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1、v要理解涡度的物理意义，要了解以下的数学知识：矢量代数哈密顿算子stokes 公式（二维曲面积分与一维曲线积分间的转换）速度环流 1kAjAiAAzyxAAAAAAAAAAzyxzyxcoscoscos222方向：大小：AxAyAzAijkkAjAiAAzyx kBjBiBBzyx kBAjBAiBABAzzyyxx)()()( AmB反向与同向；与方向：大小：AmAmmA, 0, 0BmAmBAm)(1）ABBA 2）CABACBA)( 3）BABA0 4）2AAA zzyyxxBABABABAcosABBA),(BA10kkjjiiikkjji满足右螺旋定则方向：大小：,),(sinBSA
2、SBAABSBAS1）ABBA 2）CABACBA)( 3）BABA/0 4）0 AA 0kkjjiijikikjkjizyxzyxxyyxzxxzyzzyBBBAAAkjikBABAjBABAiBABABA )()()(89zyxzyxxyyxzxxzyzzyBBBAAAkjikBABAjBABAiBABABA )()()(设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线， 的侧与 的正向符合右手法则，P、Q、R在包含 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数，则有：10d dd dd dRQPRQPy zz xxyyzzxxy dddPxQyRz11d dd dd dyzzxxyxyzPQR dddP xQ
3、yR zd dd dd dRQPRQPyzzxxyyzzxxy dddP xQyR z12lVd lVd dddP xQyR zd dd dd dRQPRQPyzzxxyyzzxxyv这个数值称作【速度环流速度环流】，它表示了流体沿着闭合曲线流动的趋势，它表示了流体沿着闭合曲线流动的趋势。 当 L 为流体的流线且闭合时，处处的速度矢与线元矢量的方向一致，因此速度环流表示流体完全按L流动。 当 L 闭合时，若=0，则流体沿着闭合曲线的分量的代数和为零。当 L 闭合，但 L 不是流体的流线时，速度环流表示流体沿闭合曲线L的速度分量与相应线段的乘积的总和。13v运用stokes 公式，（1.42 ）
4、的速度环流就变成：v如果闭合曲线向内无限收缩，即 ，则：v上式表明，流体某点的流体某点的【涡度矢涡度矢】在某单位面元法向的分量在某单位面元法向的分量就是单位面积速度环流的极限值。就是单位面积速度环流的极限值。 14v这样，把 称作【涡度涡度】，是量度流体旋转程度的物，是量度流体旋转程度的物理量，它是一个矢量，有三维，所以又称为涡度矢量。理量，它是一个矢量，有三维，所以又称为涡度矢量。v 是对 这个物理量作涡度运算。 v涡度的三维分量：15涡度涡度不但是量度流体旋转的物理量，而且其值正好等于流点角速度的两倍。162VcurlV流体涡度的概念是个局地极限概念。与刚体不同。 刚体的转动是整体性的，一
5、点的转动就可以代表整个刚体的转动，代表刚体上其它点的转动。 流体不同，某一流点在转动，并不代表其它流点也在转动，或也在做同样的转动。即流体的各个流点可能在同一时间做着不同的转动。必须逐点检验才知道整个流体的旋转运动情况，即对于流体要指明哪一点或哪个区域有旋。（流点与流点间可以有相对运动） 17 流体流线（迹线）是直线运动不代表流点没有旋转运动。 流体流线（迹线）是圆，不代表流点在做旋转运动。（流体在做圆运动时，流点不但在绕圆点转动，而且又在自转时，才会涡度不为零。流体在做直线运动，但流点有自转时，涡度也不为零。18v涡度=v定义一个新的物理量：【散度】v散度=v散度的符号： 或 D19奥- 高
6、公式（面积分和体积分转换的公式）设奥-高公式为：上式中 是流体中某一封闭曲面， 为封闭曲面所围的体积。2021v根据奥-高公式：v 为封闭曲面所围的体积。当封闭曲面向内无限缩小时体（面）向点趋近，积分的值就成了点上的值。即：v或： 即即为为【散度散度】2223另外，散度还反映了流点的体积的相对膨胀（或收缩）率。（所谓率就是指单位时间的变化）证明：考虑一个小体元 （一个长方体流点），它体积的相对膨胀（或收缩）率为：2425散度散度速度的分解：其中：上面第一行的第二、三项 表示由于绕M0点的转动的转动速度。上面第二行的第四、五六项 表示由于流体微团形变引起的形变速度。所以，流点的运动有：平移、旋转
7、、形变，形变中就包含了流点体积的膨胀（收缩）。26v流点的形变包括两种：【法形变】【切形变】（或剪切形变）27v 表示了x 轴上【线投元】的相对伸长（缩短）v率，是法线方向上的一种形变，定义它为【x轴向的法形轴向的法形变率变率】，用，用 表示。表示。v同样的：v总结：【法形变率】28y轴向的法形变率z轴向的法形变率v法形变率：v散度：v可见，流体散度是三个方向法形变率的和。因此又称散度流体散度是三个方向法形变率的和。因此又称散度是体形变率。若流体运动只限于二维，则是体形变率。若流体运动只限于二维，则 又可以称为面形变率，表示了面积膨胀的速率。又可以称为面形变率，表示了面积膨胀的速率。292ij
8、xy ：二维矢量运算符v【切形变切形变】如果流点考虑成微团或立方体素，当该小体素既如果流点考虑成微团或立方体素，当该小体素既无体积大小变化又无转动时所发生的形状变化，就称为切形无体积大小变化又无转动时所发生的形状变化，就称为切形变。变。 v如图：正方形变成棱形，体积保持不变，此时发生的形变称为切形变。30v第一种情况：流点在转动，涡度 散度 ，流点没有法形变（即：无体积膨胀或收缩），流点也没有形状变化。v第二种情况：流点无转动也无体积膨胀（收缩），即涡度和散度均为0， 无法形变。但是，流点的形状发生了变化，称为有切形变。31v在Oxy 平面上的切形变率为：v在Oyz 平面上的切形变率为：v在O
9、xz 平面上的切形变率为：v若把x,y,z 与1、2、3 对应，以上形变率就是 （法形变率）和 从而构成一个矩阵形式，称为【形变张量矩阵A】。3233v一般流体运动形式很复杂，在进行具体研究时，常常将流体运动加以分类，而后从简单到复杂，研究流体运动的规律。v到目前为止，我们已经可以对流体运动进行一下分类： v 1、以运动形式为标准分为：、以运动形式为标准分为： 【无旋运动】和【有旋运动】【无辐散运动】和【有辐散运动】34v无旋运动： （不需要各个点都为零，可以允许个别点为零，如圆点处不为零）v有旋运动：v无辐散运动：v有辐散运动：v由于大部分流体运动都有平动和形变，所以就不用它们来分类了。35v2 、按时间为标准、按时间为标准 v分为：【定常运动】和【不定常运动】 定常：若速度函数及所有物理量皆不依赖于时间t ，不随时间变化，即：不定常运动：36v3 、按空间为标准、按空间为标准 v分为：【一维运动】、【二维运动】和【三维运动】。 一维运动：若所用物理量只依赖于一个曲线坐标。如 或者 二维运动：若所用物理量依赖于两个曲线坐标。如 或者 三维运动：若所用物理量依赖于三个曲线坐标。如37