消批次l专业平行特点？新高考方案一、课标进展与人才培养、选拔一、课标
11、进展与人才培养、选拔 人才培养、选拔人才培养、选拔 高考高考 学科竞赛学科竞赛 科技活动科技活动数学建模数学建模 大学先修课程大学先修课程 二、基于数学核心素养考试、命题趋势二、基于数学核心素养考试、命题趋势 增加考试命题、评卷投入增加考试命题、评卷投入 试卷容量：试卷容量：不增题量、延长时间（不延长时间、减少题量）不增题量、延长时间（不延长时间、减少题量） 题型结构：题型结构：减少选择填空减少选择填空 有一定比例应用问题（数学建模）有一定比例应用问题（数学建模） 有开放问题、探究问题有开放问题、探究问题 工具：工具：可以使用计算器可以使用计算器 评卷：评卷：传统评分传统评分 + 核心素养水平
12、评价核心素养水平评价三、基于数学核心素养命题要素三、基于数学核心素养命题要素 数学核心素养数学核心素养 整体把握数学课程整体把握数学课程 数学本质数学本质 创设情境、问题创设情境、问题 学会学习学会学习 三、基于数学核心素养命题要素三、基于数学核心素养命题要素 数学核心素养数学核心素养 全面理解数学核心素养全面理解数学核心素养 内涵、数学价值、教育价值、表现、水平内涵、数学价值、教育价值、表现、水平 课程目标与核心素养、形成历史、整体性课程目标与核心素养、形成历史、整体性 考查数学核心素养达成主要过程：考查数学核心素养达成主要过程：（1）数学学习过程数学学习过程会学数学会学数学（2）应用）应用
13、数学解决数学解决问题问题过程过程 解决数学问题、实际问题解决数学问题、实际问题（3） 创新过程创新过程发现、提出问题发现、提出问题三、基于数学核心素养命题要素三、基于数学核心素养命题要素 数学核心素养数学核心素养 试卷数学核心素养及水平分布：试卷数学核心素养及水平分布： 三、基于数学核心素养命题要素三、基于数学核心素养命题要素 整体把握数学课程整体把握数学课程 课程结构课程结构 内容结构内容结构 内容主线内容主线 主题（单元）主题（单元）- 关键问题、概念关键问题、概念、定理、模型、应用、方法、思想、定理、模型、应用、方法、思想三、基于数学核心素养命题要素三、基于数学核心素养命题要素 整体把握
14、数学课程整体把握数学课程 关键问题、概念、定理、模型、应用、方法、思想关键问题、概念、定理、模型、应用、方法、思想基本问题基本问题关键概念理解关键概念理解不同概念联系不同概念联系 运算规则作用运算规则作用主要定理理解：来龙去脉、证明思路、本质认识主要定理理解：来龙去脉、证明思路、本质认识情境情境发现、提出问题发现、提出问题问题问题建立模型建立模型问题问题运算思路、程序运算思路、程序基本模型应用基本模型应用三、基于数学核心素养命题要素三、基于数学核心素养命题要素 整体把握数学课程整体把握数学课程 关键问题、概念、定理、模型、应用、方法、思想关键问题、概念、定理、模型、应用、方法、思想不同方法比较
15、不同方法比较知识体系构成知识体系构成利用图形描述数学问题利用图形描述数学问题利用图形理解数学问题利用图形理解数学问题利用图形探索和解决数学问题利用图形探索和解决数学问题运算思路运算思路问题问题数据获取数据获取方式方式制定原则制定原则进行进行数据分析数据分析结合对数据分析结合对数据分析构建知识构建知识、结论、结论三、基于数学核心素养命题要素三、基于数学核心素养命题要素 数学本质数学本质 举例：距离举例：距离 最短最短垂直垂直法方向（法向量）法方向（法向量）三、基于数学核心素养命题要素三、基于数学核心素养命题要素 创设情境创设情境 分类分类 实际情境实际情境 科学情境科学情境 数学情境数学情境 学
16、习情境（阅读理解、梳理总结）学习情境（阅读理解、梳理总结） 真实性真实性 增次性增次性 系列问题系列问题逐步深入逐步深入 开放性、探索性开放性、探索性 结论开放、条件开放（制定原则）、方法开放结论开放、条件开放（制定原则）、方法开放 三、基于数学核心素养命题要素三、基于数学核心素养命题要素 学会学习学会学习 阅读阅读理解理解 提问提问质疑质疑 表达表达 梳理总结梳理总结四、典型试题分析四、典型试题分析 以下例题有两个来源：以下例题有两个来源： 课标组与核心素养测试组课标组与核心素养测试组 海淀高考模拟试题海淀高考模拟试题 浙江实验浙江实验例题：水槽问题例题：水槽问题实际应用活动：基于数学核心素
17、养命题实际应用活动：基于数学核心素养命题 如图是一个密封的水槽，里面注入了一定容量的水。如图是一个密封的水槽，里面注入了一定容量的水。1.是否可以适当的摆放水槽，使得水面成为：正三角形，是否可以适当的摆放水槽，使得水面成为：正三角形，直角三角形，锐角三角形，钝角三角形，平行四边形，直角三角形，锐角三角形，钝角三角形，平行四边形，矩形，正方形，菱形，梯形，正五边形，正六边形矩形，正方形，菱形，梯形，正五边形，正六边形2.假设水槽里面的水量是水槽容积的假设水槽里面的水量是水槽容积的3/4，请在水槽上凿，请在水槽上凿一个小洞，适当摆放水槽后，恰好流掉一个小洞，适当摆放水槽后，恰好流掉1/4的水？的水
18、？ 问题串问题串(1) 给出分类的原则（例如，按截面图形的边数分类）。按照给出分类的原则（例如，按截面图形的边数分类）。按照给出的分类原则，能得到多少类不同的截面？设计一种方案，给出的分类原则，能得到多少类不同的截面？设计一种方案，找到截得这些形状截面的方法，并画出示意图。找到截得这些形状截面的方法，并画出示意图。(2) 如果截面是三角形，可以截出几类不同的三角形（分别按如果截面是三角形，可以截出几类不同的三角形（分别按边、角分类）？为什么边、角分类）？为什么?(3) 如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形？为什么如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形？为什么? (4) 还能截出哪些多
19、边形？为什么还能截出哪些多边形？为什么?(5) 能否截出正五边形？为什么？能否截出正五边形？为什么？(6) 能否截出直角三角形？为什么？能否截出直角三角形？为什么？(7) 有没有边数超过有没有边数超过6的多边形截面？为什么？的多边形截面？为什么？(8) 是否存在正六边形的截面？为什么？是否存在正六边形的截面？为什么？(9) 最大面积的三角形截面是哪个？为什么？最大面积的三角形截面是哪个？为什么？例题：影子问题例题：影子问题 如图，在广场上，一盏路灯挂在一根如图，在广场上，一盏路灯挂在一根10米的电线杆顶上米的电线杆顶上（电线杆的底部记为（电线杆的底部记为A ），假设把路灯看作是一个点光），假设
20、把路灯看作是一个点光源，身高源，身高1.5米的女孩站在离米的女孩站在离A 点点5米的米的 B处处.请回答以下问请回答以下问题：题： （1）若女孩绕着电线杆走一个圆圈，那么其人影扫过的）若女孩绕着电线杆走一个圆圈，那么其人影扫过的是什么图形，并求这个图形的面积；是什么图形，并求这个图形的面积； （2）若女孩向点）若女孩向点 前行前行 米到达米到达 点，然后从点，然后从 点出发，沿着点出发，沿着以以 为对角线的正方形走一圈，画出女孩沿正方形行走一为对角线的正方形走一圈，画出女孩沿正方形行走一圈时，女孩头部的影子的轨迹，并说明轨迹的形状圈时，女孩头部的影子的轨迹，并说明轨迹的形状.AB例题：例题：
21、抛均匀硬币的相关计算和实验抛均匀硬币的相关计算和实验 在在100次掷硬币的试验次掷硬币的试验中，恰有中，恰有50次正面朝上，次正面朝上，有人说这个事件的概率是有人说这个事件的概率是二分之一。二分之一。 这个结论对吗？这个结论对吗？ 如果是对的，请给出计算如果是对的，请给出计算式子。式子。 如果不对，也请给出计算如果不对，也请给出计算式子和计算结果。式子和计算结果。 （可以使用计算器）（可以使用计算器）例题例题 ：单位圆与三角函数：单位圆与三角函数概念理解概念理解 举例举例 关键概念理解关键概念理解不同概念联系反映不同概念联系反映“数学抽象数学抽象”素养素养 初中函数概念与高中函数概念初中函数概
22、念与高中函数概念 差异差异 高中函数概念引入的必要高中函数概念引入的必要 如何理解函数概念如何理解函数概念 如何考察概念？如何考察概念？ 例题：单调性与导数例题：单调性与导数 请回答单调性与导数的共性与差异。请回答单调性与导数的共性与差异。例题：覆盖问题例题：覆盖问题逻辑推理直观想象直观想象逻辑推理数学运算覆覆盖盖直观想象任意两点距离任意两点距离小于小于l即两点最大距离即两点最大距离小于小于l数学抽象建立在理解平行四边形和圆这两个几何图形概念及其性质的基础之上解题思维过程的认知分析逻辑推理可拓展问题：任意四边形？、任意曲边形？难点在哪？凹四边凹四边形形凸四边凸四边形形有两组邻边有两组邻边相等的
23、四边相等的四边形形菱形菱形正方形正方形探索最大面积四边形思维路径对称翻对称翻折折椭圆性椭圆性质质椭圆性椭圆性质质三角函三角函数性质数性质直观想象逻辑推理远迁远迁移移可拓展问题：如何证明面积最大的曲边形是圆？ 不能从覆盖图形抽象出覆盖的条件不能从覆盖图形抽象出覆盖的条件不能区分举例验证与证明推理不严谨推理不够严谨较完整的推理论证误把“平面四边形”看成“平行四边形”存在缺陷的推理论证不是推理论证例例题：题：距离问题距离问题逻辑推理数学运算直观想象逻辑推理直观想象逻辑推理1212( , ) | |d ABxxyy建立在“距离”概念意义建构之上形解题思维过程的认知分析数( , )( , )( , )d
24、 ABd ACdCB121213133232| | | | |xxyyxxyyxxyy解题思维过程的认知分析(0,0)1( , )OP x y到点距离等于 的点形数| | | | 1xy关联到关联到“方程的曲线方程的曲线”概念概念描点描点感知感知关联已知关联已知曲线曲线x+y=1以特例验证代替推理论证没学“绝对值不等式”情境下学生的分情况讨论证明如果要求简化证明如果要求简化证明过程，主要体现的过程，主要体现的是哪个素养？是哪个素养？没学“绝对值不等式”情境下学生的分情况讨论证明建立在直观想象下的证明去绝对值分段考虑去绝对值分段考虑如果要求简化求解如果要求简化求解过程，主要体现的过程，主要体现的
25、是哪个素养？是哪个素养？对“方程的曲线”的概念理解有偏差误将“绝对值”与“平方数”等同没能够理解本题中的“距离”意义没能够理解本题中的“距离”意义没能够理解本题中的“距离”意义例题：数学建模例题：数学建模 【情境】【情境】高速公路车距高速公路车距问题问题 建立确定建立确定高速公路高速公路车距的数学模型，根据模型得到的车距的数学模型，根据模型得到的结果，就行车安全提出建议。结果，就行车安全提出建议。 1、 确定影响确定影响高速公路高速公路车距的主要因素。车距的主要因素。 例如，车速、驾驶员反映时间、刹车距离例如，车速、驾驶员反映时间、刹车距离 2、 依据这些因素建立确定高速公路依据这些因素建立确
26、定高速公路车距车距数学模型数学模型（表达式）（表达式） 例如，例如，简化模型为：车简化模型为：车间间距离距离 = 反应距离反应距离 + 刹车距离刹车距离 3、解决问题基本思路、解决问题基本思路 4、 安全建议安全建议 海淀高考模拟海淀高考模拟数量关系数量关系图形图形的位置关系的位置关系假设推演，判断真假设推演，判断真假假思 考 方 式 ：不 *会 怎 样 ？海淀模拟题海淀模拟题如何如何读题？如何提取信息？如何用数据说话？读题？如何提取信息？如何用数据说话？564959 5154 57595858565556处 理 数 据564959 5154 5759585856555612相 当 于 次 独 立 重 复 性 实 验考查数学抽象和数学模型考查数学抽象和数学模型五、思考与建议五、思考与建议 数学核心素养与课程目标数学核心素养与课程目标 整体把握数学课程整体把握数学课程本质本质 视野开阔视野开阔多学一些多学一些 拓展数学理解：拓展数学理解：特别数学应用特别数学应用 会学数学会学数学 备考与日常教学备考与日常教学