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1、排列组合、二项式定理排列组合、二项式定理复习课复习课 名称内容分类原理分类原理分步原理分步原理定定 义义相同点相同点不同点不同点一、两个原理的区别与联系：一、两个原理的区别与联系：做一件事或完成一项工作的方法数做一件事或完成一项工作的方法数直接（直接（分类分类）完成）完成间接（间接（分步骤分步骤）完成）完成做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n类办法，类办法，第一类办法中有第一类办法中有m1种不同的方法，种不同的方法，第二类办法中有第二类办法中有m2种不同的方法种不同的方法，第第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法，种不同的方法， 那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1+m2
2、+m3+mn 种不同的方法种不同的方法做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n个步骤，个步骤，做第一步中有做第一步中有m1种不同的方法，种不同的方法，做第二步中有做第二步中有m2种不同的方法种不同的方法，做第做第n步中有步中有mn种不同的方法，种不同的方法， 那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1m2m3mn 种不同的方法种不同的方法.例例1. 书架上放有书架上放有3本不同的数学书本不同的数学书,5本不同的本不同的语文书语文书,6本不同的英语书本不同的英语书,(1)若从这些书中任取一本若从这些书中任取一本,有多少种不同的选法有多少种不同的选法?(2)若从这些书中取数学书、语文书、
3、英语书各若从这些书中取数学书、语文书、英语书各 一本一本, 有多少种不同的选法有多少种不同的选法?(3)若从这些书中取不同科目的书两本若从这些书中取不同科目的书两本, 有多少种有多少种 不同的选法不同的选法?例2如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路,其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通。现发现电路不通了, 那么焊接点脱落的可能性共有（ ）63种 （B）64种 （C）6种 （D）36种分析:由加法原理可知12666663CCC由乘法原理可知 222222-1=63（1）5名同学报名参加名同学报名参加4项活动（每人限报项活动（每人限报1项），共有项），共有
4、 种不同的报名方法种不同的报名方法（2）5名同学争夺名同学争夺4项竞赛冠军，项竞赛冠军，冠冠军军获得者共有获得者共有 种可能种可能5445基基 础础 练习练习二、排列和组合的区别和联系：二、排列和组合的区别和联系：名名 称称排排 列列组组 合合定义定义种数种数符号符号计算计算公式公式关系关系性质性质区别区别 mnAmnC(1)(1)mnAn nnm!()!mnnAnm!0! 1nnAn!)1()1(mmnnnCmn )!( !mnmnCmn 10 nCmmmnnmACAmnnmnCC 11 mnmnmnCCC从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，按一定的顺序按一定的顺序排成一
5、列排成一列从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，把它并成把它并成一组一组所有排列的的个数所有排列的的个数所有组合的个数所有组合的个数11mmnnAnA先选后排先选后排 只选不排只选不排 解排列组合问题遵循的一般原则解排列组合问题遵循的一般原则:1.有序- ; 无序- 2. 分类- ; 分步-3. 既有分类又有分步:4. 既有排列又有组合:5. 先 后6. 正难7.分类排列排列组合组合加法加法乘法乘法先分类再分步先分类再分步先选后排先选后排要不重不漏要不重不漏则反则反特殊特殊一般一般常见方法常见方法:1. （一般适用于在与不在问题）2. (一般适于相邻问题)3. (一般适于不相
6、邻问题)4. (至多、至少、不都等问题)5. 定序定序捆绑法捆绑法插空法插空法排除法排除法用除法用除法优限法优限法1.有4名男生，3名女生排成一排 （1）若男生甲既不站在排头又不站在排尾，则有多少不）若男生甲既不站在排头又不站在排尾，则有多少不 同的排法？同的排法？ （2）若男生甲不站在排头，女生乙不站在排尾，则有多）若男生甲不站在排头，女生乙不站在排尾，则有多 少不同的排法？少不同的排法？ （3）若女生全部站在一起，则有多少不同的排法？）若女生全部站在一起，则有多少不同的排法？ （4）若）若3名女生互不相邻，则有多少不同的排法？名女生互不相邻，则有多少不同的排法？ （5）若男女相间，则有多少
7、不同的排法？）若男女相间，则有多少不同的排法？ （6）若有且仅有两名女生相邻，则有多少不同的排法？）若有且仅有两名女生相邻，则有多少不同的排法？ （7）若甲乙两人必须排在一起，丙丁两人不能排在一起，）若甲乙两人必须排在一起，丙丁两人不能排在一起，则有多少不同的排法？则有多少不同的排法？ （8）如果）如果3名女生不全在一起名女生不全在一起, 有多少种不同的排法有多少种不同的排法? （9）如果甲在乙左）如果甲在乙左, 丙在乙右丙在乙右,顺序固定顺序固定, 有多少种不同的有多少种不同的排法排法?（1）变式：）变式：从7盆不同的盆花中选出5盆摆放在主席台前，其中有两盆花不宜摆放在正中间，则一共有_种不
8、同的摆放方法（用数字作答）。解：14561800A A(2)变式变式1.（徐州二模）从（徐州二模）从6人中选人中选4人组成人组成4100m接力赛，其中甲不跑第一棒，乙不跑最接力赛，其中甲不跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多少种选法？后一棒，有多少种选法？分析：（一）直接法分析：（一）直接法 （二）间接法（二）间接法（2）变式2：将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有（ ）（A）120种 （B）96种 （C）78种 （D）72种解：4113433378AA A A782334455AAA（9）变式：）变式：9个人排成一排，甲、乙、丙个人
9、排成一排，甲、乙、丙 顺序一定顺序一定96993360480ANAA(1)前排三人，中间三人，后排三人；前排三人，中间三人，后排三人；33399639NAAAA(2)前排一人，中间二人，后排六人；前排一人，中间二人，后排六人；点评：分排问题直排处理点评：分排问题直排处理2.9个人排成一排二、注意区别二、注意区别“恰好恰好”与与“至少至少”例：例：从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有（ ） (A) 480种（B）240种 （C）180种 （D）120种解：12116522240CCCC练习： 从6双不同颜色的手套中任取4只，其中至少有一双同色手套的不同取法共有_
10、种解：441 41262()255CCC三、三、“相邻相邻”用用“捆绑捆绑”，“不邻不邻”就就“插空插空”例：例： 七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲乙都不与丙相邻，则不同的排法有（ ）种(A)960种 （B）840种 （C）720种 （D）600种解：242245960AAA另解：251254960AAA练习练习1 某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（ ）（A） 种（B） 种 （C） 种 （D） 种38C38A39C311C解：38C练习2 某人射击8枪，命中4枪，那么命中的
11、4枪中恰有3枪是连中的情形有几种？练习3 一排8个座位，3人去坐，每人两边至少有一个空座的坐法有多少种？练习4：停车场有12个停车位，现有8辆车停放，若要求四个空车位连在一起，则_种不同的停车方法。四、混合问题，先“组”后“排”例1. 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。故有： 种可能576441634ACC 例2.从5男4女中选4位代表，其中至少2位男士，且至多2位女士，分到四个不同的工厂调查，不同的分配方法有多少种？练习练习
12、: 某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法_种.解：采用先组后排方法:312353431080CCCA小结：小结：本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先元素（即组合）后排列。带有编号带有编号1,2,3,4,5的五个球的五个球.（1）全部投入）全部投入4个不同的盒子里；个不同的盒子里；（2）放进不同的）放进不同的4个盒子里，每盒一个；个盒子里，每盒一个；（3）将其中的）将其中的4个球投入个球投入4个盒子里的一个；个盒子里的一个；（4）全部投入）全部投入4个不同的盒子里，没有空盒个不同的盒子里，
13、没有空盒. 各有多少种不同的放法？各有多少种不同的放法？返回目录返回目录 六、分清排列、组合、等分的算法区别六、分清排列、组合、等分的算法区别例例1: (1)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件, 有多少种分法?(3) 今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,每份2件, 有多少种分法? 解：（1）123109712600CCC （2）12331097375600CCCA(3)336222110642() 3150ACC C C)/(332628210ACCC练习练习. 在今年国
14、家公务员录用中，某市农在今年国家公务员录用中，某市农业局准备录用文秘人员二名，农业企业管业局准备录用文秘人员二名，农业企业管理人员和农业法制管理人员各一名，报考理人员和农业法制管理人员各一名，报考农业局公务人员的考生有农业局公务人员的考生有10人，则可能出人，则可能出现的录用情况有现的录用情况有_种（用数字作答）。种（用数字作答）。21110872520CCC解法解法1:解法解法2:42210422520CCA七、分类组合七、分类组合,隔板处理隔板处理例例: 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒子不能空的)有
15、几种放法?这类问可用“隔板法”处理.解:采用“隔板法” 得:5294095C小结：把小结：把n个相同元素分成个相同元素分成m份每份份每份,至少至少1个元素个元素,问问有多少种不同分法的问题可以采用有多少种不同分法的问题可以采用“隔板法隔板法”得出共得出共有有 种种.11mnC练习1.某运输公司有7个车队，每个车队的车多于4辆，现从这7个车队中抽取10辆，且每个车队至少抽一辆组成运输队，则不同的抽法有（ ） A.84 B.120 C.63 D.301练习2.有编号为1、2、3的3个盒子和10个相同的小球，现把这10个小球全部装入3个盒子中，使得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这种装法共有（
16、） A.9 B.12 C.15 D.18122rrnnnnnn1+C x+C x +C x +C xn(1+x)2、一般地，对于一般地，对于n N*有有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 1、二项定理、二项定理:通项公式通项公式T Tr+1r+1 = =rrn-rnC ab 3. 3.一般地，一般地， 展开式的二项式系数展开式的二项式系数 有如下性质：有如下性质：nba)( （1 1）nnnnCCC,10mnnmnCC （2 2） （4 4）mnmnmnCCC11nnnnnCCC210 （3 3）当）当n n为偶数时，为偶数时， 最大最大 当
17、当n n为奇数时，为奇数时， = = 且最大且最大 2Cnn21Cnn21Cnn（对称性）（对称性）02413512nnnnnnnCCCCCC奇数项二项式系数和偶数项二项式系数和：例例1、计算：、计算：5432(1)5(1)10(1)10(1)5(1)xxxxx一、公式的逆用练练1.1.化简：化简： . . 1) 1( 4) 1( 6) 1( 4) 1(234xxxx7254361677773452773333,3331,ACCCBCCCAB7练2、设则的值为（ ）A.128 B.129 C.4 D.0练3. 等于 （ ） A. B. C. D. nnnnnnCCCC1321242n313 n
18、213 n123n例例1、已知、已知 的展开式中第的展开式中第6项为常数项项为常数项（1）求）求n（2）求展开式中所有的有理项）求展开式中所有的有理项nxx333二、二项式定理通项公式的应用（一）求二项式的特定项例例2、 的展开式中第的展开式中第6项与第项与第7项的系数相项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。项。(12 )nx变式引申：变式引申：1、 的展开式中，系数绝对值最大的项是（的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ）A.第第4项项 B.第第4、5项项 C.第第5项项 D.第第3、4项项2、若、若 展开式中的第展开式中的第6项
19、的系数最大，则不项的系数最大，则不含含x的项等于的项等于( )A.210 B.120 C.461 D.4167()xy321()nxx2、求、求 的展开式中的的展开式中的 系数。系数。64(1) (1)xx3x1.1.求求的展开式中的展开式中 项的系数项的系数. .2x（二）求多项式的特定项3 3在在 的展开式中的展开式中x x的系数为（的系数为（ ）A A160 B160 B240 C240 C360 D360 D8008005223 xx5、(x+y+z)9中含中含x4y2z3的项的系数是的项的系数是_4、求、求 展开式中的常数项。展开式中的常数项。5231(3)xxx 25431111nxxxx三、求二项展开式的系数和问题例17767610(31)xa xa xa xa例2.已知求展开式中求展开式中x奇次项的系数和奇次项的系数和四、余数与整除问题四、余数与整除问题例1例22.1)1nnn例3求证：（能被整除五、近似计算问题五、近似计算问题例：0.976精确到0.001的近似值为 _解析：0.976(10.03)6答案：0.833