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1、2022-4-19可靠性分配潘尔顺 副教授上海交通大学工业工程与管理系2022-4-19主要内容n基本概念n等分配法n再分配法n相对失效率法和相对失效概率法n拉格朗日乘子法nAGREE分配法n动态规划方法2022-4-19基本概念 可靠性分配的定义可靠性分配（Reliability Allocation）是指将工程设计规定的系统可靠度指标合理地分配给组成系统的各个单元，确定系统各组成单元（总成、分总成、组件、零件）的可靠性定量要求，从而使整个系统可靠性指标得到保证。2022-4-19基本概念 可靠性分配的系统原则和前提可靠性分配的本质是一个工程决策问题，应按系统工程原则：技术上合理，经济上效益
2、高，时间方面见效快。进行可靠性分配时，必须明确目标函数和约束条件。随着目标函数和约束条件的不同，可靠性的分配方法也会有所不同。2022-4-19等分配法 1、串联系统可靠度分配适用情况适用情况：当系统中n个单元具有近似的复杂程度、重要性以及制造成本时，则可用等分配法分配系统各单元的可靠度。niniisRRR1niRRnsi, 2 , 1, /1）（系统的可靠度各单元分配的可靠度sRiR2022-4-19等分配法 2、并联系统可靠度分配适用情况适用情况：当系统的可靠度指标要求很高（例如Rs0.99）而选用已有的单元又不能满足要求时，则可选用n个相同单元的并联系统。nisRR）（ 11niRRns
3、i, 2 , 1,11/1）（系统的可靠度各单元分配的可靠度sRiR2022-4-19等分配法 3、串并联系统可靠度分配做法做法：先将串并联系统化简为“等效串联系统”和“等效单元”，再给同级等效单元分配以相同的可靠度。123412S341S2342/11234SSRRR2/122343411）（SSRRR2/14334SRRR2022-4-19再分配法如果已知串联系统（或串并联系统的等效串联系统）各单元的可靠度预测值为 ，则系统的可靠度预测值为将各单元的可靠度预测值按由小到大的次序排列，则有nRRR21，niiSRR1nmmRRRRR1212022-4-19再分配法令并找出m值使则单元可靠度的
4、再分配可按下式进行021RRRRm110mnmiiSmRRRRRmnmiiSmRRRRR/1121nnmmmmRRRRRR,22112022-4-19例设串联系统4个单元的可靠度预测值由小到大的排列为若想设计规定串联系统的可靠度试进行可靠度再分配。解由于系统的可靠性预测值 不能满足设计指标，因此需要提高单元的可靠度，并进行可靠性再分配。再分配法9998.0,9856.0,9570.0,9507.04321RRRR9560.0SR8965.0SR2022-4-19设m=1,则因此需另设m值。设m=2，则有因此，分配有效，再分配的结果为再分配法211/143200138. 19998. 09856
5、. 09570. 09560. 0RRRRRRS9850. 09998. 09856. 09560. 02/12/1430RRRRS9856. 09850. 09570. 0302RRR9998. 0,9856. 0,9850. 0443321RRRRRR2022-4-19相对失效率法与相对失效概率法相对失效率法相对失效率法是使系统中各单元容许失效率正比于该单元的预计失效率值，并根据这一原则来分配系统中各单元的可靠度。此法适用于失效率为常数的串联系统。对于冗余系统，可将他们化简为串联系统候再按此法进行相对失效概率法相对失效概率法是根据使系统中各单元的容许失效概率正比于该单元的预计失效概率的原则
6、来分配系统中各单元的可靠度。相对失效率法和相对失效概率法统称为相对失效率法和相对失效概率法统称为“比例分配法比例分配法” 定义2022-4-19相对失效率法与相对失效概率法特点：串联系统的任一单元失效都将导致系统失效。特点：串联系统的任一单元失效都将导致系统失效。假定各单元的工作时间与系统的工作时间相同并取为t，i为第i各单元的预计失效率（i=1,2,n）, s为由单元预计失效率算得的系统失效率，若单元的可靠度服从指数分布则有：所以或 1、串联系统可靠度分配ttttSneeee21tttttSni21Snii12022-4-19相对失效率法与相对失效概率法由此可知，串联系统的可靠度为单元可靠度
7、之积，而系由此可知，串联系统的可靠度为单元可靠度之积，而系统的失效率则为各单元失效率之和。统的失效率则为各单元失效率之和。因此，在分配串联系统各单元的可靠度时，往往不是直因此，在分配串联系统各单元的可靠度时，往往不是直接对可靠度进行分配，而是把系统允许的失效率或不可接对可靠度进行分配，而是把系统允许的失效率或不可靠度（失效概率）合理地分配给各单元。靠度（失效概率）合理地分配给各单元。因此，按相对失效率的比例或按相对失效概率的比例进因此，按相对失效率的比例或按相对失效概率的比例进行分配比较方便。行分配比较方便。2022-4-19相对失效率法与相对失效概率法各单元的相对失效率则为显然有各单元的相对
8、失效概率亦可表达为), 2 , 1(1niwniiii11niiw), 2 , 1(1niFFwniiii2022-4-19相对失效率法与相对失效概率法若系统的可靠度设计指标为Rsd，则可求得系统失效率设计指标（即容许失效率）sd和系统失效概率设计指标分别为则系统各单元的容许失效率和容许失效概率分别为tRsdsdlnsdsdRF1sdniiisdiidw1sdniiisdiidFFFFwF12022-4-19相对失效率法与相对失效概率法 式中 分别为单元失效率和失效概率的预计值从而求得各单元分配的可靠度 为按相对失效率法为：按相对失效概率法为：exptRididiiF，idRididFR120
9、22-4-19相对失效率法与相对失效概率法例一个串联系统由三个单元组成，各单元的预计失效率分别为：要求工作20h时系统可靠度为：解 可按相对失效率法为各单元分配可靠度，其计算步骤为（1）预计失效率的确定系统失效率的预计值为：131211002.0,003.0,005.0hhh980.0SdR13101.0002.0003.0005.0hiiS2022-4-19相对失效率法与相对失效概率法（2）校核s能否满足系统的设计要求由预计失效率s所决定的工作20h的系统可靠度为因RsRsd，故需提高单元的可靠度并重新进行可靠度分配（3）计算各单元的相对失效率i980.08187.02 .02001.0sd
10、tsReeeRS5 . 0002. 0003. 0005. 0005. 0111niiw3 . 0122niiw2 . 0133niiw2022-4-19相对失效率法与相对失效概率法（4）计算系统的容许失效率sd（5）计算各单元的容许失效率id1001010. 0200202027. 020980. 0lnlnhtRsdsd113311221111000202. 0001010. 02 . 0000303. 0001010. 03 . 0000505. 0001010. 05 . 0hhwhhwhhwsddsddsdd2022-4-19相对失效率法与相对失效概率法（6）计算各单元分配的可靠度R
11、id(20)（7）检验系统可靠度是否满足要求故系统的设计可靠度Rsd(20)大于给定值0.980，即满足要求99597. 020000202. 0expexp)20(99396. 020000303. 0expexp)20(98995. 020000505. 0expexp)20(332211tRtRtRdddddd980. 09800053. 099597. 099396. 098995. 0)20()20()20()20(321ddddsRRRR2022-4-19相对失效率法与相对失效概率法对于具有冗余部分的串并联系统，要想把系统的可靠度指标直接分配给各个单元，计算比较复杂。通常是将每组并
12、联单元适当组合成单个单元，并将此单个单元看成是串联系统中并联部分的一个等效单元，这样便可用上述串联系统可靠度分配方法，将系统的容许失效率或失效概率分配给各个串联单元和等效单元。然后再确定并联部分中每个单元的容许失效率或失效概率。 2、冗余系统可靠度分配2022-4-19相对失效率法与相对失效概率法如果作为代替n个并联单元的等效单元在串联系统中分到的容许失效概率为FB，则可得式中Fi为第I个并联单元的容许失效概率。若已知各并联单元的预计失效概率 ，则可以取n-1个相对关系式niinBFFFFF121), 2 , 1(niFi1111331122,FFFFFFFFFFFFnn2022-4-19相对
13、失效率法与相对失效概率法例图所示的并联子系统由三个单元组成，已知它们的预计失效概率分别为：，如果该并联子系统在串联系统中的等效单元分得的容许失效概率 ，试计算并联子系统中各单元所容许的失效概率值。12. 0,06. 0,04. 0321FFF005. 0BF123S123S1232022-4-19相对失效率法与相对失效概率法解可按相对失效概率法为各单元分配可靠度，步骤为（1）列出各单元的预计失效概率Fi，计算预计可靠度（2）将并联子系统化简为一个等效单元，并画出化简过程图，如图所示。88. 01,12. 094. 01,06. 096. 01,04. 0333222111FRFFRFFRF20
14、22-4-19相对失效率法与相对失效概率法（3）求各分支的预计失效概率和预计可靠度第I分支：第II分支：10. 090. 01190. 09024. 094. 096. 0II21IRFRRR12. 088. 01188. 0IIII3IIRFRR2022-4-19相对失效率法与相对失效概率法（4）按并联子系统的等效单元所分得的总容许失效概率FB求各分支的容许失效概率，若FB=0.005则由IIIIIIIIIIIIIIIIB10. 012. 0,005. 0FFFFFFFFFFFF即0775. 00645. 0IIIFF2022-4-19（6）将分支的容许失效概率分配给该分支的各单元。由于第一
15、分支为两个串联单元，故应将FI=0.0645再分配给该两单元得（7）按列出最后的分配结果相对失效率法与相对失效概率法0387. 00645. 006. 004. 006. 00258. 00645. 006. 004. 004. 0I2122I2111FFFFFFFFFF9225. 00775. 0117750 . 09613. 00387. 0113870 . 09742. 00258. 0110258. 0333222111FRFFRFFRF，2022-4-19拉格朗日（Lagrangian）乘子法定义是一种将约束最优化问题转换为无约束最优化问题的求优方法。由于引进了一种待定系数拉格朗日乘
16、子，则可利用这种乘子将原约束最优化问题的目标函数和约束条件组合成一个称为拉格朗日函数的新目标函数，使新目标函数的无约束最优解就是原目标函数的约束最优解。2022-4-19拉格朗日（Lagrangian）乘子法当约束最优化问题为：时，则可构造拉格朗日函数为：式中,p, vXhtsxxxfXfvn21 0)( . .),()(min21pvvvhfL1)()()(XXX,TnTnxxx2121X2022-4-19拉格朗日（Lagrangian）乘子法即把p个待定乘子v(v=1,2,pn)亦作为变量，此时拉格朗日函数L(X, )的极值点存在的必要条件为解上式即可求得原问题的约束最优解,p, vL,n
17、, ixLvi21 021 0TnTnxxx*2*1*2*1*X2022-4-19拉格朗日（Lagrangian）乘子法例题某系统由n个子系统串联而成，子系统的可靠度Ri(i=1,2,n)和制造费用xi(i=1,2,n)之间的关系为式中i,i为常数。试用拉格朗日乘子法将系统的可靠度指标Rs分配给各子系统，并使系统的费用最小。解这是一个在 的约束条件下求使 为最小的问题。引入拉格朗日乘子，构造拉格朗日函数：)(1iiixieRniiSRR1niixXf1)()()(11niisniiRRxLX,2022-4-19拉格朗日（Lagrangian）乘子法若将费用xi表达成显式，则有将上式代入拉格朗日
18、函数，并用设计变量Ri代替xi，则拉格朗日函数又可改写为iiiiRx)1ln( )()1ln()(11niisniiiiRRRLR,2022-4-19拉格朗日（Lagrangian）乘子法解方程组即可求得系统费用最小时各子系统的分配可靠度,p, vL,n, ixLvi21 021 02022-4-19拉格朗日（Lagrangian）乘子法例如：当共有两个子系统，即I=1,2, 且已给出：Rs=0.80；1=0.90；1=4.0； 2=0.60；2=2.0，则拉格朗日函数表达为解联立方程组：21222111)1ln()1ln()(RRRRRLsR,00)1 (10)1 (12112222111R
19、RRLRRRLRRRLs2022-4-19拉格朗日（Lagrangian）乘子法得解联立方程组：将给定数据代入上式最终得21222111)1 (1)1 (1RRRRRRRRRsss21221180.0)1 (60.080.0)1 (90.080.0RRRRRR8757.0;9136.021RR2022-4-19AGREE分配法背景背景：该方法由美国电子设备可靠性顾问团（AGREE）提出，是一种比较完善的综合方法。因为考虑了系统的各单元或各子系统的复杂度，重要度，工作时间以及它们与系统之间的失效关系，故又称为“按单元的复杂度及重要度的分配法”。适用于各单元工作期间的失效率为常数的失效系统。202
20、2-4-19AGREE分配法单元或子系统的单元或子系统的复杂度复杂度的定义为的定义为：单元中所含的重要零件、组件（其失效会引起单元失效）的数目Ni(i=1,2,n)与系统中重要零、组件的总数N之比，即第i个单元的复杂度为假定：设备的寿命符合指数分布，则可靠度为), 2 , 1( niNNNNiiiiitieR2022-4-19AGREE分配法单元或子系统的单元或子系统的重要度重要度的定义为的定义为：该单元的失效而引起的系统失效的概率。表示为：考虑装置的重要度之后，把系统变成一个等效的串联系统，则系统的可靠度Rs可以表示为式中：个装置的故障总数第率个装置引起的系统故障由第iiikiisRR1ki
21、isiRRR112022-4-19AGREE分配法上式是由重要度的定义而导致的，其中Fi是某装置的故障概率， 是该装置的重要度，则有：对指数函数 ，反复运用这一近似式便可得kitikiiikiiisiieRFR111)1 (1 )1 (1 )1（kitkiiiisiiietR111 xexexx11时，有，当2022-4-19AGREE分配法分两种情况讨论：（1）等分配式对上述两边取对数得到因而得到待分配装置容许失效率 的分配值，用 表示，即对于指数型装置，已知 之后可求得可靠度的分配值。iiitksieRR/1iiistRkln1iisitkRlni*i*i2022-4-19AGREE分配法
22、分两种情况讨论：（2）考虑装置复杂度之后的分配公式对比等分配的算式，有下式成立：对上式两边取对数得到第i个装置分配容许失效率 为这种分配法在产品设计的方案阶段中应用，此法是应用于指数型系统，考虑子系统的复杂度和重要度的一种分配方法。iiiitNnsieRR/iisiitNRn)ln(*i2022-4-19AGREE分配法例要求某机载电子设备工作12h的可靠度为0.923，此设备各单元的有关数据如表所示，试对各分系统（设备）进行可靠度分配单元i单元中元器件数ni单元工作时间ti/h单元的重要系数i单元1（发动机）102121.0单元2（接收机）91121.0单元3（控制设备）242121.0单元
23、4（起飞自动装置）9530.3单元5（电源）40121.02022-4-19AGREE分配法解：已知系统可靠度为0.923，N=570首先计算平均无故障工作时间hhhhhhhhhh2134923. 0ln40120 . 1570167923. 0ln9533 .5701353923. 0ln242120 . 15701938923. 0ln91120 . 15701837923. 0ln102120 . 15701*5*5*4*4*3*3*2*2*1*12022-4-19AGREE分配法则得到分配给分系统（设备）的可靠度为9944. 09562. 09666. 09678. 09858. 02134/12*567/12*4353/12*3938/12*2837/12*1eReReReReR2022-4-19动态规划方法动态规划方法本方法是解决在满足规定的系统可靠性指标的条件下，本方法是解决在满足规定的系统可靠性指标的条件下，使费用或重要，或者尺寸等最小的优化问题。最常用使费用或重要，或者尺寸等最小的优化问题。最常用是使费用最小，下面即以最小费用为例。是使费用最小，下面即以最小费用为例。2022-4-19动态规划方法串联系统2022-4-19动态规划方法并联系统