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1、第 三 篇 动力学,第九章 质点动力学,动力学研究作用于物体上的力与物体的运动变化之间的关系。,什么是动力学？,第九章 质点动力学,汽车动力特性测试,机 械工程,第九章 质点动力学,航空航天工程,第九章 质点动力学,拱坝的抗震与控制,第九章 质点动力学,建筑物抗震实验,第九章 质点动力学,体育运动,球棒击球,第九章 质点动力学,健康医学,心脏动力学,第九章 质点动力学,第一节 牛顿运动定律 惯性参考系,第一节 牛顿运动定律 惯性参考系,1、牛顿运动定律 质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛顿在总结前人研究成果基础上提出的，称为牛顿三定律。,第一定律惯性定律,任何物体，如不受外力作用，将
2、保持静止或作匀速直线运动。,第二定律 力与加速度关系定律,质点受到外力作用时，其加速度的大小与所受力的大小成正比，而与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向一致。,第三定律作用与反作用定律,两物体间相互作用的力总是大小相等，方向相反，沿同一作用线，且同时分别作用于两个物体上。,第一节 牛顿运动定律 惯性参考系,2. 惯性参考系,适用牛顿定律的参考系称为惯性参考系。实践证明，在绝大多数工程问题中，地球可取为惯性参考系。,在以后的论述中，如果没有特别指明，则所有运动都是对惯性参考系而言的。 并且约定，物体在惯性参考系中的运动称为绝对运动，还习惯地将惯性参考系称为固定坐标系或静坐标系。,第一节 牛
3、顿运动定律 惯性参考系,在国际单位制中，力的单位是牛顿。,质量、长度、时间为基本单位，力的单位为导出单位。即 N=1kg1m/s2,应当注意，质量与重量是两个不同的概念。,例如力的量纲是MLT-2，速度的量纲是LT-1，加速度的量纲是LT-2。,表示某一物理量是由哪几个基本量按什么规律组成的式子，称为该物理量的量纲。,第一节 牛顿运动定律 惯性参考系,设有一质点M，质量为m，沿空间曲线运动，作用于质点上的合力F=Fi，如图9-所示。令质点的加速度为a，则,图9-1 直角坐标系下质点的动力学,第一节 牛顿运动定律 惯性参考系,第二节 质点运动微分方程,由运动学知,于是上式可表示为,这就是矢量形式
4、的质点运动微分方程。,(9-1),(9-2),第二节 质点运动微分方程,取直角坐标系Oxyz，将式（9-）投影到各坐标轴上，得到直角坐标表示的质点运动微分方程：,第二节 质点运动微分方程,若已知质点运动的轨迹（图9-2），可以质点所在处为原点，取自然轴系t, n, b, 将式（9-1）投影到自然轴系上，得,得到 自然轴系形式的质点运动微分方程：,由运动学知,第二节 质点运动微分方程,应用质点运动微分方程可求解质点动力学的两类基本问题。,第一类问题：已知质点的运动规律，求作用于质点上的力。这类问题可用微分法求得解答。,第二类问题：已知作用于质点的力，求质点的运动规律。这类问题归结为求解运动微分方
5、程，属于积分问题。,作用于质点的力可以是常力或变力，当力是变力时，又可能是时间、质点的位置坐标、速度的函数，因此只有当函数关系较简单时，才能求得微分方程的精确解。而且积分问题，还须给出运动的初始条件，以确定积分常数。,第二节 质点运动微分方程,例9-1,其中a,b,w都是常量，求质点所受的合力F。,解: 本题属动力学的第一类问题。将运动方程消去时间t，得,质量为m的质点M在平面Oxyz内运动，已知其运动方程为,可见质点运动的轨迹曲线是以a及b为半轴的椭圆,第二节 质点运动微分方程,将式 代入方程（9-3），可求得力F的投影为：,于是，力F的大小为,其中r是动点M的矢径r的模,第二节 质点运动微
6、分方程,力F的方向余弦为,可见，力F 恰与矢径r 的方向余弦数值相等而符号相反。所以力F与矢径r方向相反（即F指向坐标原点O）。,用方程表示为,第二节 质点运动微分方程,质量为m的物体在空气中作自由落体运动，假设空气阻力与物体的速度成正比（设比例系数为k），方向与速度相反。 试求该物体的运动方程和速度方程。,由质点运动微分方程得,例9-2,第二节 质点运动微分方程,积分得,第二节 质点运动微分方程,对上式再积分得,为质点下降的极限速度。,第二节 质点运动微分方程,在倾角为的粗糙斜面上放一重W的物块A ，物块上系一绳，绳与斜面平行，绕过滑轮后，在另一端悬挂一重P的物块B。物块A与斜面间的摩擦因数
7、为f。,例9-3,求物块A沿斜面向上的加速度。假设绳子是不可伸长的；绳子的质量不计，滑轮的质量及轮轴处的摩擦也不计。,第二节 质点运动微分方程,解：分别考察物块A、B，作示力图。物块A、B分别建立动力学方程，得：,第二节 质点运动微分方程,根据运动学条件和摩擦力条件，补充方程如下：,代入后解得,本题还可求出绳子的拉力，得到,第二节 质点运动微分方程,或,第二节 质点运动微分方程,重量为W=30kN的物体悬于钢索下端，以匀速v0=2m/s下降，若卷筒突然刹车，求钢索的最大伸长。 设卷筒刹车时钢索每伸长10mm需力20kN。,例9-4,解:刹车后物体只有上下运动，只需一个坐标就可确定物体的位置。
8、取平衡位置为坐标原点，x轴铅直向下，如图9-6所示。,第二节 质点运动微分方程,考虑物体离开平衡位置x时的受力情况，它受重力W及钢索的拉力F 作用。,N/m=210N/m,可得物体的运动微分方程为,即,其中 是钢索的静伸长。,弹性常数,在平衡位置钢索的拉力为,第二节 质点运动微分方程,令,则有,考虑运动初条件，即,解出,当 t = 0 时，,其解为,第二节 质点运动微分方程,钢索的最大伸长：,由运动方程可知，物体作简谐振动,最后得到,第二节 质点运动微分方程,第三节 质点在非惯性参考系中的运动,前面讨论了质点（或质点系）在惯性参考系中的运动，即绝对运动。 而在自然界和工程技术中有很多问题，需要
9、研究质点相对非惯性参考系的运动，即相对运动。,例如:考虑地球自转时，河中水流的运动；远程炮弹、人造卫星的运动；地球自转对大气环流的影响等。,北半球水流对右岸的冲刷严重,第三节 质点在非惯性参考系中的运动,北半球水流对右岸的冲刷严重,第三节 质点在非惯性参考系中的运动,地球自转对大气环流的影响,第三节 质点在非惯性参考系中的运动,设已知动坐标系Oxyz相对于静坐标系Oxyz（惯性坐标系）的运动，试求质点在力F 作用下在动坐标系中的相对运动(图9-7)。,由运动学的加速度合成定理知,牛顿第二定律可表示为,第三节 质点在非惯性参考系中的运动,可见，在非惯性坐标系中所观察到的质点的加速度，不仅仅决定于
10、作用在质点上的力，而且与参考系本身的运动有关。,移项得,令,则式 成为,方程（9-5）称为质点相对运动动力学方程。,（9-5）,第三节 质点在非惯性参考系中的运动,几种特殊情况,科氏加速度aC=0，因而科氏惯性FIC=0， 于是质点的相对运动动力学方程为,(9-6),第三节 质点在非惯性参考系中的运动,牵连加速度ae 和科氏加速度aC均等于零，所以FIe=0，FIC=0，于是有,(9-7),第三节 质点在非惯性参考系中的运动,因此，在一个系统内部所做的任何力学试验，都不能确定这一系统是静止的还是在作匀速直线平动。这一结论称为古典力学的相对性原理，也称为伽利略、牛顿相对性原理。,当质点相对于动坐
11、标系作匀速直线运动时，质点的相对加速度ar=0，于是得,此时，称质点处于相对平衡状态。,(9-8),第三节 质点在非惯性参考系中的运动,科氏惯性力的影响,第三节 质点在非惯性参考系中的运动,惯性参考系：地球非惯性参考系：大盘,动点：小段皮带(质量 m),牵连惯性力大盘转速很慢，牵连加速度很小， m的牵连惯性力可以忽略不计。,科氏力 m的科氏加速度aC2 vr ,科氏力 FIC2 m vr ，使皮带变形。,慢速转动的大盘使快速运动的皮带变形,第三节 质点在非惯性参考系中的运动,第三节 质点在非惯性参考系中的运动,由于地球自转的影响，地面上各处（除两极及赤道附近外）的铅直线并不沿着地球半径，而是下
12、端偏向赤道。试求偏角与纬度的关系。,图9-8 例9-6附图,例9-5,第三节 质点在非惯性参考系中的运动,解：假设地球为一圆球，半径为R。今在纬度为 的地面上用绳索悬挂一铅球M，如图使其保持静止。,铅球很小，可以作为质点看待。考虑到地球的自转，铅球M的静止只是相对静止。作用于铅球M上的实际的力有沿地球半径指向地心的地球引力G、绳索拉力F。,第三节 质点在非惯性参考系中的运动,这两个力应与铅球的牵连惯性力成平衡，即,因地球自转是匀角速的，所以FIe的大小为,其中m 是 铅球的质量；是铅球至地轴的距离； 是地球自转的角速度。Fie 的方向垂直并背离地轴，即是离心的。,第三节 质点在非惯性参考系中的运动,由于绳索拉力F与实际量得的重力W大小相等，而方向相反，即F=-W。以之代入式 ，可得,可见，在地面上量得的重力等于地球引力与离心惯性力的矢量和。重力的方向就是铅直线的方向。,计算铅直线的偏角（即W与G所成的角）。,取x轴垂直于铅直线，由 得,第三节 质点在非惯性参考系中的运动,因,所以可相当准确地认为W与G 相等，即G=W=mg，其中g 是重力加速度。,由此得,第三节 质点在非惯性参考系中的运动,取,则,在纬度45处，偏角有最大值,第三节 质点在非惯性参考系中的运动,谢谢大家,