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1、2022年条据书信平均值不等式证明 平均值不等式的证明 平均值不等式的证明 n PAGE n PAGE # 平均值不等式的证明 平均值不等式的证明 n PAGE n PAGE # 平均值不等式的证明 柯西证明均值不等式的方法byzhangyuong (数学之家) 木文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重 要。一般的均值不等式我们通常考虑的是An Gn:些大家都知道的 条件我就不写了 xl x2 . xn n xlx2.x n 我曾经在几个重要不等式的证明中介绍过柯西的这个方法，现在 再次提出： 二维己证，四维时： a b c d (a b) (c d) 2ab 2cd 4 八
2、维时： (a b c d) (e f g h) 4abcd 4efgh 8abcdefgh abed 4abcd 这样的步骤重复n次之后将会得到 xl x2 . x2n 2 平均值不等式的证明 平均值不等式的证明 n PAGE n PAGE # 平均值不等式的证明 平均值不等式的证明 n PAGE n PAGE # n xlx2.x2n xn;xn 1 xn 2?. xn;xn 1 xn 2?.? x2 n xl x2 xn n A 由这个不等式有 A nA (2 n)A 2 nn 1 2 n xlx2.xnA 2 n n (xlx2.xn)2A 平均值不等式的证明 平均值不等式的证明 n n
3、 平均值不等式的证明 平均值不等式的证明 11 11a22 n2 n 即得到 xl x2 xn n n xlx2.x n 这个归纳法的证明是柯西首次运用的，而且极其重要，下面给出几个 竞赛题的例子： 例1: n 若0 ai l(i 22,n)证明 i 1 11 ai n 1 1(ala2.an) n 例2： 若ri l(i 12,n)证明 i 1 lri 1 n 1 (rlr2.rn) n 这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的 归纳法： 给出例的证明： 当n 2时11 al 11 a2 2 (1 al a2) 2(1 al)(l a2) 设 p al a2,q (1 q
4、)(2 P) 2(1 p q) p 2q pq 2q p(l q) 2q(q 1) p 2q,而这是2元均值不等 式因此11 al n 2 11 a3 11 a4 此过程进行下去 1 2 n 1 因此 i 1 1胡平均值不等式的证明. 1(ala2.a2n)2 n 1 (ala2.an )n G令 an 1 an 2. a2n (ala2.an )n G 平均值不等式的证明 平均值不等式的证明 PAGE PAGE # 平均值不等式的证明 平均值不等式的证明 PAGE PAGE # In 11 ai 11 ai (2 n) n 11 G n 2 n2 n n 1 2 n (GG nl G 2 n
5、 ) 平均值不等式的证明 平均值不等式的证明 平均值不等式的证明 平均值不等式的证明 n 1 G 即 i 1 例3： 己知 5n 个实数 ri,si,ti,ui,vi 都 1(1 i n),记 R T n In n r,S In n s I I In n t,U 平均值不等式的证明 平均值不等式的证明 PAGE PAGE # 平均值不等式的证明 平均值不等式的证明 PAGE PAGE # In n ,V In n V,求证下述不等式成立： i 1 ( risitiuivi lrisitiuivi 1 )( RSTUV 1RSTUV 1 ) n 要证明这题，其实看样子很像上而柯西的归纳运用的形式
6、 其实由均值不等式，以及函数f(x) In因此 e le 1 平均值不等式的证明 平均值不等式的证明 n1 n 1 平均值不等式的证明 平均值不等式的证明 n1 n 1 X 是在R上单调递减 RSTUV ( RSTUV 1RSTUV 1 ) n 我们要证明： n (rstuv i 1 ? ? ? III I risitiuivi 1 I 1 ) 证明以下引理： (x平均值不等式的证明. 平均值不等式的证明 平均值不等式的证明 平均值不等式的证明 平均值不等式的证明 xi 1 1 x2 1x21 n 1 ) n 2时，(令A xl lxl 1 )( 2 )2 A(xlx2 1 xl x2) (x
7、l x2 1 xlx2) 2 (1 xlx2 xl x2)2A(xlx2 xl x2 1) A(xlx2 1 xl x2) (1 xlx2 xl x2) 2A(xlx2 1 xl x2) (A l)(xlx2 1) 2A(xlx2 1)明显成立 n n 2 因 平均值不等式的证明 平均值不等式的证明 2 2 平均值不等式的证明 平均值不等式的证明 2 2 1 xi lxi 1 2 n )( G 1G 1 ) 2 n n ( GGGG n n 2 n n 1 1 2 n2 n )，G 平均值不等式的证明 平均值不等式的证明 )2f( )2f( 平均值不等式的证明 平均值不等式的证明 )2f( )
8、2f( G 1G 1 n ) 因此( 1 xi lxi 1 n ) 所以原题目也证毕了 这种归纳法威力非常强大，用同样方法可以证明Jensen: f(xl) f(x2) 2 f( xl x2 2 ),则四维： f(xl) f(x2) f(x3) f(x4)2f( xl x2 2 x3 x4 平均值不等式的证明 平均值不等式的证明 平均值不等式的证明 平均值不等式的证明 f(x2n)xn;xn 1 xn 2 f(x2n) xn;xn 1 xn 2 x2 2 )4f( xl x2 x3 x4 4 ) 始终进行n次有 f(xl) f(x2). 2 n f( xl x2 x2n 2 n ), 令 xl
9、 xl,.,xn n xl x2 xn f(xl) f(xn) (2 n)f(A) 2 n n f( nA (2 n)A 2 n )f(A) 所以得到 f(xl) f(x2). f(xn) f( xl x2 xn n ) 所以基木上用Jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明 而且有些时候这种归纳法比Jensen的限制更少 其实从上而的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明 这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件篇二：用数学归纳法 证明平均值不等式 用数学归纳法证明平均值不等式 【摘要】木文尝试用数学归纳法从不同角度对平均值不等式进行了证 明，进一步体现了均值不等式证法的多
10、样性。平均值不等式的证明. 【关键词】平均值不等式数学归纳法 一、引言 不等式历来是中学数学教学的重要内容。不等式涉及数量之间大小的 比较，通过比较常能显出变量改变之间相互制约的关系，因而从某种 意义上说，不等式的探讨在数学中甚至比等式的推演更为重要。木文 摸索讨一种比较特别而又闻名的不等式“平均值不等式”。这种不等式 不仅木身颇为有用，而且它的证法也可作进一步娴熟不等式证明技巧 之用，而且它在中学数学中有着更为广泛的应用。特殊在中学数学中, 我们频繁地接触到此类不等式的简化形式（如平均值不等 内容仅供参考 第18页 共18页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页