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1、非线性系统分析与控制研究生课程：32学时授课教师：王印松主要教学内容主要教学内容 第一部分：非线性系统的主要特征； 第二部分：李雅普诺夫分析方法； 第三部分：现代稳定理论 第四部分：非线性系统的反馈线性化 第五部分：非线性系统的自适应控制主要参考书：主要参考书：1、冯纯伯 等非线性控制系统分析与设计2、曹建福 等非线性系统理论及应用3、斯洛廷，李卫平译应用非线性控制第一章 绪论线性系统与非线性系统的主要区别： 1.线性系统满足叠加原理，非线性系统不满足； 2.一般来说对于非线性系统不能求得完整的解，只能定性分析；研究非线性控制的理由： 1. 改进现有的控制系统； 2. 硬非线性特性分析； 3.
2、 对模型不确定处理； 4. 设计简化。1.1 控制理论发展概述控制理论发展概述 一、古典控制理论一、古典控制理论 1.数学模型理论；2.响应分析；3.稳定性分析； 4.综合校正。特点：独特的建模方法 若有一自变量为时间 的函数 ，使得积分 是绝对收敛的；在初始条件为零的条件下，根据拉氏变换定义可得到 这样，可把由常系数线性常微分方程描述的线性系统转换为传递函数描述。t)(txdtedtkxdstkk0)(0)()()(sXsdtedttxddttxdLkstkkkk古典控制理论有如下基本特点和实用范围： 1.它所运用的数学工具较为简单，主要是拉氏变换和多项式代数； 2.传递函数所能描述的，只能
3、是线性定常的控制系统； 3.这种理论与方法主要适用于研究单控制量单输出量的系统； 4.它难以揭示系统内部的动态行为。 二、现代控制理论（线性多变量系统控制理论） 背景：对控制品质要求的提高和计算机技术的发展； 理论基础：1960年R.Bellman的矩阵分析引论一书和1963年R.E.Kalman的线性动态系统的数学描述一文 ； 最主要的特征：状态空间的建模理论与线性代数的数学方法相结合。状态空间建模理论与方法 ：将能够唯一地确定系统动力学行为的最小的一组变量 定义为系统的一组状态变量集合或状态向量 以每一个状态变量 为轴所形成的 维欧氏空间 定义为状态空间。现代控制理论的建模方法要求用 个一
4、阶常微分方程所组成的方程组去描述一个 阶的线性动态系统。其数学模型的标准形式为： )(,),(),(21txtxtxnTntxtxtxt)(,),(),()(21x)(txinnRnn)()()()()(tCttBtAtXYUXX上式称为：线性动态系统的状态空间方程。 所有线性动态系统的数学模型都可归结为上式所示的矩阵形式的状态方程；矩阵代数（线性代数）中的几乎所有方法都可以用来对线性动态系统的各个问题，如可控性问题、动态品质问题、稳定性问题、参数辨识问题以及综合校正（即控制系统的设计问题）等问题进行分析和研究 。 线性最优控制 （最有影响的分支之一）对于一个给定的线性系统，提出一个性能指标，
5、其一般表达式为问题是：要找出状态反馈规律 ，使得上式给出的性能指标达到极值，这种控制称为最优控制。从数学上来看，就是在状态方程约束条件下求泛函 的条件极值问题，这是一个典型的条件变分法问题。条件变分问题中的欧拉-拉格朗日（Euler-Lagrange）方程是解决线性二次型最优控制问题的基础。 0)()()()(dttRttQtJTTUUXX)(*tXU)(),(ttJUX 结论为：线性二次型最优控制规律 是状态变量的线性函数，即 为最优增益矩阵，其表达式为对线性定常系统， 为常数矩阵；上式中 为黎卡梯（Riccati）矩阵方程*U)(*tK XU*K*1*PBRKT*K*P01QPBPBRPA
6、PATT的解。因此，二次型性能指标的线性最优控制问题称为LQR问题，即线性二次型黎卡梯问题。 线性二次型最优控制系统结构图线性二次型最优控制系统结构图特点：特点：1、以一阶线性自变量对时间的微分方程组来对系统进行描述的，其数学模型与分析方法是时域的； 2、所用到的数学工具主要是线性常微分方程理论与线性代数理论； 3、它的建模理论与数学方法使得这种控制理论体系适应于线性多输入多输出系统； 4、它建立了一整套最优控制设计原理与方法，使得所求得的控制规律能保证系统性能指标达到极值； 5、对于参数可能在较大范围内变化的线性系统，最优控制设计方法与线性系统参数辨识技术相结合，可得到自适应的或称之为自动寻
7、找最优点的控制系统。三、非线性控制理论 有一部分系统可以在基本满足工程需要的条件下将其在某一平衡点处加以近似线性化； 也有一些系统，在分析它的大干扰稳定性与动态品质时，就不宜把它近似地作为线性系统处理； 现代非线性科学所揭示的大量有意义的事实，例如分叉、混沌、奇异吸引子等，均远远超过人们熟知的非线性系统的自振现象，无法用线性系统理论来解释。 非线性控制系统的研究几乎是与线性系统平行的，并已经提出了许多具体方法，如相平面法、描述函数法、绝对稳定性理论、Lyapunov稳定性理论、输入输出稳定性理论等。 非线性控制的最新研究成果主要表现在以下几个方面： 1、微分几何法 ； 2、微分代数方法； 3、
8、变结构控制理论； 4、非线性控制系统的镇定设计； 5、逆系统方法； 6、神经网络方法； 7、非线性频域控制理论； 8、混沌动力学方法。1.2 非线性系统的数学描述及其非线性系统的数学描述及其近似线性化建模方法的局限性近似线性化建模方法的局限性1、相当广泛的一类非线性系统可用 阶常微分来描述： 可写成向量微分方程的形式：上述微分方程代表最一般化的非线性控制系统的方程。如果函数与 无关，则称此系统为自治的，否则称为非自治的。在许多控制系统中输入量 可以从函数 中分列出来，系统方程可写成以下形式：这类系统为仿射非线性系统。0 ,)(,)(,),(),(,)(11ttudttydtytythdttyd
9、nnnn0 ),(),(,)(ttutttxfx )(tuf0 ),(),()(,)(ttutBtttxxfx tn 2、非线性系统近似线性化建模方法的局限性 近似线性化建模：在某一平衡点处加以近似线性化，从而得到原非线性系统近似线性化的数学模型-传递函数或线性状态方程；要求：当非线性函数在所研究的区域内没有间断点并在所选择的平衡点附近没有多值关系或者急剧的曲折时，允许进行近似线性化。实质：就是在某一选定的系统平衡点处以非线性函数的全微分代替其增量。工程设计中广泛采用的原因有：1、非线性控制系统在平衡状态附近工作，近似线性化所得到的模型可以满足需要；2、利用线性控制理论成熟地综合校正与设计方法
10、；3、线性系统的反馈是状态变量或输出量的线性函数，其控制规律易于实现。 近似线性化局限性的例题分析例1.关于稳定的平衡点 ，近似线性化系统及其解可描述为：原系统的解：结论分析： 系统收敛于由线性模型确定的稳定的平衡点； 系统快速地发散（有限时间逃逸问题）。02)0()()()(xxtxtxtx0)(tx)exp()( )()(0txtxtxtx)exp(1)exp()(000txxtxtx10 x10 x00.20.40.60.811.21.41.61.82-150-100-50050100初值条件：由右到左依次为1.2,1.5,1.8,2.5t/s例2. 线性化可以改变系统的结构，有可能变成
11、不可控系统。某一机器人运动系统；在 点线性化后有：显然，对状态变量 是不可控的。2133321100sin0cosuuxxxxx0)(3tx21321100001uuxxx)(2tx1.3 非线性系统的主要特征非线性系统的主要特征1.多平衡点 非线性状态反馈系统数学模型的一般形式为：令 ，该方程的一个解 ，就确定了非线性系统的一个平衡状态，即平衡点（速度为零的点）。 非线性系统一般有多个平衡点。笼统的谈其稳定性是没有任何意义的，只能讨论在某个具体平衡点的稳定性。判断非线性系统在某平衡点处是否稳定的方法有：1）根据线性系统理论，用其在该点近似线性化的线性系统，分析该平衡点的稳定性； 2）Lyap
12、unov第二方法。 0),(ttxfx 0)(txfex2.极限环 非线性系统能够在没有外激励时产生固定幅值和固定周期的振荡，这种振荡叫极限环或自激振荡。 例 ：描述范德堡方程 的二阶微分方程（质量-弹簧-阻尼器系统）为：（ 、 和 为正常数，分析该系统的特点）非线性系统的极限环不同于线性系统的临界稳定或持续振荡。极限环代表了非线性系统的一种重要现象，分有害和有益两种情况，应分别对待。0) 1(22kxxxcxm mck scope)(tx2u 1s1s1)(tx )(tx m c2 k质量-弹簧-阻尼器系统Simulink 结构图3.分叉当非线性系统的参数发生变化时，其平衡点的稳定性也可能变
13、化。这些使系统运动品质特性发生变化的参数值，称为临界值或分叉值。这种由参数的量变导致系统特性发生质变的现象，称为分叉现象。考虑无阻尼达芬（Duffing）方程：当 由 正 变 负 时 ， 一 个 平 衡 点 分 裂 为 三 个 点（ ），这表明系统的动态特性的质变， 为一临界分叉值。 03xaxx aaaxe, 00a4.混沌 1）混沌的解释：由确定性方程（内因）直接得到的具有随机性的运动状态。或者说，混沌是具有随机性的非周期性振荡。 2）混沌对初始条件非常敏感，即初始条件的微小差别常常使轨道按指数形式分开（蝴蝶效应）。 3）混沌是一种确定性运动：无周期而有序、已发现三条通向混沌的道路、Fei
14、genbaum普适常数、有界性和对初值具有很强的敏感性。 4）具有通常确定性运动所没有的统计和几何特征： 5）局部不稳定而整体稳定、无限自相似、连续功率谱、奇怪吸引子分维数、正的Lyapunov特征指数、正测度熵等。例：分析下面非线性系统在初值分别为 和 的特征。txxxsin61 . 05 4)0(, 3)0(xx01. 4)0(,01. 3)0(xx0102030405060708090100-3-2-101234 电力系统是一个巨维数的强非线性系统，电力电子技术在电力系统中的广泛应用进一步增加了系统的复杂程度；现代互连电网可以用重压、高度非线性、不连续来描述，因而难以在数学甚至概念上建模
15、。这使得输配电网络的安全性、动态性能、传输控制的研究必须在非线性的基础上展开。1.4 非线性控制理论在电力系统中非线性控制理论在电力系统中的应用现状的应用现状 一.电力系统的模型电力系统的模型大致可以分为五个部分：发电机，励磁控制系统，原动机及调速系统，负荷和电网。 1.发电机的模型22200)(0)()(qdtqdqdqqeddqaqqqqdadqdddfqdemvvviixxieTixirveixirveixxeeTTTDM2.励磁系统 励磁的动态特性可用一阶惯性环节来描述。3.原动机及其调速系统 汽门控制的高压和中低压汽门调节均可以用二阶系统描述。由于汽轮机正常工作时，中低压汽门不受控，
16、故研究中只考虑高压汽门。为了研究的方便，还可以采用一阶环节来近似汽门控制。4.电网 电网一般采用导纳矩阵方程式来描述：YUUEI),(5.负荷多采用等效负荷进行分析。等效负荷的特性包括静态特性和动态特性，其中静态特性多采用二阶以下的多项式进行近似，而动态特性则呈现出明显的非线性特征，目前仍没有很好的描述方法，往往是根据研究的内容来假定。在考虑负荷和发电机动态特性的基础上，电力系统非线性控制的对象可以表达为仿射非线性模型：若综合考虑潮流、负荷和发电机动态的影响，则可描述为： )()()()()()(1XhtYtutXgtXftXmiii),(pyxfx ),(0pyxg二.非线性控制理论在电力系
17、统中的应用 1.李雅普诺夫方法 对于一个非线性系统，若存在一个由其状态变量和控制量构成的正定函数（能量函数），通过判断其导数的负定性就可以判断整个系统的稳定性。 电力系统是一个巨维数系统，单独采用李雅普诺夫方法设计全局控制是非常困难的。2.微分几何方法 微分几何方法通过微分同胚影射实现坐标变换，根据变换后的系统设计非线性反馈，实现非线性系统的精确线性化。 3.直接反馈线性化方法对于由微分方程描述的非线性系统：其中, 称为系统的相对阶，令则得到一个线性受控系统由隐含数定理得 有解的条件：0),()(00urmuf),()1()()1()1(0)1(1)1(1)(tuuuyyfyayayaymnn
18、nnmn ),()()1()()1()1(tuuuyyftvmn)(0)1(1)1(1)(tvyayayaynnn)(tu4.逆系统方法 对于一个可逆过程，若输入信号先后经过逆过程和原过程，则相当于进行了一次标准的单位影射。逆系统方法的使用需要解决两个问题：（1）系统是否可逆；（2）逆系统的求取方法。 Li Chunwen and Feng Yuankun在Inverse Method for Multi-value Nonlinear Control一书中对逆系统方法的原理和以往的一些主要结论进行了系统的论述。5.变结构控制对一非线性系统： 确定一切换函数向量：RRRtuxtuxfxmn,)
19、,(muxsR),(同时寻求变结构控制：使得:1)满足到达条件（切换面S以外的相轨迹能在有限的时间内到达切换面）；2)切换面是滑动模态区，且滑动运动渐近稳定，动态品质良好。有关变结构控制的系统论述可以参阅Gao Weibing编著Theory and Design Method of Variable Structure Control一书。6.非线性 控制 非线性 系统的控制有两种思路：一种是对系统进行线性化，在此基础上，估计出仍然存在的非线性项的上界，将它们作为不确定项处理，采用线性方法进行 设计，另外一种思路以减小闭环系统的增益作为设计目标，针对非线性系统，该方面的结论集中在仿射非线性系
20、统方面，其设计可以归结为HJL(Hamilcon Jaccobi lssacs)方程的求解问题。HH2L)()( , 0)(, 0)(,)(xuxuxsuxsuxuiiiiiii对于分布式系统负荷频率控制(LPC)问题，SMIB系统励磁控制问题，多机系统的励磁控制问题，非线性 系统的控制都有成功的应用。7.自适应控制 自适应控制的研究对象是具有一定程度不确定性的系统，自适应控制器能够修正自己的特性以适应对象和扰动的动态变化。 反馈线性化方法依赖于非线性的精确对消，当系统参数变化时，可以采用参数自适应调整来保证非线性项的渐近对消。例如：自适应励磁控制、自校正移相控制等；对谐波进行自适应预测，然后
21、根据预测来设计补偿律等。由于自适应控制的缺点也限制了它在电力系统中的应用。H8.分叉理论与结构稳定性分叉：当系统在某个模型参数值变化到一个特定数值时，系统的定性特征随该参数的微小变化而发生变化。 分叉理论研究：分叉现象发生的时刻和分叉的控制。 分叉现象在电力系统中是普遍存在的，随着近年来电网大停电事故的频繁发生，采用分叉理论来描述和解释事故机理成为了一个研究热点。 目前的分叉研究主要在于揭示系统中存在的分叉现象，分叉的控制则集中于不稳定分叉的消除；主要研究了单机系统和多机系统的鞍结、Hopf、倍周期、环、音叉等多种分叉现象和分叉现象导致电压崩溃的机理。 9.混沌及其控制 混沌运动的本质特征是系
22、统长期行为对初值的敏感依赖性，混沌运动的另一个特征是具有奇异吸引子，即相空间中的一个低维集合，一方面它是稳定的，因为运动限定在该集合(吸引子)中，另一方面，在该集合中的运动则极不稳定。含有反馈的系统都有可能导致混沌的产生，因而混沌是一种普遍的现象。 混沌控制指改变系统的混沌形态，使之呈现出周期性动力行为，它包括抑制、引导和跟踪问题。 在电力系统中普遍存在着混沌现象，各种研究表明，电压崩溃，低频振荡和暂态稳定性都与混沌有关。 对于电力系统中混沌现象的研究，目前仅限于寻找一些混沌现象，还谈不上混沌控制。在利用混沌运动来对快速变化的非线性负荷建模方面及从混沌时间序列法入手，实现短期负荷预测方面取得了
23、一些成果。 10.混杂控制 混杂系统由互相影响的离散动态和连续动态系统构成 。混杂系统的底层是连续动态系统，顶层是一个离散动态系统，对底层和顶层均可采用一些传统的方法进行控制 。 混杂系统的设计分为三部分：首先实时控制环的设计，综合离散控制逻辑，两个系统之间翻译系统的设计。 混杂控制在电力系统中的应用主要是在高层调度和潮流优化等方面。如抽水蓄能电站的多种工况的调度控制，事故恢复系统（在正常运行时避免临界状态的出现，而在故障发生后则通过故障隔离，形势评估，局部供电恢复尝试，局部供电网连接等一系列的策略以尽快地恢复系统的供电）等。 三.结论与展望 非线性控制已经具备了较为完整的理论体系，但在电力系统中的应用还处于起步阶段，随着电力系统的发展，以下几个方面是将来研究的重点：非线性几何控制理论与电力系统的特性相结合，应该成为分析和综合电力系统的重要方法；在非线性鲁棒控制方面，如何针对电力系统的特点，放宽限制条件，得到一些应用性更强的结论？电力系统的分叉研究如何揭示一般的分叉现象得出分叉控制的一般性的结论； 混杂系统的研究对于电力系统最优运行，潮流的最优调度和高层决策系统都可以起到改善作用，如何与智能控制方法结合，是电力系统调度自动化发展的趋势；电力系统是一个耗散的受迫哈密顿系统、广义哈密顿系统理论在电力系统的稳定和优化控制中有着广泛的应用前景。