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1、定义定义3.13.1设函数在点的某设函数在点的某个领域内有定义个领域内有定义. .)(xfy 0 x(1)(1)如果对于该领域内任意的如果对于该领域内任意的总有，则称为函数的总有，则称为函数的极大值，并且称点是的极大值点极大值，并且称点是的极大值点. . )(0 xxx)()(0 xfxf)(0 xf)(xf)(xf0 x3.4.1 3.4.1 函数的极值函数的极值总有总有 ，则称，则称 为函数为函数的极小值，并且称点是的极小值，并且称点是 的极小值点的极小值点. .)(0 xxx)()(0 xfxf)(0 xf)(xf)(xf0 x(2)(2)如果对于该领域内任意的如果对于该领域内任意的函数
2、的极大值与极小值统称为函数的函数的极大值与极小值统称为函数的极值极值，极大值与极小值值点统称为极值点，极大值与极小值值点统称为极值点. .3.4.1 3.4.1 函数的极值函数的极值定理定理3.53.5( (极值存在的必要条件极值存在的必要条件) )如果如果在点处取得极值且在点处可导在点处取得极值且在点处可导, ,则则 . .)(xf0 x0)(0 xf0 x3.4.1 3.4.1 函数的极值函数的极值(1) (1) 由正变负，则是极大值点；由正变负，则是极大值点；)(xf 0 x(2)(2)由负变正，则是极小值点；由负变正，则是极小值点；)(xf 0 x(3)(3)不改变符号，则不是极值点不
3、改变符号，则不是极值点. .)(xf 0 x定理定理3.63.6( (极值判别法极值判别法)设函数设函数在点的邻域内连续且可导在点的邻域内连续且可导( (允许不允许不存在存在) )，当由小增大经过点时，若，当由小增大经过点时，若0 xx)(0 xf 0 x)(xf3.4.1 3.4.1 函数的极值函数的极值例例1 1求函数的极值求函数的极值32) 1() 1()(xxxf解解223) 1() 1(3) 1)(1(2)(xxxxxf)3322() 1)(1(2xxxx) 15() 1)(1(2xxx，令，解得，令，解得，. .得到三个驻点，没有导数不存在的点得到三个驻点，没有导数不存在的点. .
4、0)( xf1x51x1x3.4.1 3.4.1 函数的极值函数的极值x1x15 x)(xf)(xf) 1,()51, 1(1)32, 0(1), 1(51000000无极值无极值12534563极大值极大值0极小值极小值3.4.1 3.4.1 函数的极值函数的极值由表可见函数的极大值为，由表可见函数的极大值为，极小值为极小值为12534563)51(f0) 1 (f例例2 2求函数的极值求函数的极值32) 1(32)(xxxf解解)111 (32) 1(3232)(331xxxf3311132xx，3.4.1 3.4.1 函数的极值函数的极值当时，不存在当时，不存在1x)(xf 0)( xf
5、2x令，解得令，解得 . .x31x113x)(xf )(xf) 1 ,()2 , 1 (1), 2( 20032极大值极大值31极小值极小值03.4.1 3.4.1 函数的极值函数的极值函数极大值为，极小值为函数极大值为，极小值为32) 1 (f31)2(f定理定理3.7(3.7(极值判别法极值判别法)设函数在设函数在点点 处有二阶导数，且，处有二阶导数，且，存在，存在，)(xf0 x0)(0 xf0)(0 xf3.4.1 3.4.1 函数的极值函数的极值(1)(1)若，则函数在点处若，则函数在点处取得极大值；取得极大值；0)(0 xf)(xf0 x(2)(2)若，则函数在点若，则函数在点
6、处处取得极小值；取得极小值；0)(0 xf)(xf0 x(3)(3)若，则不能判断是否若，则不能判断是否是极值是极值. .0)(0 xf)(0 xf3.4.1 3.4.1 函数的极值函数的极值因此，当时，第二判别法失效，因此，当时，第二判别法失效，只能用第一判别法判断只能用第一判别法判断. .0)(0 xf3.4.1 3.4.1 函数的极值函数的极值0)(0 xf)(xf对于的情形：可能是极大值，对于的情形：可能是极大值，可能是极小值，也可能不是极值可能是极小值，也可能不是极值例如例如4)(xxf0)( xf0)0(f ， ，是极大值；，是极大值；4)(xxg0)0( g0)0(g， ，是极小
7、值；，是极小值；3)(xx 0)0( 0)0(，但不是极值，但不是极值例例3 3求函数求函数 的极值的极值193)(23xxxxf解解，)3)(1(3963)(2xxxxxf令，解得，令，解得，. .0)( xf1x3x66)( xxf，所以是极大值，所以是极大值点点. .的极大值为的极大值为. .012) 1( f1x)(xf6) 1(f3.4.1 3.4.1 函数的极值函数的极值，所以是极小值点，所以是极小值点. .的极小值为的极小值为. .012)3( f3x26)3(f求函数极值的步骤：求函数极值的步骤：3.4.1 3.4.1 函数的极值函数的极值求出各极值点的函数值求出各极值点的函数
8、值. .分别考察每一个驻点或导数不存在的分别考察每一个驻点或导数不存在的点是否为极值点点是否为极值点, ,是极大值点还是极小值点；是极大值点还是极小值点；3.4.1 3.4.1 函数的极值函数的极值解方程，求出在定义域解方程，求出在定义域内的所有驻点；内的所有驻点；)(xf0)( xf求的导数；求的导数；)(xf )(xf)(xf找出在定义域内所有导数不存在找出在定义域内所有导数不存在的点；的点；对于一个闭区间上的连续函数对于一个闭区间上的连续函数, ,它的它的最大值、最小值只能在极值点或端点上取得最大值、最小值只能在极值点或端点上取得因此因此, ,只要求出函数的所有极值和端点值，只要求出函数
9、的所有极值和端点值，它们之中最大的就是最大值，最小的就是最小它们之中最大的就是最大值，最小的就是最小值值. .)(xf)(xf3.4.2 3.4.2 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值3.4.2 3.4.2 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值求出在内的所有驻点和一阶求出在内的所有驻点和一阶导数不存在的连续点，并计算各点的函数值导数不存在的连续点，并计算各点的函数值. . )(xf),(ba)(af)(bf求出端点的函数值和求出端点的函数值和. .求最大值和最小值的方法如下：求最大值和最小值的方法如下：比较前面求出的所有函数值，其中最比较前面求出的所有函数值，其中最大的就是在上的最大
10、值大的就是在上的最大值, , 最小的最小的就是在上的最小值就是在上的最小值. .)(xfM)(xf,ba,bam例例4 4求函数求函数在上的最大值与最小值在上的最大值与最小值. .11243)(234xxxxf3 , 3令，解得令，解得 ，0)( xf1x0 x2x3.4.2 3.4.2 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值解解xxxxf241212)(230)2)(1(12xxx计算出，计算出，4) 1(f1)0(f31)2(f再算出，再算出，244)3(f28)3(f3.4.2 3.4.2 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值比较这五个函数值，得出在比较这五个函数值，得出在上的最大
11、值为，最小值为上的最大值为，最小值为. .)(xf3 , 3244)3(f31)2(f比较这五个函数值，得出在比较这五个函数值，得出在 上上的最大值为的最大值为 ，最小值为，最小值为. .)(xf2 , 211)2(f2) 1(f解解) 1)(1(444)(3xxxxxxf，令，解得，令，解得，0)( xf1x0 x1x计算出，计算出，3)0(f2) 1(f再算出，再算出，11)2(f3.4.2 3.4.2 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值例例5 5求函数在求函数在上的最大值与最小值上的最大值与最小值. .32)(24xxxf2 , 2例例6 6求函数在求函数在上的最大值与最小值上的最
12、大值与最小值. .1)(3 xxf3 , 1令，解得，令，解得，0)( xf0 x计算出，计算出，1)0(f再计算出，再计算出，0) 1(f28)3(f解解23)(xxf，3.4.2 3.4.2 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值 比较以上三个函数值得出比较以上三个函数值得出 在在 上的最大值为上的最大值为 ，最小值为，最小值为 . .)(xf3 , 128)3(f0) 1(f事实上，有，故是单事实上，有，故是单调增加的，单调函数的最大值和最小值都发调增加的，单调函数的最大值和最小值都发生在区间的端点处生在区间的端点处. .03)(2xxf)(xf3.4.2 3.4.2 函数的最大值与最
13、小值函数的最大值与最小值特别值得指出的是：特别值得指出的是： 在一个区间在一个区间( (有有限或无界，开或闭限或无界，开或闭 ) )内可导且只有一个驻点内可导且只有一个驻点，并且这个驻点是的唯一极值点，那，并且这个驻点是的唯一极值点，那)(xf0 x)(xf么，当是极大值时，就是在该么，当是极大值时，就是在该区间上的最大值；当是极小值时，区间上的最大值；当是极小值时，就是在该区间上的最小值在应用问题就是在该区间上的最小值在应用问题中往往遇到这样的情形这时可以当作极值中往往遇到这样的情形这时可以当作极值问题来解决，不必与区间的端点值相比较问题来解决，不必与区间的端点值相比较)(0 xf)(0 x
14、f)(xf)(0 xf)(0 xf)(xf3.4.2 3.4.2 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值解解设窗框的宽为设窗框的宽为 ，则长为，则长为 . .m xm)36(21xxxx例例7 7欲用长的铝合金料加工一日字欲用长的铝合金料加工一日字形窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能使形窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能使窗户面积最大，最大面积是多少？窗户面积最大，最大面积是多少？m63.4.2 3.4.2 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值)2 , 0(,233)36(212xxxxxy于是窗户的面积于是窗户的面积令，求得驻点，令，求得驻点，0 y1x3.4.2 3.4.2 函数
15、的最大值与最小值函数的最大值与最小值xy33因为，所以是极大值点因为，所以是极大值点. .由于在区间由于在区间(0(0，2)2)内有唯一的极大值，则内有唯一的极大值，则这个极大值就是最大值这个极大值就是最大值. . 03 y1xy于是得到，窗户的宽为，长为于是得到，窗户的宽为，长为时，窗户的面积最大，最大面积为时，窗户的面积最大，最大面积为m1m23)m(23) 1 (2y1.1.最大利润问题最大利润问题例例8 8某厂生产某种产品，其固定成本为某厂生产某种产品，其固定成本为3 3万元，每生产一百件产品，成本增加万元，每生产一百件产品，成本增加2 2万元万元Rq其总收入其总收入( (单位：万元单
16、位：万元) )是产量是产量( (单单位：百件位：百件) )的函数的函数. .2215qqR，求达到最大利润时的产量求达到最大利润时的产量3.4.3 3.4.3 最大值与最小值在经济问题中的应用举例最大值与最小值在经济问题中的应用举例解解利润函数为利润函数为22133qqCRLqL3，令，得令，得 ( (百件百件).).0L3q，所以当时，函数取，所以当时，函数取得极大值，因为是唯一的极值点，所以就是最得极大值，因为是唯一的极值点，所以就是最大值点大值点. .01)3( L3q即产量为即产量为300300件时取得最大利润件时取得最大利润. .3.4.3 3.4.3 最大值与最小值在经济问题中的应
17、用举例最大值与最小值在经济问题中的应用举例2.2.最小成本问题最小成本问题例例9 9 已知某个企业的成本函数为已知某个企业的成本函数为2530923qqqC，其中成本其中成本( (单元：千元单元：千元) )，产量，产量( (单位：吨单位：吨) )，求平均可变成本，求平均可变成本( (单位：千单位：千元元) )的最小值的最小值Cqy3.4.3 3.4.3 最大值与最小值在经济问题中的应用举例最大值与最小值在经济问题中的应用举例解解平均可变成本平均可变成本309252qqqCy，92 qy，令，得令，得( (吨吨).).0 y5 . 4q3.4.3 3.4.3 最大值与最小值在经济问题中的应用举例最大值与最小值在经济问题中的应用举例75. 930)5 . 4(9)5 . 4(25 . 4qy( (千元千元).).即产量为即产量为4.54.5吨时，平均可变成本取得最吨时，平均可变成本取得最小值小值9 7509 750元元. .，所以时，取得，所以时，取得极小值，由于是唯一的极值，所以就是最小极小值，由于是唯一的极值，所以就是最小值值y025 . 4 qy5 . 4q3.4.3 3.4.3 最大值与最小值在经济问题中的应用举例最大值与最小值在经济问题中的应用举例