2022高中数学数列知识点总结.docx

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1、2022高中数学数列知识点总结篇一：高中数学数列知识点总结(经典) 数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质 定义：an?1?an?d（d为常数），an?a1?n?1?d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y 前n项和Sn? ?a1?an?n?na 2 1? n?n?1? d 2 性质：?an?是等差数列 （1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq； （2）数列?a2n?1?,a2n?,a2n?1?仍为等差数列，Sn，S2n?Sn，S3n?S2n仍为等差数列，公差为n2d； （3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别

2、为Sn，Tn，则 amS2m?1 ? bmT2m?1 （5）?an?为等差数列?Sn?an2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数） Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界 项， ?an?0 即：当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值. a?0?n?1?a?0 当a1?0，d?0，由?n可得Sn达到最小值时的n值. ?an?1?0(6)项数为偶数2n的等差数列?an? ，有 S2n?n(a1?a2n)?n(a2?a2n?1)?n(an?an?1)(an,an?1为中间两项) S偶?S奇?nd， S奇S偶 ? an . a

3、n?1 ，有 （7）项数为奇数2n?1的等差数列?an? 1 S2n?1?(2n?1)an(an为中间项)， S奇?SS奇偶?an， S? nn?1 . 偶 2. 等比数列的定义与性质 定义： an?1 ?q（q为常数，q?0），an?1an?a1qn . 等比中项：x、G、y成等比数列?G2? xy，或G? ?na1(q?1)前n项和：S? n? a1?1?qn?（要注意！） ?1?q (q?1)性质：?an?是等比数列 （1）若m?n?p?q，则aman?apaq （2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n仍为等比数列,公比为qn. 注意：由Sn求an时应注意什么？ n?1时，a1?S1；

4、n?2时，an?Sn?Sn?1. 3求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法 如：数列?a12?11 n?，a122a2?2 nan?2n?5，求an 解 n?1时，1 2a1?2?1?5，a1?14 n?2时，12a?11 122a2?2 n?1an?1?2n?1?5 得：1n?1 ?14(n?1)2nan?2，an?2，an? 2n?1(n?2) 练习数列?a5 n?满足Sn?Sn?1?3 an?1，a1?4，求an 注意到aSn?1 n?1?Sn?1?Sn，代入得 S?4又S1?4，?Sn?是等比数列，n ； 2 Sn?4n n?2时，an?Sn?Sn?1?34n?1 （2）叠乘法

5、an 如：数列?an?中，a1?3n?1?，求an ann?1 解 3aa1a2a312n?1 ，n?又a1?3，an?n? n. a1na1a2an?123n （3）等差型递推公式 由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法 ? a3?a2?f(3)? n?2时，?两边相加得an?a1?f(2)?f(3)?f(n) ?an?an?1?f(n)? a2?a1?f(2) an?a0?f(2)?f(3)?f(n) 练习数列?an?中，a1?1，an?3（4）等比型递推公式 n?1 ?an?1?n?2?，求an（ an? 1n 3?1?2） an?can?1?d（c、d为常数，c?0，

6、c?1，d?0） 可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x?an?can?1?c?1?x 令(c?1)x?d，x? ddd? ，c为公比的等比数列 ，?an?是首项为a1? c?1c?1c?1? an? dd?n?1d?n?1d? ， ?a1?ca?a?c?n?1? c?1?c?1?c?1?c?1? （5）倒数法 如：a1?1，an?1? 2an ，求an an?2 由已知得： a?2111111?n?，? an?12an2anan?1an2 ?1?11111 ?n?1?， ?为等差数列，?1，公差为，?1?n?1? 2a1an22?an? 3 an?( 附： 2n?1 公式法、利用 a

7、n? ? S1(n?1) Sn?Sn?1(n?2)、累加法、累乘法.构造等差或等比 an?1?pan?q或an?1?pan?f(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法 ) 4. 求数列前n项和的常用方法 (1) 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：?an?是公差为d的等差数列，求? 1 k?1akak?1 n 解：由 n 111?11? ?d?0? akak?1akak?dd?akak?1? n ?111?11?1?11?11?1? ? ? ak?1?d?a1a2?a2a3?k?1akak?1k?1d?ak?anan?1? ? 1?11?

8、? d?a1an?1? 练习求和：1? 111? 1?21?2?31?2?3?n 1 an?，Sn?2? n?1 （2）错位相减法 若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项和，可由 Sn?qSn，求Sn，其中q为?bn?的公比. 如：Sn?1?2x?3x2?4x3?nxn?1 xSn?x?2x2?3x3?4x4?n?1?xn?1?nxn ?1?x?Sn?1?x?x2?xn?1?nxn 4 x?1时，Sn 1?x?nx? n n ?1?x? 2 1?x ，x?1时，Sn?1?2?3?n? n?n?1? 2 （3）倒序相加法 把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序

9、的数列相加. Sn?a1?a2?an?1?an? ?相加2Sn?a1?an?a2?an?1?a1?an? Sn?an?an?1?a2?a1? x2 练习已知f(x)?，则 2 1?x ?1? f(1)?f(2)?f?f(3)? ?2?1? f?f(4)?3? 2 ?1? f?4? ?1?x2x21x?1?由f(x)?f?12222 x1?x1?x1?x?1? 1?x? ? 原式?f(1)?f(2)? ?(附： ?1? f?f(3)?2?1? f?f(4)?3?1?1?1 f?1?1?1?3 2?4?2 a.用倒序相加法求数列的前n项和 如果一个数列an，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，

10、可采用把正着写 与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前n项和 对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 c.用裂项相消法求数列的前n项和 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。 d.用错位相减法求数列的

11、前n项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列anbn中，an成等差数列，bn成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。 e.用迭加法求数列的前n项和 迭加法主要应用于数列an满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条 5 篇二：高中数学数列知识点总结 五、数列 一、数列定义： 数列是按照一定次序排列的一列数，那么它就必定有开头的数，有相继的第二个数，有第三个数，于是数列中的每一个数都对应一个序号；反过来，每一个序号也都对应于数列中的一个数。因此，数列就是定义在正整数集N*（或它的有限子集

12、1,2,3,?,n）上的函数f(n)，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列函数值为 通常用an代替f(n)，于是数列的一般形式常记为a1,a2,?或简记为an，f(1),f(2),?； 其中an表示数列an的通项。 注意：（1）an与an是不同的概念，an表示数列a1,a2,?，而an表示的是数列的第n项； （2）数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数， 它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值。 S1(n?1)? （3）anSnan? S?S(n?2)n?1?n * 如：已知an的Sn满足lg(Sn?1)?n(n?N)

13、，求an。 二、等差数列、等比数列的性质： 如：（1）在等差数列an中Sn?10，S2n?30，则S3n? （2）在等比数列an中Sn?10，S2n?30，则S3n? 另外，等差数列中还有以下性质须注意： （1）等差数列an中，若an?m,am?n(m?n)，则am?n? （2）等差数列an中，若Sn?m,Sm?n(m?n)，则Sm?n? （3）等差数列an中，若Sn?Sm(m?n)，则am?1?am?2?an?；Sm?n? ； （4）若SP?Sq，则n?时，Sn最大。 （5）若an与bn均为等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn， 则 ambm ?S_T_ ； ambn ? S_T_ （6）项

14、数为偶数2n的等差数列an，有S2n? 间的两项） S偶?S奇?n(a1?a2n) 2 ? n2 (an?an?1)（an与an?1为中 S奇S偶 ? 项数为奇数2n?1的等差数列an，有S2n?1?(2n?1)an（an为中间项） S奇?S偶?S奇S偶 ?S奇?S偶? 等比数列中还有以下性质须注意： （1）若an是等比数列，则?an(?0)，|an|也是等比数列，公比分别 （2）若an是等比数列，则三、判定方法： （1）等差数列的判定方法： 1an ，an也是等比数列，公比分别 ； ； 2 定义法：an?1?an?d或an?an?1?d(n?2)（d为常数）?an是等差数列 中项公式法：2a

15、n?1?an?an?2?an是等差数列 通项公式法：an?pn?q（p,q为常数）?an是等差数列 前n项和公式法：Sn?An2?Bn（A,B为常数）?an是等差数列 注意：是用来证明an（2）等比数列的判定方法： 定义法： an?1an ?q或 anan?1 ?d(n?2)（q是不为零的常数）?an是等比数列 中项公式法：an?1?an?an?2(anan?1an?2?0)?an是等差数列 n 通项公式法：an?cq（c,q是不为零常数）?an是等差数列 2 2 前n项和公式法：Sn?kq?k（k? a1q?1 是常数）?an是等差数列 注意：是用来证明an四、数列的通项求法： （1）观察法

16、：如：（1）0.2，0.22，0.222，（2）21，203，2022，20007， （2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。 递推式为an?1?an?d及an?1?qan（d,q为常数）：直接运用等差（比）数列。 递推式为an?1?an?f(n)：迭加法 如：已知an中a1? 12 ，an?1?an? 14n?1 2 ，求an 递推式为an?1?f(n)an：迭乘法 如：已知an中a1?2，an?1? n?1n an，求an 递推式为an?1?pan?q（p,q为常数）： ?an?1?pan?q 构造法：、由?相减得(an?2?an?1)?p(an?1?an)，则 a?p

17、a?qn?1?n?2 an?1?an为等比数列。 、设(an?1?t)?p(an?t)，得到pt?t?q，t? 为等比数列。 如：已知a1?1,an?1?2an?5，求an 递推式为an?1?pan?qn（p,q为常数）： 两边同时除去qn?1得再用法解决。 如：已知an中，a1? 56 qp?1 ，则an? qp?1 an?1q n?1 ? pq ? anq n ? 1q ，令bn? anq n ，转化为bn?1? pq bn? 1q ， ，an?1? 1 1n?1 an?()，求an 32 递推式为an?2?pan?1?qan（p,q为常数）： 将an?2?pan?1?qan变形为an?2

18、?tan?1?s(an?1?tan)，可得出? s,t，于是an?1?tan是公比为s的等比数列。 ?s?t?p?st?q 解出 如：已知an中，a1?1,a2?2，an?2? S1,n?1? （3）公式法：运用an? ?Sn?Sn?1,n?2 23 an?1? 13 an，求an 2 已知Sn?3n?5n?1，求an；已知an中， Sn?3?2an，求an； 已知an中，a1?1,an?五、数列的求和法： 2Sn 2 2Sn?1 (n?2)，求an （1）公式法： 等差（比）数列前n项和公式：1?2?3?n?； 1?2?3?n?（2）倒序相加（乘）法： 012n 如：求和：Sn?Cn?2Cn

19、?3Cn?(n?1)Cn； 2222 n(n?1)(2n?1) 6 ；1?2?3?n? 3333 n(n?1) 2 2 篇三：高中数学数列知识点总结(经典) 数列基础知识点和方法归纳 1.数列的通项 求数列通项公式的常用方法： （1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与 项数n在变化过程中的联系，初步归纳公式。 （2）公式法：等差数列与等比数列。 ?S1,(n?1)（3）利用Sn与an的关系求an：an? S?S,(n?2)n?1?n 2. 等差数列的定义与性质 定义：an?1?an?d（d为常数），通项：an?a1?n?1?d?am?(n?m

20、)d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y 前n项和Sna1?an?n?na2n?n?1?d 1?2 性质：?an?是等差数列 （1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq； （2）数列?a2n?1?,a2n?,a2n?1?仍为等差数列， Sn，S2n?Sn，S3n?S2n仍为等差数列，公差为n2d； （3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界项， ?an?0即：当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值. ?an?1?0 ?an?0当a1?0，d?0，由?可得Sn达到最小值时的n

21、值. a?0?n?1 . （3）kan也成等差数列；(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列. (5)a1?a2?am,am?1?am?1?a2m,a2m?1?a2m?1?a3m?仍成等差数列. (8)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和； 3. 等比数列的定义与性质 定义：an?1?q（q为常数，q?0），an?a1qn?1?amqn?m .an 等比中项：x、G、y成等比数列?G2? xy，或G? 前n项和： ?na1 (q?1)?na1 (q?1)?Sn?a1?anqa1(1?qn)?a1n（要注意！） a1?q? (q?1)? (q?1)?1?q?1

22、?q1?q1?q? 性质：?an?是等比数列 （1）若m?n?p?q，则aman?apaq （2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n仍为等比数列,公比为qn. 注意：由Sn求an时应注意什么？ n?1时，a1?S1； n?2时，an?Sn?Sn?1. （3）|an|、kan成等比数列；an、bn成等比数列?anbn成等比数列. （4）两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列. （5）a1?a2?am,ak?ak?1?ak?m?1,?成等比数列. （6）数列?a2n?1?,a2n?,a2n?1?仍为等比数列， （7）p?q?m?n?bp?bq?bm?bn；2m?p?q?bm2?bp?bq

23、Sm?n?Sm?qmSn?Sn?qnSm. （8）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。.（9）等差数列与等比数列的联系：各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列 4. 求数列前n项和的常用方法 (1) 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：?an?是公差为d的等差数列，求?1 k?1akak?1n 解：由 n111?11?d?0? akak?1akak?dd?akak?1?n?111?11?1?11?11?1? aadaadaaaaaak?1kk?1k?1k?1?2?3?n?1?k?2?n?1 ?1?11?

24、d?a1an?1? 练习求和：1?111? 1?21?2?31?2?3?n 1an?，Sn?2? n?1 （2）错位相减法 若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项和，可由Sn?qSn，求Sn，其中q为?bn?的公比. 如：Sn?1?2x?3x2?4x3?nxn?1 xSn?x?2x2?3x3?4x4?n?1?xn?1?nxn ?1?x?Sn?1?x?x2?xn?1?nxn x?1时，Sn ?1?x?nx?nn ?1?x?21?x，x?1时，Sn?1?2?3?n?n?n?1? 2 （3）倒序相加法 把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. Sn?a1?a2?an?1?an?相加2Sn?a1?an?a2?an?1?a1?an? Sn?an?an?1?a2?a1? 高中数学数列知识点总结出自：百味书屋链接地址： 转载请保留,谢谢!本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第28页 共28页第 28 页 共 28 页第 28 页 共 28 页第 28 页 共 28 页第 28 页 共 28 页第 28 页 共 28 页第 28 页 共 28 页第 28 页 共 28 页第 28 页 共 28 页第 28 页 共 28 页第 28 页 共 28 页