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1、第八章机械优化设计实例第一节 应用技巧一、机械优化设计的一般过程机械设计的全过程一般可分为：1.建立优化设计的数学模型。2.选择适当的优化方法。3.编写计算机程序。4.准备必须的初始数据并上机计算。5.对计算机求得的结果进行必要的分析。 建立优化设计数学模型是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。 优化方法的选择取决于数学模型的特点，例如优化问题规模的大小，目标函数和约束函数的性态以及计算精度等。在比较可供选用的优化方法时，需要考虑的一个重要因素是计算机执行这些程序所花费的时间和费用，即计算效率。 现已有很成熟的优化方法程序可供选择，只需要将数学模型按要求编写成子程序嵌入已有的优化程序即可
2、。二、建立数学模型的基本原则 数学模型的建立要求确切、简洁的反映工程问题的客观实际。数学模型的三要素：设计变量、目标函数、约束条件。1.设计变量的选择 在充分了解设计要求的基础上，应根据各设计参数对目标函数的影响程度分析其主次，应尽量减少设计变量的数目，以简化优化设计问题。 应注意各设计变量应相互独立，否则会使目标函数出现“山脊”或“沟谷”，给优化带来困难。2.目标函数的确定 把最重要的指标作为目标函数，其余的次要的指标可作为约束条件。对于一般机械，可按重量最轻或体积最小的要求建立目标函数；对应力集中现象尤其突出的构件，则以应力集中系数最小为追求的目标。对于精密仪器，应按其精度最高或误差最小的
3、要求建立目标函数。 约束条件是就工程设计本身而提出的对设计变量取值范围的限制条件。 约束条件分为性能约束和边界约束。 在选取约束条件时应当特别注意避免出现相互矛盾的约束。另外应当尽量减少不必要的约束，不必要的约束不仅增加优化设计的计算量，而且可能使可行域缩小，影响优化结果。3.约束条件的确定 数学模型的尺度变换是一种改善数学模型性态，使之易于求解的技巧。三、数学模型的尺度变换1.目标函数的尺度变换 在优化设计中，若目标函数严重非线性，使函数性态恶化，此时不论采用哪一种优化方法，其计算效率都不会高，且计算不稳定。需尺度变换，改善其性态，加速优化计算的进程。例如，目标函数21222184144)(
4、xxxxxf其等值线如图a，是一族极为扁平的椭圆。若令2/,12/2211yxyx代入原目标函数，可得经变换后的新目标函数 21222131yyyyyf 其等值线如图b，其性态得到很大改善，给优化计算带来极大方便2.设计变量的尺度变换 当各设计变量之间在量级上相差很大时，在给定的搜索方向上各自的灵敏度相差也很大。灵敏度大的搜索变化快，灵敏度小的搜索变化慢。为了消除这种差别，可以对设计变量进行重新标度。使它成为无量纲或规格化的设计变量，这种处理称设计变量的尺度变换。*/iiixyk，尺度变换因子，新的设计变量原设计变量ixikiiiyk x（i=1,2，n）01/iikx可取原设计变量的初始值0
5、ix0 x0 x 当选得 较为靠近最优点 时，则 在1附近变化。若 远离 ，可以考虑在若干次迭代计算后，用 替代 作新的变换。*xiy0 x*xkx0 x将y代入原数学模型求得最优解 后，再通过逆变换*y即可得到原问题的最优点*x3.约束函数的规格化约束函数的尺度变换称规格化。 由于各约束函数所表达的意义不同，使得各约束函数值在量级上相差很大。 例如某热压机框架的优化设计中，许用应力为 =150MPa，而下横梁的许用挠度=0.5mm，约束函数为： 1215000.50gxgx 两者对数值变化的灵敏度相差很大，这对优化设计是不利的。 例如采用惩罚函数时，两者在惩罚项中的作用相差很大，灵敏度高的约
6、束条件在极小化过程中首先得到满足，而灵敏度小的几乎得不到考虑。 12/10/10gxgx 这样，各约束函数得取值范围都限制在0，1之间，起到稳定搜索过程和加速收敛的作用。第二节机床主轴结构优化设计一、数学模型的建立下图是一个已经简化的机床主轴。 在设计这根主轴时，有两个重要因素需要考虑。一是主轴的自重；一是主轴伸出端c点的挠度。 对于普通机床，不要求过高的加工精度，对机床主轴的优化设计，以选取主轴的自重最轻为目标，外伸端的挠度为约束条件。当主轴的材料选定时，其设计方案由四个设计变量决定。孔径d、外径D、跨距l及外伸端长度a。由于机床主轴内孔用于通过待加工的棒料，其大小由机床型号决定。不作为设计
7、变量。故设计变量取为123TTxx x xlda 2213214f xxxxd机床主轴优化设计的目标函数为再确定约束条件 00g xyy在外力F给定的情况下，y是设计变量x的函数,其值按下式计算23FalayI4464IDd 231304426403Fxxxg xyE xd 刚度满足条件，强度尚有富裕，因此应力约束条件可不考虑。边界约束条件为设计变量的取值范围，即minmaxminmaxminmaxlllDDDaaa min 将所有的约束函数规格化，主轴优化设计的数学模型可表示为： 2213223131044221min32min42max53min1464/1031/01/0/101/0fx
8、xxxdFxxxgxyE xdgxxlgxxDgxxDgxxa这里未考虑两个边界约束： 和 这是因为无论从减小伸出端挠度上看，看是从降低主轴重量上看，都要求主轴跨距 、伸出端长度 往小处变化，所以对其上限可以不作限制。这样可以减少不必要的约束，有利于优化计算。 max1lx max3ax 1x3x如图所示的机床主轴为三支承系统，受有力和力矩的作用。对其进行重量最轻结构优化设计时，不仅对伸出端点的挠度有要求，而且对主轴系统的第一阶自振频率也有要求。对于这样复杂的系统，常使用有限元法计算系统的应力、变形、自振频率等。 第三节 圆柱齿轮减速器的优化设计圆柱齿轮减速器是一种非常广泛的机械传动装置。 目
9、前我国减速器存在的问题：体积大，重量重、承载能力低、成本高和使用寿命短等问题。 对减速器进行优化设计，就要考虑：提高承载能力、减轻重量和降低经济成本。 减速器的优化设计一般是在给定功率P、齿数比u、输入转速n以及其他技术条件和要求下，找出一组使减速器的某项经济技术指标达到最优的设计参数。不同类型的减速器，选取的设计变量使不同的。 展开式圆柱齿轮减速器：齿轮齿数、模数、齿宽、螺旋角及变位系数等。 行星齿轮减速器：除此之外，还可加行星轮个数。 设计变量应是独立参数，非独立参数不可列为设计变量。例如齿轮齿数比为已知，一对齿轮传动中，只能取Z1或Z2一个为设计变量。 又如中心距不可取为设计变量，因为齿
10、轮齿数确定后，中心距就随之确定了。 不同的设计要求，目标函数不同。若减速器的中心距没有要求时，可取减速器最大尺寸最小或重量最轻作为目标函数。 14minminf xmf xlrar 若中心距固定，可取其承载能力为目标函数。 1/minf x减速器类型、结构形式不同，约束函数也不完全相同。（1）边界约束：如最小模数，不根切的最小齿数，螺旋角，变位系数，齿宽系数的上、下界等的限制。（2）性能约束：如接触强度、弯曲强度、总速比误差、过渡曲线不发生干涉、重合度、齿顶厚等的限制。对行星齿轮减速器来说，尚有装配条件、同心条件和邻接条件等的限制。设m为减速器壳体内零件的总质量， 为最大尺寸，则目标函数为l或
11、承载能力系数一、单级圆柱齿轮减速器的优化设计 下图是单级齿轮减速器的结构简图。已知齿数比为u，输入功率为P，主动齿轮转速为 ，求在满足零件的强度和刚度条件下，使减速器体积最小的各项设计参数。1n 由于齿轮和轴的尺寸（即壳体内的零件）是决定减速器体积的依据，因此可按它们的体积之和最小的原则来建立目标函数。根据齿轮几何尺寸及齿轮结构尺寸的计算公式，壳体内的齿轮和轴的体积可近似地表示为22222222212125. 025. 025. 0ggzzdDcbddbddbV22212221208725. 0zzzzddddlcd2122221221212)10(8 . 025. 0mumzbbdbuzmb
12、dbzmzz32286 . 11005. 005. 222212122122zzzzzddlddmumzbbd2211,mzdmzdmumzDg1012226 . 1zgdd2106 . 11025. 0zdmumzdbc2 . 0其中 当齿数比给定后，体积V取决于b、 、m、 、 和 六个参数，则设计变量可取为1zl1zd2zdTzzTddlmzbxxxxxxx211654321目标函数为 minVxf约束函数为1）齿数 应 大于不发生根切的最小齿数 得 1zminz 01min1zzxg 2）齿宽应满足 ， 和 为齿宽系数 的最小值和最大值，一般取 =0.9， =1.4，得maxmindb
13、minmaxdminmax 0/0/max131min2mzbxgmzbxg 3）动力传动的齿轮模数应大于2mm，得 024mxg 4）为了限制大齿轮的直径不致过大，小齿轮的直径不能大于max1d 0max115dmzxg 5）齿轮轴直径的取值范围： 得maxminzzzddd 0000max2292min28max1171min16zzzzzzzzddxgddxgddxgddxg6）轴的支承距离 按结构关系，应满足：l2min5 . 02zdbl（可取 ），得20min 0405 . 0210ldbxgz7）齿轮的接触应力和弯曲应力应不大于许用值，得 00021311211FFFFHHxgx
14、gxg接触应力 和弯曲应力 的计算公式分别为HF112212213111125 . 2saFasaFaFFdsaFaFtEuHYYYYzmYKTYbzKFZZ8）齿轮轴的最大挠度 不大于许用值 得max 0max14xg9）齿轮轴的弯曲应力 不大于许用值 ，得w w 00216115wwwwxgxg该问题具有6个设计变量，16个约束条件。二、二级圆柱齿轮减速器的优化设计 要求不改变原箱体、轴和轴承结构的条件下，通过优选啮合参数，充分提高各级齿轮的承载能力，并使高速级和低速级达到等强度。1.接触承载能力 一对变位齿轮传动的接触承载能力可用只与啮合参数有关的接触承载能力系数 表示，其函数形式为co
15、s) 1(tancos2 . 0232 1uKuavtt式中 实际中心距au传动比1zKvtt分度圆螺旋角端面压力角端面啮合角动载系数， 式中 齿轮圆周速度小齿轮齿数 100/07. 011vzKvv当实际中心距 和模数m已定时，端面啮合角 的表达式为 attttyzzzzcos2cos2121式中 中心距分离系数，tymaayt/ )(标准中心距a2.设计变量的确定将影响齿轮接触承载能力系数 的独立参数列为设计变量，即TttTyyuxxxxx2114321式中 高速级的传动比1u1ty 、 分别为高速级和低速级齿轮传动的中心距分离系数2ty3.目标函数的确定 该问题要求提高高速级和低速级齿轮
16、传动的承载能力，同时要求两级传动达到等强度，所以这是一个具有三个指标的多目标函数问题。可以将高速级和低速级齿轮传动的承载能力系数转化为第一、二两个分目标函数 min/1min/12211xfxf用中间轴上两个齿轮所允许传递转矩差的相对值最小来建立等强度条件，则第三个分目标函数可表示为 1213/TTTxf式中 、 分别为中间轴上两个齿轮所允许传递的转矩1T2T212111112,12uaTuuaT现采用线性组合法将三个分目标函数综合成统一的目标函数 xfxfxfxf332211为使计算简化，各加权因子分别取 89. 0,01. 0, 1 . 0321 为了将目标函数表示成设计变量的显函数，还需
17、要运用下列关系式（齿轮的法面模数取 ）2 . 0 ama1coscos/2 .011tan1coscos/2 .011tan11111202.0cos1202.0coscos02.012222221123221111222111ttttttvvtttyyuzaKuzaKuyzuyzyaa4.约束条件的建立1）保证轴向重迭系数 及螺旋角 不大于151/sinnmb得 012/0/sin2012221xxgxxg 2）高速级和低速级传动比分配由润滑条件决定， 和 关系式为1uuuBuu01. 0/31式中B系数，其值按下式计算 2212321HHvvKKB式中的 和 分别为高速级和低速级齿轮传动的
18、许用接触应力，其比值取0.9， 为低速级的传动效率，其值取0.98，得 2H 1H2 001. 0/313uBuxxg3）限制低速级大齿轮直径，使其不超出原箱体，为此应满足关系式126 . 012222111uuauua由此得 01/1/21/2 . 1111124xauxaxg4)要求中心距分离系数满足 ，由此得10 , 1021ttyy 01001048473635xxgxxgxxgxxg 综上所述，该问题有4个设计变量，8个不等式约束，3个分目标函数。三、2K-H（NGW）型行星齿轮减速器的优化设计1.目标函数和设计变量的确定 行星齿轮减速器的重量可取太阳轮和c个行星轮重量之和来代替，因
19、此目标函数可简化为2419635. 0)(2212c)(ubzmxf式中 z1中心轮1的齿数 m 模数，单位为（mm） b 齿宽，单位为（mm） c 行星轮2的个数 u 轮系的传动比。影响目标函数的独立参数z1、b、m、c应列为设计变量，即： x = x1 x2 x3 x4 T = z1 b m c T 在通常情况下，行星轮个数可以根据机构类型事先选定，这样设计变量为： x = x1 x2 x3 T = z1 b m T2. 约束条件的建立 1）保证小齿轮z1不根切，得：g1(x) = 17-x1 0 2）限制齿宽最小值，得： g2(x) = 10-x2 0 3）限制模数最小值，得： g3(x
20、) = 2-x3 0 4）限制齿轮系数 b/m 的范围：5 b/m 17，得： g4(x) = 5x3 x2 0 g5(x) = x2 -17x3 05）满足接触强度要求，得0)/(3 .750937)(3216Hxxxxg式中 H 许用接触应力。6）满足弯曲强度要求，得0)/(1482000)(23217FSFxxxyyxg式中 y F、y S 齿轮的齿形系数和应力校正系数 F 许用弯曲应力该问题一个具有3（或4）个设计变量，7个不等式约束条件。第四节 平面连杆机构的优化设计 连杆机构的类型很多，这里只以曲柄摇杆机构两类运动学设计为例来说明连杆机构优化设计的一般步骤和方法。一、曲柄摇杆机构再
21、现已知运动规律的优化设计1.设计变量的确定 决定机构尺寸的各杆长度，以及当摇杆按已知运动规律开始运动时，曲柄所处的位置角0 为设计变量。123451 2 3 40TTxx x x x xl l l l 考虑到机构的杆长按比例变化时，不会改变其运动规律，因此在计算时常取l1=1 ，而其他杆长按比例取为l1 的倍数。22212430124arccos2lllllll22124303 4arccos2lllll l经分析后，只有三个变量为独立的：1232 3 4TTxx x xl l l2.目标函数的建立 目标函数可根据已知的运动规律与机构实际运动规律之间的偏差最小为指标来建立，即 21minmEi
22、iif x式中 期望输出角，Ei iEEi实际输出角输入角的等分数im20iiiiiiiiiiiiiiil lllllllllcos22arccos2arccos4124214212423222323.约束条件的确定 112213314414325123461324000000gxllgxllgxllgxllllgxllllgxllll1）曲柄摇杆机构满足曲柄存在的条件2）曲柄摇杆机构的传动角应在 和 之间，可得minmax 22223147max2 3arccos02llllgxl l 22223148min2 3arccos02llllgxl l二、曲柄摇杆机构再现已知运动轨迹的优化设计
23、所谓再现已知运动轨迹：是指机构的连杆曲线尽可能地接近某一给定曲线。 若在规定区间的等分点 处，给定曲线的坐标为已知，而由四杆机构连杆上的某点M所描绘的曲线的相应坐标mi,.,2 , 1EiEiyx 和iiyx、则可用下列方程表示05160516sinsinsincoscoscosiiiiiizzzyzzzx式中041242102132223223cos2sinarccos2arccossinarcsiniiiiiiizzzzzzzzzz由上述可知，连杆上的M点的坐标是杆长54321zzzzz、角度0，及长度6z的函数，它们均应列为设计变量。若对曲柄转角提出要求时， 也应列为设计变量，则iTiT
24、zzzzzzxxxx.06543211021 若要求所设计的四杆机构其连杆上的M点所描绘的实际曲线y尽可能接近已知曲线y E，曲柄转角 尽可能地接近要求值时，目标函数可表示为i 11212121miiiimiEiiyyxf式中要求的曲柄转角与位置有关的曲柄转角的离散值已知曲线离散值实际曲线iiEEiiyyyy度来选择。数中两种偏差的重要程加权因子，根据目标函、21当曲柄的角度偏差不需考虑时，则取02曲柄连杆机构的向量关系 用向量表示的四杆机构的两个环路方程为3421516zzzzzzzr可构成4个等式约束条件，其函数关系为0sinsin)sin(sin0coscos)cos(cos0)sin(sinsin0)cos(coscos30402130402105160516iiiiiiiiiiiizzzzzzzzzzzyzzzx保证在任一位置，形成一个四杆机构及其连杆上M点的轨迹 另外，应根据问题的要求，列出满足传动角要求、曲柄存在条件及杆长的尺寸限制的不等式约束条件。