第一章-极限与连续课件.ppt

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1、下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 1.1 函数函数 1.2 极限的概念极限的概念 1.3 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 1.4 极限的运算法则极限的运算法则 1.5 两个重要极限两个重要极限 1.6 函数的连续性函数的连续性 1.7 1.7 常用的经济函数常用的经济函数下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分1.1 函函 数数一、函数的概念一、函数的概念1. 区间与邻域区间与邻域 (1) (1) 区间区间: 包括有包括有: 开区间、闭区间和半开开区间、闭区间和半开半闭区间半闭区间. 开区间开区间 闭区间闭区间 左开右闭区间左开右闭区间 左闭右开区间左

2、闭右开区间bxaxba),(bxaxba,bxaxba,bxaxba,下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分区间也可以按其长度分为区间也可以按其长度分为: 有限区间和无限区间有限区间和无限区间. (2)(2) 邻域邻域 定义定义1.1 设设 为一实数为一实数, 为一正实数为一正实数,即即 则称集合则称集合 0 x ,0 0,0 xxx为为 点的点的 邻域邻域.0 x 若若 和和 均为有限的常数均为有限的常数, 则区间则区间ab),(,baba baba,均为有限区间均为有限区间 无限区间有无限区间有 ),(,),(,),(,abab下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微

3、积分部分点点 的的 邻域邻域, 在几何上表示的是以在几何上表示的是以 为园心为园心, 以以 为半径的开区间为半径的开区间 其区间长度为其区间长度为0 x0 x 2),(00 xx见下图所示见下图所示 000)(xxx 2 注意注意: 一般一般 邻域内的点是指在邻域内的点是指在 点附近的点附近的点点,故应将故应将 理解为比较小的正数理解为比较小的正数.0 x 0 x2. 函数的定义函数的定义下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 定义定义1.2: 设设 和和 分别为两个实数集合分别为两个实数集合, 为一对应关系为一对应关系, 如果对于如果对于 中的每一个元素中的每一个元素 按按照

4、对应关系照对应关系 在集合在集合 中均有唯一的一个实数中均有唯一的一个实数 与之对应与之对应,即即 则称变量则称变量 为变量为变量 的的函数函数,记作记作 其中其中 称为因变量称为因变量, 称为称为自变量自变量, 称为对应法则称为对应法则, 称为该函数的定义称为该函数的定义域域.DEfDxfEy,:yxfyx.)(xfy xyfD 关于该定义应注意关于该定义应注意 当函数的定义域和对应法则确定了以后当函数的定义域和对应法则确定了以后,该函该函数便被唯一的确定了数便被唯一的确定了,因此称因此称函数的定义域和对应函数的定义域和对应法则为确定函数关系的两大要素法则为确定函数关系的两大要素. 下页下页

5、 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 例例1 判断下列各组函数是否相同判断下列各组函数是否相同00)2(xxxxyxy和和xxyxy2)1(和和 解解 (1)(1) 不同不同. 因为因为 的定义域是的定义域是而而 的定义域为的定义域为 .显然它们的定义域显然它们的定义域xy xxxy2 0 x不同不同. (2)(2) 相同相同. 因为它们的定义域均为全体实数相因为它们的定义域均为全体实数相同同, 且对应法则也相同且对应法则也相同下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 3. 函数的定义域函数的定义域 函数的定义域函数的定义域, 是使函数有意义的自变量的取是使函数有意义的

6、自变量的取值的范围值的范围. 求函数的定义域时应注意求函数的定义域时应注意 (1)(1) 应考虑自变量与因变量有无实际意义应考虑自变量与因变量有无实际意义; (2)(2) 如果一个函数是若干项的代数和如果一个函数是若干项的代数和, 则分别则分别求出每一项的取值范围后求出每一项的取值范围后, 取其交集合即可定义取其交集合即可定义域域; (3)(3) 对于分段函数来说对于分段函数来说, 其定义域就是各区间其定义域就是各区间的并集合的并集合;下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分01 xx且且 解解 (1) 要使该函数有意义要使该函数有意义, 须有须有 0012xx 解解之得之得故该

7、函数的定义域为故该函数的定义域为)0( xx故该函数的定义域为故该函数的定义域为 5, 1 1321x 例例2 求下列函数的定义域求下列函数的定义域21)1(xxy32arcsin)2(xy(2)(2)要使该函数有意义要使该函数有意义, 须有须有解之得解之得51x下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分xyxysin,3 (2) 图象法图象法(图形法图形法). 如函数如函数 2xy的图象为的图象为 (3) 列表法列表法(表格法表格法) 4. 函数的表示法函数的表示法 (1) 解析法解析法(公式法公式法). 如函数如函数2xy xyo 注意注意:有些函数是多有些函数是多个个( (两

8、个或两个以上两个或两个以上) )解解析式表示一个函数析式表示一个函数, 数学数学上称这种上称这种函数为函数为分段函分段函数数.二、函数的几种特征二、函数的几种特征 下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 1 奇偶性奇偶性: 设函数设函数 在区间在区间 上有上有定义定义, 如果对于任意如果对于任意 , 都有都有 ,则则称该函数为奇函数称该函数为奇函数 ; 若对于任意若对于任意 ,都有都有)(xfy),(ba),(bax)()(xfxf),(bax)()(xfxf则称该函数为偶函数则称该函数为偶函数.xxxf2)() 1 (32)() 2(xxeexf2sin)()4(xxf2)(

9、)3(xxxf例例3 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性解解(1)(1) 因为因为 )()2(2)( 2)(333xfxxxxxxxf 下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 (3)(3) 因为因为 的定义域为的定义域为 所以函数所以函数 无奇偶性无奇偶性,是非奇非偶函数是非奇非偶函数.所以函数所以函数 是奇函数是奇函数. (2)因为因为xxxf2)(3 )(222)()(xfeeeeeexfxxxxxx 2)(xxeexf 2)(xxxf 0 xxD2)(xxxf Dx 而而Dx 虽然虽然所以所以 是偶函数是偶函数下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分

10、注注: 奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图偶函数的图象关于象关于y轴对称轴对称. (4) 因为因为 所以函数所以函数 是偶函数是偶函数. )(sinsin)(22xfxxxf 2sin)(xxf 2. 单调性单调性 设函数设函数 在在 上有定义上有定义,对任意对任意)(xfy DDxx 21,如果如果 ,则必有则必有 ,则称函数则称函数21xx )()(21xfxf )(xfy 在在 上单调递增上单调递增;如果如果 ,则必有则必有 , 则称函数则称函数 在在 上单调递减上单调递减.D21xx )()(21xfxf )(xfy D注注: 单调递增的函数其图象从左到右是

11、上升的单调递增的函数其图象从左到右是上升的,下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分而单调递减的函数其图象从左到右是下降的而单调递减的函数其图象从左到右是下降的.见下图见下图yyxxoo 例如例如 函数函数 在区间在区间 上单调递上单调递增增,在区间在区间 上单调递减上单调递减; 而函数而函数在定义域在定义域 上均单调递增上均单调递增. 其图象如下其图象如下: 2)(xxf 3)(xxf ), 0( )0,( ),( 单调递增单调递增 单调递减单调递减2)(xxf yxo3)(xxf yxo 单调性递增开始演示单调性递增开始演示!单调性递减开始演示单调性演示结束单调性演示结束!下

12、页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 3.周期性周期性 注意注意: (1) 说函数递增还是递减时说函数递增还是递减时, 应明确指出在应明确指出在哪一个区间上哪一个区间上. 因同一个函数在不同的区间上单因同一个函数在不同的区间上单调性可能不同调性可能不同.如函数如函数 (2) 当一个函数在当一个函数在其定义域其定义域 上均单调递增上均单调递增(或递减或递减)时时, 才称该函数才称该函数为单调函数为单调函数. 如如 是单调函数是单调函数.2)(xxf 3)(xxf D 设函数设函数 在在 上有定义上有定义, 如果存在常数如果存在常数 使得对于使得对于 中的任意中的任意 , 都有都有

13、 则称该则称该函数为周期函数函数为周期函数, 且称且称 为该函数的周期为该函数的周期.)(xfy DTDx)()(xfxTf T 如函数如函数 均是周期函数均是周期函数, 其周期分别为其周期分别为xyxyxyxycot,tan,cos,sin 和和2下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 4.有界性有界性 设函数设函数 在在 上有定义上有定义, 如果存在正数如果存在正数 ,使得对于任意使得对于任意 ,都有都有 恒成立恒成立. 则称该则称该函数在区间函数在区间 上有界上有界. 否则否则, 称该函数称该函数 在在区间区间 上无界上无界.)(xfy DMDx Mxf )(DD)(xf

14、y 如函数如函数 在区间在区间 上有界上有界, 因在因在该区间上恒有该区间上恒有 成立成立; 在区间在区间 上无上无界界.而函数而函数 在其定义域在其定义域 R有界有界.xy1 11 x,1)1,0(xysin下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 注意注意: (1)说一个函数是否有界说一个函数是否有界, 一般要指出一般要指出区间区间.因同一个函数因同一个函数,在某区间上可能有界在某区间上可能有界,而在另而在另一个区间上可能会无界一个区间上可能会无界. (2) 若一个函数在其定义若一个函数在其定义域上有界时域上有界时,可以不说区间可以不说区间, 这时称函数是有界函这时称函数是有

15、界函数数. 三三、反函数反函数1.反函数的定义反函数的定义B B 定义定义1.3 设函数设函数 的定义域为集合的定义域为集合A, 其其值域为值域为B, 如果对于如果对于B中的每一个元素中的每一个元素 , 在集合在集合A中都有唯一确定的中都有唯一确定的 与之对应与之对应, 则说在集合则说在集合B上定上定义了一个函数义了一个函数,则说在集合则说在集合B上定义了一个函数上定义了一个函数, 称该函数为称该函数为 的反函数的反函数, 记作记作)(xfy )(xfy )(1yfx y下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 注注1: 易见反函数易见反函数 的定义域的定义域B即是原来即是原来函

16、数函数 的值域的值域, 而其值域即是原来函数的定而其值域即是原来函数的定义域义域.)(1yfx )(xfy 注注2: 为了合呼我们的习惯为了合呼我们的习惯, 常把常把 中的中的 换为换为 , 把把 换为换为 , 从而的得从而的得 . 由于并不由于并不改变其定义域和对应法则改变其定义域和对应法则, 所以它们是相同的函所以它们是相同的函数数.)(1yfx xyyx)(1xfy 注注3: 函数函数 与与 互为反函数互为反函数)(xfy )(1xfy 2.反函数的性质反函数的性质下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 (1) 单调函数必有反函数单调函数必有反函数, 且其反函数的单调且其

17、反函数的单调性与原来函数的单调性一致性与原来函数的单调性一致. (2) (2) 函数函数 与其反函数与其反函数 的图的图象关于直线象关于直线 对称对称.)(xfy )(1xfy xy 3.反函数的求法反函数的求法例例4 求求 的反函数的反函数23 xy 反函数的求法分三步反函数的求法分三步: 从从 中解中解出出 ;判断判断 中的中的 与与 是否一一对应是否一一对应; 若一个若一个 对应唯一一个对应唯一一个 , 则将其则将其 换为换为 , 换换为为 ,即得函数即得函数 的反函数的反函数.)(xfy )(1yfx yxyxxyyx)(xfy x下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分

18、 解解 从从 中解出中解出 ,得得23 xyx32 yx显然显然, 每一个每一个 均对应唯一的一个均对应唯一的一个 , 所以更换所以更换变量得其反函数为变量得其反函数为yx32 xy四四、基本初等函数基本初等函数 1.常函数常函数 cy 2.幂函数幂函数. xy )(为为实实数数 3.指数函数指数函数)1, 0( . aaayx4.对数函数对数函数1)a0,(axlogya cotxytanxycosxysinxy 5.三角函数三角函数6.反三角函数反三角函数xarcyarctanxyarccosxyarcsinxycot 下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分1.常函数常函数

19、 2.幂函数幂函数yxoxocy y2xy xy1 xy 3.指数函数指数函数 4.对数函数对数函数oyxoyx) 1( aayx) 10 ( aayx) 1(log axya) 10 (log xxya 基本初等函数图象如下基本初等函数图象如下下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分5.三角函数三角函数x oy 2 1 12 xysin yxo2 2 11 xycos xytan xycot o2 2 23 23 xyo2 2 23 2xy下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 6.反三角函数反三角函数2 2 o1 1xy o1 1xyarcsin xyarcc

20、os yx2 2 oo xyyx2 xyarctan xarcycot 因为因为 在其定义域内不单调在其定义域内不单调,因此因此在整个定义域内没有反函数在整个定义域内没有反函数.为了求其反函数为了求其反函数,我我们需要缩小定义范围们需要缩小定义范围,所定义的新区间应满足以下所定义的新区间应满足以下三个条件三个条件:在所定义的区间上必须单调在所定义的区间上必须单调; ;所定所定义的区间应尽可能的大一些义的区间应尽可能的大一些;所定义的区间要包所定义的区间要包含坐标原点在内含坐标原点在内(或尽可能靠近坐标原点或尽可能靠近坐标原点).)(sinxxy于是于是,选择区间选择区间 最合适最合适2,2 y

21、 2 1 12 xysin ) 11(arcsinyyx解解之之得得因为上式不太合呼大因为上式不太合呼大家的习惯家的习惯,所以常做变所以常做变量的更换量的更换,得得) 11(arcsinxxy由反函数的图象对称性可做出其图象为由反函数的图象对称性可做出其图象为:xyarcsin下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 五五、初等函数初等函数 注注1: 条件条件 非常重要非常重要, 只有满足只有满足了该条件后了该条件后,两个函数才可复合两个函数才可复合, 否则就不是复否则就不是复合函数合函数. ED称称 为简单函数为简单函数. 定义定义: 设设 是是 的函数的函数 , 且其定义且其

22、定义域为域为 ,而而 又是又是 的函数的函数 , 其值域为其值域为 , 如果满足如果满足 , 则则 必是必是 的函数的函数 , 称该函数为复合函数称该函数为复合函数,其中其中 称为中间变量称为中间变量, yu)(ufy Dux)(xu E EDyx )(xfy u)(),(xuufy 1.复合函数复合函数下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 例如例如 就可以复合就可以复合, 因为前一个因为前一个函数的定义域为函数的定义域为 , 而后一个函数的值域而后一个函数的值域为为 , 其交集合非空其交集合非空, 所以所以 是复合函数是复合函数. 而而 与与0 x xxuuyln, xyl

23、n uyarcsin 22 xu 就不能复合就不能复合, 因为第一个函数的定义域为因为第一个函数的定义域为 1, 1 而第二个函数的值域为而第二个函数的值域为 , 显然其交集显然其交集合为空集合为空集,不满足复合的条件不满足复合的条件. , 2 注注2: 中间变量可以有多个中间变量可以有多个. 如如 复合复合后为后为1,sin,223 xsswwvvuyu1sin232 xy 中间变量就有中间变量就有4个个下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 注注3: 将简单函数变为复合函数的过程称为复合将简单函数变为复合函数的过程称为复合过程过程, 而把复合函数变为简单函数的过程称为拆分而

24、把复合函数变为简单函数的过程称为拆分过程过程. 复合时应从后往前逐个回代复合时应从后往前逐个回代, 而拆分时应由外而拆分时应由外往内逐个拆开往内逐个拆开. 2.初等函数初等函数 由基本初等函数经过有限次复合由基本初等函数经过有限次复合,以及四则运以及四则运算以后算以后, 且能够用一个式子表达的函数统称为初等且能够用一个式子表达的函数统称为初等函数函数. 如函数如函数)1lg()1ln(1sin22 xxyxxyxy下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 00 xxxxy等等均是初等函数等等均是初等函数. 321xxxy 而而 111111xxxxxy均不是初等函数均不是初等函数

25、下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 1.2 极限的概念极限的概念 一一、数列的极限数列的极限 1.数列数列 就称为一个数列就称为一个数列, 记作记作 , 其中每一个数称为数其中每一个数称为数列的一个项列的一个项, 第一项称为首项第一项称为首项, 第第 项称为通项项称为通项(或一般项或一般项) 定义定义: 无穷多个按照某种规律排列起来的一无穷多个按照某种规律排列起来的一列数列数n nx,321nxxxx,1,54,43,32,21 nn如如:(1) (2) (3) (4),1,41,31,21,1n ,1,1,1,1,11 n,2,8,6,4,2n下页下页 返回返回上页上页第

26、一章 极限与连续微积分部分 关于数列概念应注意以下几点关于数列概念应注意以下几点 例如例如 数列数列 实际上就是实际上就是函数函数 的函数值的函数值,1,41,31,21,1n,4,3,2,11 nnyn(2)数列一般有三种表示方式数列一般有三种表示方式一般形式一般形式. 如如函数形式函数形式. 如如 数列数列简化形式简化形式. 如如 数列数列,1,54,43,32,21 nnNnnnnf ,1)( 1nn (1) (1)数列实际上是定义在自然数集合上的函数数列实际上是定义在自然数集合上的函数,将其函数值按自然数依次增大的顺序排列起来所将其函数值按自然数依次增大的顺序排列起来所得到的得到的.因

27、此数列也常常记作因此数列也常常记作 或或)(nfyn Nn )(nf下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分2.数列的极限数列的极限让我们一起先观看一段演示让我们一起先观看一段演示3S4S5S6S7S8S圆圆S随着圆内接正多边形边数的不断增加随着圆内接正多边形边数的不断增加,其圆内其圆内接正多边形的面积愈来愈趋向于圆的面积接正多边形的面积愈来愈趋向于圆的面积,即即数列数列 以圆面积以圆面积 为极限为极限nSSSSSSS,876543圆圆S下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 先看数列先看数列,1,41,31,21,1n变化趋势演示变化趋势演示n1 1 2 3 4

28、 5 6 7 8 注意小球的变化 为了进一步了解数列的极限为了进一步了解数列的极限,下面我们再观察几下面我们再观察几个数列随着个数列随着 的不断增大的不断增大, 它能否趋向于一个常数它能否趋向于一个常数.n1)(nf下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分2.数列的极限数列的极限,1,41,31,21,1n 数列的极限就是数列的变化趋势数列的极限就是数列的变化趋势, 为此为此, 先观察先观察几个数列随着几个数列随着 的不断增大的不断增大, 它能否趋向于一个常数它能否趋向于一个常数.先看数列先看数列变化趋势演示变化趋势演示n1 1 2 3 4 5 6 7 8 注意小球的变化n1)(

29、nf213141516171 正在演示正在演示下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分,1,41,31,21,1n n 1 2 3 4 5 6 7 81 从以上演示可见从以上演示可见: 小红球随着小红球随着 的不断增大的不断增大, 越来越靠近横轴越来越靠近横轴, 因此数列因此数列 趋向于零趋向于零.n n1演演 示示 结结 束束)(nf2113141516171下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 1 1 2 3 4 5 6 7 8n21再观察数列再观察数列 的变化趋势的变化趋势,1,54,43,32,21 nn注意小球的变化注意小球的变化32435465768

30、798)(nf下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 1 1 2 3 4 5 6 7 8n21再观察数列再观察数列 的变化趋势的变化趋势,1,54,43,32,21 nn 正在演示正在演示 注意小球的变化注意小球的变化32435465768798)(nf下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 1 1 2 3 4 5 6 7 8n21,1,54,43,32,21 nn可见数列可见数列 的变化趋势如下的变化趋势如下32435465768798 从该数列的演示易见从该数列的演示易见, 随着随着 的不断增大的不断增大, 小小球越来越接近于直线球越来越接近于直线 , 所以

31、数列所以数列 趋向于趋向于1.演演 示示 结结 束束n 1nn)(nf1)( nf下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 再观察数列再观察数列 的变化趋势的变化趋势 ,1, 1, 1, 1, 11 n1 1注意小球的变化注意小球的变化 1 2 3 4 5 6 7nny下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 再观察数列再观察数列 的变化趋势的变化趋势 ,1, 1, 1, 1, 11 n1 1注意小球的变化注意小球的变化 1 2 3 4 5 6 7n 正在演示正在演示ny下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 再观察数列再观察数列 的变化趋势的变化趋

32、势 ,1, 1, 1, 1, 11 n1 1 1 2 3 4 5 6 7n 易见小球在上下摆动中易见小球在上下摆动中, 其摆动的幅度始终其摆动的幅度始终不变不变,因此因此,该数列不趋于任何常数该数列不趋于任何常数演 示 结 束ny下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 最后最后,观察一下数列观察一下数列,2,8,6,4,2n的变化趋势的变化趋势.12 10 8 6 4 21 2 3 4 5 6 7n注意小球的变化ny下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 最后最后,观察一下数列观察一下数列,2,8,6,4,2n的变化趋势的变化趋势.12 10 8 6 4 21

33、2 3 4 5 6 7n 正在演示正在演示ny下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 最后最后,观察一下数列观察一下数列,2,8,6,4,2n的变化趋势的变化趋势.12 10 8 6 4 21 2 3 4 5 6 7n 显见小显见小球随着球随着 的不断增的不断增大愈来愈大愈来愈向上移动向上移动, 永无止径永无止径,因此因此, 数数列列 随着随着 的增大的增大, 趋向于无趋向于无穷大穷大.n n2n 演示结束ny下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 综上可见综上可见, 有的数列随着有的数列随着 的不断增大的不断增大, 会逐会逐渐趋向于某一个常数渐趋向于某一个常数

34、, 而有些数列则不会趋向于一而有些数列则不会趋向于一个常数个常数n 如数列如数列 均收敛均收敛, 且且 1,1nnn 定义定义 如果数列如果数列 当当 趋向于无穷大时趋向于无穷大时, 能够趋向于某一个常数能够趋向于某一个常数A , 则说该数列收敛则说该数列收敛, 此时此时称称A为数列为数列 的极限的极限, 记作记作 若该数列不能够趋向于一个常数若该数列不能够趋向于一个常数, 则说该数则说该数列发散列发散(或说不收敛或说不收敛).n )(nf)()()(lim nAnfAnfn或或 )(nf下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 01lim nn11lim nnn 而数列而数列

35、和数列和数列 均发散均发散. 11 n n2二二、函数的极限函数的极限xy1 yxoxy1 yxo单击 开始演示 让我们观察一下函数让我们观察一下函数 当自变量当自变量 的绝的绝对值对值 无限增大时无限增大时, 其函数值的变化情况其函数值的变化情况.xxxy1 1.当当 时函数的极限时函数的极限x下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 xy1 yxoxy1 yxo 正在演示 让我们观察一下函数让我们观察一下函数 当自变量当自变量 的绝的绝对值对值 无限增大时无限增大时, 其函数值的变化情况其函数值的变化情况. 01lim nn11lim nnn 而数列而数列 和数列和数列 均发

36、散均发散. 11 n n2二二、函数的极限函数的极限1.当当 时函数的极限时函数的极限xxxy1 x下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 xy1 yxoxy1 yxo 易见易见,随着随着 的无的无限增大限增大, 小红球愈来愈小红球愈来愈靠近于靠近于 轴轴, 即其函数即其函数值逐渐趋于零值逐渐趋于零. xx演示结束演示结束 让我们观察一下函数让我们观察一下函数 当自变量当自变量 的绝的绝对值对值 无限增大时无限增大时, 其函数值的变化情况其函数值的变化情况. 01lim nn11lim nnn 而数列而数列 和数列和数列 均发散均发散. 11 n n2二二、函数的极限函数的极限

37、1.当当 时函数的极限时函数的极限xxxy1 x下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 从该例可见从该例可见:当当 趋于无穷大时趋于无穷大时, 趋于常数趋于常数0, 此时我们称此时我们称0是函数是函数 当当 趋于无穷大时趋于无穷大时的极限的极限.xxy1 xx1 一般一般 定义定义: 如果存在常数如果存在常数A, 使得当使得当 无限增大无限增大时时,函数函数 趋向于趋向于A, 则称则称A为函数为函数 当当 趋趋于无穷大时的极限于无穷大时的极限,记作记作 或或x)(xf)(xfxAxfx )(lim)()( xAxf注意注意: )()(无无限限增增大大时时当当无无限限增增大大时时

38、当当xxxxx几何上为几何上为 x xoyxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分如如03lim xx021lim xx 2.当当 时函数的极限时函数的极限0 xx 时的变化趋势时的变化趋势 先观察函数先观察函数 和函数和函数 当当1)( xxf11)(2 xxxg1xyy2211ooxxxxxx 演示演示1)( xxf11)(2 xxxg下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 yy2211ooxxxx正在演示正在演示1)( xxf11)(2 xxxg 如如03lim xx021lim xx 2.当当 时函数的极限时函数

39、的极限0 xx 先观察函数先观察函数 和函数和函数 当当1)( xxf11)(2 xxxg1x 时的变化趋势时的变化趋势下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 yy2211ooxxxxxx正在演示正在演示1)( xxf11)(2 xxxg 时的变化趋势时的变化趋势如如03lim xx021lim xx 2.当当 时函数的极限时函数的极限0 xx 先观察函数先观察函数 和函数和函数 当当1)( xxf11)(2 xxxg1x下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 yy2211ooxxxxxx正在演示正在演示1)( xxf11)(2 xxxg 时的变化趋势时的变化趋

40、势如如03lim xx021lim xx 2.当当 时函数的极限时函数的极限0 xx 先观察函数先观察函数 和函数和函数 当当1)( xxf11)(2 xxxg1x下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 yy2211ooxxx x演示结束演示结束易见当易见当 时时1x21)( xxf 演示暂停请稍候演示暂停请稍候1)( xxf11)(2 xxxg 时的变化趋势时的变化趋势如如03lim xx021lim xx 2.当当 时函数的极限时函数的极限0 xx 先观察函数先观察函数 和函数和函数 当当1)( xxf11)(2 xxxg1x下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积

41、分部分 yy2211oo11)(2 xxxgxxxxxx开始演示开始演示1)( xxf 时的变化趋势时的变化趋势如如03lim xx021lim xx 2.当当 时函数的极限时函数的极限0 xx 先观察函数先观察函数 和函数和函数 当当1)( xxf11)(2 xxxg1x下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 yy2211ooxxxx正在演示正在演示xx1)( xxf11)(2 xxxg 时的变化趋势时的变化趋势如如03lim xx021lim xx 2.当当 时函数的极限时函数的极限0 xx 先观察函数先观察函数 和函数和函数 当当1)( xxf11)(2 xxxg1x下页

42、下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 yy2211ooxxxxxx正在演示正在演示1)( xxf11)(2 xxxg 时的变化趋势时的变化趋势如如03lim xx021lim xx 2.当当 时函数的极限时函数的极限0 xx 先观察函数先观察函数 和函数和函数 当当1)( xxf11)(2 xxxg1x下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 yy2211ooxxxxxx正在演示正在演示1)( xxf11)(2 xxxg 时的变化趋势时的变化趋势如如03lim xx021lim xx 2.当当 时函数的极限时函数的极限0 xx 先观察函数先观察函数 和函数和函数 当

43、当1)( xxf11)(2 xxxg1x下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 yy2211oo1)( xxfxxxx演示结束演示结束xx易见当易见当 时有时有211)(2 xxxg1x11)(2 xxxg 时的变化趋势时的变化趋势如如03lim xx021lim xx 2.当当 时函数的极限时函数的极限0 xx 先观察函数先观察函数 和函数和函数 当当1)( xxf11)(2 xxxg1x下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 如如211lim, 21lim211xxxxx 注意两点注意两点 (1) 意思是意思是 无限靠近于无限靠近于 ,但但 , 因此因此点有

44、无极限与函数在该点有无定义毫无关系点有无极限与函数在该点有无定义毫无关系. 0 xxx0 x0 xx 定义定义: 如果存在常数如果存在常数A, 使得当使得当 无限接近于无限接近于 时时, 有有 趋近于趋近于A, 则称则称A为当为当 时函数时函数 的极限的极限,记作记作 Axfxx )(lim00 xxx0 x)(xf)(xf下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 称称 时函数时函数 的极限为左极限的极限为左极限, 记作记作 0 xx)(xf)(lim0 xfxx 时时点点的的右右边边趋趋向向于于从从当当时时点点的的左左边边趋趋向向于于从从当当0000000 xxxxxxxxxx

45、xx(2)(2)称称 时函数时函数 的极限为右极限的极限为右极限,记作记作 0 xx)(xf)(lim0 xfxx 0 x)(00 xxxx 左极限左极限右极限右极限)(00 xxxx下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 解解 因为因为1)1(lim)(lim00 xxfxx1)1(lim)(lim00 xxfxx所以极限所以极限 不存在不存在)(lim0 xfx 定理定理 极限极限 存在的充分必要条件存在的充分必要条件是左极限是左极限 和右极限和右极限 均存在均存在, 且都等于且都等于)(lim0 xfxx )(lim0 xfxx AAxfxx)(lim0 例例1 设设 0

46、101)(xxxxxf)(lim0 xfx讨论极限讨论极限 是否存在是否存在?下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 (1)(1) 唯一性唯一性: 极限值如果存在极限值如果存在,则必唯一则必唯一. 例例2 设设 求求 1211)(2xxxxxf)(lim1xfx 解解 因为因为所以所以 存在存在. 2) 1(lim)(lim, 22lim)(lim21111 xxfxxfxxxx2)(lim1 xfx例例3 讨论极限讨论极限 是否存在是否存在?xex10lim 解解 因为因为 而而所以极限所以极限 不存在不存在.0lim10 xex xex10limxex10lim 三三、极限

47、的性质极限的性质Axfxxx )(lim)(0;0 A当当 时必有时必有0)( xf. 0 A(2)(2) 保号性保号性: 设设 则当则当 时必有时必有0)( xf当当 时时所以所以 0 xx1xxe10lim当当 时时所以所以0 xx10lim10 xxe下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 1.3 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 一一、无穷小量无穷小量1.无穷小量的定义无穷小量的定义 如果变量如果变量 的极限是零的极限是零,则称变量则称变量 为无穷小量为无穷小量.YY注意几点注意几点:例如例如 是当是当 时的无穷小量时的无穷小量 是当是当 时的无穷小量时的无穷小量

48、是当是当 时的无穷小量时的无穷小量 是当是当 时的无穷小量时的无穷小量 12 xx1 xxsin 0 xxe x1x下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 (1)一般一般, 说一个变量是无穷小量说一个变量是无穷小量, 必须指出其必须指出其变化过程变化过程.因同一个变量在不同的变化过程中会有因同一个变量在不同的变化过程中会有不同的变化趋势不同的变化趋势,即不同的极限值即不同的极限值. (2)由于无论在什么样的变化过程中由于无论在什么样的变化过程中, 数数 0 的极的极限永远为零限永远为零, 所以它是无穷小量所以它是无穷小量, 且只有它可以不且只有它可以不指出变化过程指出变化过程.

49、 (3)不能把无穷小量理解为是很小的数不能把无穷小量理解为是很小的数, 关键是关键是要看其极限是否为零要看其极限是否为零.2.无穷小量的性质无穷小量的性质性质性质1 两个无穷小量的代数和还是无穷小量两个无穷小量的代数和还是无穷小量.性质性质2 两个无穷小量的乘积还是无穷小量两个无穷小量的乘积还是无穷小量. 注意注意: (1)这两个性质均可以推广到有限上去这两个性质均可以推广到有限上去;下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 (2)无穷小量的变化过程相同时无穷小量的变化过程相同时, 以上性质以上性质才成立才成立. 否则不能相加减及乘积的否则不能相加减及乘积的. 性质性质3 有界量

50、与无穷小量的乘积还是无穷小量有界量与无穷小量的乘积还是无穷小量. 注意注意: 有界量包括有界量包括常量常量;有界函数有界函数;在在无穷小量的变化过程中有极限的函数无穷小量的变化过程中有极限的函数.例如例如09)32(lim, 0sin1lim, 0sin3lim230 xxxxxxxx 常量常量 有界函数有界函数有极限的函数有极限的函数有界量有界量二二、无穷大量无穷大量1.无穷大量的定义无穷大量的定义如果一个变量在它的变化过程中如果一个变量在它的变化过程中, 其绝对值其绝对值可以可以下页下页 返回返回上页上页第一章 极限与连续微积分部分 无限增大无限增大, 则称该变量为其变化过程中的无穷大量则