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1、第53卷第16期2 0 1 7年8月机械工程学报JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERINGVbl53AugNO162 0 1 7DoI：103901JME201716199基于Copula函数的证据理论相关性分析模型及结构可靠性计算方法姜潮1，2张旺1，2韩旭1，2(1湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室长沙410082；2湖南大学机械与运载工程学院长沙410082；摘要：提出一种基于Copula函数的证据理论相关性分析模型及结构可靠性计算方法，可处理证据变量间具有相关性的可靠性分析问题。该方法引入Copula函数描述证据变量间的相关性，将贝叶斯方法拓展至证据理论
2、，利用经验分布公式将证据变量转换为标准均匀变量，计算证据变量样本的权重获得结构输入变量间的最优Copula函数。通过最优Copula函数对证据变量边缘基本可信度分l配(marginalBPA)函数差分获得联合可信度分配(jointBPA)函数，并对每个焦元进行极值分析，计算可靠域内焦元的累积联合BPA值获得结构的可靠性区间。通过三个数值算例验证了本方法的有效性，计算结果表明证据变量间的相关性可能对可靠性计算结果产生较大影响，常用的独立性假设可能对可靠性分析结果造成较大误差。关键词：结构可靠性；证据理论；Copula函数；贝叶斯方法；参数相关性中图分类号：THl22A Copula Functi
3、on Based Evidence Theory Model For Correlation Analysisand C0rresponding Structural Reliability MethodJIANG Chaol，2 ZHANG WangL 2 HAN Xul，2(1State Key Laboratory ofAdvanced Design and Manufacturing for Vehicle Body,Hunan University,Changsha 4 1 0082；2College of Mechanical and Vehicle Engineering，Hun
4、an University,Changsha 4 1 0082；Abstract：A Copula function based evidence theory model for correlation analysis and corresponding structural reliability method isproposed to deal with reliability design problems with dependent evidence variablesThe Copula function is used to describe thecorrelation
5、between evidence variables，and to identify the best copula，a Bayesian method which is usually used in probabilisticproblem is expanded to evidence theory,the empirical distribution is used to convert the evidence variables to standard uniformvariables，and the weight is calculated from the samples to
6、 identify the best copula functionThe joint basic probability assignment(BPA)is gained by making the difference between the marginal BPAs using copula functionThen the reliability interval is gained bycalculating the cumulative BPA of the focal elements in the reliable domainThree examples are inves
7、tigated to verify theeffectiveness of the proposed method，the results show that the correlation between evidence variables may influence the reliabilityresults significantly,and the commonly used independence assumption may lead to big error of the reliability resultKey words：structural reliability；
8、evidence theory；Copula；Bayesian method；parameter correlation0前言随着对产品可靠性、鲁棒性等性能要求的提高以及计算能力的迅速发展，在结构可靠性分析和设20160506收到初稿，20161215收到修改稿计中，人们越来越多地考虑各种不确定性的影响。HELTONm将不确定性分为两类：随机不确定性和认知不确定性。随机不确定性(又称为统计不确定性，客观不确定性)是由于系统固有的不确定性而产生的，通常可用概率模型描述，其前提是需要大量信息或样本。而由于实际情况和成本因素的限制，很多时候缺乏足够的信息或样本来描述系统，则需万方数据200 机械工程
9、学报 第53卷第16期要考虑另一类不确定性，即认知不确定性。处理认知不确定性的常用方法有可能性理论瞄圳，模糊集【5】，凸模型【6。11】，证据理论12-161等。在上述理论中，证据理论是一种较为一般的建模方法【l，它可以灵活处理各类认知不确定性。在不同的条件下，证据理论可以分别等效为经典概率理论，可能性理论，模糊集理论和凸模型理论等。近几年证据理论在结构可靠性分析领域逐渐得到重视，并出现了一系列研究成果。OBERKAMPF等J通过简单的代数函数研究了证据理论在结构可靠性方面的应用，并总结了其优缺点。SOUNDAPPAN等【l驯对决策问题中量化认知不确定性的证据理论和贝叶斯方法进行了比较。MOU
10、RELATOS等u刈发展了一种基于证据理论的高效可靠性优化方法。Dut20J结合证据理论和概率方法，提出了一种能够同时处理随机不确定性和认知不确定性的混合模型。李玲玲等睇u基于证据理论提出了一种能同时处理随机信息和模糊信息的可靠性度量方法。GUO等【2纠构建了一种基于证据理论和区间分析的可靠性优化设计方法，并将其用于压力容器设计。BAI等瞄刮将证据理论运用于结构的动静态线弹性响应分析。JIANG等刮对证据变量进行均匀化处理，提出了一种基于证据理论的高效可靠性分析方法。从上述工作可以看出，以证据理论为基础的结构可靠性分析已经取得了一些进展。然而，现有方法大都假定各证据变量相互独立，其联合基本可信
11、度分配函数(Basic probability assignment，BPA)直接由各边缘BPA相乘得到。而在许多实际问题中，设计变量间具有相关性【2孓26J，变量间的相关性很多时候会对结构可靠性分析结果产生显著影响。从本文算例分析中也将看到，在某些情况下独立性假定将给计算结果带来较大误差。所以，建立一种考虑相关性的证据理论可靠性分析模型对于实际产品或结构的设计是很有必要的。本文基于Copula函数，提出了一种考虑相关性的证据理论模型及结构可靠性分析方法。下文主要包含四个部分：介绍证据理论的基本原理；引入Copula函数，建立一种考虑相关性的证据理论模型；构建基于证据理论相关性模型的可靠性分析
12、方法；最后，本文方法应用于悬臂梁、汽车转向机构和汽车侧碰工况的可靠性分析。1证据理论基本原理证据理论又称为Dempster-Shafer理论【12】，可考虑由于信息不完备造成的不确定性，并用可信度(Belief,Bel)和似真度(Plausibility，P1)来描述该不确定性。证据理论首先需要确定一个包含所有可能命题的识别框架p(Frame ofdiscernment，FD)，其包含若干个互不相容的基本命题，类似于概率理论中随机变量的有限样本空间。令2臼表示识别框架p的幂集，其由p包含的所有可能的不同命题组成。例如，对于一个包含两个基本命题的识别框架p=q，Q，其幂集为2口=，q)，Q)，o
13、l，Q)证据理论利用基本可信度分配来表示对某一命题4的信任程度。BPA为一个满足如下公理的映射m0mfAl1,VA2曰m(g)=0A=Om(4)=l (1)式中，m(A)0的任一子集彳称为焦元，命题A的基本可信度分配m(A)表示证据对命题彳的支持程度。当证据具有不同来源时，需要对证据进行合成。Dempster法则121为最常用证据合成法则，当不同来源的证据具有较大冲突时，需要运用一些修正的法则圳。由于缺乏足够的信息，在证据理论中无法获得命题么成立的精确概率，而需利用一个区间Bel(A)，PI(A)来描述证据对命题A的支持程度。区IN-V#Bel(彳)和区间上界PI(A)分别称为可信度和似真度，
14、其定义如下BeI(A)=m(C) f21Co_AP1(么)=m(C) f31LI IA：fO由式(2)、(3)可知，Bel(A)是所有完全支持A的证据BPA之和，PI(A)是所有完全或者部分支持彳的证据BPA之和。2基于Copula函数的证据理论模型21 Copula函数“Copula”一词最早由SKLAR271提出，它是一种将边缘分布与联合分布连接起来的数学工具，其定义为：Copula函数为标准均匀随机变量的连接函数，即C(ul，一，)=PrU1“l，一，乩甜。 (4)式中，一v(o，1)，i=1，2，n，为标准均匀分布。万方数据2017年8月 姜潮等：基于Copula函数的证据理论相关性分
15、析模型及结构可靠性计算方法 201Copula函数服从Sklar定理【2 7JSklar定理：对于边缘累积分布墨，E，E，存在一个n维Copula函数C满足F(xl，X2，Xn)=c(曩(X1)，五(吻)，E()(5)如果曩，E，C均为连续函数，那么c唯一存在；反之，如果E，最，C为边缘累积分布函数，C为相应的Copula函数，则由式(5)定义的函数F为E，五，E的联合分布函数。对式(5)求导，可得到联合概率密度函数厂(_，X2，Xn)=c(曩(x。)，最()，E(xot)HZ(一) (6)式中，U，=Fi(五)，c(“。，“：，甜。)=皇：裂，Z(Xi)为Xi的边缘概率密度函数。Copula
16、函数中常用Kendall系数作为相关性测度。Kendall相关系数是一种秩相关系数(Rankcorrelation coefficient)。对于随机矢量(x，l，)的两组观测值(xl，Y1)和(吃，儿)，如果(五一而)(YlY2)0，则称(X1，Y1)和(X2，Y2)是一致的；反之，如果(X1一恐)(yIY2)0，则称(X1，Y1)和(X2，Y2)是不一致的。则Kendall系数定义如下【2驯式中，C和d分别为随机矢量(x，y)中一致和不一致的数据对数，为样本容量。Copula函数与Kednall系数f服从以下关系29r=4 JJ c(叩1 叩1秒)一1f81u-，_lJ-120)dC(式中
17、，“，v为0，1】均匀变量，C为对应的Copula函数，0为Copula函数中的相关性参数。如果各变量独立，Copula函数退化为各变量相乘vC兀=c(“。，“：，“)=兀“， (9)fCopula函数的种类很多，目前应用较多的有Elliptical Copula和Archimedean Copula。表1列出了本文中用到的Copula函数，其中Clayton，AMH，Gumbel，Frank，A12，A14为Archimedean Copula，Gaussian Copula为Elliptical Copula，Ind为独立Copula。Gaussian Copula很容易与常用的联合正态分
18、布建立联系(U1“：，10)=哆(痧。1(“。)，函。1(2)，函。1(甜。)I刚 (10)式中，吩=多(薯)，为标准正态分布，0为相关系数矩阵。联合正态分布在传统可靠性分析领域具有广泛应用，文献30指出，在处理变量间具有相关性的可靠性计算时常用的Nataf变换，可以等效为Gaussian Copula函数。表1 几类常用Copula函数及其参数范围Archimedean Copula是另一类应用广泛的Copula，因为其构造简单，能够描述的相关性范围广，目前大部分Copula应用领域的文献都基于Archimedean Copula。目前大多Copula的应用只考虑成对数据，其主要原因是多数C
19、opula函数其多维模型在实际应用中有诸多限制【j卜J。所以在本文中，对于多变量问题，如果有多个变量相关，仅考虑各二元数据分别相关的情况，然后用独立Copula函数式(9)将各二元Copula函数进行连接。22贝叶斯方法如何确定最优Copula函数一直是该领域研究的重点。目前最常用的是基于极大似然估计的拟合优度检验方法【341及AIC、BIC信息准则【3孓37J，然而该类方法依赖于参数估计，如果由于样本等实际情况的限制，参数估计不准确，可能导致错误的结果。另一种不依赖于参数估计的方法是贝叶斯方法(Bayesian method)，该方法最先由HUARD等p驯提出，NOH等L39J通过数据对比分
20、析了贝叶斯方法相对于GOF方法的优点，并利用其解决可靠性优化设计问题【4 u|，AUSIN等【4u运用贝叶斯方法构建了时变Copula模型。在上述文献中贝叶斯方法均是针对型蝶=焉=万方数据202 机械工程学报 第53卷第16期概率问题，本文将其拓展至证据理论问题，提出一种针对证据变量的最优Copula函数选择方法。对于已经获得的样本数据D，令假设风表示数据D来自Copula函数G(k=1，2，a，O为备选的Copula函数的数目)，贝叶斯方法计算每个假设成立的概率Pr(以M=坐髻并型)式中，Pr(DI峨，)为似然函数，Pr(Hk l，)为假设成立的先验概率，Pr(D l，)为带有先验信息，的归
21、一化常数。似然函数表示在假设风下数据D取自第k个Copula函数G的概率Pr(O巩，)=兀Ck(Ui,u慨1(f) (12)i=1式中，Ct(材，Vi l爵1(f)为第k个Copula函数的概率密度函数。 爵1(f)为第k个Copula函数中的参数0，f为Kendall相关系数，0与r的关系f=g(O)可由式(8)确定。将Pr(Hk I，)用全概率公式展开有Pr(Hk l，)=Pr(也I r，I)Pr(rII) (13)将式(12)、(13)代入式(11)，并对f积分有Pr(I D，)=f Pr(域，fI D，)=_11fPr(DHk,r,I)Pr(Hkr,I)Pr(r)dr(14)J一1 P
22、r(D111 、7D式中，分母Pr(DII)=Pr(Dl峨，I)Pr(Hk 1)为i=1常数，在计算权重时可略去该项。为计算先验概率Pr(巩lf，)和Pr(rI，)，需要用到先验信息，。先验信息表示在做假设检验之前对于相关参数f及各假设的已知信息(分别用厶和，表示)。其中，11：Kendall相关系数fA，并且等可能地取到集合以中的每个f；12：对于给定的参数f，取得所有满足fq的Copula函数的可能性相等。其中q是第k个Copula函数对应的f的范围。集合以给定了参数f的先验信息，例如，如果知道变量间具有正的相关性，则可以设定A=【o，1，如果事先并不知道变量问的相关性信息，则可令A=-1
23、，1I。运用先验信息厶，可以给定关于参数f的先验概率f上fAPr(rlIi)=2(A) (15)0 f仨刀式中，旯()为勒贝格测度(Levesque measure)，这里表示区间1的长度。由先验信息厶可知，取得集合力中的每种Copula函数的可能性相等，故关于Copula函数的先验信息可表述为f1 fQP(也M)2佰f仨五(16)先验信息表明在选择参数z-时没有关于变量间的相关性信息，先验信息厶表明在选择Copula函数时事先没有偏好。如果有进一步信息，可以用特定的先验分布来代替式(15)、(16)。将式(15)、(16)代入(14)，并略去常数项，得到各Copula函数的权重2南以珥ck(
24、恤M)曲(17)可求得各Copula函数的归一化权重耽：里 “形 (18)F讲 lo，权重越大，拟合程度越好。最终选定权重最大的Copula函数为最优Copula。上述分析方法中，U和y均服从0，1】均匀分布，在概率方法中，通常用边缘分布将原样本数据转换为0，1均匀分布。在证据理论中，可运用经验分布将各证据变量以(k=l，2，d)的样本通过经验分布公式转换为I o，1 l上的均匀变量，女=兰，fl，一，2)=“啦，k1，一，d)(19)式中，n为样本容量，d为变量数目，Rt为样本的秩(把某变量故的样本xIX2，矗，t由d,N大排序，不大于。的样本数目称为蕾。秩)。将各证据变量转换为0，1】均匀
25、分布变量后，即可运用贝叶斯方法确定变量间的最优Copula函数。相较于笔者之前工作中的AIC方法p引，贝叶斯方法降低了对样本量的要求，更适用于处理非概率问题。23具有相关性的证据变量联合BPA构建首先考虑传统证据变量BPA构建方法，以二维情况为例。给定两个证据变量墨和五，考虑其边缘区间X1，xlz】和【xz，xzz J对应的焦元巩，如图1所示，(X1 1X22) “(1l_X2I) h万方数据2017年8月 姜潮等：基于Copula函数的证据理论相关性分析模型及结构可靠性计算方法 203其边缘BPA分别为m。和m2，而区间端点x11，薯2，x21，X22对应的累积BPA分别为mal，m12，m
26、21，m22。传统方法大都假定各证据变量是独立的，则焦元以对应的联合BPA为m(dk)=m2 (20)或写为m(dk)2m12m22一m11m22一m12m21+malm21(21)式(20)可用独立Copula函数式(9)改写为m(dk)=C兀(m12，m22)一q(mtrt22)一Cn(m12，m21)+Cn(mm21) (22)可知传统的BPA构建方法实际上是运用了Copula函数的一种特殊形式，即独立Copula。考虑证据变量具有相关性的一般情况，对于上述二维问题，焦元以对应的联合BPA可表述为m(dk)=C(m12，m22 l臼)一C(m11，m22 I护)一C(m12，m21 0)
27、+C(mm21 0) (23)式中，目为Copula函数中的相关性参数。对于一个包含n个边缘区间【X1。，葺：，Xn，：的以维焦元，其边缘累积BPA分别为mm12，m小m。2，类似地，其联合BPA可通过式(24)获得m。(以)=智一A12C(v) (24)式中，V为差分指数。且mj2C(v)=c(u，vjl，mj2,_+1，一，)一c【u，vs-1，mjl,+l，Vn) (25)例如，对于一三维问题，焦元d。对应的联合BPA为m3(dk)=一m1112一Am2212一Am3312一-*、Vl，V2，v3)=c(2，m22，m32)一C(m12，m22，m31)一c(M2，m2l，m32)一C(
28、mm21，m32)+C(m12，m2l，m31)+C(mm22，m31)+C(mm21，m32)一C(mm21，m31) (26)3结构可靠性分析基于上述考虑相关性的证据理论模型，参照笔者之前工作中基于证据理论的可靠分析方法，本文建立了相应的结构可靠性分析方法。考虑一个含n维证据矢量x的不确定性结构，其可靠域G可定义如下Gg：g(xl，一，)0 (27)式中，g为功能函数。可定义一个n维识别框架如下D=五五五=dk 2Ixli。，嘞，Xn岛j，一墨，五(28)式中，I X1，X2赴，岛l构成焦元dk。证据变量联合BPA可由式(24)计算。根据联合BPA和可靠域G，结构安全的可信度Bel和似真度
29、Pl可以通过式(2)、(3)计算Bel(G)=m(D) DcFPl(G)=m(D) f3D1fo理论上， 真实的结构可靠度最=Pg(xl，)go应属于如下区间BeI(G)最PI(G)(31)为计算上述两个可靠性测度Bel和Pl需要判断DG(焦元D完全位于可靠域内)或Dn G(焦元D完全或部分位于可靠域内)1 91。为此需要计算极限状态方程在每个焦元以上的极值grain,g一】2 Lmi唧ng(X)，m碱axg(、X)J (32)对于焦元以，如果g曲一go和g一一go均为正，则DG，焦元以的BPA同时计入BeI(G)和Pl(G)中； 如果g耐。一踟和g一一go均为负， 则DnG=a，焦元以的BP
30、A既不计入BeI(G)也不计入PI(G)中；如果g。i。一90为负但g一一岛为正，则D n F，焦元以的BPA计入Pl(G)但不计入Bel(G)中。为减小计算量，在搜索每个焦元上的极值点时，本文采用极点法。综上所述，本文构建的证据理论可靠性分析流程如下。(1)确定不确定变量X的样本值和边缘BPA，以及可靠域G。(2)将样本值转化为【o，1J均匀变量，并计算其Kendall相关系数。(3)运用贝叶斯方法计算各备选Copula函数的权重，选出最优Copula函数。(4)利用式(24)构建联合BPA。(5)对每个焦元进行极值分析，最终获得结构可靠性区间Bel(G)，P1(G)。万方数据204 机械工
31、程学报 第53卷第16期4算例分析与应用41算例一如图2所示悬臂梁【8J，长度为，横截面宽度为为b，高度为h，悬臂梁顶端受作用力只和0。截面尺寸b=100 rnnl，h=200 n瑚。选择悬臂梁材料的许用应力S与悬臂梁固定端处最大应力的差作为极限状态方程州一鬻一警 ，式中，S=210 MPa。外力e和只为证据变量，其样本值和边缘BPA分别列于表2和表3。虱2悬臂梁口由表2中样本，首先通过经验分布函数(19)将样本值转换为lo，1l上的均匀分布，并运用贝叶斯方法计算各Copula函数权重。由表4，Gumbel Copula函数权重值最大，故选择Gumbel Copula为最优Copula。同样利
32、用样本数据可以计算出e和只的Kendall相关系数f=0685，由式(8)可以计算出Gumbel Copula中的参数0=3175可确定描述该样本的最佳Copula模型为c(“，v)：expf一(一In甜)3175+(-Inv)3175)3175 1(34) 、 利用上述Copula模型以及各变量的边缘BPA，由式(24)可以计算出联合BPA，由式(29)、(30)得到其可靠性区间为Bel，P1_0687，0773。由于认知不确定性的存在，可靠性分析结果为一个区间，其真实的结构可靠度位于该区间内。为分析相关性对计算结果的影响，改变只与只之间的相关性，计算结果如图3所示。由图3可知，e和0之间的
33、相关系数对可靠性结果存在较大的影响。随着相关系数增大，可靠性区间下界和上界值均减小，当相关系数从0变为09时，可靠性区间由0768，0910变为0680，0724，Bel和P1分别减小了115和204，且区间长度缩短了690。可见，对于该问题，证据变量间具有相关性时，如果仍然假设各证据变量独立，计算结果将产生较大误差。表2只，0样本值样本编号 (只，尸v) 样本编号 (只，R)1 (40 664，10 076) 26 (50 182，22 133)2 (42 688，14 763) 27 (50 522，24 042)3(42 712，11 286) 28 (50 575，21 120)4(4
34、2 835，10 294) 29 (50 810，17 164)5 (43 573，12 615) 30 (50 856，21 088)6 (44 669，17 387) 3I (51 524，24 652)7 (45 004，12 096) 32 (51 750，19 178)8 (45 067，13 936) 33 (51 988，23 767)9 (45 303，17 840) 34 (52 023，28 124)10(45 569，11 290) 35 (52 465，26 023)11 (46 261，15 751) 36 (53 285，24 342)12(46 285，11 25
35、5) 37 (53 442，30 851)13 (46 302，20 220) 38 (53 836，22 377)14(46 403，13 945) 39 (54 203，22 460)15 (46 611，11 778) 40 (54 319，29 548)16 (46 816，20 577) 41(54 549，32 211)17(46 877，12 437) 42 (55 455，30 924)18 (47 375，23 060) 43 (56 352，29 347)19(48 131，23 983) 44 (57 374，33 134)20(48 332，22 081) 45(57
36、430，30 640)21(48 456，25 334) 46(57 462，33 094)22(48 847，12 437) 47(57 629，33 631)23(48 93l，21 487) 48(57 803，33 703)24(49 131，31 850) 49(59 710，34 812)25 (49 327，11 216) 50(59 987，34 993)表3只，巴边缘BPA只范围 BPA 尸y范围 BPA40 000，45 000012 【10 000，15 00001645 000，50 000 020 15 000，20 000 00650 000，55 000 O40
37、20 000，25 000 026【55 000，60 000028 【25 000，30 000】01230 000，35 0000】 O4042算例二侧倾转向特性是影响汽车操纵稳定性的重要因素之一。转向系统可以简化为如图4所示的三段式梯形机构14引。其中点爿为转向摇臂AB与转向器的连接点，点E为主销与转向节臂DE的连接点。三点么、B和C固定在车身，点D和E在车轮上。当汽车转弯时，车身将因受到一侧向加速度的作用而绕其侧倾轴线转过一个角度口。其使得位于车身上的点C随之绕着其所在平面的侧倾中心D7转过一个相同角度口，从而通过杆CD牵动转向节臂DE使其绕主销中心E转过一个角度Arl，即车轮附加偏转
38、角为Arl。左右车轮附加偏转角的均值便是轴偏角。若车轮轴偏角方向与汽车转弯方向一致，即为过多转向；反之，便是不足转向趋势。万方数据2017年8月 姜潮等：基于Copula函数的证据理论相关性分析模型及结构可靠性计算方法 2051 000 90O 85孙80趟措0 75o 70O 65 0 o 2 04 06 0 8 l 0相关性参数f图3可靠性结果与相关性该处考虑在低侧倾中心(点07低于点Cr)情况下，车身侧倾角口与左、右轮偏转角之间的关系，其计算模型建立如下 千刁：孤。in!二竺三二二粤、一刁。35，l jr=(如一鼍)2+(一)205刁文鼎M=(Xcj，D)2+(一)2+(zcz二)2N=
39、(ZcZo圪a)J=XcXEK=一干SaR：竺：堑二! f36、式中，正负号，上部符号对应于左轮，而下部符号对应于右轮。Z、鬈、Zi，i=C，D，E分别为点C、D、E在三个坐标轴方向的坐标值，且在计算中均取正值。S为侧倾中心0与点C在z方向的距离，该处取S=1374 Illln。77是转向节臂与坐标轴z之间的夹角。r为转向节臂在坐标平面XY上的投影。点A、B、E的坐标(n1111)分别为(406，一239，508)、(305，一239，476)署H(2，一770，436)。考虑点C和D的坐标值为不确定参数，其样本值列于表5，C和D的坐标变量的边缘BPA列于表6。汽车轴偏角即为左右轮偏转角的均值
40、。考虑操纵稳定性，行驶时汽车轴偏角必须控制在一定范围内，可建立如下极限状态方程g：纨一一垫兰堡坐 (37)92。一=2 LjJZ在汽车转向过程中，由于转向机构本身的特性以及路况的影响，各点坐标值可能是相关的。通过样本值计算各坐标间的相关系数，可知点C和D对应的坐标值是两两相关的，其他任意两个不确定性参数之间相互独立。计算各Copula函数权重，可以确定各变量对应的最优Copula函数均为ClaytonCopula，且可计算其相关性参数0分别为2138，1510，1480。该问题最优Copula模型为c(，“2，“3，U4，U5,U6)=(“1-2138+“4-21381)-2”甚k_15lo+
41、“E一510一1roU3 1480+甜6乩4801)乩480 (38)利用上述相关性模型，可计算本问题的可靠性区间为0579，O990】。为了便于分析相关性对计算结果的影响，假定三对变量间的相关性相同，并且改变相关性参数，得到计算结果如图5所示。由图可知随着坐标间相关性的增加，转向机构趋于安全。当坐标间的相关性很大时(f=09)，和独立的情况相比，Bel和P1分别变化了226和23，且区间长度缩短了220。可见对于此机构，相关性的影响不可忽略。图4三段式梯形转向机构相关性参数f图5 可靠性结果与相关系数的关系(算例2)万方数据206 机械工程学报 第53卷第16期表5点c和D坐标样本值 mm序
42、号 (Xc，Yc，Zc) (XD，场，ZD) 序号 (Xc，Yc，Zc) (xo，yD，ZD)l (230773，一45135，491445) (147884，一794714，438404) 26 (221，204，一451596，477872)(143551，一802531，431221)2(215782，一45155，480527) (143793，一797649，430333) 27(216358，一45153，474277) (145928，-804417，428939)3 (21663,-447261，491368) (140 31，一795707，442876) 28 (22968
43、1，一45872，475621) (144847，一808172，432008)4(231299，一461695，479229) (146048，一806462，43135) 29 (227837,-449509，483922)(149014，一797781,438162)5 (229842，-450655，490423)(14947，一?9671 7,446988) 30 (219873，_461696，481775)046104，一806505，437116)6 (215991，一461209，488506) (132565，一802052，44298) 31 (231043，一46091
44、1，479038)(145943，一79542，431208)7(231367,-460094，488345) (147394，一798266，440613) 32(230981,-447086，48842)(149586，一791778，447698)8 (213635,-465275，479963)(140011，一809 326，434132) 33(223739,-463633，488474) (140013，一809，3，440408)9(221513,-449259，488532) (146863，一799827，444867) 34 (213766,-449416，488222)
45、 (1368,-8041 15，443388)10(22892,-459372，491792)(148101，一797353，437 472) 35 (22845,-455368，473008)(147989，803392,429621)1 1 (212697,-449143，489013)(131805，一791244，441892) 36(230383，一461308，478976)048703，一803554，440716)12(230874,-450903，481078) (145161，一805601，439025) 37(231037,-464497，489131)(149961，
46、一808385，444946)13(231166,-465521，489403) (146729，一809518,440004) 38(228201，一447342,489335) (141391，一801116，441817)14(223925，447903，479902) (145606，一806348，435229) 39 (22325,-459861，490884)046427，一807307，440373)15(217705，一457433，485507) (142276，一803748，447765) 40(212147,-457215，487389)(130376，一795344
47、，444946)16(228092,-456302，489585)(147406，一800，855，442703) 41 (231701，一4612,477831)(147181，一807 96，439123)17(231254，一447754，487407)047，944，一801715，443451) 42(227307，一45 I1 88，489725)042807，一806527，433392)18(228356，一45418,490081) (146492,-80251，442823) 43 (220519,-45536，488184) (149075，一800012，434362)19 (21337,-447323，477016) (133653，一803143，429539) 44 (227919,-461949，491385) (149694，一808184，444763)20(231922，一460 375，478016)(146135，一804925，430121) 45(230913，-466743,486595) (149547，一809833,437453)2l (21939,-449146，489643) (140736，一799963，441291) 46(224