《2022年《宏观经济学原理与模型》第02章宏观经济活动的度量第04节乘数与比较静态分析方法 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年《宏观经济学原理与模型》第02章宏观经济活动的度量第04节乘数与比较静态分析方法 .pdf（37页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、宏观经济学：原理与模型第二章宏观经济活动的度量第四节乘数归结与引子：从GI与TS的移动，引入乘数概念。前面的讨论中，已经看到：曲线TS或曲线GI的移动会引起均衡收入水平EY的变化；而且上述移动均是由于曲线方程中的某个参数，也就是所论经济系统的“外生变量”的变动所引致的。由此，引入专门的经济学概念乘数来描述之。一、乘数的一般定义（一）定义设y为系统的内生变量 （又称：决策变量），x为系统的外生变量，若存在A使得Adxdy，则称A为“x乘数” 。（二）全微分与增量定义中，dy为y的全微分，而dx只是x的另一种记法， 即x的增量。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -
2、 - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 由Adxdy可见，外生变量x增加一单位引起内生变量y（比如，均衡收入水平EY）增大的倍数就是A。倍数，又称 乘数（ Multiplier） 。（三）乘数的一个重要性质：乘数不少于1以后我们遇到的乘数均不小于1。外生变量的增大会使均衡收入水平成倍地扩大？答：是的。以一个简单的例子来观察乘数的作用过程与细节。（本段供同学自行阅读，即可形成直觉。）二、简单模型下乘数的作用过程与细节（一）条件（因）展开：数学的一个困惑是，常有可能因果倒置。除了不考虑别国的存在外，我们的简单
3、模型还暂时假定0T，从而DYY；再假定I为外生变量，而DYC8.095（按现设DYY） ，外生变量G设为100亿元。现在，如果由于某种原因，政府认为其购买应增加到110亿元，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 即政府购买增量10100110G亿元，这对Y有何影响？（二）乘数的作用过程1、第一时期，政府购买的增加10亿元就是对最终产品的需求量增加10亿元， 由此使参与生产这些最终产品的人们的收入增加10亿元。 即政府购买增加10亿元直
4、接导致整个经济系统收入水平增加10亿元，记为101Y亿元（G） 。事情并不到此为止。2、第二时期，当人们拿到这新增的10亿元时会进行消费。 这样，新增了一笔消费，其大小可按消费函数算得118.0YC8108 .0亿元。这8亿元代表对最终产品的新需求量， 由此使参与生产这些新需最终产品的人们的收入增加8亿元，从而整个系统的收入水平又增加8亿元，记为82Y亿元（G8.0108 .0） 。事情还远未到此为止。3、第三时期，得到这 8 亿元的人们又要进行消费。这样，又新增了一笔消费，其大小仍按消费函数可得4.688.08 .022YC亿元。这4.6亿元代精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -
5、- - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 表对最终产品的又一轮的需求量， 由此使参与生产这一轮所需最终产品的人们的收入增加4 .6亿元，从而使整个系统的收入水平又增加4.6亿元，记为4 .63Y亿元（GGY228 .08 .08. 08. 088.0） 。4、归结如此继续下去，政府新增的这笔购买（10G亿元）本身直接引起的收入增加（101Y亿元）以及继而带动对最终产品需求和生产所引起的收入增加合计之和为：GGGGGGYYYY58.011)8.08.01(8. 08.0223215、求得
6、乘数我们看到了，增加的政府购买G使均衡收入水平的增加量（Y）不只是限于这笔初始的政府购买增量G，而是该初始增量的5 倍！6、一般化我们不仅研究了乘数的作用过程，而且从中求得了乘数的大小。不过，我们有更一般的方法求得乘数。以下就介绍这一般的方法并去求得几个常见的乘数（仍囿于简单经济模型）。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 三、基于简单经济模型中的几个重要乘数（一）所基于的简单模型1、简单模型（这个简单模型一直用得着，要求直觉出来！）
7、（1）形式 1 由前已知，描述简单模型的方程是：GITYCY)(（2.15） （重点！ ）（2）形式 2 TT）YSGI(（2.16） （重点！ ）2、模型说明其中，I为计划的意愿投资，此时0inv，在前面我们用的符号是I，但为书写的方便今后改写成I，希望不致引起混淆。现在我们来看看， 如何利用描述系统的方程， 比如式（2.15） （用式（2.16）也一样），去求得乘数。请注意：在简单模型中，I与G视作独立于Y的外生变量。（在下一章较复杂的更接近实际的模型中我们将改变对I的这种假定。 ）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - -
8、- - - - - - -第 5 页，共 37 页 - - - - - - - - - - （二）政府购买乘数（当T为总额税，即常数时）1、乘数的一般求法前面我们已经用一个数字例子从乘数作用的过程中求得了政府购买乘数。一般地，更为方便的方法是利用式（2.15 ）直接求得乘数。对式（ 2.15）两边求全微分：dGdIdTdYCdY)(（2.17） （重点！ ）2、一些说明（1）这里，DdYdCC，即MPC；（2）外生变量I如果不变，则0dI；注意，我们在考虑乘数时， 只假定一个外生变量， 即考察对象的变化引起多少倍的Y的变化，而假定其他外生变量维持原值（守衡）。（3）因T为总额税，且在考察期它也
9、不变，故dT也为0。因而dGdYCdY（4）结果所以，dGCdY11，即所求乘数为C11。（5）算例前面的数字例子的乘数可马上由G乘数公式dGCdY11求出：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 58 .01111C（6）乘数的性质注意到10C，该乘数必大于1。（三）政府购买乘数（当)(YTT时）1、条件现在讨论当税收函数为一般情况)(YTT时的政府购买乘数。此时在式（ 2.16 ）中dYTdT, dI仍为0。2、乘数由此可得：dGT
10、CdY)1(11即，此时的乘数为)1(11TC。3、讨论注意到10C和10T，不难验证，该乘数1。显然，当总额税常数T（从而0T）时的政府购买乘数是现在情况（)(YTT）下的特例。（四）税率乘数1、条件精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 现在假定YT，10，称为税率，它是独立于Y的外生变量。为求税率乘数（即在其他外生变量I和G不变的情况下，的变化使Y变化的倍数）。同样，对式（ 2.15）两边求全微分（注意先以YT代入） ，dGdI）
11、dYdYdYCdY(因I和G不变，即0dGdI。2、得乘数dGTCYCdY)1(1即，税率乘数（乘数）为)1(1TCYC。3、结论不难发现，乘数是个负数。表明：与Y的变动方向是相反的。具体地，当税率提高（减少）时，均衡收入水平Y减少（提高）；反之则反是。第二章思考题1、分别说出什么是：均衡收入，稳定性，节俭悖论，乘数。2、试讨论GNP与GDP，*GNP之间的关系。3、Y为GNP、NNP、NI或PI时，分别说出在恒等式（ 2.10）中两端精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 37 页
12、- - - - - - - - - - 各项的具体意义。= = 附录：宏观经济学中的比较静态分析一、微分、全微分、偏微分、全导数、求导的隐函数法则和反函数法则（一）微分对于一元函数)(xfy来说，y的微分dy度量的是由于x的微小变化dx所引起的y的变化。比如，对于4522xxy，y的微分可通过求y关于x的导数而得到，该导数度量由于x的微小变化而引起的y的变化与x的微小 变化之比率。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 54xdxdy导
13、数或变化率接着，用x的一个特定变化dx乘以该比率，以求y的变化dy。dxxdy)54(微分或变量y的改变量 =由于 x的很小变化而引起的y的变化率 x 的微小改变量例 11 1如果75423xxy，则有xxdxdy1012/2及微分dxxxdy)1012(22如果2)52( xy，则有208)2)(52(2/xxdxdy及微分dxxdy)208(（二）全微分、偏微分对于两个或更多个自变量的多元函数 ， 全微分 度量的是由于每一个自变量的微小变化而引起的因变量的改变量。如果),(yxfz，全微分dz的数学公式如下：dyzdxzdzyx (511) 其中，xz和yz分别是z关于x和y的偏导数 ，d
14、x和dy是x和y的微小改精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 变量即，全微分 可以通过求函数关于每一个自变量的偏导数 并代入上述公式求得。例 12 求全微分1已知：3438yxyxzyxzx843298yxzy将其代入公式，得到dyyxdxyxdz)98()84(232已知：)1/()(xyxz22)1(1)1()1)()1)(1(xyxyxxzx11)1()1( 1)1()0)()1)(1(22xxxxyxxzy全微分 是dyxd
15、xxydz11) 1(12如果其中的一个自变量为常数，例如0dy，则有全微分 ：dxzdzx偏微分度量的是： 当假设另一个自变量保持不变时，一个自变量精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 的微小变化所引起的因变量的改变。（三）全导数现在我们研究这样一种情形：),(yxfz，而)(xgy，即当x和y不是相互独立的变量时，x的变化会通过函数f对z产生直接的影响，通过函数g对z产生间接的影响。正如图 53 中路径图所示，当x和y非相互独立
16、时，要想度量x的变化对z的影响，必须给出 全导数 的概念。 全导数是x对z的直接影响xz /与通过y对z的间接影响dxdyyz之和， 即，全导数 为dxdyzzdxdzyx (512) 例 13 求全导数的另一方法： 先求z的全微分dyzdxzdzyx再将方程两边同除以dx(在心里可以这样想 )，于是有dxdyzdxdxzdxdzyx由于1/ dxdx，有gffxyz精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 37 页 - - - - - - - - - - dxdyzzdxdzyx例
17、14已知yxyxfz76),(3其中834)(2xxxgy，关于x的全导数dxdz/为dxdyzzdxdzyx其中7,182yxzxz，和38/xdxdy，代入上式有215618)38(71822xxxxdxdz为了检验答案，可以将8342xxy代入原函数得到z关于x的一元函数，然后求导数：5621286)834(762323xxxxxxz所以，2156182xxdxdz例 15 全导数 同样可以进行扩展以适用其他的函数表达式。对于tytxyxz543822z关于t的全导数则变成：dtdyzdtdxzdtdzyx其中5/4/,6,16dtdydtdxyzxzyx和，代入上式精品资料 - - -
18、 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 37 页 - - - - - - - - - - yxyxdtdz3064)5(6)4(16再将tytx54 和代入上式tttdtdz406)5(30)4(64（四）求导的隐函数法则和反函数法则1、求导的隐函数法则形如)(xfy的函数用x解析地表达出y来，我们称该种形式的函数为显函数 。形如0),(yxf的函数不能由x解析地表达出y，称其为 隐函数。如果隐函数),(yxf存在且在隐函数有定义的点附近0 xf，则隐函数的全微分为0dyfdxfyx。由于导数即微分的比
19、率，于是我们可以将之变形得到求导隐函数法则：yxffdxdy (513) 不难发现导数dxdy/是其相应偏导数之比的负倒数。xyyxffffdxdy/12、求导的反函数法则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 给定一个函数)(xfy，如果每一个y都对应一个而且仅一个x值，则其反函数)(1yfx存在，假设反函数存在， 则反函数的导数是原函数的导数的倒数 ，这便是 求导的反函数规则。所 以 ， 如果)(PfQ是 原 函数 ， 其 导 数
20、 为dPdQ /， 反 函 数)(1QfP的导数是dQdP /且有dPdQdQdP/1只要0dpdQ (5. 14) 见例 16，例 17。例 16已知隐函数(a) 072yx(b) 0867354yx导数dxdx /如下求得：(a) 由(513)有yxffdxdy这里xfx14和1yf代入上式，xxdxdy14)1(14本例中的函数有意地安排的很简单，即可以解出y，将y以x表达，于是直接求导数。由于xdxdyxy14/,72，这样一来就很容易地验证了答案。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第
21、15 页，共 37 页 - - - - - - - - - - (b) 434335123512yxyxffdxdyyx例 17求下列函数的 反函数 ：1. 设PQ220，dPdQdQdP/1其中2/dPdQ，所以2121dQdP2. 设3325PQ，)0(91/12PPdPdQdQdP二、比较静态分析经济学中的所谓比较静态分析（即人们熟悉的比较静态），是对经济模型的内生变量由于外生变量或参数的变化所引起的不同均衡值或最优值进行比较。经济学家可以利用比较静态分析方法进行经济变量间的影响程度估计，比如，可以估计消费者需求对于政府制定的消费税、关税或精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -
22、- - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 补助金的反映程度， 投资、政府支出或利率的变化对国民收入的影响等等。在数学本质上讲， 比较静态分析的主要内容， 其实就是 求解某种适当的导数，并判断其代数符号。三、含有一个内生变量的比较静态特殊函数 和一般函数 均可用于比较静态分析。对于下面例 1 中的具体函数（即特殊函数） 情形，所要求的导数既可以用 显函数 ，也可以用 隐函数形式来求。对于例 2 中的一般函数 情形，则只能用 隐函数 一种形式求导数。当独立变量（内生变量）不只一个时，用类
23、似的方式求偏导数即可。例 1 假设一种商品的需求DQ和供给SQ由确定函数给出，用参数表示为0,knmkYnPmQD0, babPaQS精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 这里，价格P，消费者收入Y。均衡条件 为SDQQ代入上面的式子，求解 均衡价格水平P，可以得到bPakYnPmPnbkYam)(nbkYamP (132) 现在利用比较静态分析， 可以决定内生变量P的均衡水平因单个外生变量 (Y)或五个参数),(knmba中任何几
24、个的变化而如何变化，比较静态分析只需要求出所要求的导数并判断它的符号。为了衡量均衡价格对收入变化的反应程度，我们从显函数 (13 2)得出0nbkdYdP (13 3) 这意味着，在这个经济模型中， 消费者收入的增加将导致商品的均衡价格的增加。 由于参数的值是已知的， 那么价格变化受收入的具体影响即可以估计出。比较静态同样可以很好地应用于隐函数。把 131 的全部项移到左边， 则0SDQQ，或超额需求 等于零，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 37 页 - - - - - -
25、- - - - 我们可以得到均衡条件的隐函数F：0bPakYnPmF (134) 接着，利用隐函数求导法则求比较静态导数。假设0PF，PYFFdYdP从(134)可知，kFY和)(bnFP代入并简化，有0)(nbkbnkdYdP比较静态也可以用来估计任何参数),(baknm的变化对P的影响。但是，由于它们仅描述需求和供给曲线的截距和斜率，因此，它们通常没有什么实际的经济意义。但是在其他某种例子中， 如收入决定模型，参数通常有经济意义，而且存在它们本身的比较静态导数。例 2 现假定一个 一般模型 ，商品的供求只由 一般函数 给出：0,0),(YPDDYPD需求0)(PSPS供给均衡价格水平P可由
26、需求等于供给时得到：)(),(PSYPD或者等价地， 超额需求 等于零，0)(),(PSYPD (135) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 这时，只能利用隐函数求导法则求比较静态导数，假定0PF，PYFFdYdP由(135)，YYDF和PPPSDF代入，PPYSDDdYdP根据供给定律，我们总是期望0PS。如果商品是 正常商品 ，那么0YD且0PD。代入上式，在正常商品情况下有0)()()(dYdP如果商品是 劣质品 ，但不是
27、吉芬商品，那么0YD且0PD，因此0/dYdP；如果商品是 吉芬商品 ，那么0YD和0PD，导数的符号不定，取决于分母的符号。例 3 假设一个两部门经济的收入决定模型，这个经济中， 消费依赖于收入，投资是自控的，因此10,0bIIbYC当ICY时，产生均衡。(a) 求出均衡收入水平Y的显示表达式。(b) 利用比较静态估计自控投资0I的改变对均衡收入Y的影响。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 37 页 - - - - - - - - - - (c) 从隐函数找到同样的比较静态导数
28、。解：(a) 由ICY代入0IbYY (1313) 0IbYYbIY10(13 14) (b) 自控投资0I的变化对Y的影响是0110bdIdY因为10b(c) 把(13. 13)式都移到左边，我们得到隐函数00IbYY (1315) 在通常假定下根据隐函数法则YIFFdIdY00这里10IF和bFY1因此，011110bbdIdY四、含有多个内生变量的比较静态精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 在含有多个内生变量的经济模型中，
29、比较静态要求每一个内生变量都有惟一的 均衡条件 成立，有n个内生变量的系统一定有n个均衡条件。要想刻画某个外生变量对任何或所有内生变量的影响，首先求出每个均衡条件 关于该外生变量的 全导数， 然后再联立求出所要求的偏导数。如果函数有连续导数， 且由所有函数的关于外生变量的偏导数组成的雅可比行列式不为零， 则由隐函数定理 ：内生变量的最优值可以表示为外生变量的函数，而且比较静态导数可由克莱姆法则求得。例 3 为了表示的简化，假定模型只有两个内生变量 和两个外生变量 ，且为隐式广义函数 ，在隐式广义函数中先列写内生变量，再列写外生变量，用分号把前者和后者分开。 （当然，模型可以很容易地扩展到任意多
30、个内生变量)(n和任何多个外生变量)(m，这里n不必等于m。 ）0),;,(21211xxyyF0),;,(21212xxyyF为求得系统关于外生变量1x的比较静态偏导数 ，首先，改写隐函数，0);(),(112111xxyxyF0);(),(112112xxyxyF其次，求出两个函数关于1x的全导数 ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 0111221111111xFxyyFxyyFdxdF0121222111212xFxyyF
31、xyyFdxdF写得更为详细一些，0)()(11112211111111xFxxyyFxxyyFdxdF0)()(12112221111212xFxxyyFxxyyFdxdF由于内生变量单一地依赖于外生变量1x，所以全导数也可写成，0)()(11112211111111xFdxxdyyFdxxdyyFdxdF0)()(12112221111212xFdxxdyyFdxxdyyFdxdF用短横表示 均衡值 ，代入、整理并用矩阵记号表示为1211121122122111xFxFxyxyyFyFyFyFBJX假设所有函数有连续一阶和二阶导数，而且所有函数(iF) 的关于所有内生变量 (iy)的由全部
32、一阶偏微分构成的雅可比行列式J不等于零，即021122211yFyFyFyFJ利用克莱姆法则求解关于1x的比较静态导数 。特别地，假定0J，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 则该比较静态导数 为JJxyii1 (13.6) 因此，为了求解 比较静态导数1/ xyi，我们用向量B替换J的第一列，构造一个新矩阵1J，然后代入上式 (13 6) 21122211211222112212211122122111111yFyFyFyFyF
33、xFyFxFyFyFyFyFyFxFyFxFJJxy同样地，21122211111212112212211112121111212yFyFyFyFxFyFxFyFyFyFyFyFxFyFxFyFJJxy用类似方法，可以得到关于2x的偏导数。例 4假设产品市场 (IS曲线) 和货币市场 (LM曲线)的均衡分别由下面式子给出0),(),;,(0001iYCCYPMCiYF0, 10iYCC (137) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 37 页 - - - - - - - - -
34、- 0/),(),;,(0002PMiYLPMCiYF0,0iYLL(13 8) 这里，),(iYL=货币需求，0M=货币供给，0C=自控消费，P=价格水平，它使PM /0成为货币实际供给而不是名义供给。为了简化，让P保持不变。0C的变化对Y和i的均衡水平的影响用比较静态分析说明如下：(a) 求出均衡条件 (137)、(138)关于所需的外生变量的全导数，这里的外生变量是0C首先，重写隐函数，0)(),()();(),(00000001CiCYCCCYCCiCYF0/)(),();(),(0000002PMCiCYLCCiCYF其次，求出关于外生变量0C的全导数，01)(10000101010
35、1CiCCYCCYCFCiiFCYYFdCdFiY00002020202CiLCYLCFCiiFCYYFdCdFiY整理，00100000CiLCYLCiCCYCCYiYiY(b) 用矩阵形式表示精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 01100CiCYLLCCiYiYBJX(c) 接着，检验以确定 雅可比行列式0J，使隐函数定理成立。YiiYLCLCJ)1(应用符号，0)()()(J因此，0J，所以隐函数定理的条件得到满足。(d)
36、通过用向量B替换矩阵J的第 1 列来构造一个新的矩阵1J，并代入(136)来求解一阶偏微分，0/ CY。iiiLLCJ011因此，0)()()1(10YiiYiLCLCLJJCY即，自控消费0C的增加将导致收入的均衡水平的增加。(e) 通过用向量B替代J的第二列构造2J，并代入 (136)，求解第二个偏微分0/ Ci。YYYLLCJ0112和精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 26 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 0)()()1(20YiiYYLCLCLJJCi即，0
37、C的增加也将导致利率的均衡水平的增加。0M的改变对Y和i影响请见下题 例 4（+） 例 4（+）假定例 4 中模型0, 00/),(0, 100),(00iYiYLLPMiYLCCiYCCY利用比较静态分析，货币供应0M的变化对Y和i的均衡水平的影响，要求P是常量。解：求出关于0M的全导数 ，0000MiCMYCMYiY0100PMiLMYLiY把它们设置为矩阵形式PMiMYLLCCiYiY/10100BJX这里0)()()()1 (JLCLCJYiiY精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 27
38、 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 接着，构造一个新矩阵行列式1J，求解一阶微分0/ MY。PCLPCJiii/101和0)()()1(10YiiYiLCLCPCJJMY即，货币供应0M的增加会导致收入的均衡水平的增加。对于0/ Mi，PCPLCJYYY1/1012和0)()()1(120YiiYYLCLCPCJJMi即，0M的增加将导致均衡利率的下降。五、优化问题的比较静态经济学家除了关注模型的外生变量对内生变量均衡值 的影响外，还经常对外生变量对优化问题的最优值的影响感兴趣。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归
39、纳 - - - - - - - - - -第 28 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 由于最优值是由一阶条件得到的， 所以只要将比较静态分析应用到一阶条件上就能办到。 而一阶条件是由一阶导数构成，可见优化问题的比较静态与二阶导数和海赛行列式有直接关系。例 5 一个价格接受的公司有 严格凹的生产函数),(LKQ。给定P=产品价格，r=资本的租用率，=工资，它的利润函数是LrKLKPQ),(为了得到 一阶优化条件 ，如果我们求导数K/和L/，并把它们表示为隐函数，有0),(),;,(1rLKPQPrLKFK0),(),;,(2LKPQPrLKFL这里，把一阶导数KQ和LQ赋
40、值为利润函数的 最优值 通过这些一阶条件， 我们可以利用如下的比较静态，决定外生变量),(r的变化对内生变量),(LK的最优值的影响 ：(a) 求出一阶条件关于任意一个外生变量的全导数，并写成矩阵形式。这里研究资本的租用率（利率）r对内生变量的影响。重写隐函数，0)(),();(),(1rrLrKPQrrLrKFK精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 29 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 0)(),() ,);(),(2rLrKPQrrLrKFL求关于外生变量r的全导数
41、，01)()(1111rLPQrKPQrFrrLLFrrKKFdrdFKLKK0)()(2222rLPQrKPQrFrrLLFrrKKFdrdFLLLK写成矩阵形式一般地rFrFrLrKLFKFLFKF212211或特殊地，01rLrKPQPQPQPQLLLKKLKKBJX设二阶充分条件 满足，即0KLLKLLKKQQQQ，那么0J。这里我们注意到，当从一阶优化条件的一阶微分求比较静态导数时，有HJ，为了优化一个 (22)系统，我们也要求0H。(b) 因为0HJ，且假定一阶和二阶微分连续，则隐函数原理的条件成立，于是我们可以利用克莱姆法则来求得所有的导数。精品资料 - - - 欢迎下载 - -
42、 - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 30 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 0)(0121LKKLLLKKLLLLKLQQQQPPQJPQPQJJrK这里，0/ rK，因为我们假定 生产函数是严格凹的 ，意味着在整个定义域都有LKKLLLKKKKLLQQQQQQ和0,0，我们也从微观经济学原理知道，追求利润最大化的公司仅在成本的边际投入生产率下降处进行生产，因此在生产的最优水平点，00KKLLQQ和。同样地，我们有)(0122LKKLLLKKLKLKKKQQQQPPQJPQPQJJrL为了确定这个比较静态导
43、数的符号，需要知道交叉偏导数LKQ的符号，它表示资本变化对劳动力LQ的边际生产率的影响。如果假定它是正的， 则分子的符号是负的， 所以，利率的增加将导致劳动力使用的下降。至于工资变化对K，L的影响，见下题。例 6 返回到例 5 的模型，这里的一阶条件是0),(),(1rLKPQPrL；KFK0),(),(2LKPQPrL；KFL(a) 用矩阵形式表示函数关于工资的全导数，然后求出下列偏导数并注明其符号。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 31 页，共 37 页 - - - - - - - -
44、- - (b) /K(c) /L解：（a）重写隐函数，0)(),();(),(1rLKPQLKFK0)(),();(),(2LKPQLKFL求关于外生变量的全导数，0)()(1111LPQKPQFLLFKKFddFKLKK01)()(2222LPQKPQFLLFKKFdrdFLLLK写成矩阵形式，一般地，rFrFrLrKLFKFLFKF212211特定地，0)(102KLLKLLKKLLLKKLKKQQQQPJLKPQPQPQPQ精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 32 页，共 37 页 -
45、- - - - - - - - - (b) 对于/K，)(1021LKKLLLKKKLLLKLQQQQPPQJPQPQJJKK的符号取决于KLQ的符号。假定资本的边际生产率因劳动力的增加而增加，0KLQ，则0/K，意味着资本的最优水平可能随着工资的增长而下降。(c) 对于/L，0)(1022LKKLLLKKKKLKKKQQQQPPQJPQPQJJL因为0KKQ，随着工资的增长劳动力的最优水平将下降。六、比较静态在约束最优化中的应用比较静态分析方法， 一样可以应用于约束最优化问题。在约束最优化问题中，拉格朗日乘子视作是一个内生变量，而且在比较静态分析中，它被赋值为它的最优值 () 。如果二阶充分
46、条件满足，即加边海赛行列式H可以是正的或负的，它取决于优化的类型，但是，它不会等于零，因为HJ，如果0H，则雅可比矩阵不等于零，见例 6。当0J，并假定一阶和二阶导数连续，我们从隐函数定理 可知，内生变量的最优值可表示为外生变量的隐函数，而且所要求的比精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 33 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 较静态导数可以通过克莱姆法则得到。例6 提供一个详细的求解过程。例 6 假设一个公司处于完全竞争的要素市场和产品市场，追求产出),(LKq最大化，
47、产出满足给定的预算约束条件BLrK的拉格朗日函数是)(),(LrKBLKqQ且代表一阶条件的三个一阶导数)/,/,/(QLQKQ可表示为如下隐函数形式：0),(),;,(1rLKQBrLKFK0),(),;,(2LKQBrLKFL0),;,(3LKrBBrLKF并假定微分连续且满足二阶充分条件，从这些约束最优化的一阶条件中，我们可以用比较静态分析方法确定任何外生变量),(Br的变化对三个内生变量最优值),(LK的影响。为了找到预算B对内生变量最优值的影响， 我们需求出三个函数关于B的比较静态导数：重写隐函数，0)()(),();(),(),(1BrBLBKQBBBLBKFK精品资料 - - -
48、 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 34 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 0)()(),();(),(),(2BBLBKQBBBLBKFL0)()();(),(),(3BLBKrBBBBLBKF求关于外生变量B的全导数，0)()()(11111BrBLQBKQBFBBFBBLLFBBKKFdBdFKLKK0)()()(22222BBLQBKQBFBBFBBLLFBBKKFdBdFLLLK010)()()(33333BBLBKrBFBBFBBLLFBBKKFdBdF写成矩阵形式，一般地，B
49、FBFBFBBLBKFLFKFFLFKFFLFKF321323222111特殊地，1000BBLBKrQQrQQLLLKKLKK)()()(2LKLLKLKKQrQrrQQJ022LKLLKLKKQrQrQrQJ精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 35 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 因为HJ， 如果满足二阶充分条件， 那么对约束最优化来说，0H。因为处于完全竞争环境中， 利润最大化公司仅在投入的边际生产率下降)0,(LLKKQQ的 范 围 进 行 生 产 。 所 以
50、 ， 只 要K和L是 互 补 的)0,(LKKLQQ，则二阶条件满足，如果K和L是替代的)0,(LKKLQQ，则二阶条件是否满足，取决于直接偏导数和交叉偏导数的相对强度。由于0HJ，并假设一阶和二阶微分连续，则我们可以使用克莱姆法则 来求出所要找的导数：1JrQQJQrQJJBKLLKLLLKL01001当K和L互补时，0/ BK，当K和L可替代时，它的符号不确定。2JQrQJQrQJJBLKKLKLKKK01002当K和L互补时，0/ BL，当K和L可替代时，它的符号不确定。3JQQQQJrQQQQJJBLKKLLLKKLLLKKLKK)(11003BL /的符号不确定。精品资料 - - -