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1、精选优质文档-倾情为你奉上第一章 绪 论1.1 引言转子多为动力机械和工作机械中的主要旋转部件。典型的转子有透平机械转子、电机转子、各种泵的转子和透平压缩机的转子等。转子在某些特定的转速下转动时会发生很大的变形并引起共振，引起共振时的转速称为转子的临界转速。在工程上，工作转速低于第一阶临界转速的转子称为刚性转子，大于第一阶临界转速的转子称为柔性转子。由于转子作高速旋转运动，所以需要平衡。静平衡主要用于平衡盘形转子的惯性力。刚性转子的动平衡可以通过通用平衡机来平衡惯性力和惯性力偶，消除转子在弹性支承上的振动。柔性转子的动平衡比较复杂，从原理上区分，有振型平衡法和影响系数法两类。旋转部件被广泛地应
2、用于燃气轮机、航空发动机、压缩机及各种电动机等机械装置中。在电力、航空、机械、化工、纺织等国民经济领域中起着非常重要的作用。随着现代化工业的发展，各种旋转机械向高速、细长、高效的方向发展，同时却要求噪声及振动更小、寿命更长、工作更可靠。这就给设计者们提出了越来越严峻的要求。由于转子的振动，造成了工程上很多不必要的损失。所以对其动力学特性的研究也形成了一门专门的学科转子动力学。转子动力学在国内外都是一门非常活跃的学科, 每年都有大量的文章发表。转子动力学是研究所有与旋转机械转子及其部件和结构有关的动力学特性, 包括动态响应、振动、强度、疲劳、稳定性、可靠性、状态监测、故障诊断和控制的学科。这门学
3、科研究的主要范围包括: 转子系统的动力学建模与分析计算方法；转子系统的临界转速、振型与不平衡响应；支承转子的各类轴承的动力学特性；转子系统的稳定性分析； 转子平衡技术；转子系统的故障机理、动态特性、监测方法和诊断技术；密封动力学；转子系统的非线性振动、分叉与混沌；转子系统的电磁激励与机电耦联振动；转子系统动态响应测试与分析技术；转子系统振动与稳定性控制技术；转子系统的线性与非线性设计技术与方法。转子动力学研究的目的和任务是为旋转机械转子的优化设计、提高效率、保证安全、减少故障和延长寿命提供理论和技术上的支持与保障。1.2 转子动力学发展现状及趋势转子动力学是一门既有理论深度, 又有很强的实践性
4、的应用基础学科, 它的形成与发展伴随着大工业的发展和科技进步, 已走过了一个多世纪的路程。第一篇有记载的有关转子动力学的文章是1869年Rankine发表的题为“论旋转轴的离心力”一文1，这篇文章得出的转轴只能在一阶临界转速以下稳定运转的结论使转子的转速一直限制在一阶临界以下。最简单的转子模型是由一根两端刚支的无质量的轴和在其中部的圆盘组成的, 这一今天仍在使用的被称做Jeffcott 转子的模型最早是由Foppl在1895年提出的2, 之所以被称做“Jeffcott”。转子是由于Jeffcott 教授在1919年首先解释了这一模型的转子动力学特性3。他指出在超临界运行时, 转子会产生自动定心
5、现象, 因而可以稳定工作。这一结论使得旋转机械的功率和使用范围大大提高了, 许多工作转速超过临界的涡轮机、压缩机和泵等对工业革命起了很大的作用。但是随之而来的一系列事故使人们发现转子在超临界运行达到某一转速时会出现强烈的自激振动并造成失稳。这种不稳定现象首先被Newkirk 发现是油膜轴承造成的4, 从而确定了稳定性在转子动力学分析中的重要地位。有关油膜轴承稳定性的两篇重要的总结是由Newkirk 和Lund 写出的5-6，他们两人也是转子动力学研究的里程碑人物。当发电机组的单机容量从几万千瓦发展到了上百万千瓦, 飞机开始进入喷气发动机时代。旋转机械的转子越来越柔、功率越来越大、转速越来越高,
6、 甚至达到了三、四阶临界以上, 这为转子动力学的研究提出了一系列的研究课题, 也有力地促进了转子动力学的发展。 五十年代以来，航空工业、电力工业、船舶工业、石油化工等部门的迅速发展，又从根本上推动了转子动力学的发展。研究高速转子的“稳定性”，防止产生失稳运动在现代转子动力学中占有重要位置。大型汽轮发电机组或航空发动机在运转时，它们的基础也可能发生振动，基础的弹性变形和内阻对转轴的临界转速、稳定性等都有不能忽视的影响。把基础和转子系统作为一个整体来研究其振动特性越来越受重视，因而在现代转子动力学中日益将基础轴承转子作为一个整体来考虑其振动问题。现代化工业的发展，给转子支承系统的设计提出了更严峻的
7、要求，从而进一步推动了现代转子动力学的发展，促使有关方面的科技人员去研究以下几个方面的问题:转子支承系统的临界转速计算;转子不平衡的稳态响应预计;转子支承系统的稳定性:残余不平衡量与柔性转子平衡技术:瞬态响应分析以及研究有裂纹的转子动力学特性等7。随着转子动力学研究的不断深入，计算方法和计算手段开始成为束缚其发展主要矛盾，由于解析法只适用于一些特殊的力学模型，而工程实际中的转子系统通常结构复杂，响应的动力学方程无法求得精确的解析解，很多学者开始致力于这方面的研究，于是各种近似方法相继提出。当今转子动力学研究以传递矩阵法和有限元法为主，而且随着计算机软件的发展，Matlab、Ansys等工程软件
8、应用于转子动力学，更进一步促进了转子动力学的发展。对简单离散转子系统的分析大多是基于理论力学的分析方法,而对复杂转子系统则多用传递矩阵法和有限元法。传递矩阵法在50年代中期被应用于转子系统的分析和临界转速计算,并且直到现在仍然是转子动力学的主要分析手段之一。这一方法的特点是: 矩阵的阶数不随系统的自由度数增大而增加,因而编程简单、内存用量小、运算速度快,特别适用于像转子这样的链式系统。其不足是在考虑支承系统等转子周围结构时分析较困难。有限元法的表达式简单、规范, 特别适用于转子和周围结构组成的复杂结构的分析,但系统复杂时会导致自由度数特别大,耗费计算机时。随着计算方法的改进和发展以及计算机速度
9、的快速提高,先后出现了如Riccati传递矩阵法、传递矩阵阻抗耦合法、传递矩阵分振型综合法及传递矩阵直接积分法等专门针对转子系统而建立的分析方法8, 也开发了许多基于有限元的商业软件,如ANSYS等分析工具。目前看来对线性转子系统的建模和分析方法已比较成熟,基于这种方法计算出的临界转速已比较接近实测结果。但近来由于非线性转子动力学的发展、特殊材料制成的转子系统的不断出现以及特种转子的需求对转子系统的非线性分析问题和对如微型旋转机械的动态特性分析已受到了国内外学者的关注，此外超低频旋转机械的动态特性分析也是当前需要解决的问题。以往的转子动力学建模和分析主要是针对地面旋转机械的, 并假设基础(支承
10、)的刚性足够大且是固定不动的,但对如航空发动机等机动运动的转子系统和对一些支承刚度较小的转子系统这种假设显然是不太合理的,如对机动飞行中的航空发动机转子系统的建模和分析还应计入空间运动的影响。此类问题虽然研究的难度大,但由于对国民经济发展具有较大的促进应用, 应成为今后研究的重点。随着电力、航空、石化等工业的快速发展，旋转机械向着高转、重载、轻型化和自动化方向发展，这对转子动力学发展提出了更高的任务，如旋转机械的转子动力学优化设计，转子轴承系统振动的主动控制，转子轴承系统振性、不平衡相应、瞬态响应，非线性转子动力学，对转子系统的临界转速分析计算等都已经成为了转子动力学研究的重要课题。1.3 转
11、子动力学的主要研究内容转子动力学的研究内容主要有以下几个方面：1.3.1 转子稳定性 转子保持无横向振动的正常运转状态的性能。若转子在运动状态下受微扰后能恢复原态，则这一运转状态是稳定的；否则是不稳定的。转子的不稳定通常是指不存在或不考虑周期性干扰下，转子受到微扰后产生强烈横向振动的情况。转子稳定性问题的主要研究对象是油膜轴承。油膜对轴颈的作用力是导致轴颈乃至转子失稳的因素。该作用力可用流体力学的公式求出，也可通过实验得出。一般是通过线性化方法，将作用力表示为轴颈径向位移和径向速度的线性函数，从而求出转子开始进入不稳定状态的转速门限转速。导致失稳的还有材料的内摩擦和干摩擦，转子的弯曲刚度或质量
12、分布在二正交方向不同，转子与内部流体或与外界流体的相互作用，等等。转子运动从绝对稳定到发散失稳一般要经过以下几个过程：（1）绝对稳定阶段。此阶段转子运动一般属于线性振动范畴，运动形式是周期振动；（2）相对稳定阶段。线性振动失稳的转子随着振动幅值加大而受到强非线性力作用，此时转子在大振动幅值运动中保持稳定运转；（3）发散失稳阶段。转子振动幅值随时间推移持续加大，最终必将造成转子系统的破坏。转子在这个从稳定到发散的过程中，其运动状态、形式同样丰富多彩。在绝对稳定阶段，转子振动响应往往是线性系统的强迫振动；在相对稳定阶段，转子动力系统往往是非线性的，此时常见运动形式可能包括非线性系统的全部运动类型：
13、周期运动、概周期运动和混沌运动等等。1.3.2 临界转速由于制造中的误差，转子各微段的质心一般对回转轴线有微小偏离。转子旋转时，由上述偏离造成的离心力会使转子产生横向振动。这种振动在某些转速上显得异常强烈，这些转速称为临界转速。为确保机器在工作转速范围内不致发生共振，临界转速应适当偏离工作转速例如10以上。临界转速同转子的弹性和质量分布等因素有关。对于具有有限个集中质量的离散转动系统，临界转速的数目等于集中质量的个数；对于质量连续分布的弹性转动系统，临界转速有无穷多个。计算大型转子支承系统临界转速最常用的数值方法为传递矩阵法。其要点是：先把转子分成若干段，每段左右端4个截面参数之间的关系可用该
14、段的传递矩阵描述。如此递推，可得系统左右两端面的截面参数间的总传递矩阵。再由边界条件和固有振动时有非零解的条件，籍试凑法求得各阶临界转速，并随后求得相应的振型。1.3.3 通过临界转速的状态一般转子都是变速通过临界转速的，故通过临界转速的状态为不平稳状态。它主要在两个方面不同于固定在临界转速上旋转时的平稳状态：一是振幅的极大值比平稳状态的小，且转速变得愈快，振幅的极大值愈小；二是振幅的极大值不像平稳状态那样发生在临界转速上。在不平稳状态下，转子上作用着变频干扰力，给分析带来困难。求解这类问题须用数值计算或非线性振动理论中的渐近方法或用级数展开法。1.3.4 动力响应在转子的设计和运行中，常需知
15、道在工作转速范围内，不平衡和其他激发因素引起的振动有多大，并把它作为转子工作状态优劣的一种度量。计算这个问题多采用从临界转速算法引伸出来的算法。1.3.5 动平衡 确定转子转动时转子的质心、中心主惯性轴对旋转轴线的偏离值产生的离心力和离心力偶的位置和大小并加以消除的操作。在进行刚性转子（转速远低于临界转速的转子）动平衡时，各微段的不平衡量引起的离心惯性力系可简化到任选的两个截面上去，在这两个面上作相应的校正（去重或配重）即可完成动平衡。为找到两截面上不平衡量的方位和大小可使用动平衡机。在进行挠性转子（超临界转速工作的转子）动平衡时，主要用振型法和影响系数法。 第二章 有限元技术的发展及Ansy
16、s简介2.1 有限元技术的发展历史及现状对于许多工程问题，不可能获得解析的数学解。以前，为了得到解析解，人们不得不做多到难以承受的假设和简化，以至于所得结果只能适用于最简单的情况。现在，对于材料性质和边界条件复杂的问题，工程师可以依靠数值方法给出近似的，较令人满意的答案。有限元就是这样一种数值方法。有限单元法最初是在二十世纪五十年代作为处理固体力学问题的方法出现的，在19451955这十年间发展起来的结构分析矩阵（位移）法可以说是它的雏形。“有限单元法”这一名称是克拉夫（Clough）在1960年首先引用的，第一个成功的尝试是对于飞机结构的分析。1956年Turner、Clough把刚架位移法
17、（直接刚度法）应用到弹性力学平面应力问题中去，他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元” 。与矩阵法相同，每一单元的特性用单元刚度矩阵来表示；所不同的是，矩阵法分析中每一结构构件的力与位移之间的关系是精确推导出来的，而有限单元法的解则是利用每一单元中近似的位移函数。因此，有限单元法是一种近似的数值方法。初期的有限（单）元法是建立在虚功原理的基础上。19631964年Besseling、Melosh和Jones等人证明了有限元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，确认了有限元法是处理连续介质问题的一种普遍方法，扩大了有限元法的应用范围。 从20世纪60年代后期开始，进一步利用加权余
18、量法，主要是伽辽(Galerkin)法，来确定单元特性和建立有限元求解方程，使之应用于已知问题的微分方程和边界条件、但变分的泛函尚未找到或者根本不存在的情况，进一步扩大了有限元法的应用领域。1967年首次出版有限元专著结构与连续力学的有限元法，由Zienkiewicz与 Y.K.Cheung(张佑启)合作。当时关于有限元法的研究论几乎按指数规律增加，公开发表近8000篇，内部报告就更多。该书成为名著后，更名为有限元法，国内出版过第三版的中译本，1990年出版过第四版。 Zienkiewicz认为，难以确定有限元法的起源及发明它的准确时间。把复杂结构的计算问题转化为简单单元的分析和集合问题，许多
19、经典的数学近似方法以及工程中所用的各直接近似方法都属于这一范畴。有限单元这术语的出现，意味着直接应用可用于离散系统的标准研究方法。在概念上，使我们对方法的理解得到改善；在计算上，可对各种问题应用统一的方法，并研制出标准的计算程序。 四十年来，有限单元法蓬勃发展，不仅已经成为结构分析中必不可少的工具，而且成为现象分析的一种手段。其应用已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题。分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料等，从固体力学扩展到流体力学、渗流与固结理论、热传导与热应力问题、磁场问题以及建筑声学与噪音问题。不仅涉及稳态场问
20、题，还涵盖材料非线性、几何非线性、时间维问题和断裂力学等。已出现多种新单元（先后有等参元、高次元、不协调元、拟协调元、杂交元、样条元、边界元、罚单元，还有半解析的有限条等不同单元）和求解方法（如半带宽与变带宽消去法、超矩阵法、波前法、子结构法、子空间迭代法等） 。能解决各种复杂耦合问题的软件和软件系统不断涌现。对网格自动剖分和网格自适应过程的研究，大大加强了有限元法的解题能力，使有限单元法逐渐趋于成熟。有限元法作为一种离散化的数值解法，也已成为应用数学的一个新的分支。 随着有限元理论的发展及计算机软硬件技术的发展，有限元法已经可用于求解结构力学、热传导、电磁场、流体力学、声学等很多问题，广泛应
21、用于核工业、铁道、石油化工、航空航天、机械制造、能源、汽车交通、军工、电子、土木工程、造船、生物医学等一般工业及科学研究的模拟分析。2.2 ANSYS简介ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。由世界上最大的有限元分析软件公司之一的美国ANSYS开发，它能与多数CAD软件接口，实现数据的共享和交换，如Pro/Engineer, NASTRAN, Alogor, IDEAS, AutoCAD等，是现代产品设计中的高级CAD工具之一。ANSYS有限元软件包是一个多用途的有限元法计算机设计程序，可以用来求解结构、流体、电力、电磁场及碰撞等问题。因此它可应用于
22、以下工业领域：航空航天、汽车工业、生物医学、桥梁、建筑、电子产品、重型机械、微机电系统、运动器械等。2.3 ANSYS软件提供的分析类型如下：2.3.1 结构静力分析用来求解外载荷引起的位移、应力和力。静力分析很适合求解惯性和阻尼对结构的影响并不显著的问题。ANSYS程序中的静力分析不仅可以进行线性分析，而且也可以进行非线性分析，如塑性、蠕变、膨胀、大变形、大应变及接触分析。2.3.2 结构动力学分析结构动力学分析用来求解随时间变化的载荷对结构或部件的影响。与静力分析不同，动力分析要考虑随时间变化的力载荷以及它对阻尼和惯性的影响。ANSYS可进行的结构动力学分析类型包括：瞬态动力学分析、模态分
23、析、谐波响应分析及随机振动响应分析。2.3.3 结构非线性分析结构非线性导致结构或部件的响应随外载荷不成比例变化。ANSYS程序可求解静态和瞬态非线性问题，包括材料非线性、几何非线性和单元非线性三种。2.3.4 动力学分析ANSYS程序可以分析大型三维柔体运动。当运动的积累影响起主要作用时，可使用这些功能分析复杂结构在空间中的运动特性，并确定结构中由此产生的应力、应变和变形。2.3.5 热分析程序可处理热传递的三种基本类型：传导、对流和辐射。热传递的三种类型均可进行稳态和瞬态、线性和非线性分析。热分析还具有可以模拟材料固化和熔解过程的相变分析能力以及模拟热与结构应力之间的热结构耦合分析能力。2
24、.3.6 电磁场分析主要用于电磁场问题的分析，如电感、电容、磁通量密度、涡流、电场分布、磁力线分布、力、运动效应、电路和能量损失等。还可用于螺线管、调节器、发电机、变换器、磁体、加速器、电解槽及无损检测装置等的设计和分析领域。2.3.7 流体动力学分析ANSYS流体单元能进行流体动力学分析，分析类型可以为瞬态或稳态。分析结果可以是每个节点的压力和通过每个单元的流率。并且可以利用后处理功能产生压力、流率和温度分布的图形显示。另外，还可以使用三维表面效应单元和热流管单元模拟结构的流体绕流并包括对流换热效应。2.3.8 声场分析程序的声学功能用来研究在含有流体的介质中声波的传播，或分析浸在流体中的固
25、体结构的动态特性。这些功能可用来确定音响话筒的频率响应，研究音乐大厅的声场强度分布，或预测水对振动船体的阻尼效应。2.3.9 压电分析用于分析二维或三维结构对AC（交流）、DC（直流）或任意随时间变化的电流或机械载荷的响应。这种分析类型可用于换热器、振荡器、谐振器、麦克风等部件及其它电子设备的结构动态性能分析。可进行四种类型的分析：静态分析、模态分析、谐波响应分析、瞬态响应分析。软件主要包括三个部分：前处理模块，分析计算模块和后处理模块。前处理模块提供了一个强大的实体建模及网格划分工具，用户可以方便地构造有限元模型。2.4 ANSYS的处理模块2.4.1 实体建模 ANSYS程序提供了两种实体
26、建模方法：自顶向下与自底向上。自顶向下进行实体建模时，用户定义一个模型的最高级图元，如球 、棱柱，称为基元，程序则自动定义相关的面、线及关键点。用户利用这些高级图元直接构造几何模型，如二维的圆和矩形以及三维的块 、球、锥和柱。无论使用自顶向下还是自底向上方法建模，用户均能使用布尔运算来组合数据集，从而“雕塑出”一个实体模型。ANSYS程序提供了完整的布尔运算，诸如相加、相减、相交、分割、粘结和重叠。在创建复杂实体模型时，对线、面、体、基元的布尔操作 能减少相当可观的建模工作量。ANSYS程序还提供了拖拉、延伸、旋转、移动、延伸和拷贝实体模型图元的功能。附加的功能还包括 圆弧构造、切线构造、通过
27、拖拉与旋转生成面和体、线与面的自动相交运算、自动倒角生成、用于网格划分的硬点的建立、移动、拷贝和 删除。自底向上进行实体建模时，用户从最低级的图元向上构造模型，即：用户首先定义关键点，然后依次是相关的线、面、体。 2.4.2 网格划分 ANSYS程序提供了使用便捷、高质量的对CAD模型进行网格划分的功能。包括四种网格划分方法：延伸划分、映像划分、自由 划分和自适应划分。延伸网格划分可将一个二维网格延伸成一个三维网格。映像网格划分允许用户将几何模型分解成简单的几部分，然后 选择合适的单元属性和网格控制，生成映像网格。ANSYS程序的自由网格划分器功能是十分强大的，可对复杂模型直接划分，避免了用户
28、对各个部分分别划分然后进行组装时各部分网格不匹配带来的麻烦。自适应网格划分是在生成了具有边界条件的实体模型以后，用户 指示程序自动地生成有限元网格，分析、估计网格的离散误差，然后重新定义网格大小，再次分析计算、估计网格的离散误差，直至误差 低于用户定义的值或达到用户定义的求解次数。 2.4.3 分析计算模块包括结构分析（可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析）、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析，可模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力。2.4.4 后处理模块可将计算结果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透
29、明及半透明显示（可看到结构内部）等图形方式显示出来，也可将计算结果以图表、曲线形式显示或输出。2.4.5 载荷在ANSYS中，载荷包括边界条件和外部或内部作用力函数，在不同的分析领域中有不同的表征，但基本上可以分为6大类：自由度约束、力（集中载荷）、面载荷、体载荷、惯性载荷以及耦合场载荷。1.自由度约束（DOF Cinstraints）:将给定的自由度用已知量表示。例如在结构分析中约束是指位移和对称边界条件，而在热力学分析中则指的是温度和热通量平行的边界条件。2.力（集中载荷）（Force）：是指施加于模型节点上的集中载荷或者施加于实体模型边界上的载荷。例如结构分析中的力和力矩，热力分析中的热
30、流速度，磁场分析中的电流段。3.面载荷（Surface Load）:是指施加于某个面上的分布载荷。例如结构分析中的压力，热力学分析中的对流和热通量。4.体载荷（Body Load）:是指体积或场载荷。例如需要考虑的重力，热力分析中的热生成速度。5.惯性载荷（Inertia Loads）:是指由物体的惯性而引起的载荷。例如重力加速度、角速度、角加速度引起的惯性力。6.耦合场载荷（Coupled-field Loads）:是一种特殊的载荷，是考虑到一种分析的结果，并将该结果作为另外一个分析的载荷。例如将磁场分析中计算得到的磁力作为结构分析中的力载荷。 软件提供了100种以上的单元类型，用来模拟工程
31、中的各种结构和材料。该软件有多种不同版本，可以运行在从个人机到大型机的多种计算机设备上，如PC，SGI，HP，SUN，DEC，IBM，CRAY等。目前最新版本 ANSYS 13.0，同级别的软件还有ADINA、ABAQUS、MSC等，ADINA和ABAQUS在非线性计算功能方面比ANSYS强，ABAQUS没有流体计算模块，ADINA不能做电磁分析但ADINA是目前做流固耦合最好的软件。第三章 转子系统临界转速的计算方法3.1 传递矩阵法1944年N.O.Myklestad,1945年M.A.Proh把H.Holzer用以解决多圆盘轴扭振问题的初参数法成功地推广到解决轴的横振动问题。从而可以用简
32、单的计算工具，通过表格化的方式计算转子的临界转速。随着电子计算机的发展，以及在振动问题的研究中采用矩阵运算，初参数法也就发展为传递矩阵法。这一方法的优点是矩阵的维数不随系统自由度的增加而增加。各阶临界转速的计算方法完全相同，而且程序简单，所需储存单元少，机时短。这就使得传递矩阵法成为解决转子动力学问题的一个快速而又有效的方法，因而得到广泛的应用。传递矩阵法的定义：转子简化为集总质量模型后，把系统分为圆盘、轴段和支撑等若干个典型的单元或部件，用力学方法建立这些部件两端截面状态向量间的传递关系，再利用连续条件就可以求得转子在任意截面的状态向量与起始截面的状态向量间的关系，通过对能满足边界条件的涡动
33、频率进行收缩，就可以求出转子系统的各阶临界转速。下面介绍典型部件的传递矩阵：1.对于第i个部件，如其左右两端截面的编号分别为i与i+1，则由截面i的挠度yi,斜率i,弯矩Mi及剪力Qi所组成的列阵，称为该截面的状态向量i。即： i =iT （3.0）任一部件两端截面的状态向量总存在一定的关系，即：i+1 =ii 其中i称为该部件的传递矩阵。当状态向量有r个元素时，i是rr阶方阵。方阵内的元素可通过分析该部件上的力与其运动及变形的关系求得，例如：带弹性支承的刚性薄圆盘：假设支承在弹性支承上的刚性薄盘，圆盘左右截面的剪力及弯矩分别用QiL、QiR、MiL和MiR表示，当转子以角速度作同步正向涡动时
34、，圆盘的惯性力及惯性力矩分别为及。 由达朗伯原理，可得： 且有： 写成矩阵形式有： 其中为刚性薄圆盘的传递矩阵： = （3.2） 2.无质量等截面的弹性轴段：该轴段编号为I,两端截面的编号分别为i及i+1，由力的平衡条件及变形条件知，该轴段两端截面的状态向量间的关系： 。其中Bi为轴段的传递矩。即： 3.2 瑞利法 瑞利法是根据系统自由振动时，最大动能等于最大势能导出的计算固有频率的方法，故又称瑞利能量法。我们知道系统振动时的动能和势能分别是： T=XTMX/2 （3.4）U=XTMX/2 （3.5） 系统作某阶主振动时，有：将其代入动能和势能式，得系统作该主振动的动能和势能的最大值，分别为：
35、 由能量守恒原理知，由此求出： Rx称为第一瑞利商。当上式中取为系统的第i阶主振型时，可求出第i阶固有频率： 瑞利法计算频率时，须已知振性或振性矩阵。这实际上式不可能的，因此计算时只好估计振性值代入，算出固有频率。由于振性值估计不准，算出的固有频率当然也有误差。高阶振性难以估计准确，计算出的固有频率误差就更大，故瑞利法只适宜于用来估算最低阶固有频率。可以证明，用瑞利法算出的一阶固有频率总是比实际的偏高。3.3 李兹法工程上大多数情况需要最低几阶固有频率及主振型，李兹法就是适应此需要而产生并且是在瑞利法的基础上发展起来的。李兹法不直接假设出振性，而将振性表示为有限个独立的横态的组合，即： 式中：
36、假设的含有n个元素的列阵，n为系统的自由度数； 待定常数； s假设的模态数，视需要而定，s远小于n，但为了所得结果较准确应 需要计算的固有频率要个数大，为其2-3倍或更多。上式写成矩阵形式为: 式中： 代入瑞利商Rx中可得： 由于瑞利商求出的固有频率偏高，所以李兹法中的待定系数就根据瑞利商最小的条件来选定： 为求Rx最小值，对待定系数求偏导数并命其等于零，得： 亦即： （3.17）而： （3.18）同理可得： （3.19） 即： （3.20）取： ， （3.21）即： （3.22） 求出s个固有频率后，即可求出s个特性值向量。将它分别进行归一化，即取某一质量的.再算出各阶振型。即： （3.23
37、）这样计算出的固有频率与相应振型同最初假设的模态有关。它们若很接近系统的真实主振型，则计算结果精度高；否则就有误差。李兹法虽可以算得较多阶固有频率和相应的主振型，比之瑞利法前进了一步，但因假设模态很难接近实际模态，计算结果有一定的误差，且误差的多少是无法确知的。这也是李兹法的缺点。3.4 矩阵迭代法 此法也叫振型迭代法，为了克服假设模态所带来的不确知的误差这一缺点，将假设的模态经过多次迭代运算，多次修改，使之最后接近于真实模态（振型）。这样求出的固有频率和相应主振型就相对较准确。系统的主振型方程按作用力法和位移法分别求出为： （3.24） （3.25）前一个方程用来迭代计算最高的各阶固有频率和
38、主振型。后一方程用来由最低阶向高阶迭代计算最低的几阶固有频率及主振型。现讨论后一方程用迭代法来计算固有频率和主振型问题。引入动力矩阵: （3.26）可以得到： （3.27）对于各阶固有频率有： （3.28） 先来求第一阶固有频率和主振型。1.取一经过归一化的假设振型，前乘，并将得出的新振型归一化，得： （3.29）式中： 归一化后的新振型； 归一化后的系数。 如果，表示初设振型适当，因而，求出 2.若。将作为新假设的振型重复上一步骤，得到： （3.30）3.如 ，再依同法重复上一步骤，直到为止。这时求得： （3.31）因为最后要，假设振型基本上等于实际振型，由此求出的一阶固有频率自然较准确，相
39、应的主振型也已求出且精度较高。计算结果与最初的振型是否接近。可以证明，这样反复迭代下去，不管最初假设的振型是什么，最后得到的总是接近一阶主振型和一阶固有频率。如果要用矩阵迭代法计算第二阶振动，则假设的振型中不能含第一阶振型成分。任设一振型总是含有各阶振型分量的，要做到不含第一阶振型分量，则只有从其中减去第一阶振型分量。如果要计算第s阶振动固有频率和主振型，则在假设的振型中要减去所有前s-1阶振型分量。所以计算高阶振动时与计算第一阶振动不同之点，只是要先将假设的振型经过消除低阶振型分量的清型过程。只能将经过清型后的假设振型按前述求一阶振动的步骤去计算。所以每次迭代计算之前都需经过一次清型过程。假
40、设未清型前和清型后的假设振型分别为和，则： （3.32）式中： s要计算的振动的阶序号，s1； j已算得的较准确的振型阶序号； 待定常系数。因任设振型可表示为喜用的主振型的线性组合，即： 上式两边各前乘,并利用振型正交条件得： （3.34）而,为系统第j阶主质量。由此可求出： 再将代入，即可由已知的假设振型，计算出清型后的用以进行迭代计算的振型。矩阵迭代法因为要计算到所设振型与算的振型接近为止，所以最后算的的固有频率和振型精度较高，且能计算出多阶固有频率和相应的主振型。但只能一阶一阶的计算，算出第一阶才能算第二阶，算出第一、二阶才能计算第三阶，依此类推，计算工作较繁。3.5 子空间法本法可以说
41、是李兹法与矩阵迭代法的结合，同时用s阶振型进行迭代求解。先假设s个n维振型构成一个ns阶矩阵，即将： 作为系统前s阶主振型的零次近似。亦即： （3.37）将前乘动力矩阵，得： （3.38）利用李兹法处理，既对它进行正交化，以使其各列趋于不用的主振型，又可对它进行归一化。按李兹法得： 且将威尔提归结为ss阶矩阵的特性值问题： （3.41）由此式解出s个特征值作为第一次近似，由它解出s个特征向量,并归一化，再按下式求出前s阶主振型的第一次近似： （3.42）将与比较，如要求的前几阶主振型对应相等或接近，则即为所求。否则以作为假设的新振型代替，重复上述各过程，直到与矩阵中前几列，即要求的振型对应相等或很接近为止。子空间法兼有李兹法与矩阵迭代法的优点，收敛较快，精度较高，可用于计算多自由度系统的前几阶固有频率及相应的主振型。第四章 双圆盘转子系统力学模型旋转机器的结构往往是很复杂的，转子通过轴瓦支于轴承座;而轴承座本身的结构也是比较复杂的。要研究实际转子系统的振动，需把实际结构简化为合理的模型才能进行理论分析，找出振动特性和主要结构参数之间的定量关系。无论是计算转子的临界