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1、学习必备欢迎下载文博教育学科教师辅导讲义讲义编号学员编号：年级：初三课时数： 3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题二次函数的概念图像和性质教学目标掌握二次函数的概念、图像与性质，并能根据二次函数的图像与性质解决相关问题。教学内容一、中考导航图1. 二次函数的意义;2. 二次函数的图象;3. 二次函数的性质顶点对称轴开口方向增减性顶点式： y=a(x-h)2+k(a 0) 4. 二次函数待定系数法确定函数解析式一般式： y=ax2+bx+c(a 0) 两根式： y=a(x-x1)(x-x2)(a 0) （1）顶点式：kmxay2)(其中对称轴是直线，mx顶点坐标为（ -m，k）（2）交点式（
2、两根式） ：)(21xxxxay其中：21, xx为抛物线与x轴交点的横坐标（一元二次方程02cbxax的两根）5. 二次函数与一元二次方程的关系。6. 抛物线 y=ax2+bx+c 的图象与 a、b、c 之间的关系。二、中考课标要求知识与技能目标 考点 考纲要求了解理解掌握灵活应用理解二次函数的意义 会用描点法画出二次函数的图象 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载二会确定抛物线开口方向、 次顶点坐标和对称轴函通过
3、对实际问题的分析确定二次函数表达式 数理解二次函数与一元二次方程的关系 会根据抛物线y=ax2+bx+c(a 0) 的图象来确定a、 b、c 的符号三、中考知识梳理1. 二次函数的概念及图象定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数 . 图像：在画二次函数y=ax2+bx+c(a 0) 的图象时通常先通过配方配成y=a(x+b2a)2+ 4a24ac-b的形式 , 先确定顶点 (-b2a,4a24ac-b), 然后对称找点列表并画图, 或直接代用顶点公式来求得顶点坐标. 2.理解二次函数的性质二次函数cbxaxy2用配方法可化成：abacabxay4422
4、2的形式，其中对称轴是直线，abx2顶点坐标为（ -ab2，abac442）抛物线的开口方向由a 的符号来确定 , 当 a0 时, 在对称轴左侧y 随 x 的增大而减小 ; 在对称轴的右侧,y 随 x的增大而增大 ; 简记左减右增 , 这时当 x=-b2a时,y最小值=4a24ac-b; 反之当 a0时, 抛物线开口向上; 当 a0 时, 抛物线交y 轴于正半轴 ; 当 c0 时, 抛物线交y 轴于负半轴 ;b 的符号由对称轴来决定 . 当对称轴在y?轴左侧时 ,b 的符号与 a 的符号相同 ; 当对称轴在y 轴右侧时 ,b 的符号与a 的符号相反 ;? 简记左同右异 . 6.会构建二次函数模
5、型解决一类与函数有关的应用性问题,? 应用数形结合思想来解决有关的综合性问题. 7. 求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k) ，对称轴是直线hx. 8. 抛物线cbxaxy2中记忆口诀“顶点在左a,b 同；在右 a,b 异号数； c 的取值看y 轴；口上口下a 正负” . 9. 抛物线与坐标轴的交点（1）与y轴的交点为 (0, c). 令cyx,0（ 2）与x轴的交点：二次函数cbxaxy2的图像与x轴
6、的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根 . 求根公式强化记忆“x=242bbaca”.强调“韦达定理”（根与系数关系）1x+2x=ba1x2x=ca（上海中考已不做要求，基础好点的学员可以拓展学习）并且二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点A,B 间距离 AB=12xx= a抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离 . 10. 抛物线的顶点位置：顶点坐标为），（abacab4422若顶点在x轴上是：abac442=0 精品资料
7、- - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载若顶点在y轴上是：ab211、二次函数图像的平移一般做图像的平移时，使用顶点式)0()(2akhxay，左加右减，上加下减向左平移m个单位则)0()(2akmhxay，向右平移m个单位则)0()(2akmhxay；向上平移n个单位则)0()(2ankhxay，向下平移n个单位则)0()(2ankhxay。二次函数典型例题解析1.关于二次函数的概念例 1 如果函数1)3(232mxxmymm是
8、二次函数，那么m的值为。例 2 抛物线422xxy的开口方向是；对称轴是；顶点为。2.关于二次函数的性质及图象例 3 函数)0(2acbxaxy的图象如图所示，则 a、b、c，cba，cba的符号为，例 4 已知 abc=0 9a3bc=0,则二次函数y=ax2bxc 的图像的顶点可能在（）（A） 第一或第二象限（B）第三或第四象限（C）第一或第四象限（D）第二或第三象限3.确定二次函数的解析式例 5 已知：函数cbxaxy2的图象如图：那么函数解析式为（）（A）322xxy（B）322xxy-1 O X=1 Y X 3 o -1 3 y x 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -
9、 - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（C）322xxy（D）322xxy4.一次函数图像与二次函数图像综合考查例 6 已知一次函数y=ax+c 二次函数 y=ax2+bx+c(a 0), 它们在同一坐标系中的大致图象是( ). 例 7 如图： ABC是边长为 4 的等边三角形， AB在 X轴上，点 C在第一象限， AC与 Y 轴交于点 D，点 A的坐标为（ -1 ，0） （1）求 B 、C 、D三点的坐标；（2）抛物线cbxaxy2经过 B、C、D三点，求它的解析式
10、；642-6510DOCAB5.以二次函数为基架的综合题例 8 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过点（ 1，0） （0，3） ，对称轴 x= -1。求函数解析式；若图象与 x 轴交于 A、B（A 在 B 左）与 y 轴交于 C,顶点 D，求四边形ABCD 的面积。例 9 在直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数2yxbxc的图象与x 轴的负半轴相交于点C（如图），点y86精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载C
11、 的坐标为（ 0，3） ，且 BOCO （1）求这个二次函数的解析式；（2）设这个二次函数的图象的顶点为M，求 AM 的长 . （2007 上海市）（本题满分12 分，每小题满分各6 分）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A ，且过点(3 0)B，（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标基础练习一、选择题 : 1.(2003大连 ) 抛物线 y=(x-2)2+3 的对称轴是 ( ). 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归
12、纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载 A.直线 x=-3 B.直线 x=3 C.直线 x=-2 D.直线 x=2 2.(2004重庆 ) 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图 , 则点 M(b,ca) 在( ). A.第一象限 ; B.第二象限 ; C.第三象限 ; D.第四象限 3.(2004天津 ) 已知二次函数y=ax2+bx+c, 且 a0,则一定有 ( ). A.b2-4ac0 B.b2-4ac=0 C.b2-4ac4,那么 AB的长是 ( ). A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2
13、m 二、填空题 1.(2004河北 ) 若将二次函数y=x2-2x+3 配方为 y=(x-h)2+k 的形式 , 则y=_. 2.(2003新疆 ) 请你写出函数y=(x+1)2与 y=x2+1 具有的一个共同性质_. 3.(2003天津 ) 已知抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴为x=2, 且经过点 (1,4) 和点 (5,0),则该抛物线的解析式为_. 4.(2004武汉 ) 已知二次函数的图象开口向下, 且与 y 轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式 :_. 5.(2003黑龙江 )已知抛物线y=ax2+x+c 与 x 轴交点的横坐标为-1, 则 a+c=_. 6.(
14、2002北京东城 ) 有一个二次函数的图象, 三位学生分别说出了它的一些特点: 甲: 对称轴是直线x=4; 乙 : 与 x 轴两个交点的横坐标都是整数; 丙 : 与 y 轴交点的纵坐标也是整数, 且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式: 三、解答题 1.(2003安徽 ) 已知函数 y=x2+bx-1 的图象经过点 (3,2). (1)求这个函数的解析式; (2)画出它的图象 , 并指出图象的顶点坐标; (3) 当 x0 时, 求使 y2 的 x 取值范围 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名
15、师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2.(2004 济南 ) 已知抛物线y=- 12x2+(6- 2m)x+m-3 与 x 轴有 A、 B两个交点 , 且 A、B两点关于 y 轴对称 . (1)求 m的值 ; (2)写出抛物线解析式及顶点坐标; (3) 根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来. 3.(2004 南昌 ) 在平面直角坐标系中, 给定以下五点A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(-2, 92),E(0,-6),从这五点中选取三点 , 使经过这三点的抛物线满足以
16、平行于y?轴的直线为对称轴.我们约定 :把经过三点A、E、B 的抛物线表示为抛物线AEB(如图所示 ). (1)问符号条件的抛物线还有哪几条?不求解析式 ,? 请用约定的方法一一表示出来; (2)在(1) 中是否存在这样的一条抛物线, 它与余下的两点所确定的直线不相交?如果存在 , 试求出解析式及直线的解析式 ; 如果不存在 , 请说明理由 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载课后提高练习：一、学科内综合题1.(
17、2003 新疆 ) 如图, 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 B、C两点 ,? 与 y 轴交于 A点. (1)根据图象确定a、b、c 的符号 , 并说明理由 ; (2) 如果点 A的坐标为 (0,-3),ABC=45 , ACB=60 ,? 求这个二次函数的解析式. 二、实际应用题2.(2004 河南 )? 某市近年来经济发展速度很快,? 根据统计 :? 该市国内生产总值1990 年为 8.6 亿元人民币 ,1995年为 10.4 亿元人民币 ,2000 年为 12.9 亿元人民币 . 经论证 , 上述数据适合一个二次函数关系, 请你根据这个函数关系, 预测 2005?年该
18、市国内生产总值将达到多少? 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载3.(2003 辽宁 ) 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品, 年初上市后 ,? 公司经历了从亏损到盈利的过程. 下面的二次函数图象 ( 部分 )?刻画了该公司年初以来累积利润s( 万元 ) 与销售时间t( 月 )之间的关系 ( 即前 t 个月的利润总和 s 与 t 之间的关系 ). 根据图象 ( 图) 提供的信息 , 解答下列问题 : (1)由已知图象
19、上的三点坐标, 求累积利润s( 万元 ) 与时间 t( 月) 之间的函数关系式; (2) 求截止到几月末公司累积利润可达到30 万元 ; (3) 求第 8 个月公司所获利润是多少万元? 4.(2003 吉林 ) 如图, 有一座抛物线形拱桥, 在正常水位时水面AB? 的宽为 20m,如果水位上升3m时 , 水面 CD的宽是10m. (1)建立如图所示的直角坐标系, 求此抛物线的解析式; (2) 现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地, 已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地, 当行驶 1 小时时 ,? 忽然接到紧急通知: 前方连降暴雨 ,
20、造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨( 货车接到通知时水位在CD处, 当水位达到桥拱最高点O时, 禁止车辆通行 ), 试问 : 如果货车按原来速度行驶, 能否完全通过此桥?若能 , 请说明理由 ; 若不能 ,? 要使货车安全通过此桥, 速度应超过每小时多少千米 ? 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载三、开放探索题5.(2003 济南 )? 某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时, 发现了两
21、个重要的结论. 一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a 0), 当实数 a 变化时 , 它的顶点都在某条直线上; 二是发现当实数a 变化时 , 若把抛物线y=ax2+2x+3 的顶点的横坐标减少1a, 纵坐标增加1a, 得到 A点的坐标 ; 若把顶点的横坐标增加1a, 纵坐标增加1a,得到 B点的坐标 , 则 A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3 上 . (1)请你协助探求出当实数a 变化时 , 抛物线 y=ax2+2x+3 的顶点所在直线的解析式; (2)问题(1) 中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它来吗?并说明理由 ; (3)在他们第二个发现的启发下, 运用“一般特殊
22、一般”的思想 ,? 你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立 , 请说明理由 . 6.(2004 重庆 ) 如图, 在直角坐标系中, 正方形 ABCD 的边长为a,O 为原点 ,? 点 B在 x 轴的负半轴上, 点 D在 y 轴的正半轴上 .直线 OE的解析式为y=2x, 直线 CF过 x 轴上一点 C(-35a,0) 且与 OE平行 . 现正方形以每秒a10的速度匀速沿 x 轴正方向平行移动,? 设运动时间为t 秒, 正方形被夹在直线OE和 CF间的部分的面积为S. (1)当 0t4 时, 写出 S与 t 的函数关系 ; (2) 当 4t 5 时, 写出
23、 S与 t 的函数关系 , 在这个范围内S有无最大值 ?若有 ,? 请求出最大值; 若没有 , 请说明理由 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -