焊接数值模拟PPT课件.ppt

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1、材料加工过程的数值模拟第二章：温度场数值模拟焊接数值计算焊接数值计算1材料焊接过程的数值模拟材料加工过程的数值模拟焊接数值计算焊接数值计算2 概述概述焊接过程数值分析的内容焊接过程的特点焊接过程中温度应力和变形组织转变的关系焊接过程数值分析的主要困难焊接过程的数值模拟焊接过程的数值模拟 焊接数值计算焊接数值计算3焊接数值分析的内容焊接熔池中的流体动力学和热过程焊接熔池中的流体动力学和热过程热源与金属的相互作用热源与金属的相互作用 焊接电弧物理，焊接电弧的传热与传质焊接电弧物理，焊接电弧的传热与传质电弧作用于熔池表面的热能和压力分布电弧作用于熔池表面的热能和压力分布熔池表面的变形熔池表面的变形液

2、态金属的蒸发液态金属的蒸发氢及氮氧等在熔池及环境之间的分配氢及氮氧等在熔池及环境之间的分配焊接冶金和焊接接头组织性能的预测，包括相变过程焊接冶金和焊接接头组织性能的预测，包括相变过程焊接应力与变形焊接应力与变形焊接过程中的氢扩散焊接过程中的氢扩散特种焊的数值模拟特种焊的数值模拟 电阻点焊电阻点焊 陶瓷金属的焊接陶瓷金属的焊接 激光焊的熔化和凝固激光焊的熔化和凝固 瞬态液相连接（过渡液相焊）瞬态液相连接（过渡液相焊） 搅拌摩擦焊搅拌摩擦焊焊接接头的力学行为焊接裂纹焊接接头的力学行为焊接裂纹 热裂纹，冷裂纹，裂纹的热裂纹，冷裂纹，裂纹的 形成和扩展，形成和扩展， 焊接接头的不均匀性焊接接头的不均匀

3、性 焊接断裂力学焊接断裂力学焊接数值计算焊接数值计算4焊接数值模拟的研究：电弧焊焊接数值模拟的研究：电弧焊电弧部分电弧部分 流场、温度场、电场流场、温度场、电场 研究各种工艺参数（电流、电压、弧柱气氛，电极伸出长度等等）对温度场，电研究各种工艺参数（电流、电压、弧柱气氛，电极伸出长度等等）对温度场，电流密度，压降分布以及熔滴过渡过程的影响规律流密度，压降分布以及熔滴过渡过程的影响规律熔池部分熔池部分 熔池形状熔池形状 流场、温度场，主要研究成分和工艺因素对熔池形状的影响，针对焊缝形状控制流场、温度场，主要研究成分和工艺因素对熔池形状的影响，针对焊缝形状控制 冶金过程冶金过程熔池中气体的吸收熔池

4、中气体的吸收各种氧化物氮化物的形成及其作为非均质核心的可能各种氧化物氮化物的形成及其作为非均质核心的可能凝固熔质元素分布（偏析）凝固组织大小，结晶路径，凝固熔质元素分布（偏析）凝固组织大小，结晶路径，BTRBTR区间等区间等结构部分结构部分 热过程温度分布，预测热影响区大小，冷却时间，热过程温度分布，预测热影响区大小，冷却时间，TmaxTmax，thth，t8/5t8/5等等 力过程应力应变过程，残余应力和变形，预测裂纹，控制残余应力和变形力过程应力应变过程，残余应力和变形，预测裂纹，控制残余应力和变形 冶金过程晶粒长大，相变，氢扩散，接头组织性能预测，冷裂敏感性预测等冶金过程晶粒长大，相变，

5、氢扩散，接头组织性能预测，冷裂敏感性预测等 接头性能与服役行为不均质、存在缺陷、残余应力断裂行为（韧性，强度，接头性能与服役行为不均质、存在缺陷、残余应力断裂行为（韧性，强度，疲劳性能等）与可靠性分析等等疲劳性能等）与可靠性分析等等 焊接数值计算焊接数值计算5焊接数值模拟：其他焊接方法焊接数值模拟：其他焊接方法 电阻点焊电阻点焊熔核的形成与控制，性能预测与分析 扩散焊扩散焊过程模拟，温度，压力对界面接合的影响；TLP过程的模拟 钎焊钎焊SMT焊点形态模拟，焊点服役过程中的热应力应变循环，寿命估计等等 激光焊接激光焊接焊接温度场模拟与接头的形成及预测，激光相变硬化时的三维温度场模拟与处理 焊接数

6、值计算焊接数值计算6Fluid Flow and Surface Deformation in Weld Pool The following computer simulation shows the flow of metal within a weld pool during welding. The colours represent the temperature in Kelvin. Notice also that the surface of the pool is deformed (i.e., it is not flat. The shape of the surface

7、 trailing the welding arc becomes frozen in and determines the surface topology of the final weld. A surface topology which causes the concentration of stress during service can be detrimental to the fatigue life of the engineering structure containing the weld. The work is due to G. G. Roy and T. D

8、ebRoy of Penssylvania State University, U.S.A.For a review of the subject, see: T. DebRoy, Role of Interfacial Phenomena in Numerical Analysis of Weldability, Mathematical Modelling of Weld Phenomena II, The Institute of Materials, London, (1995) pp. 3-21. 焊接数值计算焊接数值计算7焊接过程中剧烈变化的温度场焊接数值计算焊接数值计算8焊接温度

9、场、应力和变形场及显微组织场的相互关系热力学温度场力 学应力和变形场金 相 学显微组织状态场热应力热应力变形热变形热相变潜热相变潜热显微组织转变显微组织转变应力导致相变应力导致相变相变应力相变应力焊接数值计算焊接数值计算95种不同热源模型 焊接数值计算焊接数值计算10 热传导微分方程 移动的焊接热源 非线性的散热条件tQczTyTxTctTv1222222)(0TTaqrc焊接温度场的数值模拟焊接数值计算焊接数值计算11焊接温度场的数值模拟焊接数值计算焊接数值计算12焊接温度场的数值模拟焊接数值计算焊接数值计算13教学目的 掌握基本的传热知识 了解热加工过程模拟的研究现状和发展趋势 了解传热问

10、题的数值计算方法 掌握实际热加工过程温度场数值模拟的基本步骤焊接数值计算焊接数值计算14先修课程 传热学 高等数学 线性代数 数值分析 热加工基本理论 材料基础知识焊接数值计算焊接数值计算15参考书目 铸件凝固过程数值模拟，陈海清等，重庆大学出版社，1991（TG21-C4-2） 焊接热过程数值分析，武传松，哈工大出版社，1990（TG402-N74） 计算机在铸造中的应用，程军，机械工业出版社，1993（TG248-C73） 计算传热学，郭宽良，中国科学技术大学出版社，1988（TK124-43-G91） 焊接热效应，德D.拉达伊，机械工业出版社，1997焊接数值计算焊接数值计算162-1

11、热加工过程模拟的研究现状热加工过程模拟的意义 材料热加工铸造：液态流动充型、凝固结晶等；锻压：固态流动变形、相变、再结晶等；焊接：熔池金属熔化、凝固结晶；热影响区金属经历不同的热处理过程；热处理：相变、再结晶等；特点：复杂的物理、化学、冶金变化 热加工过程目的获得一定的形状、尺寸、成分和组织成为零件、毛坯、结构焊接数值计算焊接数值计算172-1 热加工过程模拟的研究现状热加工过程模拟的意义 热加工过程的结果成型和改性：使材料的成分、组织、性能最后处于最佳状态 热加工工艺设计根据所要求的组织和性能，制定合理的热加工工艺，指导材料的热加工过程 热加工工艺设计存在的问题复杂的高温、动态、瞬时过程：难

12、以直接观察，间接测试也十分困难建立在“经验”、“技艺”基础上焊接数值计算焊接数值计算182-1 热加工过程模拟的研究现状热加工过程模拟的意义 解决方法热加工工艺模拟技术：在材料热加工理论指导下，通过数值模拟和物理模拟，在实验室动态仿真材料的热加工过程，预测实际工艺条件下的材料的最后组织、性能和质量，进而实现热加工工艺的优化设计 热加工过程模拟的意义认识过程或工艺的本质，预测并优化过程和工艺的结果（组织和性能）与制造过程结合，实现快速设计和制造焊接数值计算焊接数值计算192-1 热加工过程模拟的研究现状热加工过程模拟的发展历程 60年代（起源于铸造） 丹麦的Forsund首次采用有限差分计算了铸

13、件凝固过程的传热。 美国随后进行了大型铸钢件温度场的数值模拟 70年代（扩展） 更多的国家加入 扩展到锻压、焊接和热处理 80年代以后（迅速发展） 1981年开始，每两年举办一次铸造和焊接过程的数值模拟国际会议 1992年开始，每两年举办一次焊接过程数值模拟国际大会 目前（成为研究热点） 国家攀登计划 973基础研究计划焊接数值计算焊接数值计算202-1 热加工过程模拟的研究现状热加工过程模拟的发展趋势 宏观中观微观宏观：形状、尺寸、轮廓中观：组织和性能微观：相变、结晶、再结晶、偏析、扩散、气体析出 单一、分散耦合集成流场温度场温度场应力/应变场温度场组织场应力/应变场组织场焊接数值计算焊接数

14、值计算212-1 热加工过程模拟的研究现状热加工过程模拟的发展趋势 重视提高数值模拟的精度和速度 重视精确的基础数据获得与积累 与生产技术其他技术环节集成，成为先进制造技术的重要组成与产品设计系统集成与零件加工制造系统集成焊接数值计算焊接数值计算222-1 热加工过程模拟的研究现状部分商业软件 铸造PROCAST, SIMULOR 锻压DEFORM, AUTOFORGE, SUPERFORGE 通用MARC, ABAQUS, ADINA, ANSYS焊接数值计算焊接数值计算232-2温度场及传热的基本概念 温度场定义在 x、y、z直角坐标系中，连续介质各个地点在同一时刻的温度分布，叫做温度场。

15、T=f(x,y,z,t) 稳定温度场T= f(x,y,z) 不稳定温度场T=f(x,y,z,t) 等温面 等温线焊接数值计算焊接数值计算24热量传递的三种基本形式/热传导 定义：物体各个部分之间不发生相对位移时，依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的热运动而产生的热量传递。 表达式： 傅立叶定律：矢量表示：xTFQxTFQnnTgradqkzjyigradnnTgradTTTxTT T 焊接数值计算焊接数值计算25热量传递的三种基本形式/热对流 定义运动的流体质点发生相对位移而引起的热转移现象 遵循的定律牛顿定律公式：)FT(TQ0ccaac:对流放热系数，单位W/（m2. OC）焊接数值计算焊

16、接数值计算26热量传递的三种基本形式/热辐射 定义物质受热后，内部原子震动而出现的一种电磁波能量传递。 遵循定律斯蒂芬-波尔兹曼定律公式： T：热力学温度（k） C：辐射系数，C=C0, C0=5.67W/m2.K4 黑度系数两物体之间热辐射交换：QR= C0(T14- T24)4cTQ 焊接数值计算焊接数值计算27导热的数学模型建立与描述热传导微分方程式根据A傅里叶公式B能量守恒定律建立：dxdydz、体积元1：x、y、z、三个方向2zyxQQQ：、三个方向输入热量3dzzdyyxQQQ：、三个方向输出热量dx4焊接数值计算焊接数值计算28zzqdqdzz：dxdydz、体积元1热传导微分方

17、程式是根据傅里叶公式和能量守恒定律建立的：x、y、z、三个方向2zyxQQQ：、三个方向输入热量3dzzdyyxQQQ：、三个方向输出热量dx4焊接数值计算焊接数值计算导热的数学模型建立与描述29Tqn dQcdxdydzdT)(dxdydtdqdxdzdtdqdydzdtdqdQdQdQdQzyxzyxdzzqdqdyyqdqdxxqdqzzyyxxdxdydzzTzyTyxTxdQdtTdT焊接数值计算焊接数值计算30TzTyTxTcT2222222222222zTyTxTtT2222yTxTtT22xTtT焊接数值计算焊接数值计算31 WTf t Wqf tWWfqTT f xxf xd

18、fdxx f xf xxdfdxx 1122f xxf xf xf xxf xxf xxdfdxxxx焊接数值计算焊接数值计算32 22323.02!3!f xxf xxdfx d fd fxxdxdxdx 22323.02!3!f xf xxxdfx d fd fxxdxdxdx 2323.023!f xxf xxxdfd fxxdxdx 2222f xxf xf xf xxf xxf xf xxd fxxdxxx 222220f xxf xf xxd fxdxx2210,0TTtxLxt焊接数值计算焊接数值计算332210,0PPiiTTtxLxt10PPPiiiTTTttt2211222

19、0PPPPiiiiTTTTxxx1221122200PPPPPPiiiiiiTTTTTTxtxtx121122100PPPPPiiiiiTTTTTtxtx 1112210PPPPPiiiiiTTTTTtx焊接数值计算焊接数值计算3411122PPPPPiiiiitTTTTTx202ttFxcx1221PPiiTTxt111121122100PPPPPiiiiiTTTTTxttx11111122PPPPPiiiiitTTTTTx焊接数值计算焊接数值计算35112222211122PPPiiiTTTxxt1122022PPPiiiTTTttt1112211112222111022PPPPPPPii

20、iiiiiiTTTTTTT Ttxtxx 11111111222211122PPPPPPPPiiiiiiiiTTTTTTTTtxx11101001010012 12 1PPPPPPiiiiiiFTF TFTFTF TFT焊接数值计算焊接数值计算361222211PPPiiiTTTxxt1110100101001121121PPPiiiPPPiiiF TFTF TF TFTF T 22122210,0TTTxLyLxyt122222222,11PPPi ji ji jTTTTTxyxyt焊接数值计算焊接数值计算371111111,1,1,12211,1,1,1,22222211PPPPPPiji

21、 jiji ji ji jPPPPPPPPiji jiji ji ji ji ji jTTTTTTxyTTTTTTTTtxy11,1,1,1,22221PPPPPPPPiji jiji ji ji ji ji jTTTTTTTTtxy11111111,1,1,1,22221PPPPPPPPiji jiji ji ji ji ji jTTTTTTTTtxy焊接数值计算焊接数值计算381111111,1,1,12211,1,1,1,22221222112PPPPPPiji jiji ji ji jPPPPPPPPiji jiji ji ji ji ji jTTTTTTxyTTTTTTTTtxy1,

22、1,1,1,11102212PPPPPPiji ji ji ji ji jPPi ji jTTTTTTxxyxyyTTxcyt焊接数值计算焊接数值计算391,01,1,10,21 4PPPPPi jiji ji ji jTFTTTF T1,1,1,1,11122112PPPPPPiji jiji ji ji jPPi ji jrTTTTTTyyxxxyTTyqxcxt1,01,1,10,221 4PPPPPri jijiji ji jqtTF TTTF TcxcfTTTx焊接数值计算焊接数值计算401,1,1,1,11211212PPPPiji ji ji jPPi ji jPcfi jPPi

23、 ji jTTTTxyxyTTxyTTyTTxcyt1,0,1,11,0,2221 4PPPPPcci ji ji jiji jttTF TTTFTTcxcx,Pi jWTT焊接数值计算焊接数值计算411,1,4,1,40,1,11221112PPPPiji jiji jPPi ji jPfi jPPi ji jTTTTyyxxTTxcxTTyTTycxt1,01,1,10,440,21 42PPPPPi jijiji ji jPfi jTF TTTF TctTTcx1,1,1,11122211222PPPPiji ji ji jrPPi ji jPcfi jTTTTyxxqxyTTyxyTT

24、ct焊接数值计算焊接数值计算421,01,10,221 422PPPPi jiji ji jrPcfi jtTF TTF Tqc xtTTc x焊接数值计算焊接数值计算43导热的数学描述建立基础：傅立叶定律和能量守恒定律在d 时间内，沿X方向导入微元体的热量：Qx=qx dAd= qx dy dz d 在d 时间内，沿X方向导出微元体的热量：Qx+ dX =qx+ dX dAd= qx +dX dy dz d 在d 时间内，沿X方向在微元体内积蓄的热量：dQx = Qx - Qx+ dX =(qx - qx +dX ) dy dz d = d qx dy dz d 同理： dQy = d qy

25、 dx dz d dQz = d qz dx dy d 焊接数值计算焊接数值计算44导热的数学描述微元体中总的积蓄热量：dQ= dQx + dQy + dQz = (d qx dy dz d +d qy dx dz d + d qz dx dy d )dzzqzdyyqydxxqxzyxdqdqdqzTqyTqxTqzyxdxdydzdzTyTxTdxdydzdzTzyTyxTxdxdydzdzqyqxqzyx)(222222)()()()焊接数值计算焊接数值计算45 另： dTdxdydzcdTdxdydzcdQdTdTdxdydzdTcdQcTTcTTcdxdydzddTdxdydzczT

26、yTxTzTyTxTzTyTxT,)()()(2222222222222222222导热的数学描述焊接数值计算焊接数值计算46导热的数学描述 一维不稳定导热： 二维不稳定导热： 三维稳定导热： 一般表达式：)(22xTT)(2222yTxTT02222222222220)(zTyTxTzTyTxTT.)()()(QzTzyTyxTxTc焊接数值计算焊接数值计算47导热的数学描述初始条件和边界条件 初始条件：物体开始导热瞬时的温度分布，T=f(x,y,z) （=0） 边界条件：物体表面与周围介质交换的情况第一类边界条件：已知物体表面温度Tw随时间变化关系。 Tw=f()第二类边界条件：已知物体表

27、面比热流量qw随时间变化关系。qw=f()第三类边界条件：已知物体周围介质温度Tf物体表面温度（ Tw ）以及物体表面与周围介质间的放热系数。 qw= （ Tw - Tf ）焊接数值计算焊接数值计算482-3传热问题的数值计算方法 分析解法定义：以数学分析为基础，求解导热微分方程的定解问题。特点：求得的结果为精确解不足：只能求解比较简单的导热问题，而对于几何形状复杂、变物性及复杂的边界条件的导热问题，难以计算。 数值解法定义：是一种以离散数学为基础，以计算机为工具的求解方法。特点：不能获得未知量的连续函数，而只是某些代表性地点的近似值步骤种类：有限差分法、有限元法、边界元法、有限容积法等焊接数

28、值计算焊接数值计算49焊接数值计算焊接数值计算502-4不稳定导热的有限差分法解题步骤 分析和简化物理模型判断问题属于稳态问题还是非稳态问题有无内热源适宜的坐标判断边界条件的类型 数学模型的建立一般模型：物性参数为常数：非稳态无内热源物性参数为常数：.)()()(QzTzyTyxTxTcQzTyTxTT)222222(12222221zTyTxTT焊接数值计算焊接数值计算512-4不稳定导热的有限差分法解题步骤稳态无内热源：采用圆柱坐标时，若物性参数为常数，由于:0222222zTyTxTQzTTrrTrrTTzzryrx)11(1,sin,cos2222222有：焊接数值计算焊接数值计算52

29、2-4不稳定导热的有限差分法解题步骤区域和时域的离散区域的离散：将几何连续点的区域用一些列网格线分割开，形成一系列单元。 节点：每个单元的中心称为节点（内节点、边界节点） 步长：节点之间的距离（等步长、变步长），表示为x, y, z时域的离散：非稳态问题将时间分割成时间段 时间步长：每个计算时间间隔的长短， 焊接数值计算焊接数值计算532-4不稳定导热的有限差分法解题步骤内节点和边界节点差分方程的建立内节点一般采用直接法：即由导热微分方程直接用差商代替微商，导出递推公式，也可采用热平衡法；边界节点一般采用热平衡法，视具体边界建立相应的能量方程选择求解差分方程组矩阵的计算方法编写计算程序计算计算

30、结果的处理和分析讨论焊接数值计算焊接数值计算542-4不稳定导热的有限差分法一、有限差分的概念 微商和差商的定义若T(x)是连续函数，则它的导数为： 称为微商， 称为差商，两者之差代表以差商代替微商带来的误差。xTxxTxxTdxdTxx00lim)()(limdxdTxT焊接数值计算焊接数值计算55二、差商的形式1、向前差商 表示第5项以后各项的代数和，其值与（x）4的值属同一个数量级。xxTxxTdxdT)()()()(!3)()(!2)()()()(432xOxTxxTxxTxxTxxT )(4xO )()()(.)(! 3)()(! 2)()()(2xodxdTxxTxxTxTxxTx

31、xTxxTxxT 焊接数值计算焊接数值计算56二、差商的形式2、向后差商3、中心差商以上两式相加除2，得到中心差商：)()()()()(xOdxdTxxxTxTxxxTxTdxdT)(2)()(2xodxdTxxxTxxT焊接数值计算焊接数值计算57二、差商的形式4、二阶差商xxxxTxTxxTxxTdxTd)()()()(222)()(2)()(xxTxxTxxT焊接数值计算焊接数值计算58三、建立内节点差分方程/一维系统1、模型： 0，0 xL2、初始条件：T(x,0)=(x)3、边界条件：T(0, )=1()， T(L, )=2()4、区域离散距离步长：x=xi-xi-1, xi =(i

32、-1) x时间步长： = n- n-1, n=n Tin=T(xi, n)TxT122niT焊接数值计算焊接数值计算59三、建立内节点差分方程/一维系统5、有限差分方程建立1）显示差分 点（i,n）的导热方程为：01)(20)(1)(2)()()()(2)()(1)(121121211122112222nininininininininininininininininininiTTxTTTxoTTxTTToTTTxOxTTTxTTxT焊接数值计算焊接数值计算60三、建立内节点差分方程nininininlnininininiTFTFTFTFxFnnTnnTlixiTlinTxTxTxT11122

33、11012212100000)21 ()(.2 , 1 , 0),(.2 , 1 , 0),(1,.3 , 2,) 1(1,.,3 , 2,.,3 , 2 , 1)()(21 ()(称为傅立叶数。，令：焊接数值计算焊接数值计算61三、建立内节点差分方程/一维系统2)隐式差分格式温度对距离的二阶偏微商是对应时刻n+1的，而温度对时间的一阶偏微商是对应时刻n的。差分方程为：截断误差：O +（ x）2，整理后：nininininiTTxTTT12111111)(2niniTxT)(1)(122.210)(.210)(1.32) 1(1.32.210)21 (210001011111，nnTnnTli

34、xiTlinTTFTFTFnlninininini焊接数值计算焊接数值计算62三、建立内节点差分方程以l=5为例，推导求解隐式差分方程：n=1时刻：)3()14()2()13()()12()()1()()1()0(5)21(4)21(3)21(2)0()0(10403020403021511151105131415041213140311121302012211200000011xxTxxTxxTTTTTTTTTiTTFTFTiTTFTFTiTTFTFTiTi为初始条件，方程为：，为边界点，方程为：，这里，焊接数值计算焊接数值计算63三、建立内节点差分方程n=2时刻：时求得。在，为边界点，方程

35、为：，这里，0)2()2()2()2()()1(5)21(4)21(3)21(2)()1(114131225212521152324251422232413212223121122112200000011nTTTTTTTTiTTFTFTiTTFTFTiTTFTFTiTi焊接数值计算焊接数值计算64三、建立内节点差分方程n+1时刻：时刻求得。在，为边界点，方程为：，这里，nTTTnnTnnTTTnnTiTTFTFTiTTFTFTiTTFTFTinTinnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn4321511151151314154121314311121321)1()1()1()1()()(5)2

36、1(4)21(3)21(211111220000001焊接数值计算焊接数值计算6566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125三、建立内节点差分方程c)显式和隐士差分格式的比较计算格式的差别 显式在n+1时刻的温度由n时刻的3个已知温度求出，不要求解方程组。 隐式格式中，由于一个方程中包含n+1时刻的3个未知温度，只有把n+1时刻的所有节点方程列出后

37、接联立方程，才能求出n+1时刻所有节点的温度。稳定性的差别 显式差分的格式稳定是有条件的，稳定条件：F01/2 隐式差分格式的方程式无条件稳定的对计算步长的要求 对于显式差分格式，稳定性条件制约时间步长由距离步长所决定：（ x）2/2 对于隐式差分格式，时间步长和距离步长都可以任意取126三、建立内节点差分方程/二维系统假设热物理性能参数为常数，且无内热源。节点（i,j）处的温度表示成Ti,j，对于0 xL1和0yL2的矩形区域内，将二维不稳定导热方程式应用于节点（i,j）可以写成：)()()()(2)()()(2)()(1)(,1,221,1,2222, 1, 1,22,2222oTTTyo

38、yTTTyTxoxTTTxTTyTxTnjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinji127三、建立内节点差分方程 若x= y，则：)41()(41 )(,1,1, 1, 1,21,1, 1, 121,00njinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjiTFTTTTFTxTTTTxT410F稳定条件：128四、边界节点差分方程/热平衡法 基本思想：将能量守恒原则应用到每个单元体，不再从微分方程入手，而是将导热的基本定律直接近似。)(1(,1,njinjiTTyxcQji为：时间间隔内的内能变化）单元体，对于（njinjinjinjinjinjiT

39、FTTTTFT,1,1, 1, 11,)41 (00 xTTyQjinjinjiji, 1, 1)1(,单元体的热量分别为：）单元体流入（时间内从周围四个相邻在,)1()1()1(,1,1,1,1, 1, 1yxQQyTTxQyTTxQxTTyQnjinjijinjinjijinjinjiji若129四、边界节点差分方程 绝热 给定热流密度 对流边界 给定温度 辐射 混合130四、边界节点差分方程1、绝热边界相邻单元体流入（i,j）单元体的热量：)(12(,1,njinjiTTyxcQji为：时间间隔内的内能变化）单元体，对于（njinjinjinjinjiTFTTTFT,1,1, 11,)4

40、1 (200）单元体流入（时间内从周围四个相邻在ji,0, 1jiQxTTyQnjinjiji, 1, 1)1(yTTxQnjinjiji,1,1,)12(,)12(,1,1,yxQQyTTxQnjinjiji若131四、边界节点差分方程2、给定热流密度qr的边界相邻单元体流入（i,j）单元体的热量：)(12,1,njinjiTTxycQji为：时间间隔内的内能变化）单元体，对于（xcqTFTTTFTrnjinjinjinjinji2)41 (2,1, 1, 11,00 xTTyQnjinjiji, 1, 1)12(xTTyQnjinjiji, 1, 1)12()1(1,xqQrji,yxQQ

41、若132四、边界节点差分方程3、对流边界已知对流放热系数c及周围介质温度Tf,)12()12()(1()1(,)(12(,1,1,1,1,1,1,1,1,yxQQyTTxQyTTxQTTyQxTTyQjiTTyxcQjinjinjijinjinjijinjijinjinjijinjinjifc若）单元体流入（时间内从周围四个相邻在为：时间间隔内的内能变化）单元体，对于（fccTxcTxcFTTTFTnjinjinjinjinji2)241 (2, 11,1,1,00133四、边界节点差分方程4、给定温度边界5、辐射边界wTTnji,)(12(,1,njinjiTTyxcQji为：时间间隔内的内

42、能变化）单元体，对于（)(2)41 (24,1, 1, 11,4000njinjinjinjinjinjiTTxccTFTTTFTf,)()1()1()12()12(,4,41,1,1, 1, 1, 1, 10yxQQTTxcQyTTxQxTTyQxTTyQjinjifjinjinjijinjinjijinjinjiji若）单元体流入（时间内从周围四个相邻在1347、混合边界,)12()12()12()12(,)(122(, 11,1,1, 1, 1,1,yxQQTTyQxqQyTTxQxTTyQjiTTyxcQjinjifjijinjinjijinjinjijinjinjicr若）单元体流入

43、（时间内从周围四个相邻在为：时间间隔内的内能变化）单元体，对于（)(22)41 ()(2,1, 11,00njinjinjinjiTTxcxcqFTTFTfcr135 差分法：以差分代替微分，对基本方程离散，建立以节点参数为未知量的线性方程组，而求得近似解。优点：线性方程组的计算格式比较简单不足：差分格式大多采用正方形、矩形和正三角形 有限元法：对连续体本身进行离散，根据变分原理求解问题优点：适合于各种复杂形状和复杂边界条件的数值计算不足：计算过程复杂2-5不稳定导热的有限元解法数学基础1362-5不稳定导热的有限元解法一、数学基础1、变分方法研究泛函的极大值和极小值的方法1）泛函定义给定两点

44、1和2，连接这两点曲线的长度:这样就建立了一个函数关系：I=Iy(x)，称I是y(x)的泛函。自变量是个函数，因变量是普通变量。dxdxdyxyIxx212)(1)(1372）、泛函和函数2-5不稳定导热的有限元解法一、数学基础函数f(x)泛函Iy(x)变量f变量I自变量x函数y(x)x的增量 xy(x)的变分y函数的微分dfdf泛函的变分I1382-5不稳定导热的有限元解法一、数学基础3）、泛函和变分研究泛函极值的方法就是变分法。函数f=f(x）泛函I=Iy(x)如果对于变量x的某一域中的每一个x, f 都有一值与之对应，则变量f叫做x的函数，记为f(x）如果对于某一类函数y(x)中的每一个

45、函数y(x), I 都有一值与之对应，则变量I叫做依赖于函数y(x)的泛函，记为Iy(x)如果对于x的微小改变，有函数f(x)的微小改变与之对应，则函数f(x)是连续的。如果对于y(x)的微小改变，有泛函的微小改变与之对应，则泛函Iy(x)是连续的。如果可微函数f(x)的内点x=x0处达到极大或极小值，则在这点df=0如果变分的泛函Iy(x)的内点y=y0 (x)处达到极大或极小值，则在这点I=01392-5不稳定导热的有限元解法一、数学基础2、差值函数线性差值：求过曲线y(x)上已知点A(xi,yi)、B(xi+1,yi+1)的直线方程：iiiiiiiiiiiiiiyxxxxyxxxxxyx

46、xxxyyyxy111111)()()(还可以写成：3、形函数形函数只和单元的形状、节点配置区间大小和差值方式有关，而和节点未知量无关，故统称其为形函数。1402-5不稳定导热的有限元解法一、数学基础1）一维不稳定导热求解区间0，L划分为有限个互补重叠的小区间。构造的差值函数：形函数： 只和单元的形状、节点配置区间大小和差值方式有关，而和节点未知量无关。故统称其为形状函数或形状因子。)()(11iiiiiixxxxTTTxTiiiixxTT111412-5不稳定导热的有限元解法一、数学基础对于三角形单元，通常假设单元e上的温度是x,y的线性函数。mjiijmijmjiimmjijjimiimj

47、mmjmmjjiimjimmjjiimmmjjjiiiTTTxxxxxxyyyyyyyxyxyxyxyxyxyxyxyxTTTyxyxyxaaayaxaaTyaxaaTyaxaaTaaayaxaaT11111111321321321321321321根据矩阵求逆，是待定常数。，式中即：2）二维不稳定导热1422-5不稳定导热的有限元解法/数学基础的行列式。称为方阵阶行列式：则设矩阵Aaaaaaaaaanaaaaaaaaannnnnnnnnn2122211121121222111211.A.A*1212221212111*1.AAAaAAAAnnAAAAAAAAAijijnnnn且有：的代数余子

48、式。中元素为行列式的伴随矩阵。称为矩阵143mjiijmijmjiimmjijjimiimjmmjmmjjiimjimmjjiimmmjjjiiiTTTxxxxxxyyyyyyyxyxyxyxyxyxyxyxyxTTTyxyxyxaaayaxaaTyaxaaTyaxaaTaaayaxaaT11111111321321321321321321根据矩阵求逆，是待定常数。，式中即：1442-5不稳定导热的有限元解法/数学基础ijmjimijjimmijimjmiimjjmimjijmmjixxcyybyxyxaxxcyybyxyxaxxcyybyxyxayaxaaT,321记：即：2111ijjim

49、mjjiicbcbyxyxyx)(21)(21)(2121321321321321mmjjiimmjjiimmjjiimjimjimjimjiTcTcTcaTbTbTbaTaTaTaaTTTcccbbbaaaaaaaaayaxaaT是待定常数。，式中即：1452-5不稳定导热的有限元解法一、数学基础 )(21)(21)(21,)()()(21ycxbaNycxbaNycxbaNTNTTTTNNNTTNTNTNTTycxbaTycxbaTycxbaTmmmmjjjjiiiimjimjimmjjiimmmmjjjjiiiiT用有限元法求解二维不稳定导热问题时，采用三角形单元离散化并通过线性差值所求

50、得的形函数(Ni, Nj, Nm)。1462-5不稳定导热的有限元解法一、数学基础 形函数(Ni, Nj, Nm)的特点：Ni, Nj, Nm是x, y的线性函数，与插值函数具有同样的类型Ni（xi,yi）=1 , Ni（xj,yj）= Ni（xm,ym）=02121)()(21)(21),(ijimmjjijmmjijmimjjmmjiiiiiiyxyxyxyxyxyxyxxxyyyxyxycxbayxN1111mmjjiiyxyxyx2111ijjimmjjiicbcbyxyxyx可以证明：1472-5不稳定导热的有限元解法一、数学基础021)()(21)(21),(mjmmmmjmjmm