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1、收稿日期:2016-03-23基金项目:国家自然科学基金重点资助项目(71432002);国家自然科学基金资助项目(7172172)基于公共权重的鲁棒DEA模型研究张冉,冉伦,李金林,褚宏睿(北京理工大学管理与经济学院,北京100081)摘要:传统DEA模型允许决策单元自由选取对其最为有利的投入产出权重,以获得最大的效率。相比之下,公共权重DEA模型采用统一的权重,更加适合统一管理的组织对各部门进行效率评价。此外,由于DEA方法是一种基于现有数据进行建模的方法,而现实生活中的数据往往是不精确的,因此,在建模的过程中考虑数据的不确定性十分重要。本文对Chen等提出的多目标公共权重DEA模型进行了
2、简化。在此基础上,利用鲁棒优化方法,建立了基于公共权重的鲁棒DEA模型,并与Omrani提出的模型进行了对比。数值算例表明本文提出的方法有效,求解计算量更少,得到的公共权重更加合理。关键词:数据包络分析;公共权重;鲁棒优化;效率评价中图分类号:C934文献标识码:A文章编号:1003-5192(2017)02-0069-06 doi:10. 11847/ fj. 36. 2. 69Robust Data Envelopment Analysis Based on Common W eightsZHANG Ran, RAN Lun, LI Jin-lin, CHU Hong-rui(School
3、 of Management and Economics, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)Abstract:In traditional DEA models, different decision making units (DMUs) are free to choose weights that are benefi-cial for themselves to obtain a high efficiency. While the common weights DEA models use common w
4、eights to assess dif-ferent DMUs, which seems more suitable for the centralized organizations. Besides, DEA is a data-oriented method.However, the inputs and outputs data in real-life problems are often imprecise. Thus we should take the data uncertaintyinto consideration. In this paper, we simplify
5、 a multi-objective common weights DEA model proposed by Chen et al.Under the consideration of data uncertainty, we establish a robust multi-objective DEA model and make a comparisonbetween our model and Omrani s. The results of numerical example show that our approach is reasonable andacceptable, ou
6、r computation amount is less and the common weights derived from our model are more reasonable.Key words:data envelopment analysis; common weights; robust optimization; efficiency evaluating1引言数据包络分析方法(data envelopment analysis,DEA)经常被用来评价具有相似的多项投入和多项产出的决策单元(decision making units, DMU)的相对效率。传统的DEA模型
7、(如Charnes等1提出的CCR模型和Banker等2提出的BCC模型)允许决策单元自由选取投入和产出权重以达到其最大的效率值。因此,不同决策单元投入产出的权重也不相同。这些权重不能直接用来比较所有决策单元的效率3。为了寻求能够被大多数决策单元广泛接受的统一的权重,一些学者提出了公共权重DEA模型4。在对公共权重DEA模型的研究中,由于多目标线性规划和DEA方法都是寻求帕累托有效的非劣解,因此,很多学者自然地将多目标线性规划和DEA方法相结合,并取得了一些成果。 Golany5最早将交互式多目标线性规划和DEA方法相结合,在给定投入水平和偏好信息的情况下,提出了一种寻求有效产出水平的方法。
8、Li和Reeves6提出了一个包含三个目标函数的DEA模型,分别为最大化经典DEA模型中的效率得分,最小化最大的效率偏差(无效DMU与生产前沿的距离),最小化效率偏差的总和。通过求解该多目标模型,可以获得一组公共权重。此后,Kao和Hung7基于实际效率得分与理想效率得分的差距建立了一个公共权重DEA模型。在此基础上,Zohrehbandian等8进行了拓展,将Kao和Hung建立的非线性规划问题转化为线性规划问题。然而,大多数多目标公共权重DEA模型在求解时都需要事先选定一个适当的96预 测Vol. 36, No. 2 FORECASTING 2017年第2期万方数据参考点,通过最小化与理想
9、参考点的距离来获得公共权重,进而进行效率排序。与此不同,Chen等9以同时最小化所有决策单元投入和产出的加权差为目标函数,提出了一个新的多目标DEA模型。由于目标函数是投入产出差而非投入产出比,因此其理想参考点为n维零向量(0,0, ,0),其中n为决策单元的数量。这种方法不再以传统DEA模型计算的效率为参考点,减少了计算量,当决策单元的数量较大时该优势会更加明显。因此,本文对Chen等提出的多目标公共权重DEA模型进行了简化,并在此基础上进一步考虑数据不确定性展开研究。以上研究都是在假设投入和产出数据是精确的前提下进行的。然而,在现实生活中,很多投入产出的数据都存在着一定的扰动,称为不确定性
10、。鲁棒优化在解决不确定问题建模中有较好的表现,因此得到了广泛的研究和应用。其目的是求得这样一个解,对于可能出现的所有情况,约束条件均满足,并且使得最坏情况下的目标函数值最优。 Soyster10,Ben-Tal和Nemirovski11 13以及Bertsimas和Sim14 16等在该领域进行了一系列的研究。其中Bertsimas和Sim14 16针对不确定集合为多面体的情况提出的方法,得到的鲁棒等价问题是一个线性问题,并且可以通过调整参数取值来权衡解的保守性和最优性。这种方法不仅保留了Soyster提出的鲁棒优化方法的线性优势,同时也能以较高的概率保证解的鲁棒性不逊于Ben-Tal和Nem
11、irovski的方法。因此,很多学者将Bertsimas和Sim提出的鲁棒优化方法应用到不同的研究领域中。在DEA方法中,各投入产出权重也是通过求解一个个优化问题来获得,因此有学者将鲁棒优化思想应用到DEA模型中。其目的是寻求一组最为稳健的排序,该结果对投入和产出数据在一定范围内的不确定性有较好的免疫。 Sadjadi和Omrani17对传统的BCC模型,分别建立了基于Ben-Tal和Nemirovski,Bertsimas和Sim的鲁棒优化方法的鲁棒DEA模型,并指出基于Bertsimas和Sim的鲁棒DEA模型更加容易求解。随后,他们又将Bertsimas和Sim的鲁棒优化方法应用到不同的
12、DEA模型中18,19。 Omrani20基于Kao和Hung提出的公共权重DEA模型建立了一个鲁棒公共权重DEA模型,并利用该模型对伊朗汽油公司的效率进行了评价。Lu21也分别基于Ben-Tal和Nemirovski,Bertsimas和Sim的鲁棒优化方法建立了鲁棒DEA模型。文献17 21都是将鲁棒优化和DEA相结合进行的尝试,对本文有很大的启示。现实生活中,很多统一管理的组织在对各部门进行评价时,往往会寻求一种较为公平的公共权重。由于选取的某些数据存在着一定的不精确性,因此考虑数据的不确定性进行DEA建模也十分必要。本文针对这种情况,首先对Chen等提出的多目标公共权重DEA模型进行了
13、简化。随后引入Bertsimas和Sim提出的鲁棒优化方法,在投入和产出数据中加入了扰动项,建立了基于公共权重的鲁棒DEA模型。并将其与Omrani提出的公共权重鲁棒DEA模型进行了对比,详细说明和讨论了两种方法的区别。最后通过数值算例验证了本文提出的方法有效,结果显示,相比Omrani提出的公共权重鲁棒DEA模型,本文的方法对参考点的选择更加巧妙,模型求解计算量更少,得到的公共权重更加合理。2简化的多目标公共权重DEA模型假设有n个决策单元DMU,每个决策单元都有m项投入和s项产出,xij和yrj分别表示第j个DMU的第i项投入和第r项产出(i = 1,2, ,m,r =1,2, ,s,j
14、=1,2, ,n)。传统的DEA模型以投入产出比为目标函数,形式如下maxsr =1uryr0 /mi =1vixi0s. t. sr =1uryrj /mi =1vixij 1, j = 1,2, ,nur,vi 0 (1)(1)式的目标函数为投入和产出比的形式,Charnes等将其转化为线性规划问题进行求解。Chen等以gk = mi =1vixik - sr =1uryrk代表第k个决策单元的投入和产出的加权差值。假设对所有的决策单元都有gk 0,DMUk的效率值越大,则gk越小。当且仅当DMUk有效,即DMUk的效率值为1时,有gk =0。因此,最大化DMUk的效率值等价于最小化gk与
15、0的距离。 Chen等假设决策者只关注效率最低的决策单元,用Chebychev距离来度量gk与0的差值,得到下面的目标规划问题min max0 k n| gk - 0 | = min max0 k ngks. t. sr =1uryrj - mi =1vixij 0, j = 1,2, ,nur , r =1,2, ,svi , i =1,2, ,m (2)为了得到(2)式的帕累托最优解,引入两个充07Vol. 36, No. 2预 测2017年第2期万方数据分小的外生参数和z22,(2)式转化为min max0 k ngk - z + ni =1(gi - z)s. t. sr =1uryr
16、j - mi =1vixij 0, j = 1,2, ,nur , r =1,2, ,svi , i =1,2, ,m (3)其中gk = ni =1vixik - sr =1uryrk,k = 1,2, ,n 。根据定义,gk 0,因此,问题最终转化为下述单目标线性规划问题min s. t. gk - z + ni =1(gi - z) , k = 1,2, ,n sr =1uryrj - mi =1vixij 0, j = 1,2, ,nur , r =1,2, ,svi , i =1,2, ,m (4)本文对(4)式中第一行的约束条件进行展开,得到了下面的形式min s. t. mi =
17、1xikvi - sr =1uryrk - + nj =1 mi =1vixij -nj =1 qr =1uryrj z + nz, k = 1,2, ,n sr =1uryrj - mi =1vixij 0, j = 1,2, ,nur , r =1,2, ,svi , i =1,2, ,m, is free (5)(5)式中,只要第二组约束条件成立,则第一组约束条件中的mi =1xikvi - sr =1uryrk部分必定大于0,因此将第一组约束条件与第二组约束条件相加,可以进一步简化得到下述问题min s. t. nj =1 mi =1vixij -nj =1 qr =1uryrj -
18、z + nz sr =1uryrj - mi =1vixij 0, j = 1,2, ,nur , r =1,2, ,svi , i =1,2, ,m, is free (6)由此,得到了本文简化的多目标公共权重DEA模型。下面,我们将在该模型的基础上进一步考虑数据的不确定性,建立基于公共权重的鲁棒DEA模型。3基于公共权重的鲁棒DEA模型3.1鲁棒优化方法简介本节简要介绍Bertsimas和Sim14 16提出的鲁棒优化方法。考虑下面的LP问题max cxs. t. Ax bx X (7)其中c Rn,b Rm,A = (aij)是一个m n维矩阵,x Rn为决策变量。不失一般性,假设只有系
19、数矩阵A中存在不确定性。令J代表系数矩阵A中存在不确定性的系数的集合。假设该集合中的系数都在以其名义值aij为中心的一个对称有界的区间aij - aij,aij + aij内随机取值,其中aij = eaij,通常假定e的取值范围在0,1内,代表数据在名义值附近的波动范围。引入外生参数(称为鲁棒代价参数), 0,|J|,由J的定义可知的取值范围为0,n。通过调整参数就可以权衡解的稳健性和保守性。引入后,(7)式的鲁棒等价形式就可以写成max mizejcjxj |jaijxj + i(x,) 0, i其中i(x,) = maxSi ti| Si J,| Si| = ,ti JSij Siaij
20、 | xj | +( -)ait | xj | ,称为约束条件的保护项。3.2新的基于公共权重的鲁棒DEA模型令R代表投入产出数据的不确定集合,应用上述鲁棒优化思想,对于每个DMU,Rj可以表示为Rj() = xij,yrj, i,r | xij xij - xij,xij + xij,yrj yrj - yrj,yrj + yrj, mi =1| xij - xij |xij + sr =1| yrj - yrj |yrj 其中xij = exij,yrj = eyrj,对于(6)式中的第一个约束条件,其保护项可以表示为(v,u,) = maxSj t| Sj Rj,| Sj| = ,tj
21、RjSji Rjjvixij +r Rjjuryrj + ( -)th tj当( -)ait出现在投入数据中时,t htj取vtxtj。当( -)ait出现在产出数据中时,t htj取utytj。同样,(6)式中第二行约束条件组的保护项为j(v,u,) = maxSj t| Sj Rj,| Sj| = ,tj RjSjr Rjuryrj +i Rjvixij + ( -)th tj17张冉,等:基于公共权重的鲁棒DEA模型研究万方数据因此,(6)式的鲁棒等价形式为min s. t. nj =1 mi =1vixij - nj =1 qr =1uryrj - +(v,u,) z + nz sr
22、=1uryrj - mt =1vixij + j(v,u,) 0, jur , r =1,2, ,svi , i =1,2, ,m, is free (8)定理1 (8)式等价于下述线性规划问题min s. t. nj =1 mi =1vixij - nj =1 qr =1uryrj - - p -mi =1 nj =1qij - sr =1 nj =1qrj z + nz- mi =1vixij + sr =1uryrj + pj + mi =1dij + sr =1drj 0- p - qij exijti, i,j- p - qrj eyrjtr, r,jpj + dij exijti,
23、 i,jpj + drj eyrjtr, r,j- ti vi ti, i =1,2, ,m- tr ur tr, r =1,2, ,sur , r =1,2, ,svi , i =1,2, ,mp 0,qij 0,qrj 0,pj 0dij 0,drj 0,ti 0,tr 0, is free (9)(9)式是一个普通的线性规划问题,可以通过Matlab中的线性规划工具包进行求解。通过求解(9)式可以得到一组最优的公共权重(v ,u ),则每个DMU的效率得分为j = sr =1ur yrj mi =1vi xij(10)通过上述方法建立的鲁棒DEA模型在建模过程中已经考虑到了数据的不确定性
24、,模型允许投入产出数据在名义值附近的一个小的范围内波动,而且得到的结果可以以一定的概率保证解的有效性。因此,由该方法得到的排序结果是稳健和可靠的,可以处理数据不精确情形下的评价问题。3.3与Omrani的模型对比本文提出的鲁棒DEA模型与Omrani的方法相似,但两者有重要的区别(见表1)。首先,本文是在Chen等提出的多目标公共权重DEA模型的基础上进一步引入鲁棒优化方法进行研究的。这也就决定了本文的目标函数是投入和产出的加权差值,而非传统模型的投入产出比值。 Omrani选择Kao和Hung的公共权重DEA模型作为基础模型并展开后续研究,其目标函数为投入和产出的比值。求解的过程中,两种方法
25、都采用参考点法,但Omrani需要对每个DMU计算其BCC模型下的理想效率得分,并以此作为参考点,通过最小化鲁棒DEA模型下所有DMU的效率得分与其对应的理想效率得分的差值之和来求得公共权重。由于本文DEA模型的目标函数为投入和产出的加权差值,这个差值越小效率越高,因此,本文选取的参考点为n维零向量,其中n为决策单元的数量。也正是由于巧妙地选取n维零向量作为参考点,大大地减少了求解线性规划的数量(因为Omrani的方法需要额外求解2n个线性规划得到参考点)。而且,随着决策单元数量的变大,这种计算效率上的优势会更加明显。此外,两种模型对于参考点方法求解多目标线性规划问题时选取的距离也不相同。Om
26、rani选择了欧氏距离,得到二次规划问题。而本文选取Chebychev距离,利用Steuer和Choo22提出的方法转化为线性规划问题。相比之下,本文的方法更加易于求解。表1模型对比Omrani的模型 本文的模型 相同点求解方法多目标规划参考点法多目标规划参考点法鲁棒性构建Bertsimas和Sim提出的鲁棒优化方法Bertsimas和Sim提出的鲁棒优化方法不同点目标函数最大化产出与投入的比值最小化投入与产出的差值参考点BCC模型下各DMU理想效率得分n维零向量距离选择欧式距离Chebychev距离线性规划计算数量需2n +1个线性规划得到公共权重求解一个线性规划即可得到公共权重4数值算例选
27、取文献6中的数据对建立本文的模型进行验证,并与Omrani的方法进行对比。与Chen等一样,本文假设投入产出数据的扰动范围为5%,即e =0. 05。设定 =10 -3, =10 -5,z = 10 -4。为27Vol. 36, No. 2预 测2017年第2期万方数据了方便对比,本文与Omrani保持一致,增加约束条件sr =1ur + mi =1vi = 1对投入产出的权重进行标准化。 分别取值1和5。其中 =5代表可以保证5/7 100% 71%的数据扰动时,约束条件成立的可能性不低于99% 21。各模型的效率得分和排序结果如表2所示。表2不同模型的效率得分和排序结果DMUs BCC D
28、EA模型Kao和Hung提出的公共权重DEA模型Omrani提出的公共权重鲁棒DEA模型 =1 =5Chen等提出的多目标DEA模型本文提出的基于公共权重的鲁棒DEA模型 =1 =5DMU 1 1(1) 1(1) 0.9664(1) 0.9048(1) 1(1) 0.9668(1) 0.9084(1)DMU 2 1(1) 1(1) 0.9545(3) 0.9048(1) 1(1) 0.9549(3) 0.9048(3)DMU 3 1(1) 0.9989(3) 0.9612(2) 0.9048(1) 0.999998(4) 0.9626(2) 0.9051(2)DMU 4 1(1) 0.9927
29、(4) 0.9541(4) 0.8816(6) 0.999999(3) 0.9544(4) 0.90478(5)DMU 5 1(1) 0.9866(5) 0.9551(5) 0.9048(1) 0.999997(5) 0.9467(5) 0.90479(4)DMU 6 1(1) 0.9123(6) 0.9220(6) 0.9048(1) 0.9618 (6) 0.8770(6) 0.8704(6)DMU 7 1(1) 0.8849(7) 0.8338(8) 0.7489(9) 0.8753 (7) 0.8518(7) 0.7920(8)DMU 8 1(1) 0.8707(9) 0.8091(9
30、) 0.7646(8) 0.8480(9) 0.8268(9) 0.7674(9)DMU 9 1(1) 0.6690(14) 0.6495(13) 0.6116(13) 0.6789(13) 0.6447(14) 0.6147(13)DMU 10 0.9403(10) 0.8768(8) 0.8378(7) 0.8001(7) 0.8775(8) 0.8355(8) 0.7940(7)DMU 11 0.9346(11) 0.6518(15) 0.6221(15) 0.6089(14) 0.6513(15) 0.6163(15) 0.5893(15)DMU 12 0.8290(12) 0.728
31、2(10) 0.6857(11) 0.6385(12) 0.7190 (11) 0.6973(10) 0.6506(11)DMU 13 0.7997(13) 0.6260(16) 0.5944(16) 0.5736(16) 0.6224 (16) 0.5944(16) 0.5632(16)DMU 14 0.7733(14) 0.7142(12) 0.6804(12) 0.6478(10) 0.7127(12) 0.6815(12) 0.6449(12)DMU 15 0.7627(15) 0.7210(11) 0.6875(10) 0.6458(11) 0.7206(10) 0.6876(11)
32、 0.6520(10)DMU 16 0.7435(16) 0.6811(13) 0.6385(14) 0.5947(15) 0.6680 (14) 0.6469(13) 0.6045(14)DMU 17 0.6873(17) 0.6068(17) 0.5671(17) 0.5211(17) 0.5944(17) 0.5825(17) 0.5378(17)均值0.9100 0.8189 0.7835 0.7389 0.8194 0.7840 0.7417需要注意的是,Omrani提出的公共权重鲁棒DEA模型是建立在Kao和Hung的公共权重DEA模型的基础上的,而本文是简化了Chen等提出的多目
33、标DEA模型进而建立了鲁棒DEA模型。对比上述结果的第2,3,6列,可以发现两种公共权重DEA模型计算的DMU效率值均低于传统BCC模型。这是因为传统的BCC模型允许所有DMU自由选取对其最有利的权重计算效率,而公共权重一定会导致DMU效率的降低。对比第4,5,7,8列,可以看出利用本文方法计算的效率得分与Omrani的结果差别不大,这是符合预期的。表3中呈现的公共权重的结果也显示两种方法的结果相近。但是,Omrani的方法需要求解2n + 1个线性规划问题才能得到公共权重,而本文提出的方法只要求解一个线性规划问题即可求得公共权重,因此,可以说本文的方法在保证求得同样的解的前提下大大地减少了计
34、算量,提高了计算效率。此外,两种方法的结果都表明,随着的增大,DMU的效率值变小。 越大代表投入产出数据中存在不确定性的数据越多,把更多的不确定性引入模型中,势必会导致解(公共权重)的保守性,因而求得的效率得分也会越低。表3不同模型求得的公共权重v1 v2 v3 v4 u1 u2 u3Omrani的模型 =1 0.15777 0.37744 0 0.03274 0.02503 0.39955 0.00746 =5 0.15559 0.37332 0 0.05243 0.01859 0.39231 0.00776本文的模型 =1 0.14688 0.40003 0.001 0.02008 0.0
35、2977 0.39612 0.00613 =5 0.16018 0.38746 0.001 0.03260 0.02434 0.38735 0.00707从表3中可以看出,Omrani的模型求得的权重存在0值,实际上很多其他的DEA模型求得的某些投入或产出的权重也会出现0值,但这显然是不合理的。在实际评价中,无论该投入或产出的作用大小,都会对DMU的效率有一定的影响。本文通过设置权重的下界避免了该问题,得到的公共权重也更加合理。37张冉,等:基于公共权重的鲁棒DEA模型研究万方数据5结论与启示现实生活中,管理者获取的数据很难保证精确性,在这种情况下利用数据进行评价时就必须考虑到数据的不确定性。
36、本文正是考虑在数据不精确的前提下,统一管理的组织对各部门进行效率评价的情况。首先简化了Chen等提出的多目标公共权重DEA模型,然后考虑数据的不确定性,应用Bertsimas和Sim的鲁棒优化方法,引入鲁棒代价参数,建立了基于公共权重的鲁棒DEA模型。本文建立的鲁棒DEA模型允许投入产出数据在名义值附近的一个小的范围内波动,而且得到的结果可以以一定的概率保证解的有效性。因此,由该方法得到的排序结果是稳健和可靠的。通过数值算例,对比了本文提出的基于公共权重的鲁棒DEA模型和Omrani提出的公共权重鲁棒DEA模型。结果显示,本文提出的模型有效,求解过程计算量小,得到的公共权重更加合理。利用本文的
37、方法对决策单元进行效率评价,可以得到稳健可靠的排序结果。参考文献:1 Charnes A, Cooper W W, Rhodes E. Measuring the effi-ciency of decision making unitsJ. European Journal ofOperational Research, 1978, 2(6): 429-444.2 Banker R D, Charnes A, Cooper W W. Some models forestimating technical and scale inefficiencies in dataenvelopment a
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