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1、定义定义:).2|(|,.|)|(,:) 1 (212121aPFPFFFFF距两个焦点的距离叫做焦焦点两个定点叫做的点的轨迹叫做椭圆大于数的距离的和等于常平面内到两个定点椭圆).2|(|,.|)|(,:)2(212121aPFPFFFFF距两焦点间的距离叫做焦两个定点叫做焦点这的点的轨迹叫做双曲线小于对值等于常数的距离的差的绝平面上到两个定点双曲线.,:)3(准线叫做直线叫做焦点点物线相等的点的轨迹叫做抛的距离和一条定直线平面内到一个定点抛物线lFlF定义定义: :平面内到一个定点和一条定直线的距离平面内到一个定点和一条定直线的距离的比等于定长的比等于定长e e的点的集合的点的集合, ,当当
2、0e10e1e1时时, ,是双曲线是双曲线. .当当e=1e=1时时, ,是抛物线是抛物线. .PFKoxy12222byax)0(ba12222byax)0, 0(bapxy22)0(p椭圆椭圆双曲线双曲线抛物线抛物线几何条件几何条件与两个定点的距与两个定点的距离的和等于定值离的和等于定值与两个定点的与两个定点的距离的差的绝距离的差的绝对值等于定值对值等于定值与一个定点和与一个定点和一条定直线的一条定直线的距离相等距离相等标准方程标准方程图形图形顶点坐标顶点坐标y xB1B2A1A2OyxoF2 2F1 1MOxyFMP), 0(),0 ,(ba)0 ,( a)0 , 0(对称轴对称轴焦点坐
3、标焦点坐标离心率离心率准线方程准线方程渐近线方程渐近线方程y xB1B2A1A2OyxoF2 2F1 1MOxyFMPax2,长轴长轴by2,短轴长轴ax2,实轴长轴by2,虚轴长轴轴x)0 ,( c22bac)0 ,( c22bac)0 ,2(pace 10 e1e1ecax2cax22pxxaby椭圆椭圆方程方程图形范围对称性顶点离心率12222byax12222bxay xyB2B1A1A2YXoF1F2bybaxa,ayabxb,关于x轴，y轴，原点 ,对称。关于x轴，y轴，原点 ,对称。), 0(),0 ,(bBaA)0 ,(), 0(bBaA) 10(eace) 10(eaceca
4、x2准线方程 oxy椭圆的椭圆的几何性质几何性质由由12222byax112222byax和即即byax和说明：椭圆位于直线说明：椭圆位于直线X=a和和y=b所围成所围成的矩形之中。的矩形之中。22),0 ,(bacc焦点坐标cax2:准线方程10: e离心率例例1 求椭圆求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标心率、焦点和顶点坐标把已知方程化成标准方程得把已知方程化成标准方程得1452222yx31625,4,5cba这里因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是82,102ba离心率离心率6.053ace焦
5、点坐标分别是焦点坐标分别是)0,3(),0,3(21FF四个顶点坐标是四个顶点坐标是)4,0(),4,0(),0,5(),0,5(2121BBAA解解:.,252522焦点和顶点的坐标短轴的长的长轴和求椭圆 yx练习练习:解解: . 62125, 1, 5cba, 12522 xy椭圆的标准方程为).0 , 1(),5, 0(),62, 0(顶点焦点F, 22.102ba短轴长长轴长P2Fx1FyO,21PFPF .452a由此得. 1204522yx所求椭圆的方程为例例2到两准线的距离若点且为两焦点PPFPFFF,2121.,126求椭圆的标准方程和分别为, 为椭圆上一点轴上已知椭圆的焦点在
6、Px解解:,2c焦距为, 1,2222byax设椭圆方程如图,12|,6|21acPFacPF由椭圆定义得,)2(|22212221cFFPFPF22222414436cacac.20. 5,21262222cabcca又.,0916,056:32222线并说明它是什么样的曲求动圆圆心的轨迹方程内切同时与圆外切一动圆与圆例xyxxyx配方分别将两已知圆的方程, 4322yx得.100y3x22xyNPMoR1o2o解法一解法一:.,21OOR分别为两已知圆的圆心半径为,yxP设动圆的圆心如图有外切时与圆当圆,1OP, 2RPO1有内切时与圆当圆,2OP.R10PO2得两边分别相加 ,12POP
7、O21.12y3xy3x:2222即.123222xyx:,得两边分别平方将0108y4x322. 127y36x22如图中虚线所示为它的长轴和短轴长分别, 36 ,12,动圆圆心的轨迹是椭圆:解法二同解法一得方程612,120 , 3O0 , 3Oy, xP,21且的距离和为常数和到点动圆圆心由方程可知的轨迹为椭圆点P12a2 , 6c2:即6a , 3c.27936b2. 127y36x22. 36 ,12,长轴和短轴长分别为动圆圆心的轨迹是椭圆,12POPO21例题例题:,)( 1212222是焦点上一点是椭圆设FFbabyaxP.:,22121bPFFPFPF的面积是求证若F2F1oP
8、xy又|F1 F2| = 2c ，PF1 PF2， 如图,由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a证明证明:由此得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=4a2故故|PF1| 2 + |PF2| 2 = | F1 F2| 2 = 4C2.2)(2|22221bcaPFPF221|2121bPFPFSPFF_,111_,111) 1 (2222的取值范围是则表示双曲线若方程的取值范围是则表示椭圆若方程kkykxkkykx练习练习:_),2, 3(),1 ,6(,)2(21则椭圆的方程是焦点在坐标轴上已知椭圆的中心在原点PP_,149)3(212122横坐标的取值范围是点为钝角时当为其
9、上的动点的焦点为椭圆PPFFPFFyx_,3,13664)4(21212122的面积为那么且焦点上一点是椭圆PFFPFFFFyxP11k13922yx3121k看过程看过程看过程看过程焦点在焦点在x轴上的双曲线的几何性质轴上的双曲线的几何性质1.标准方程：12222byax2.几何性质：几何性质：(1)范围：范围：xa或或x-a关于x轴，y轴，原点对称。A1（-a，0），A2（a，0）(4)轴：实轴轴：实轴 A1A2 虚轴虚轴 B1B2(5)渐近线方程：渐近线方程：(6)离心率：ace xaby(2)对称轴：对称轴：(3)顶点：顶点：YXA1A2B1B2F2F1焦点在焦点在y轴上的双曲线的几何
10、性质轴上的双曲线的几何性质1.标准方程：12222bxay2.几何性质：几何性质：(1)范围：范围：Y a或或y-a关于x轴，y轴，原点对称。A1（0,-a），A2（0,a）(4)轴：实轴轴：实轴 A1A2 虚轴虚轴 B1B2(5)渐近线方程：渐近线方程：(6)离心率：ace xbay(2)对称轴：对称轴：(3)顶点：顶点：oYXB1B2A1A2F2F2例例1:求双曲线求双曲线14416922yx的实半轴长的实半轴长,虚半轴长虚半轴长,焦点坐标焦点坐标,离心率离心率.渐近线方程。渐近线方程。把方程化为标准方程：把方程化为标准方程：1342222yx可得可得:实半轴长实半轴长a=453422c虚
11、半轴长虚半轴长b=3半焦距半焦距焦点坐标是焦点坐标是(-5,0),(5,0)离心率离心率:45ace渐近线方程渐近线方程:xy43解解:方程方程 2a2b范围范围顶点顶点焦点焦点离心率离心率渐近线渐近线32822 yx81922yx-422yx1254922yx28424|x0 ,240 , 6423exy42618|x|3(3,0)0 ,10310ey=3x44|y|2(0,2)22, 0 2eyx1014|y|5(0,5)74, 0 574eyx57例例:已知双曲线的两个焦点的距离为已知双曲线的两个焦点的距离为26，双曲线上，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为一点到两个焦点的距离之
12、差的绝对值为24，求双，求双曲线的方程。曲线的方程。.242,262,21acxFF由题意知轴上在设焦点解：.251213,13,1222222acbca. 125144,22yxx双曲线的方程为轴上时故当焦点在. 125144,22xyy双曲线的方程为轴上时当焦点在的距离到两个定点若一个动点例)0 , 1 (),0 , 1(),(:21FFyxP.,并说明轨迹的形状的轨迹方程求点之差的绝对值为定值Pa解：, 2|21FF;),11(0,2) 1 (轨迹是两条射线或轨迹方程是时当xxya; 0,0)2(21xFFa的垂直平分线轨迹是线段时当;, 1414,20) 3(2222轨迹是双曲线轨迹方
13、程是时当ayaxa.,2)4(无轨迹时当 a.,1916:22倍它到右焦点的距离的两使它到左焦点的距离是上求一点在双曲线例Pyx解一,),(21为双曲线的左右焦点点的坐标为设FFyxP. |2|, 5, 3, 421PFPFcba又,45|516|516|21xPFxPF,45|516|2|516|45xx,548x由此得11953,y代入双曲线方程得).11953,548( ,的坐标为故点P,516,xP准线方程为在双曲线的右支上.,1916:22倍它到右焦点的距离的两使它到左焦点的距离是上求一点在双曲线例Pyx解二,),(21为双曲线的左右焦点点的坐标为设FFyxP. |2|, 5, 3,
14、 421PFPFcba又,45|516|8|516|2xxPF,548x由此得11953,y代入双曲线方程得).11953,548( ,的坐标为故点P,516,xP准线方程为在双曲线的右支上, 8|21 PFPF又16.|PF| , 8|12PF.,1916:22倍它到右焦点的距离的两使它到左焦点的距离是上求一点在双曲线例Pyx解三,),(21为双曲线的左右焦点点的坐标为设FFyxP. |2|, 5, 3, 421PFPFcba又,548x11953y).11953,548( ,的坐标为故点P).0 , 5(),0 , 5(,21FFP 在双曲线的右支上,)5(2)5(2222yxyx2222
15、224) 5( 4) 5(1916yxyxyx由.,44) 1 , 8(P:22的方程求直线的中点是线段且两点相交于的直线与双曲线过点例ABABPBAyx解一 . 0152 yxAB的方程为直线)8(1xkyAB的方程为设直线得解方程组)8(1, 4422xkyyx, 22,162121kyyxx解得再由),(),(,2211yxByxABA的坐标为点, 04)81 ( 4)8k1 (8)4k1 (222kxkx.,44) 1 , 8(P:22的方程求直线的中点是线段且两点相交于的直线与双曲线过点例ABABPBAyx解二： , 44, 44),(),(222221212211yxyxyxByx
16、A则设得由方程组, 444422222121yxyx0)(4)(21212121yyyyxxxx. 2,16,) 1 , 8(2121yyxxABP的中点是段, 2)(421212121yyxxxxyy故直线故直线AB的斜率为的斜率为2,)8(21xy其方程为 . 0152: yx即.,44) 1 , 8(P:22的方程求直线的中点是线段且两点相交于的直线与双曲线过点例ABABPBAyx解三 )2 ,16(),(yxByxA的坐标为则点的坐标为设点, 是双曲线上的点BA, 4)2(4)16( , 442222yxyx得由方程组4)2(4)16(442222yxyx. 0152 yxAB的方程为
17、直线练习练习的两个焦点分别为设双曲线年广东省会考154)97.(122yx_,212121的面积为那么如果在这双曲线上点PFFPFPFPFF12122,1169)01.(2PFFFyx若的两个焦点为双曲线年高考题_,2轴的距离为到则点xPPF_1412. 32222的焦距是双曲线mymx_,_,145. 422离心率为渐近线方程为方程为准线虚轴长为的实轴长为双曲线yx83,1916. 5212122PFFFFPyx且是双曲线的两个焦点上一点双曲线_21的面积是则PFF5516. 553e52435x. 39.552xy看过程看过程 图图 形形 焦焦 点点 准准 线线 标准方程标准方程xxxxy
18、yyyooooFFFF)0 ,2(pF2px)0(22ppxy)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2py 2py)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx练习:已知抛物线的焦点为F（-2，0）准线方程x=2,则抛物线方程为（ ）A. B. C. D.xy42xy82281yx 241yxxy82抛物线的方程为, 82 , 22,pp依题意得解:故选B.(如图)yox求它的标准方程经过点并且顶点在坐标原点轴对称已知抛物线关于例),32, 3(,:My解解:).0(22PPyx故可设抛物线方程为.43),32(2)3(2PP.23,2yx故所求抛物线方程为).32
19、, 3(,My顶点在原点且过点轴对称因抛物线关于,在抛物线上点M., 5|),3,(,:求抛物线方程并且经过点轴上在抛物线的焦点例AFmAxF解一解一).0(2222PPxyPxy或设抛物线方程为,)3,(在抛物线上点mA,2)3(2)3(22PmPm或,29Pm5|2|mPAF由抛物线的定义得. 91, 0910, 52922PPPPPP或解这个方程得即.182,22xyxy或故所求抛物线方程为., 5|),3,(,:求抛物线方程并且经过点轴上在抛物线的焦点例AFmAxF解二解二).0(2222PpxyPxy或设抛物线方程为),()3,(如图在抛物线上点mAPm2)3(259)2(|)0 ,
20、2(2pmAFpF得由焦点.182,22xyxy或故所求抛物线方程为oyxFA. 91259)2(292或得解方程组ppmpm., 5|),3,(,:求抛物线方程并且经过点轴上在抛物线的焦点例AFmAxF解三解三).0(2222PPxyPxy或设抛物线方程为.182,22xyxy或故所求抛物线方程为oyxFAH4| , 5| , 3|,FHAFAHxAH则轴作如图. 42|, 42|pmpm或5|2|mPAF由抛物线的定义得. 91,29|52|42|pPmpmpm或得解方程组.:,)0(2:21212物线的准线相切为直径的圆和抛以求证两点交抛物线于任作一条直线的焦点过抛物线例PPPPlFPP
21、xy证明证明:的作准线分别过的中点为设lPPPPPP2121,2211根据抛物线的定义得垂线段QPPQQP|,| |,|222111QPFPQPFP|,|22112121QPQPFPFPPP|,| ,/212211PPPPQPPQQP|,|21|)|(|21|212211PPQPQPPQ,21lPQPQP又三点共圆故.,21准线相切为直径的圆和抛物线的以所以PP1P2PFOyx1Q2QQP.:,22,2OBOABAxyxy求证点相交于与抛物线直线如图xyoAB:,x2y2xy:12得中代入将证法x22x204x6x2. 53,5321xx. 51,5121yy5351k,5351kOAOB1k
22、kOAOB.OBOA 例例:1得方程由证法04x6x24xx, 6xx:2121由根与系数关系得2xy, 2xy22112x2xyy21214xx2xx212141244144xyxykk2211OAOB.OBOA 证法证法2:.:,2:221212pyyyypxy求证两个交点的纵坐标为线相交抛物的焦点的一条直线和此过抛物线练习,0,2kpxkyk存在则过焦点的直线为设.21pykx即得将上式代入,px2y2.2pkyp2y2. 02,22kppyky去分母后整理得222121,pkkpyyyy则有设这个方程的两根为证明一证明一2pxk方程为不存在则过焦点的直线若,22py 由此得, py22
23、1pyy222121ppxxBBAABFAFyyAyoxABBF2222212221ppxxyy422121222221pxxxxxxpp22142122221pyypxxp4yy,2211得设点yxByxA证明二证明二:212221xxyy2221212,2pxypxyAyoxABBF221pyy证明三证明三:)( , 如图连结FBFAFBFA ),2( ),2( 21ypBypA点点,22011pyppykFA,22022pyppykFB,1得由FBFAkk;. 2221pyy两交点纵坐标有抛物线焦点弦的几何性质抛物线焦点弦的几何性质:).,(),(2211yxByxAAB交抛物线于点过焦
24、点的弦1.当当AB垂直于对称轴时垂直于对称轴时,称弦称弦AB为通径为通径,);,2(),2(PPBPPA交点坐标|AB|=2P,;4. 3221pxx两交点横坐标有; ,. 4FBFAlBBlAA则如图AyoxABBFlPH|;|21,. 5ABPHHlPHABP则于中点为如图.)()(|. 6212212yyxxAB弦长._6. 12准线方程是的焦点坐标是抛物线xy _, ,104. 22的坐标是点则的距离是到焦点上一点抛物线PFPxy ).9 , 6)();6 , 9)();6, 9)();9 , 6)(DCBA_, 5), 3(,. 3则标准方程是焦点的距离为到其上点轴上已知抛物线的焦点
25、在mPx_,) 1 , 4(,6. 42程是则这条弦所在的直线方被平分使它恰在点引一条弦过点已知抛物线PPxy 练习练习23x)0 ,23(xy820113 yxB看答案看答案_,) 1 , 4(,6. 42程是则这条弦所在的直线方被平分使它恰在点引一条弦过点已知抛物线PPxy 0113 yx解一解一:AP(4,1)oyxBl如图如图,设所求直线方程为设所求直线方程为y-1=k(x-4), 024666)4(122kykyxyxky由. 3, 26, 122121kkyyyy又故所求直线方程为故所求直线方程为y - 1 = 3(x-4) 即即 3x - y - 11 = 0.解二解二:如图如图
26、,设所求直线方程为设所求直线方程为y-1=k(x-4)66),(),(21221212122211yyyyxxyykyxByxA则点. 36, 22121yykyy又即得所求直线方程为即得所求直线方程为_,) 1 , 4(,6. 42程是则这条弦所在的直线方被平分使它恰在点引一条弦过点已知抛物线PPxy 0113 yx解三解三:AP(4,1)oyxBl如图如图,设所求直线方程为设所求直线方程为y-1=k(x-4),66222121xyxy由解四解四:),(),(2211yxByxA点. 3, 2121221xxyykyy又即得所求直线方程为即得所求直线方程为)(6)(121212xxyyyy,
27、48)(6212221xxyy,9121,222121xxyy由由(三三)94)(4)()(1221212212212122xxxxyyyyxxyykK=3或或-3舍去舍去-3得得k=3_,) 1 , 4(,6. 42程是则这条弦所在的直线方被平分使它恰在点引一条弦过点已知抛物线PPxy 0113 yx解五解五:AP(4,1)oyxBl设点设点 因因P(4,1)是是AB的中点的中点,),(yxA则点则点B的坐标为的坐标为)2 ,8(yx)8(6)2(622xyxy由Y= 3x - 11解六解六:),2 ,8(),(yxByxA得点设点,211|,23PKPx到准线的距离为故抛物线准线方程为11
28、)2()238()23(2222yxyxHGK|2|PKBGAHBFAF由THE ENDF2F1oPxy_,149)3(212122横坐标的取值范围是点为钝角时当为其上的动点的焦点为椭圆PPFFPFFyx解法一解法一|21412121yFFSPFF),(11yxP的坐标为设点54|1y154921x5353x解法二解法二),(yxP的坐标为设点21PFPF 又155xyxy522 yx.5314952222即得结果得解方程组xyxyx_,149)3(212122横坐标的取值范围是点为钝角时当为其上的动点的焦点为椭圆PPFFPFFyx解法三解法三),(,yxP的坐标为设点如图 返回返回F2F1o
29、PxyH)(211xcaacPFacPHPF由,3531xPF,353)353(62xxPF由余弦由余弦定理得定理得:0)353)(353 ( 2)52()353 ()353 (cos22221xxxxPFF5353x_,3,13664)4(21212122的面积为那么且焦点上一点是椭圆PFFPFFFFyxP解一解一:723664, 6, 8cba.16|,21mPFmPF则设如图oF2F1PxyM021260sin)16(|,mMFMPFMF则于作).16(2160cos)16(|),16(230mmPMm. 312|21S21PFF21MFPF,| ,222122121MFMFFFMFF中
30、在直角三角形,)16(23)16(21)74(222mmm,124或m, 36322或MF. 31260sin|21S021PFF21PFPF或_,3,13664)4(21212122的面积为那么且焦点上一点是椭圆PFFPFFFFyxP解二解二:723664, 6, 8cba则设如图,| ,|,21nPFmPF又又 m + n = 16 m2 +n2 +2mn = 256 由由 mn=483123mnsin21S21PFF2tanS212PFF21PFFb可以证明返回返回F2F1Pxy,1123cos222mnnm由余弦定理得由余弦定理得,的两个焦点分别为设双曲线年广东省会考154)97.(122yx_,212121的面积为那么如果在这双曲线上点PFFPFPFPFFxyoF2 2F1 1P36c2PFPF222214a2PFPF21212212221PFPF2PFPFPFPF21PFPF2163610PFPF215PFPF21S21ABC解法一解法一:如图如图,由已知得由已知得再见再见