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1、定义定义12121122:,ssssAk kkkkkA 给给定定向向量量组组对对于于任任何何一一组组实实数数向向量量称称为为向向量量组组 的的一一个个线线性性组组合合1212112212:,:,.sssssAbk kkbkkkbAbA 给给定定向向量量组组和和向向量量如如果果存存在在一一组组实实数数使使则则向向量量 是是向向量量组组 的的线线性性组组合合 这这时时称称向向量量 可可经经向向量量组组线线性性表表出出定义定义1212:,:,.,.msABBABAABa aabbb设设有有两两个个向向量量组组及及若若 组组中中的的每每个个向向量量都都能能由由向向量量组组线线性性表表示示 则则称称向向
2、量量组组 能能由由向向量量组组若若向向量量组组 与与向向量量组组 能能相相互互线线性性表表出出 则则称称这这两两个个向向量量性性表表出出组组线线等等价价1.1.自自向向量量组组反反性性，线线性性表表出出性性质质2.2.传传递递性性1.1.自自反反性性，2.2.传传递递性性向向量量组组，3 3等等价价性性质质. .对对称称性性定义定义:如果向量组如果向量组 中有中有一向量一向量12,(2)ss 称为称为线性相关线性相关的的.可经其余向量线性表出，则向量组可经其余向量线性表出，则向量组12,s 定义定义：向量组向量组 称为线性相关称为线性相关12,(1)ss 如果存在如果存在 P 上上不全为零不全
3、为零的数的数 12,sk kk11220.sskkk使使定义定义：若向量组若向量组 不线性相关，则称不线性相关，则称12,s 若不存在若不存在 P 中不中不全为零的数全为零的数 ，使使12,sk kkP 11220sskkk向量组向量组 为为线性无关的线性无关的.12,s 即即则称向量组则称向量组 为为线性无关的线性无关的.12,s 11220sskkk必有必有120,skkk等价的，对于一个向量组等价的，对于一个向量组12,s 若由若由则称向量组则称向量组 为为线性无关的线性无关的.12,s 1）一向量组线性相关的）一向量组线性相关的充要条件充要条件是其中至少有一是其中至少有一个向量可由其余
4、向量线性表出个向量可由其余向量线性表出. 121212):,:,.,.sssABBA 若若向向量量组组线线性性相相关关 则则向向量量组组也也线线性性相相关关 反反言言之之 若若向向量量组组 线线性性无无关关 则则向向量量组组 也也线线性性无无关关部分相关部分相关-整体相关整体相关（整体无关整体无关-部分无关部分无关）12123):,:,.ssAa aaBbba aaA设设向向量量组组线线性性无无关关 而而向向量量组组线线性性相相关关 则则向向量量 必必能能由由向向量量组组 线线性性表表示示 且且表表示示式式是是唯唯一一的的111,12214),(1,2, ).:,:,.,.jjjjrjrjrj
5、jjssaajsaaaABBA 设设即即向向量量添添上上一一个个分分量量后后得得到到向向量量若若向向量量组组线线性性无无关关 则则向向量量组组也也线线性性无无关关 反反言言之之 若若向向量量组组 线线性性相相关关 则则向向量量组组也也线线性性相相关关短向量线性无关，则加长向量线性无关；短向量线性无关，则加长向量线性无关；长向量线性相关，则缩短向量线性相关长向量线性相关，则缩短向量线性相关定理定理2 设设 与与 为两个为两个12,s 12,r i) 向量组向量组 可经可经 线性表出线性表出；12,s 12,r 则向量组则向量组 必线性相关必线性相关.12,r ii).rs 向量组，若向量组，若推
6、论推论1 若向量组若向量组 可经向量组可经向量组 12,r 12,s 线性表出，且线性表出，且 线线线性无关线性无关，则则 12,r .rs 推论推论2任意任意 n1 个个 n 维向量必线性相关维向量必线性相关. . 推论推论3两个线性无关的等价向量组必含相同个数的向量两个线性无关的等价向量组必含相同个数的向量定义定义12,riiiAAr 设设有有向向量量组组如如果果在在 中中能能选选出出 个个向向量量满满足足120(1):,;riiiA 部部分分组组线线性性无无关关,)1(1)2(都都线线性性相相关关个个向向量量的的话话中中有有如如果果个个向向量量中中任任意意向向量量组组 rArA0();.
7、AArA极极大大线线性性无无关关向向量量组组 简简称称极极那那么么称称向向量量组组是是向向量量组组 的的一一个个极极大大无无关关组组所所含含向向量量个个数数 称称为为向向量量组组无无关关组组的的大大秩秩等价的向量组的秩相等等价的向量组的秩相等定理定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩它的行向量组的秩定理定理设向量组设向量组B B能由向量组能由向量组A A线性表示，则向量线性表示，则向量组组B B的秩不大于向量组的秩不大于向量组A A的秩的秩推论推论推论：推论：一个向量组的任意两个极大无关组都等价一个向量组的任意两个极大无关组都等价. .
8、命题命题2 2：一个向量组的任意两个极大无关组都含有：一个向量组的任意两个极大无关组都含有 相同个数的向量相同个数的向量. . 命题命题1：向量组和它的任一极大无关组等价向量组和它的任一极大无关组等价. .极大无关组的性质极大无关组的性质1）一个向量组的极大无关组不是唯一的）一个向量组的极大无关组不是唯一的.2）一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身）一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身. .注：注：向量组的秩向量组的秩 的性质的性质一个向量组线性相关的充要条件是一个向量组线性相关的充要条件是它的秩它所含向量个数它的秩它所含向量个数.1）一个向量组线性无关的充要条件是）一个向量组线性无关
9、的充要条件是 它的秩与它所含向量个数相同；它的秩与它所含向量个数相同；2）等价向量组必有相同的秩）等价向量组必有相同的秩. .反之，反之，有相同的秩的两个向量组不一定等价有相同的秩的两个向量组不一定等价. .3）若向量组）若向量组12,s 可经向量组可经向量组 12,t 线性表出，则秩线性表出，则秩 12,s 秩秩 12,t 6.6.矩阵的秩矩阵的秩矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩矩阵的秩，定义定义 1. 1.设，则设，则 ijs nAa ( )min( , ).R As n 定理定理5 设设 ， 则则()ijn nAa 0( );AR An 0( )AR An
10、推论推论1齐次线性方程组齐次线性方程组10(1,2,)nijjja xin () ( ).R An有非零解有非零解 系数矩阵系数矩阵 的行列式的行列式 =0() ijn nAa A( ) ( ).R An只有零解只有零解 0 A( ) 个个 级子式级子式r1r 不等于不等于0，且所有，且所有 级子式等于级子式等于0定理定理6 矩阵矩阵 的秩为的秩为 的充要条件是中有一的充要条件是中有一rAA定理定理7 7 线性方程组有解的充分必要条件是线性方程组有解的充分必要条件是的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即( )( ).R AR A 7.1齐次线性方程组齐次线性方程组解的
11、性质；基础解系解的性质；基础解系1.基础解系的条件基础解系的条件2.基础解系的性质：与基础解系等价的线性无关组基础解系的性质：与基础解系等价的线性无关组任意任意n-r个线性无关的解向量个线性无关的解向量3.基础解系的求法基础解系的求法解的性质解的性质解的结构解的结构推论推论 非齐次线性方程组（非齐次线性方程组（3）在有解的条件下，）在有解的条件下，解是唯一的充要条件是它的导出（解是唯一的充要条件是它的导出（4）只有零解）只有零解. .一、向量组线性关系的判定一、向量组线性关系的判定二、求向量组的秩二、求向量组的秩三、基础解系的证法三、基础解系的证法四、解向量的证法四、解向量的证法12,?skk
12、k利利用用定定义义：是是否否存存在在一一组组不不全全为为零零的的数数使使得得其其线线性性组组合合为为零零向向量量,(),?,:,.线线性性相相关关与与线线性性无无关关还还可可以以通通过过线线性性表表出出的的概概念念来来体体现现 即即看看其其中中有有无无某某个个向向量量可可由由其其余余向向量量线线性性表表出出 此此外外 还还应应注注意意到到 线线性性相相关关与与线线性性无无关关是是一一对对的的概概念念 据据此此 在在论论证证某某些些相相关关性性问问题题时时不不是是我我们们任任意意一一往往往往采采个个向向用用量量排排中中对对立立反反证证法法研究这类问题一般有两个方法研究这类问题一般有两个方法方法方
13、法1 1从定义出发从定义出发1122112111222212120,000sssssnnsnkkkaaaaaakkkaaa 令令整理得线性方程组整理得线性方程组1112121121222211220,0,( )0,ssssnnsnsa ka ka ka ka ka ka ka ka k 1212( ),.( ),.ss 若若线线性性方方程程组组只只有有唯唯一一零零解解 则则线线性性无无关关若若线线性性方方程程组组有有非非零零解解 则则线线性性相相关关方法利用矩阵的秩与向量组的秩之间关系判定方法利用矩阵的秩与向量组的秩之间关系判定12121212,(,),().(),(),.ssssnAR AR
14、 AsR As 给给出出一一组组 维维向向量量就就得得到到一一个个相相应应的的矩矩阵阵首首先先求求出出若若则则线线性性无无关关若若则则线线性性相相关关例例研究下列向量组的线性相关性研究下列向量组的线性相关性.201,520,321321 解一解一 000201520321, 0321332211kkkkkk即即令令 整理得到整理得到)(. 0253, 022, 03212131 kkkkkkk.,)(, 0253022101)(321线线性性相相关关从从而而必必有有非非零零解解线线性性方方程程组组的的系系数数行行列列式式线线性性方方程程组组 解二解二,201,520,321321 ,25302
15、2101),(321 A矩阵矩阵 000220101253022101初等行变换初等行变换A., 32)(321线线性性相相关关故故向向量量组组 AR12121122,:, ,(2).rrrrt ttrttt 设设线线性性相相关关 证证明明不不全全为为零零的的数数使使对对任任何何向向量量 都都有有线线存存在在性性相相关关例例2 2分析分析考考察察向向量量方方程程我我们们从从定定义义出出发发 ,0)(22112211 tktktkkkkrrrr即即向向量量方方程程0)()()(222111 tktktkrrr.,21因因此此可可得得如如下下证证明明恒恒有有非非零零解解每每个个而而使使得得对对数数
16、是是否否有有某某组组不不全全为为零零的的 kkkr证明证明0,22112121 rrrrkkkkkk使使为为零零的的数数所所以以存存在在不不全全线线性性相相关关因因为为11220rrk xk xk x 考考虑虑线线性性方方程程都都有有则则对对任任意意向向量量零零解解为为任任一一非非设设它它必必有有非非零零解解因因为为,),(, 221 tttrr 0)(22112211 tktktkkkkrrrr111222()()()0rrrktktkt 即即., :,221121线线性性相相关关不不全全为为零零得得知知由由 tttkkkrrr 1212,:,.(7)ssrr 已已知知向向量量组组的的秩秩是
17、是证证明明中中任任意意 个个线线性性无无关关的的向向量量均均构构成成它它的的一一个个极极大大线线性性无无关关组组 习习题题例例3 3证明向量组的一个部分组构成极大线性无证明向量组的一个部分组构成极大线性无关组的基本方法就是：关组的基本方法就是：分析分析根据极大线性无关组的定义来证，（本身线性无根据极大线性无关组的定义来证，（本身线性无关，其余向量可由其线性表出）它往往还与向量关，其余向量可由其线性表出）它往往还与向量组的秩相联系组的秩相联系证明证明.,), 2 , 1(,212121rskrkiiiksiiirr否否则则这这向向量量组组的的秩秩大大于于相相关关线线性性向向量量组组的的于于是是对
18、对于于任任意意个个线线性性无无关关的的向向量量中中的的任任意意是是设设不不失失一一般般性性 ., 2121线线性性表表出出以以由由可可所所以以线线性性无无关关又又向向量量组组 iiikiiirr1212 ,.riiis 由由定定义义 这这就就证证明明了了是是的的一一个个极极大大线线性性无无关关组组证明：只需证明向量部分组线性无关即可，证明：只需证明向量部分组线性无关即可，两向量组等价，具有相同的秩两向量组等价，具有相同的秩因为向量组个数因为向量组个数=秩，则该向量组线性无关秩，则该向量组线性无关即证即证证明：向量组证明：向量组(I)的极大无关组可由向量组的极大无关组可由向量组(II)线性表出，
19、而且线性表出，而且(II)的极大无关组与的极大无关组与(II)等价，即，向量组等价，即，向量组(I)的极大无关组可由的极大无关组可由(II)的极大无关组线性表出，的极大无关组线性表出，(I)的极大无关组线性无关，由的极大无关组线性无关，由定理定理2的推论的推论1，知，知，R(I)=R(II)证明：证明：两向量组等价，具有相同的秩两向量组等价，具有相同的秩n因为向量组个数因为向量组个数=秩，则该向量组线性无关秩，则该向量组线性无关即证即证证明证明2：R(a1,a2,an)=r=n，R(II)=n,向量组向量组II,可由向量组可由向量组(I)线性表出，线性表出，所以所以R(II)=n=R(I)=r
20、所以所以r=n因此因此(I)线性无关线性无关即证即证证明：必要性：已知：向量组证明：必要性：已知：向量组I线性无关，结论线性无关，结论:任一任一n维向量可维向量可被向量组被向量组(I)线性表出。线性表出。向向量组向向量组I中任意添加一向量，构成的新向量组共有中任意添加一向量，构成的新向量组共有n+1个个n维维向量构成，线性相关（定理向量构成，线性相关（定理2推论推论2）证明：充分性：已知：任一证明：充分性：已知：任一n维向量可被向量组维向量可被向量组(I)线性表，线性表，结论结论:出向量组出向量组I线性无关。线性无关。任一任一n维向量可被向量组维向量可被向量组I线性表出，则线性表出，则n维单位
21、向量也可被维单位向量也可被其线性表出，由其线性表出，由(t13)可知，向量组可知，向量组I线性无关线性无关求一个求一个向量组的秩向量组的秩，可以把它转化为，可以把它转化为矩阵的秩矩阵的秩来求，来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量所排成的这个矩阵是由这组向量为行（列）向量所排成的如果向量组的向量以列向量的形式给出，把向量如果向量组的向量以列向量的形式给出，把向量作为矩阵的列，对矩阵作初等行变换，这样，不仅作为矩阵的列，对矩阵作初等行变换，这样，不仅可以求出向量组的秩，而且可以求出极大线性无关可以求出向量组的秩，而且可以求出极大线性无关组组若矩阵若矩阵 A 经过初等行变换化为矩阵经过初等行变换
22、化为矩阵 B，则，则A和和B中中任何对应的列向量组都有相同的线性相关性任何对应的列向量组都有相同的线性相关性.)1, 4, 6, 2(),1, 2, 3, 1( ),1, 1, 1, 0(),1, 1, 2, 1( ),0, 0, 1, 1(54321的秩的秩求向量组求向量组 TTTTT例4例4解解 为为阶阶梯梯形形化化行行变变换换作作初初等等对对作作矩矩阵阵AAA, 54321 1234511012121360112401111A 1111042110421102101112rr324211012011240000000035rrrr 0000053000421102101134rr .54
23、321U 记作记作, 3)( ARA的的列列秩秩. 3,54321的的秩秩为为故故向向量量组组 00000530004211021011 ) (54321 U, 421无无关关组组线线性性的的列列向向量量组组的的一一个个最最大大是是又又U ., 421线线性性无无关关组组的的列列向向量量组组的的一一个个最最大大也也是是所所以以A 例例5证明与基础解系等价的线性无关的向量组证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系也是基础解系分析分析(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示方程组的任一解均可由该向量组线性表示(1)该组向量都是方程组的解；该组向量都是方程组的解；(2)该组向量线性无关；该
24、组向量线性无关；要证明某一向量组是方程组的基础解要证明某一向量组是方程组的基础解系，需要证明三个结论系，需要证明三个结论:0 AX证明证明.,0,212121ntaaaAXtnt 即即向向量量个个数数相相等等所所以以这这两两个个向向量量组组所所含含数数是是相相同同的的向向量量组组所所含含向向量量个个因因为为等等价价的的线线性性无无关关的的向向量量组组等等价价的的线线性性无无关关的的是是与与系系的的一一个个基基础础解解是是方方程程组组设设 .0 ,), 2 , 1(,2121的的解解都都是是故故合合仍仍然然是是原原方方程程组组的的解解而而解解的的线线性性组组的的线线性性组组合合可可以以表表示示成
25、成知知由由向向量量组组的的等等价价关关系系易易 AXaaatiatti .,21线线性性无无关关由由题题设设知知aaat.,021212121线线性性表表示示也也可可由由故故线线性性表表示示均均可可由由由由向向量量组组的的等等价价性性线线性性表表示示可可由由则则的的任任一一解解为为方方程程组组设设aaaaaaAXtttt .0,21的的一一个个基基础础解解系系也也是是方方程程组组故故由由定定义义知知 AXaaat注注 当线性方程组有非零解时，基础解系的取当线性方程组有非零解时，基础解系的取法不唯一，且不同的基础解系之间是等价的法不唯一，且不同的基础解系之间是等价的111, .:(1),;(2)
26、,1.(3),1,1.n rn rn rAXBAXBnrAXBXnr 设设是是非非齐齐次次线线性性方方程程组组的的一一个个解解是是其其导导出出组组的的一一个个基基础础 解解系系 证证明明线线性性无无关关是是方方程程组组的的个个线线性性无无关关的的解解方方程程组组的的任任一一解解都都可可以以表表示示为为这这个个解解的的线线性性组组合合 而而且且组组合合系系数数之之和和为为例例6 6. 0)(, 0)1(0110 kkkkrnrn其中必有其中必有令令 证明证明. 0,0,0,0210101 kBAXAXAXkkkkrnrnrn所以所以矛盾矛盾的解的解齐次方程组齐次方程组是非是非而等式左边而等式左边
27、的解的解必是必是其线性组合其线性组合故等式右边为故等式右边为的解的解是齐次方程组是齐次方程组由于由于有有否则否则 , 0,)(022110 rnrnkkkk则有则有式式代入代入将将., 0,0,21212121线性无关线性无关于是于是故有故有线性无关线性无关所以所以的基础解系的基础解系是是因为因为 rnrnrnrnkkkAX .,), 2 , 1()2(再证它们线性无关再证它们线性无关的解的解都是都是知知由线性方程组解的性质由线性方程组解的性质BAXrnii 所以所以线性无关线性无关的证明知的证明知由由则则令令,)1(, 0)(, 0)()(211110110 rnrnrnrnrnrnkkkk
28、kkkk , 0, 0, 0, 021210kkkkkkkrnrn., 0,21210线性无关线性无关故故得得解之解之 rnrnkkkk 可表为可表为则则的任一解的任一解为方程组为方程组设设XBAXX,)3( rnrntttX 2211)()(11 rnrntt)()()1(111 rnrnrntttt , 1,11001 ttttttrnrn则则令令都都可可以以表表示示为为的的任任一一解解故故XBAX . 1),()( 10110 ttttttXrnrnrn且且 注意注意(1)本例是对非齐次线性方程组的解本例是对非齐次线性方程组的解的结构作进一步的分析和讨论，即非齐次线性方的结构作进一步的分
29、析和讨论，即非齐次线性方程组一定存在着个线性无关的解，题中程组一定存在着个线性无关的解，题中(2)的证明表明了它的存在性的证明表明了它的存在性BAX 1 rn(3)对非齐次线性方程组，有时也把对非齐次线性方程组，有时也把如题中所给的个解称为的基础如题中所给的个解称为的基础解系，所不同的是它的线性组合只有当线性组合解系，所不同的是它的线性组合只有当线性组合系数之和为系数之和为1时，才是方程组的解时，才是方程组的解BAX BAX 1 rn(2)对齐次线性方程组，当时，对齐次线性方程组，当时，有无穷多组解，其中任一解可由其基础解系线性有无穷多组解，其中任一解可由其基础解系线性表示表示nrAR )(第
30、四章测试题第四章测试题一、填空题一、填空题 .,1 , 2 , 0 , 1, 1 , 0 , 10 , 3 , 2, 4,5 , 0 , 1, 2 . 14321线性相关线性相关时时则则设设 kk .,0 , 3 , 1,4 , 3 , 5, 0,2, 0 , 2 , 1,0 , 3 , 1, 2 . 24321线性无关线性无关时时则则设设 tt 则则该该向向量量组组的的秩秩是是已已知知向向量量组组,7 , 6 , 5 , 4,6 , 5 , 4 , 3,5 , 4 , 3 , 2,4 , 3 , 2 , 1 . 34321 则向量个数则向量个数线性表出线性表出均可由向量组均可由向量组维单位向
31、量组维单位向量组, . 42121snn ARA则秩则秩已知已知1101001100001100001100101 . 5 ARA则秩则秩设设,3 , 2 , 1,321 . 7 的的一一个个极极大大无无关关组组是是向向量量组组7 , 6 , 5 , 46 , 5 , 4 , 3,5 , 4 , 3 , 2,4 , 3 , 2 , 1 . 84321 二、计算题二、计算题 .,4 , 5, 2 , 3,3, 4 , 1, 2,2 , 1, 8, 5, 0432. 1321321 求求其中其中已知已知 则则该该方方程程的的系系数数矩矩阵阵为为础础解解系系为为其其基基以以方方程程组组,1, 1 ,
32、 0,2 , 0 , 10 . 621 AX?,321线线性性无无关关线线性性相相关关向向量量组组为为何何值值时时试试求求出出 t .1 , 2 , 1 , 0,2 , 1 , 1 , 2,1 , 11 , 1 , 0 , 00 , 1 , 1 , 0,0 , 0 , 1 , 1, . 3321321等价等价与向量组与向量组使向量组使向量组和和求实数求实数 baba 1 , 1, 1,0 , 2,1 , 2 , . 2321 tt已已知知向向量量组组三、证明题三、证明题 . 4,:, 4, 3,;,;, . 34532153214321321秩为秩为的的向量组向量组试证明试证明为为如果各向量组的秩分别如果各向量组的秩分别已知向量组已知向量组 IIIRIIRIRIIIIII四、向量组四、向量组 线性无关线性无关, ,问常数问常数 满足满足什么条件时什么条件时, ,向量组向量组线性无关线性无关321, ml,133221, ml ., . 8 ; 1 . 7 ;112 . 6 ;5 . 5 ; . 4 ;2 . 3 ; . 2 ;153 . 1 21 sn任任意意实实数数一一、 ;22 , 1 , 0 . 1 二、二、.,3 , 2 ;,3 , 2 . 2321321线性相关线性相关时时当当线性无关线性无关时时当当 tt. 0 . 3 ba测试题答案测试题答案. 1 lm四、四、