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1、立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法空间空间“角角”问题问题空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角复习回顾 直线的方向向量:两点 平面的法向量：三点两线一方程 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)则(1)ab. a1b1a2b2a3b3 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面、的法向量分别为n1、n2.则l1l2或l1与l2重合 . l1l2 . 或与重合 . . l或l . l .复习回顾aba tbaba b 0n1n2n1tn2n1t an1 an1n2n1 n2 0n1 an1 a 0A B C D6S AA B C DS
2、 A = 8,MS AMB CS DN .如 图 所 示 ， 四 边 形是 边长 为的 正 方 形 ，平 面，是的 中 点 ，过和的 平 面 交于引例：(1)求二面角M-BC-D的平面角的正切值； (2)求CN与平面ABCD所成角的正切值；(3)求CN与BD所成角的余弦值；(4)求平面SBC与SDC所成角的正弦值 范围：范围： 0,2ABCD1D|一、线线角：一、线线角： ab，ab，设直线的方向向量为 ，的方向向量为CAaBbDaabb异面直线所成的锐角或直角异面直线所成的锐角或直角思考：思考：空间向量的夹角与空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么关系？异面直线的夹角有什么关系？结论：结论：c
3、oscos,CD AB |x xz zy y 向量法向量法A AD DC CB BD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1E E1 1F F1 1 传统法：平移传统法：平移例例1.如图所示的正方体中，已知如图所示的正方体中，已知F1与与E1为四等分点，为四等分点，求异面直线求异面直线DF1与与BE1的的夹角余弦值？夹角余弦值？所以 与 所成角的余弦值为A1AB1BC1C1D1Fxyz解：如图所示，建立空间直角坐标 系 ,如图所示，设 则： Cxyz11CC(1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0,1),( ,1)22 2FD所以：11(,0,1),2 AF111( ,
4、1)22 BD11cos, AF BD1111|AFBDAFBD 113041053421BD1AF3010练习：练习：090 ,中，现将沿着Rt ABCBCAABC平面的法向量ABC1，BCCACC11求与所成的角的余弦值.BDAF111平移到位置，已知ABC111111取、的中点、 ，ABACDF悟一法悟一法 利用向量求异面直线所成的角的步骤为：利用向量求异面直线所成的角的步骤为： (1)确定空间两条直线的方向向量；确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值；求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线线角与向量夹角的关系；当向量夹角为锐角时，确定线线角与向量夹角的关系；当向量夹
5、角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角量夹角的补角直线与平面所成角的范围： 0,2结论：结论：sin|cos,| n AB二、线面角：二、线面角：直线和直线在平面内的射影所成的直线和直线在平面内的射影所成的，叫做这条直线和这个平面所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角.思考：如何用空间向量的夹角思考：如何用空间向量的夹角表示线面角呢？表示线面角呢？n例例2、如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，中，求求A1B与平面与平面A1B1CD所成的角所成的角ABCDA1B1C1D1O向量法
6、向量法 传统法传统法ABCD1A1B1C1DMxyzBCD1A1B1C1DMN解：如图建立坐标系A-xyz,则(0,0,0),A)6 , 2 , 6(M可得由, 51NA)3 , 4 , 0(N).3 , 4 , 0(),6 , 2 , 6(NAMA由的法向量设平面),(zyxn 00nNAnMA0340626zyzyx即在长方体在长方体 中，中，ADANM求与平面所成的角的正弦值.练习：练习：1111ABCDABC D1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，15,AN , 61AA, 8, 6ADABABCD1A1B1C1DMNxyzBCD1A1B1C1DMN)34, 1
7、 , 1 (n得,34343)34(118|0810|222(0,8,0),AD 又又ADANM与平面所成角的正弦值是34343在长方体在长方体 中，中，ADANM求与平面所成的角的正弦值.练习：练习：1111ABCDABC D1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，15,AN , 61AA, 8, 6ADAB悟一法悟一法 利用向量法求直线与平面所成角的步骤为：利用向量法求直线与平面所成角的步骤为： (1)确定直线的方向向量和平面的法向量；确定直线的方向向量和平面的法向量； (2)求两个向量夹角的余弦值；求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为
8、锐角确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去等于这个夹角减去90.二面角的平面角必须满足：二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内）角的两边分别在两个面内 以二面角的以二面角的棱上任意一点棱上任意一点为端点，为端点，在在两个面内两个面内分别作分别作垂直于棱垂直于棱的两条射线，这的两条射线，这两条射线所成的两条射线所成的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的平面角。10 lOAB:
9、0,范 围三、面面角：三、面面角：ll三、面面角：三、面面角：向量法向量法 1n 1n 2n 2n 12n n ，12n n ，cos12cos, n ncos12cos, n n关键：观察二面角的范围关键：观察二面角的范围 证明：以证明：以 为正交基底，为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得建立空间直角坐标系如图。则可得1DA DC DD 、 、1(2 0 0)(0 2 0)(0 01)(2 2 2)(110)ACMBO， ， ， ， ， ，。1(2 01)(0 21)( 112)MAMCBO 所以， ， ， ， ， ， ，1120200220BO MABO MC ，11BOMABOMC
10、 所以 ， 11BOMABOMCMAMCC即 ， 。又1BOMAC所以平面 例例3.3.已知正方体已知正方体 的边长为的边长为2 2，O为为AC和和BD的交点，的交点，M为为 的中点的中点 （1 1）求证：）求证： 直线直线 面面MAC; （2 2）求二面角）求二面角 的余弦值的余弦值. .1111DCBAABCD1DDOB11BMA C B1A1 C1D1DCBAOMxyz1BOMAC由知 平面 B1A1 C1D1DCBAOMxyz1BOMAC所以是平面的一个法向量1(2 0 0)(0 01)(2 2 2)AMB由， ， ， ，得1()B MAnxyz设平面的一个法向量为， ，1(2 01)
11、(2 21)MAMB ， ， ， ，10020021-2220n MAn MBxzzxyxyz 所以，即 取 = 得 = ， =1(12 2)B MAn 所以平面的一个法向量为， ，1( 112)BO 且， ，11246cos669BO n ，166BMAC所以二面角的余弦值为。由图可知二面角为锐角由图可知二面角为锐角悟一法悟一法 利用法向量求二面角的步骤利用法向量求二面角的步骤 (1)确定二个平面的法向量；确定二个平面的法向量； (2)求两个法向量夹角的余弦值；求两个法向量夹角的余弦值； (3)确定二面角的范围；二面角的范围要通过图形确定二面角的范围；二面角的范围要通过图形观察观察，法向量一
12、般不能体现法向量一般不能体现练 习：如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC，AOC=90，SO面面OABC，且，且 OS=OC=BC=1，OA=2。求：。求： 异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余弦值，所成的角的余弦值， OS与面与面SAB所成角所成角的正弦值的正弦值 ， 二面角二面角BASO的余弦值。的余弦值。则A（2，0，0）；于是我们有OABCS解：如图建立直角坐标系，xyz=（2，0，-1）；SA=（-1，1，0）；AB=（1，1，0）；OB=（0，0，1）；OSB（1，1，0）；S（0，0，1），C（0，1，0）； O（0，0，0）；020zxyx令x=
13、1，则y=1，z=2；从而)2 , 1 , 1 (n36612,cossinnOSnOSnOS（2）设面SAB的法向量),(zyxn SAnABn,显然有OABCSxyzOBSAOBSAOBSA,cos.510252.由知面SAB的法向量 =（1，1，2） 1n又OC面AOS，OC 是面AOS的法向量，令)0 , 1 , 0(2OCn则有61,cos212121nnnnnn由于所求二面角的大小等于21,nnOABCSxyz二面角BASO的余弦值为66所以直线SA与OB所成角余弦值为510课堂小结：课堂小结：1.异面直线所成角： coscos,CD AB |CDAB1D2.直线与平面所成角： sincos, n AB |nOBA3.二面角：关键：观察二面角的范围关键：观察二面角的范围2n 1n12cos,n n求出u r u u r