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1、1 仿射坐标变换的一般理论仿射坐标变换的一般理论 .,;,; 321321架为空间中的两个仿射标和设e ee ee ee ee ee e OIOI;),(),(),(),(;),(),(),(),(321321321321zyxzyxPzyxzyxPzyxzyxzyxzyxe ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee e则有和分别为在两个坐标系下的坐标设点则有和分别为在两个坐标系下的坐标设向量1.1 过渡矩阵、向量和点的坐标变换公式过渡矩阵、向量和点的坐标变换公式.,),(),(:的过渡矩阵到称为坐标系这里设我们引入形式写法IIcccccccccccccccccc333
2、231232221131211333231232221131211321321 C Ce ee ee ee ee ee e. ,),(),(321321公式这就是向量的坐标变换则可得设zyxCzyxzyxzyxe ee ee ee ee ee e可得则由中的坐标为在即向量设点,).,()(MOOOOMdddIOOO321. :,),(),(),(321321321321321dddzyxCzyxzyxdddzyx式从而得点的坐标变换公e ee ee ee ee ee ee ee ee e1.2图形的坐标变换公式图形的坐标变换公式.0) , ,(,0),( , 33332312232221113
3、1211321333231232221131211dzcycxcdzcycxcdzcycxcFISzyxFISdddzyxccccccccczyx中的方程为在坐标系则曲面中的方程为在坐标系若曲面可知由点的坐标变换公式.,12231)2(., 0223) 1 ().0 , 2, 1 (,1 0 11 1 00 1 2 中的方程在求中的标准方程为在设直线中的一般方程在求中的一般方程为在设平面中的坐标为在的过渡矩阵为到设从坐标系IlzyxIlIzyxIIOIIC C例例3 3. .1 1. ., .,3 1 C CC C, ,C CD DD DC C为的过渡矩阵到则的过渡矩阵为到若矩阵为的过渡到则的
4、过渡矩阵为到渡矩阵为的过到若个仿射坐标系设有IIIIIIIIIIIII推推论论命命题题3 3. .1 1过过渡渡矩矩阵阵的的性性质质 1 1. .3 3.),2, 4, 1 (, 022: , 022: , 01223: 坐标变换公式的到求中的坐标为在的原点并且平面平面平面中的一般方程为坐标系的三个坐标平面在仿射已知仿射坐标系IIIOIzyxyOxzyxzOxzyxzOyII例例3 3. .2 2.231551 4 51 52 30 1 1 )1(,1 2 12 2 4 2 2 3 .0002 21 1 2 11 1 22 2 3 (1) .241 ,:zyx.zyxIIDzyxzyxzyxD
5、zyxDII的坐标变换公式到仿射坐标系即得代入于得可得已知条件可化为则有点的坐标变换公式的过渡矩阵为到设解解.(1) 0),(,),(),( 222111222111是柱面的方程的图像形如中在任意仿射坐标系证明不成比例与设SzcybxazcybxafIcbacba例例3 3. .3 3.,0),(0),(,),(),(,;,;. ),(,),(),(:222111321321321333222111333222111是柱面故中的方程为的柱面方程在中形如故的坐标变换公式为到则使作仿射坐标系的坐标原点为新的坐标系的原点取坐标系是可逆矩阵使故存在数组不成比例与因SzcybxazcybxafIyxfI
6、zyxCzyxIICOIOOIcbacbacbaCcbacbacbae ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee e321解解.,.,.,.,0),(I,0),(I:定理代代数数曲曲线线的的次次数数代代数数曲曲线线代代数数曲曲面面的的次次数数代代数数曲曲面面数称为这条并且把这个多项式的次为则称的方程左端是多项式面上的图形若平为这个把这个多项式的次数称并为则称的方程的左端是多项式若图形形本身的性质它们均是图标系的选取无关及这多项式的次数与坐是否为多项式以一个图形的方程的左端该定理说明次多项式的的左端是中的方程在任意一个仿射坐标系则次多项式的左端是的中的方程在仿射坐标系若图
7、形SSSSnzyxzyxGSnzyxzyxFS代代数数曲曲面面与与代代数数曲曲线线 1 1. .4 4 . 过渡矩阵是正交矩阵两个直角坐标系之间的 : :定定理理1.5 直角坐标变换的过渡矩阵、正交矩阵直角坐标变换的过渡矩阵、正交矩阵.,1 0 00 1 00 0 1 , 0, 1 ),(),( ,),(),( :321321212132121为正交矩阵亦即可得及则由设C CC CC CC CC CC CE E TjijiTjijie ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee e3 33 33 3证证明明. I
8、 I ; II)5()4()5( ., 0 )4( , 3 , 2 , 1, 1 )3(),2() 1 ()3( ., 0 , 0 )2( , 3 , 2 , 1, 1| , 1| ,II ) 1 ( . 3 , 2 , 1, , 3 , 2 , 1),(I:1333231232221131211332211222332211321321TjijijijijijjjjjjjjjjCCcccccccccCjiaaaaaajaaajijjcccjcccjjj 的过渡矩阵为到从而是正交矩阵的过渡矩阵到说明和等式可得，由故是直角坐标系和由于亦即中的坐标为在设e ee ee ee ee ee ee ee
9、 ee ee ee e另证另证.cos,cos,sin,cos,sin,cos,cos,cos,223,23,2,20,.,cos,cos,cos,cos ),(),( ,; I ,; I 2222121221211111112222221212122121211111112221121121212121 e ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee eccccccccccccOO可得这四种情况分别讨论重合角与逆时针方向旋转设则有且都是右手
10、直角坐标系和设.cossinsincos;cossinsincos;cossinsincos,.cossinsincos 的过渡矩阵为直角坐标系到直角坐标系的过渡矩阵为直角坐标系到直角坐标系的过渡矩阵为直角坐标系到直角坐标系类似讨论可得的过渡矩阵为直角坐标系到直角坐标系从而IIIIIIII左左手手左左手手右右手手左左手手左左手手右右手手右右手手右右手手C.|;|,:,.,;,)(:11IIIIII11CCC要条件是它们为反定向的充分必是同定向的充分必要条件和则矩阵为的过渡到设都是平面直角坐标系和设是有于要么为要么为由于正交矩阵的行列式是则称它们另一个是右手系如果一个是左手系则称它们是或者它们都
11、是左手系右手系如果它们都是的两个坐标系或空间平面命题命题反定向的反定向的的的同定向同定向定义定义.,.cossinsincos,.,.cossinsincos,),(,;,;到均可经过移轴和转轴得标变换平面上任一右手直角坐以上三个公式说明则得转轴公式重合与若则得移轴公式若的点的坐标变换公式为到则的转角为到都是右手直角坐标系和设yxyxOOyyyxxxyxyxyxyxOOO 0000110021210II IIe ee ee ee ee ee e2二次曲线的类型二次曲线的类型).()();()(:.,),(,.,通过移轴变换实现配方成标准形式通过转轴实现消去交叉项步骤从而确定其形状在其中的方程最
12、简单使得的标准坐标系即寻找一个和做法是通过的图形一个二次方程中本节讨论在一个2102222112222211 角角坐坐标标系系新新的的右右手手直直移移轴轴转转轴轴右右手手直直角角坐坐标标系系cybxbxyayaxa2.1用转轴变换消去交叉项用转轴变换消去交叉项.cot,.cossin)()cossinsin()sinsincos(,cossinsincos1122111111222222122112222122111222221122222222aaayxaaayaaaxaaaxyayaxayxyx 必须满足则不出现交叉项要使新坐标系中的方程则新方程的二次项为作变换转转轴轴2.2用移轴变换进一
13、步简化方程用移轴变换进一步简化方程.,:.,:,)(.双曲线和两条相交直线一点空集椭圆它们的图形依次为种形式之一下后可将方程化简为以则通过配方都不为零若中的方程为在某个现设二次曲线 010115102222222222222222222222221121222211byaxbyaxbyaxbyaxbyaxaacybxbyaxa移移轴轴右右手手直直角角坐坐标标系系一一条条直直线线和和一一个个点点. .直直线线, ,一一对对平平行行一一对对相相交交直直线线, ,抛抛物物线线, ,双双曲曲线线, ,椭椭圆圆, ,: :除除外外) )有有7 7种种空空集集任任何何二二次次曲曲线线的的图图形形( (准准
14、方方程程和和标标准准坐坐标标系系任任何何二二次次曲曲线线都都有有标标从而程系中的方程总是二次方手直角坐标由于任何二次曲线在右的标准坐标系的右手坐标系称为对应的新的标准方程曲线以上所得方程称为二次图形是一条直线时当图形是空集时当图形是两条平行线时因此当则新方程可化简为并且若它的图像是抛物线则新方程可化简为并且若,.,.,;,;,.,)(.,)( 000000320002222211222211ddddxbaaypxbaa)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(:,一张平面两张平行平面抛物柱面两张相交平面双曲柱面一条直线椭圆柱
15、面二次锥面双曲抛物面椭圆抛物面双叶双曲面单叶双曲面一点椭球面种情形之一是下列此直角坐标系中的方程在使得都存在空间直角坐标系面对任何一个非空二次曲01413212011110091807262514130211142222222222222222222222222222222222222222222222222222222222xaxpyxbyaxbyaxbyaxbyaxczbyaxzbyaxzbyaxczbyaxczbyaxczbyaxczbyaxSS 3 3用方程的系数判别二次曲线的类型、不变量用方程的系数判别二次曲线的类型、不变量.,.0),(,.,0),(., .仿射坐标系, 321的内
16、在联系不变量反映了方程系数的联系在但这些系数之间有着内数的变化这些变化将导致方程系常数两边同时乘以某个非零的整理等价于方程方程线性变量替换而坐标变换是个可逆的和方程的整理要经过坐标变换化为标准方程的过程中将方程称为二次曲线的类型的方法利用这些不变量来判断称为某些不变性质它们在坐标变换下具有是通过定义几个所谓的二次曲线的分类问题下彻底解决在一般的本节介绍不变量法yxFyxFIII量量法法不不变变不不变变量量 方方程程系系数数的的函函数数不不变变量量法法3.13.1二元二次多项式的矩阵二元二次多项式的矩阵.),(),(,),(),(,.),(.),(yxAyxyxyxAyxyxF,cbbbaaba
17、aAaaaaAxyayaxayxcybxbxyayaxayxF0212221211211221212110122222112112222211112222 则令记设.1 1 ,1 0 0 , .),(),(21022212112112212121100yxCyxkkyxCyxkhhkhhChhhhCyxyxFAA或表示为则可逆线性变量替换可记的矩阵和称为和.22),( ,22),( 2122221121222211cybxbyaxayxFcybxbyaxayxF经可逆线性替换后变为设.),(),(.),(),(,),(),(,),(),(000000011AAyxyxFyxyxFCACACCy
18、xCACyxyxyxACCyxyxFTTTT和的矩阵分别是和注的矩阵和分别是都是对称矩阵和这里由此可得 : 3.23.2二元二次多项式的不变量二元二次多项式的不变量. 3 , 2 , 1, )2(;, ) 1 (,),(,),(),( .),(,. | ,| , ),(03322321321321222110222111iIICIIIIyxFIIIyxFyxFyxFIIIAIaaaAIaaIyxFii则是正交矩阵如果同号和同号和则的不变量记以经过可逆线性替换变为设变量的第一、第二、第三不依次称为的系数的函数：定义命命题题3 3. .3 3., 0, 0)()().() (),() (, . 0
19、 . 0 .),(),(, 0,0:4 . 3.),(),(, 0),(, 0),( . 0, 0),(),( 1111112212121111112212221202212222111211102111110000111222112121112同号即从而不为零都又因为于是利用引理可得可知再由同理得于是的二次项部分矛盾是与则可推出否同号并且不全为零可推得由的证明命题的二次项部分是这里有则对任何两个实数的如果同号与且则若经可逆线性替换后变为设IIIIII,ccI,ccIII,ccccAcca,ccccAccaCACAIIyxFyxaaaIyxFyxtsItsIyxFIIIIyxFyxFT引引理理
20、命命题题3 3. .4 4.,0(2) ;, 3 , 2 , 1,0) 1 ( , , , ,),( ,),( .),( .,),( 3131233322211321321321符号不变但变号的符号不变时当的符号都不变时当于是则由不变量的定义知的不变量记为而，的不变量为记时的变化乘以非零常数下面讨论换规律变在作可逆线性替换时的的不变量以上讨论了IIIIIiIIIIIIIIIIyxFIIIyxFyxFIIIyxFi3.33.3用不变量判别二次曲线的类型用不变量判别二次曲线的类型线或空集一对平行直线或一条直抛物线两条相交直线不定双曲线不定空集一点椭圆图形标准方程负性标准方程的不变量的正 00000
21、2000101000112222222222222222222222321dxpyxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxIII.3.43.4半不变量半不变量., )2( );),( ) 1 ( ),(),(, 0),( .),(),()( ),(,0 11011111322222211122221111132132KKCyxFKIKIKyxFyxFIIyxFyxFbcabcacbbacbbaKyxFIIIII则是正交矩阵数矩阵如果线性变量替换的系的半不变量是则作可逆线性变量替换得对的设的它称为定义为此对不能确定图形的形态仅靠的情形对于命题3.5命题3.5半不变量半不变量 空集一条直线一对平
22、行直线抛物线抛物型两条相交直线双曲线双曲型一点空集椭圆椭圆型的方法变量判别二次曲线类型以下是用不变量和半不0000003000200001111332332331312KKKIIIIIIIIIIII)()()()()()().(),(),)(,:.1522101535325111251111110522212322122KIIIAyxyxyx 解解 例例3 3. .4 4的类型的值讨论二次曲线按照.,).(;,).(.,|)(.,).(;,).(.,|)(;,).(;,).(.,|)(是抛物线时当是一对虚平行直线时当属抛物型时当是一对相交直线时当是双曲线时且当属双曲型时当因此是椭圆时当因此是虚
23、椭圆时当属椭圆型时当0I123080I1130I130I53220I5311120I120I0I1210I0I1110I11313233231312 K4 4圆锥曲线的仿射特征圆锥曲线的仿射特征. 0),(, ).,(),(),(1) 1 ,(),(,),( ,),( ,),( ,),( ., ., 321213222122112111yxFyxFyxyFyxxFyxAyxyxFcybxbyxFbyaxayxFbyaxayxFAyxF为的方程二次曲线坐标系中以下总假定在某个仿射则记的矩阵为设二元二次多项式的几何特征即那些和度量无关曲线的仿射特征方程的系数来研究圆锥本节讨论将如何用双曲线和抛物线
24、圆锥曲线包括椭圆4.14.1直线与二次曲线的相交情况直线与二次曲线的相交情况).,(),(4),(),( 4. 0),(),(),( 2),(:(1) ),(),(0000200100002001200000yxFnmyxnFyxmFyxFtyxnFyxmFtnmltnyytmxxnmyxMl记的与的方程并展开得代入其参数方程为方向为过设相相交交方方程程u u. , 0),(0),(),() 3(; , 0),(0),(),()2(; , 0),(),() 1 (.)2(, 0),( . 2.,)2(,0) 3(,)2(,0)2(;) 1 (,)2(,0) 1 (.)2(, 0),( . 10
25、00020010000200100200121无交点与则但若上在则且若有一个交点与则若为一次方程此时方程情形的虚点交于两个共轭与这时有两个共轭的虚根方程时当个重合的实交点；即有两相切与这时直线有两个相同的实根方程时当个不同的实交点的两与得代入与有两个不同的实根方程时当为二次方程此时方程情形lyxFnyxFmyxFlyxFnyxFmyxFlnyxFmyxFnmlllttnm(2) . 0),(),(),( 2),(000020012yxFtyxnFyxmFtnm相交方程：4.24.2中心中心., 0),(),( ),( 000002001000的所有弦的中点的、通过也是的注：二次曲线的为二次曲线
26、则称满足若MMMyxFyxFyxM中心中心中心中心定义3.1定义3.1.的一次项与二次曲线方程不含是的中心的充分必要条件：坐标原点是二次曲线yx推推论论于是有，由于),(),(),(1) 1 ,(),(321yxFyxyFyxxFyxAyxyxF., .:.,0I , 0I)3( );0),(0),(,0II)2( ;,0I (1) 3221322其中抛物线是无心曲线曲线曲线是曲线；抛物线型型曲线是于是椭圆型曲线和双曲称为的；有无穷多个对称中心为其中没有对称中心的称；中心的曲线称为没有中心或有无穷多个；二次线称为具有唯一中心的二次曲没有中心时当或其方程为的中心直线称之为它们组成一条直线有无穷多
27、个对称中心二次曲线时当有唯一中心二次曲线时当3.1非中心型非中心型中心型中心型线心曲线线心曲线无心曲线无心曲线非中心型曲线非中心型曲线曲线曲线中心型中心型注注定理定理yxFyxF,)()( , 0)( )( 0 0 I0I),(),(, 0), 0(,0I,0II .,0),(0),(,0I:22122221222122212122122121222122121222121221221222121121133221212112212221122112122211232212lbbalaab -lbbalbbbbaalbbc bbb aalb bc bb baa blalac bb baa ba
28、aaalaaaaaaaaaaayxFyxF可得则由记设不妨矛盾否则不全为零时此得由时当一的对称中心有唯故有唯一解方程组时当证证明明.,0),(0),(),(,0I , 0I ., 0),(0),(,0),(0),(),(,:213221212122121211没有对称中心从而此时无解于是方程组，的前两行不对应成比例的矩阵时当无数多个对称中心有从而此时或们构成一条直线它有无数解程组行对应成比例，于是方的前两的矩阵即故yxFyxFAyxFyxFyxFyxFyxFAyxFlbbaaaa.)( )( ., 0 )2(; 0 ) 1 (2313221212112313221212112212121122
29、1212112221212112aaaaaaiiaaaaaaiaaaaaaaaIaaaaI线心曲线：；无心曲线：即非中心型曲线：中心型曲线：类：二次曲线按其中心的分4.34.3渐近方向渐近方向. . .; ; ;u uu u就是它的中心直线线有一条渐近线抛物型曲线中的线心曲线无渐近线抛物型曲线中的无心曲近线；双曲型曲线有两条渐：椭圆型曲线无渐近线方向抛物型曲线有一个渐近方向双曲型曲线有两个渐近椭圆型曲线无渐近方向的组成部分成为上线在无交点或者整条渐近则其渐近线与有渐近线若注意的渐近线近方向的直线称为通过中心且平行于渐的非渐近方向否则称为的为则称若满足非零向量, .,) 1 ( :., 0),(
30、),( 推论命命题题3 3. .6 6渐渐近近方方向向定定义义3 3. .2 2nmnm.)1 , 0()0 , 1 (, 0)1 (, 0I, 0,0 );,(, 0)()2(,.,0).,(, 0)()2(, 0,)3(;, 0I,)2(;, 0I)1 (,I(2) .02 ,)1 ,(0),( ),0(0, 0(1) .02),( ,),(:21222111222222122211122121122222122111122212211表示和向量的两个渐近方向分别用于是可化为此时方程是双曲线故必有时若向为的渐近方可化为方程此时对于抛物型曲线可类似讨论时注：若的渐近方向为于是此时可化为方程是
31、抛物型曲线时当有两个渐近方向是双曲型曲线时当方向从而椭圆型曲线无渐近是椭圆型曲线时，当于是其判别式为满足方程此时的解形如的于是只需考虑否则则若则的渐近方向是设mnaaaaanaaaaaamaamamammnmnmnanamnamanmnmu u证证明明).1, 1 ()3,7(),(,0)(72(07103,474901750253.012471032222或于是所求渐近方向为，得下求渐近方向，由，解得中心为由解：先求曲线的中心，的渐近方向例题：求曲线nmnmnmnmnmyxyxyxyxyx4.44.4抛物线的开口朝向抛物线的开口朝向.),(,),(.)(),(.),(),(,;),(),(,
32、.0000001100002111121111212221222111112111211yxFIMyxMbabaIaaaaaaaaaaaa在抛物线的内部则不在抛物线上如果点充要条件是是抛物线的开口朝向的口方向中哪个代表抛物线的开和则应判断若开口方向中哪个代表抛物线的和应判断时当于其渐近方向抛物线的开口朝向平行 引引理理命命题题3 3. .7 7.)(),(,.,(,)()(),(),(,),(,),(,),(,),(,:).,),(,(),(.),(),(,),(.:同号与充分大时当于是知由而充分大时当是充分必要条件是抛物线的开口朝向的是于为则此射线上的点的坐标线的射做指向从原点出发的引理见命
33、题同号与此时对于抛物线的情形时的两侧的两个交点分别位于的直线与抛物线并和渐近线方向不平行过在抛物线的内部2111121112211112322111122111122111211121112111121112111212001000000002200430000babatataFtbabaIIctbabactbabataatataFtataFItaattataaanmIIyxFIyxFnmnmMMM命命题题3 3. .7 7的的证证明明证证明明4.54.5直径与共轭直径与共轭. ., ,u u, ,u uu u, ,u uu uu u直直径径共共轭轭直直径径 简称的所代表的方向关于称为记作是条
34、直线则方程不是抛物线的渐近方向即不全为零和如果亦即即为零一次项系数的相交方程中直线与二次曲线所决定的和则在由点的某条弦的中点是平行于如果取定非零向量,)()(,)()(.)()(,),(),(,),(),(lnbmbynamaxnamanamanamanbmbynamaxnamayxnFyxmFMyxMnm0002122121211221212112102212012110020010000 .,),(),(),(),(:)(.)(:.)(;)(,),(上在即点于是有对应于点有一个解的相交方程只它和决定的直线和就是点则只有一个交点和的直线平行设下面证明的证明上面已经说明上在只有一个交点的直线和
35、平行上的每条弦的中点在平行则的渐近方向不是如果u uu uu u, ,u uu u, ,u uu uu ulPyxnFyxmFPtPlyxPllPPlnm00212111211111 证证明明命命题题3 3. .7 7./,.),(,)()(,),(.,),(为一对共轭直径和称因此在这种情况有则必也有直径从而若是对称的和这个等式对即则平行于设非零向量直径有共轭方向时不是抛物型曲线的渐近当v vu uv vv vu uu u, ,u,u,v v, ,v vu uv vu uu ullllnmAnmnamannamamlnmlnm00022121211 的共轭的共轭方向关于方向关于4.64.6圆锥
36、曲线的切线圆锥曲线的切线.),(),(),()(,()(,(.),(),(),(,),()(.,:00010030020010002000100020010000yxFyyxFxyxFyyyxFxxyxFMyxnFyxmFnmlMyxMllll 或的切线方程为可得过满足的方向的切线则过设的交点称为与的是则称上在或者有两个重合的交点如果与二次曲线直线u u点点切切切切线线定定义义. .u uu uu u的交点的共轭直径和切点是亦即所求切点为满足方程的切线求平行于不是渐近方向设:.),(),(),(.,),()(00221yxnFyxmFyxFnm .),(),(),(,),(.)(,()(,(,
37、),(:),()(.),(),(),(),(),(:)(.:).(),()(0000031130112011111101121011111111200200100000yxFyyxFxyxFyxFyyyxFxxyxFyxFyxMbnmyxnFyxmFyxFnmayxM或解方程组求切点解方程组求方向求方向或切点思路如果存在的话的切线外一点求过.),(,),(,),(,)()(,.)()(,)()()()(,.)()(),(,),(,),(.),(,),(:.),(:020222001102102220222022322012220220120200320200122222222122yxyxyx
38、yxyyxxyyxxyxyyxxyxFFFyxyx和条切线为的两于是得到过并且因为得分解因式即得代入相交方程的判别式不在曲线上故的切线过求二次曲线 例解解5 5圆锥曲线的度量特征圆锥曲线的度量特征.,.),(椭圆的长短半轴等问题顶点如对称轴的度量特征圆锥曲线本节用特征值法来研究的方程为中圆锥曲线设在右手直角坐标系02222122212211cybxbyaxyaxayxFI 5.15.1抛物线的对称轴抛物线的对称轴.,),(),(,),(,.),(,;),(,000000121211112112212111121111122222111211IbabayaxaIyxFayxFaaaaaaaaaa
39、 化简得利用即对称轴方程为的共轭直径关于垂直与渐近方向时于是当是抛物线的渐近方向时是抛物线的渐近方向时, ,v vu uv vu uu u.,),(,:,的图形并画出求其对称轴和顶点的方程为抛物线在右手直角坐标系中于是有的不变量不变由于直角坐标变换保持同号中的方程如下在的直角坐标变换后得到则从作右手直角坐标系的正向方向为的开口为新的原点的交点选取对称轴和018682802223232211112yxxyyxIapIaaIaIpaypxaIIIIyO 例例3 3. .5 5.:)().,(,)(:)(.,:)(.,:)(.,:画图略方程为下可得抛物线在新的右手直角坐标系作图得开口朝向为由求开口朝
40、向得顶点解方程组求顶点亦即即求对称轴解 22111121223154210200302101201868282012044815010143424348xyIbabaIOyxyxxyyxyxyxIIA5.25.2椭圆和双曲线的对称轴椭圆和双曲线的对称轴.),(,),(),(:.,.,平行与是主方向于是则相互共轭设主方向的计算方法于主方向的直线并且平行就是经过中心椭圆和双曲线的对称轴的则称此方向为方向垂直如果一个方向与其共轭对于中心型曲线nmAnmAnmnmnm000u uu uu uu uu uu u 主主方方向向定定义义3 3. .4 4.,.,)(.)(.,|:|.,|,.)(,的对称轴中
41、心的每条直线都是它从而经过是圆此时圆锥曲线它有一个解则特征方程可化为若特征方程的判别式为求出的特征值可由从而注意到的是亦即从而因为亦即使存在实数112111122122221122121202120000002010440000aaaaaaIIIIAIIAEAAEnmAEnmnmA 特特征征方方程程特特征征值值u u,cossinsincos.,.,;,),(,;.,),(),(,)( 阵为的过渡矩到设于是的中心是但中的方程为在则的中心是使不妨设右手坐标系构造从而主方向曲线有两个相互共轭的由于椭圆和双和两个主方向从而可得有两个不同的特征值则若IIbbOcybxbyayxaxaOOOnmnmA0
42、02220221212221221121212122110e ee e/ / /u ue e/ / /u ue ee ee eu uu uu uu u2 21 12 21 12 21 1.,cossinsincoscossinsincoscossinsincoscossinsincos由此可得标准方程因为这里可化为因此新坐标系下的方程于是332121322212121210221212110IIcIccyxAaaaa 00 , .,)(.,:.,:.,222212222919098180891811145154018224104221121231222e ee e的主方向可求得为对应于可求得为
43、主方向的特征向量对应于特征值为其特征方程为是双曲线故作图并求它的顶点和对称轴是什么曲线的图像方程问在右手直角坐标系中IIIAyxyxyx解解例例3 3. .6 6.,;).,(120320020911145015422222221yxyxOOyxyx 标准方程为化为的方程为在此坐标系中系于是构造右手直角坐标解得的中心可由方程组e e, ,e e类型形状不变量特征简化方程椭圆型(1)椭圆(2)虚椭圆(3)点双曲型(4)双曲线(5)一对相交直线抛物型(6)抛物线(7)一对平行直线(8)一对平行的虚直线(9)一对重合直线02I02I02I00313III,00313III,03I03I03I03I0
44、013KI,0013KI,0013KI,0232221IIYX021321YIIXI01121IKXI.,:.:这是条双曲线标准方程为于是曲线的简化方程为特征根为二次曲线的特征方程为所以又因为二次曲线所以二次曲线为中心型因为的简化方程与标准方程求二次曲线1121022424082216280126622222121331222YXYXIIIIIyxyxyx 解解例例.,),(,),().,(,),(.),(:.,).(,()(,(,.:是直径即就是因此且方向为心过中可知的共轭直径再去求的方向可求得的共轭直径是设方向得直线记为过中心沿此任取非渐近方向可得结果利用个方程左端相乘然后将两使等式右端为零将它们都移到等式左边写出两条对称轴方程和相应的主方向求得为设曲线的特征根为的对称中心显然原点是该二次曲线113113322222112111221121112121111221lllnmllnmnmlnmllnmIIaaaa第第1 16 65 5页页第第1 13 3题题第第1 17 73 3页页第第2 2题题