《一元微分学概念性质与计算讲义.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一元微分学概念性质与计算讲义.docx（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、一元微分学概念性质与计算讲义 一元微分学的概念 性质与计算 讲义 一、考试内容（一）导数与微分的概念与性质， 函数 在点 处 可导， 则其所示曲线在点 处有切线，反之不然.（二）基本函数的导数 及高阶导数表；， . （三）导数与微分的运算法则， 对幂指函数也可用对数求导法，其适用于幂指函数、连乘、连除、开方、乘方等；(0) 00 000 0( ) ( ) ( )(0) lim , ( ) lim ( ) ,fx hf x mh f x nh f mxf a ma f x a m n ax h= + - - = = = = +00 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ,lim ( )
2、( ) ( ) ( ) ( )x xf x a f x f x a f x f x f x f x f x- +- + = = = = = =( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , y x A x x o x A x y x dy u x y u du x y u u x dx y x dx D = D + D = = = =( ) f x0x0x2 22 21ln( ) , x x ax a+ =2 21 1( ln ) ,2a xa a x a x+=- -11,1(ln ) ,( ) ,( ) ( 1)( )1,n nx ax x
3、 a x a x a n x a x ax a x- = - = - - = + - - - - = = = = = ( )(sin ) sin( 2)n nax a ax n p = +( )(cos ) cos( 2)n nax a ax n p = +( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ln ( ) ( ) ( ) ( )ln ( )( )v x v x v xv xd u x u x d v x u x u x u x v x u x dxu x= = +( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 20 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) (
4、 ) ( )nn n n n k n k knkk u x k v x k u x k v x u x v x C u x v x-=+ = + = 设 二阶可导，且 ，则 ， ；设 二阶可导，若 由 所确定， 则， .二、典型例题题型一可导性的判定1、设函数 在 处连续，则 是 的(A) (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也非必要条件 2 2 、设 ，则 是 的(B) (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也非必要条件 注 1：是 的(C) ，但 是的(B) 提示：取 ,则 ，但 在 处非右连续 注
5、2：若设函数 在 处连续，则 是的(D)，但 是 的(A)3、设 存在但不相等，则下列命题正确的是(B) (A) 在 处不连续 (B) 在 处连续但不行导(C) 为 的跳动间断点 (D) 为 的跳动间断点 注 1：为 的跳动间断点 存在但不相等； ) (x f y = 0 y ( ) 1 x y y =3( ) x y y y =-( ), ( ) x t y t ( ) y y x = ( ), ( ) x x t y y t = =( ) ( ) ( ) y x y t x t =3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y x d y t x t dx t
6、 y t x t y t x t x t = = -) (x f0x x =010lim( ) ( )x xx x f x a- =0( ) f x a =0 ) 0 ( = f220lim ( 1)xxx f e a- = (0) f a =220lim ( 1)xxx f e a- = (0) f a+=1lim ( )nnf n a-= (0) f a+=0,( )1,x Qf xx Q = 1( ) 0 fn= ( ) f x 0 x =) (x f 0 x =220lim ( 1)xxx f e a- = (0) f a =220lim ( 1)xxx f e a- = (0) f
7、a+=0 0( ), ( ) f x f x- +( ) f x0x x = ( ) f x0x x =0x x = ( ) f x0x x = ( ) f x0x x = ( ) f x 0 0( ) ( ) f x f x- +， 为 的可去间断点 存在且相等； 注 2：设 在 处连续，且 存在且相等 在处连续 4、设 在 处连续，则下列命题正确的个数为(D) (1) 若 在 处可导，则(2) 若 在 处连续，则 (3) 若 ，则(4) 若 ，则 (A) (B) (C) (D) 5、函数 不行导点的个数为 6、设 ， 在 连续，但不行导，又 存在，求证：是 在 可导的充要条件 题型二求导（
8、微）的计算例 1、设 ，求 例 2、设 ，求 例 3、设 ，求 例 4、函数 可导， 当自变量 在 处取得增量时，相应的函数增量 的线性主部为 ，则(提示：) 例 5、设 是方程 所确定的函数，求 及 0x x = ( ) f x 0 0( ) ( ) f x f x- +，( ) f x0x x =0 0( ) ( ) f x f x- +， ( ) f x0x x =00( ),( ),g x x xf xa x x = =0x( ) g x0x0 0( ) ( ) f x g x = ( ) g x0x0 0( ) ( ) f x g x =0 0( ) ( ) g x g x b- +
9、= =0( ) f x b =0 0( ) ( ) g x g x b-+= =0( ) f x b =1 2 3 42 2( ) ( ) 2 f x x x x x = + - - 1( ) ( ) ( ) F x g x x j = ( ) x j x a = ( ) g a ( ) 0 g a = ( ) F x x a =) ( ) 2 )( 1 () ( ) 2 )( 1 () (n x x xn x x xx f+ + +- - -=LL) 1 (f xex y = ( ) y x2 2ln( 1 ) 1 f x x x + + = + ) 1 ln(2x x f + + ) (u
10、 f ) (2x f y = x 1 - = x1 . 0 - = Dx y D 0.1 (1)f =0.52 2 ( ) 2 ( ) dy f x x xf x x = D = D) (x f y = 0 = + -xy e ex y) 0 (y) 0 (y 例 6、求 例 7、设严格单调函数 具有二阶导数，其反函数为且满意 ，则 例 8、设 二阶可导，且 ，求求 例 9、设 是由方程组 所确定的隐函数，求 例 例 0 10 、 已 知 是 由 方 程 确 定 ， 则 例 11、求函数 的导数 例 例 1 12 2 、对于函数,问选取怎样的系数才能使得 到处具有一阶连续导数，但在 处却不存在
11、二阶导数 题型三高阶 导 数 的计算例 1、设 ，则 例 2、设 ，求 例 3、设 ，求 例 4、设 ，求 ， 三 、 课后 练 习 2 2arctany x eyx+ = dy( ) y f x =( ), x y j =(1) 1, (1) 2, (1) 3 f f f = =- = (1) j = 3 8) (t f 0 ) ( tf- = =) ( ) () (t f t f t yt f x22dxy d) (x f y = + -+ + =0 1 sin3 2 32y t et t xy202| td ydx=( ) x f y = ( ) 1 ln cos = + - x y x
12、y( ) ( ) lim 2 1nn f n- = 2) 1 1 )( 1 ( + + - - = x x x yy + = ) (x g ) (x f0 = x000( )( )( )g x x xf x a x xh x x x0x0 0( ) ( ) g x h x b = =0( ) f x b =0 0( ) ( ) g x h x b- += =0( ) f x b =0 0( ) ( ) g x h x b-+= =0( ) f x b =0 0( ) ( ) g x h x b- += =0( ) f x b =1 2 3 4) (x f ) 0 (f 0 x =( ) ( )
13、 g x f x x =) (x f ) 0 (f 0 ) 0 ( = f) (x f y =0x dy dy y - D0 , 0 - D dy y dy 0 , 0 - D - D dy y dy 0 , 0 dy y dy y 15(A)、设 可微， , 则 . 16(A)、设 在 的某邻域内可导,且 , ，则 . 0 17(A)、设函数 ，其中 为正整数，则=( ) . 18、计算下列导数（微分）：（1）(A)设 ，则 . （2）(A)设 ，求 . （3）(A)若 由 确定，则 . （4）(B)设 ，其中 具有二阶导数，且 ，求. （5）(A)设 ，其中 可导，且 ，则 . （6）(A
14、)设 由 所确定，则 . （7）(B)设函数 则 . （8）(B)设 ，则 . （9）(A)设 ，则 . （10）(A) 则 . （11）(B)设函数 ，则当 ， . 19(A) 、设 ，则. ( ) g x1 ( )( ) e , (1) 1, (1) 2g xh x h g+ = = =(1) g =( ) f x 2 x =( )( )ef xf x =( ) 2 1 f = ( ) 2f=0x x x D +0x2( ) ( 1)( 2)x x nxf x e e e n = - - …（ - ）n(0) f2ln (1 ) (1 ) y x x = - + (0)y=2
15、3 (1)( 7) (1 ) y x x x x = + + + (1)y=) (x f y = 0 1 62= - + + x xy ey(0)y=) ( y x f y + = f 1 f ( ) y x =- =- =) 1 () (3te f yt f x pf 0 ) 0 ( f0 tdydx=) (x y y =+ =+ - =2 3) 1 ln(t t yt t x22d ydx=ln , 1( )= , ( ( ),2 1, 1x xf x y f f xx x =- 2=xdydx= 2 3( ) max , , , (0,2) f x x x x x = ( ) f x =
16、( ) (1 ) (1 ) f x x x = - +( ) ( ) nf x =ln(1 2 ) y x = - ，( ) (0) ny =) 1 ln( ) (2x x x f + = 3 n( ) (0) nf =0( ) lim (1 3 ) x ttf x x t= + ( ) f x = 2 20 0(A)、 、 设函数 由方程 确定，则2 21 1(A) 、定义于 上的 ， 为常数，且在 上, ,(1) 在 上， ；(2) 若 在 处可导，则. 22(A) 、设问 取何值时， 可导？23(A)、设 探讨 在 处的连续性.24(B)、 的导数在 处连续，则 （连续） 25(B)、设
17、 ，求 的导数，并探讨的连续性. 26(B)、设， 则 . 27(B)、设 可导， 当自变量 在 处取得增量时，相应的函数增量 的线性主部为 ，则 ) (x f y =) 1 ( y xe x y-= - ( ) ( ) lim 1 1nn f n- =R ( ) ( 2) f x kf x = + k 0, 22( ) ( 4) f x x x = - 2,0 - ( ) f x = ( ) f x 0 x = k = + + -=, 1 , 1 , 2 ) 1 sin() (x b axx xx f b a, ) (x f2arctan , 0,( )0,0,x x xf xx- = =)
18、 (xf 0 = x10, cos ,( )0, 0,x x xf xxl - = =0 x = l 30( )0 0x x xf xx = =) ( ) ( x f f x = f ) (x f + =+ =t t t yt t x4 5220 0 0= , = ? , =t t tdx dy dydt dt dx= = =) (u f22(log ) y f x = x 1 - = x0.01 x D = - y D 0.02 (0)f=本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第13页 共13页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页