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1、第19卷第5期2016年5月管理科学学报JOURNAL 0F MANAGEMENT SCIENCES IN CHINAV0119 No5Mav 2016基于CVaR两步核估计量的投资组合管理黄金波1，李仲飞孙，姚海祥3(1广东财经大学金融学院，广州510320；2中山大学管理学院，广州510275；3广东外语外贸大学金融学院，广州510006)摘要：在不做任何分布假设的条件下，利用非参数核估计方法对风险度量条件风险价值(con-ditional valueatrisk，CVaR)进行估计，得到CVaR的两步核估计公式然后用估计出来的CVaR代替理论上的CVaR建立均值一CVaR模型，实现对风险
2、估计与投资组合优化同时进行，并基于迭代思想设计求解该模型的简单算法蒙特卡洛模拟结果表明基于两步核估计方法的投资组合优化模型和算法比现有的方法更加有效，估计出来的组合边界误差更小引入无风险资产后，文中的模型和算法同样适用最后，为说明其应用价值，采用中国A股市场的日收益率数据进行了实例分析关键词：均值CVaR模型；两步核估计量；组合边界；中国A股市场中图分类号：F8309；02127文献标识码：A文章编号：10079807(2016)05011413O 引 言投资组合选择的定量分析可追溯到Markowi-tz建立的均值一方差模型，此后，均值一风险框架成为现代投资组合选择理论的基本分析框架之一用期望
3、收益率度量投资收益已被广泛接受，然而，以收益率的方差作为风险度量指标，则受到多方面的批评许多学者在批判方差的基础上发展了多种风险度量工具，从而推动了现代投资组合选择理论的发展风险价值(value-atrisk，VaR)和条件风险价值(conditional valueatrisk，cVaR)风险度量正是在这个背景下被提出并很快被运用于投资组合选择和风险管理研究中VaR是指给定置信水平下某一个资产或资产组合在未来一定期限内的最大可能损失拉J由于VaR不满足一致性风险度量理论的次可加性公理旧。1，从而破坏投资组合理论中的风险分散化原理另外，VaR不能对超过VaR水平的损失给出任何信息所以在VaR基
4、础上，Rockafellar和uryasev”61给出了CVaR的概念CVaR度量的是损失超过VaR水平的条件期望值cVaR满足一致性风险度量要求，弥补了VaR不满足次可加性、未考虑尾部风险等缺陷VaR和cVaR被提出之后，对它们的研究沿着两个方向展开，一个是VaR和cVaR估计问题的研究，另一个是基于均值VaR和均值一cVaR模型的投资组合优化问题研究一直以来，这两个方向的研究相对独立发展风险估计问题的研究注重开发更加精确的计量模型和方法来捕捉金融市场的特征，进而更加准确地估计金融市场风险，目收稿日期：2013一08一17；修订日期：20140324基金项目：国家自然科学基金重点资助项目(7
5、1231008)；国家自然科学基金资助项目(71471045)；中国博士后科学基金特别资助项目(2叭5鸭0896)；中国博士后科学基金资助项目(2014M562246；2014m60658)；全国统计科学研究计划资助项目(2013LYl01)；广东省自然科学基金研究团队资助项目(2014A030312003)；广东省高等学校高层次人才资助项目；广东省高等院校科技创新资助项目(2012l(Jcx0050)；广东省普通高校特色创新资助项目(人文社科类)；广州市哲学社会科学规划资助项目(14G42)通信作者：李仲飞(1963一)，男，内蒙古鄂尔多斯人，博士，教授，博士生导师Email：lnsl抛ma
6、ilsysueducn万方数据第5期 黄金波等：基于CVaR两步核估计量的投资组合管理 一115一前这方面的研究已相当完备，并始终处于不断发展中相对而言，因VaR和CVaR的优化问题较难处理，基于VaR和cVaR的投资组合研究大多在特定分布下进行，这使得投资组合选择理论的应用受到局限关于均值一VaR模型和均值一cVaR模型较为成熟的研究大多在正态(或椭球)分布假设下进行。8 J在正态(或椭球)分布的假设下，VaR和cVaR可以表达成均值和方差的线性函数，均值一VaR模型和均值一cVaR模型退化成均值一方差模型”J，而均值一方差模型的研究已经相当成熟所以，在正态(或椭球)分布假设下，VaR和CV
7、aR与方差在风险度量方面没有本质区别，这将无法凸显VaR和CVaR在风险度量方面的优越性另外，在实际的金融市场上，金融时间序列数据通常表现出尖峰厚尾、非对称等非正态(或椭球)分布特征，简单的正态(或椭球)分布假设将会导致风险估计的系统偏差，进而会误导投资者，使得人们无法进行有效的风险管理和组合优化因此，在不做任何分布设定的条件下，如何利用计量方法估计出现实金融市场中的实际风险，进而把实际风险嵌入到投资组合优化模型中进行投资决策是非常有意义的课题针对VaR和CVaR的估计问题，理论界提出了很多方法Engle和Manganell一1将它们分为3大类第l类是参数法，主要包括GARCH族模型和Copu
8、la函数法第2类是半参数法，主要包括极值理论EVT(extreme value theory)和条件自回归VaR第3类是非参数法，主要包括经验分布函数法和核估计方法参数法与半参数法都假设收益率(在极值理论下是尾部收益率)服从某一事先设定的模型，然后估计出模型中的参数，进而得到风险度量VaR和cVaR的估计值011 J相对于参数法与半参数法，非参数法不需要对收益率做任何形式的模型设定，避免人为的模型设定风险和参数估计偏差，能够给出较为准确的风险估计更重要的是，非参数核估计方法允许金融时间序列之间相互依赖2。”J，Bellini和FigaTalamanca41证实收益率序列数据显示出非常强的尾部依
9、赖，而参数法与半参数法对于这类相互依赖变量问题的处理较为棘手2|近年来，非参数核估计法因具备上述几方面的优势而备受广大学者关注利用核估计法估计金融风险始于Gourieroux等纠的研究，他们首次考察了VaR的核估计随后scaiuet【161刊把核估计法应用到对期望损失(expected short蹦l，简称ES)的估计Scaillet【l钊提出Es的两步核估计法，并用它来估计资产组合的期望损失和期望损失对组合头寸的敏感性scaillet1研究了条件VaR和条件ES的非参数核估计，并在平稳过程满足强混合条件下，导出了条件ES核估计量的渐进性质Chen刮同时用经验分布函数和核平滑分布函数估计Es，
10、得出二者在估计的方差和均方误差方面并无明显的差异刘静和杨善朝列放松Scaillet刮的前提条件，在a混合序列具有幂衰减混合系数条件下，用两步核估计法估计Es，得到了ES核估计量的Baladur表示、均方误差和渐近正态性的收敛速度刘晓倩和周勇1比较两步核光滑ES估计与ES完全经验估计及一步核光滑估计的优劣，得到两步光滑化并不能减小ES估计的方差，该发现与Chen副的结论一致由于CVaR的核估计量具有良好的连续性和光滑性，可以方便地处理投资组合优化问题，这一优点是ES完全经验估计不具备的所以，许多学者倾向于利用核估计法来研究组合的CVaR及相关优化问题21|虽然近年来，学者对CVaR的非参数核估计
11、法做了诸多研究，但还鲜有学者把CVaR的核估计与风险优化、投资组合选择问题结合起来考虑问题是不仅需要知道风险有多大，而且还要知道如何去对冲和管理风险，风险估计只是解决了前面的问题，而后面的问题往往更为重要Yao等【2对此做了有益尝试，他们利用Rock出llar和ury鹪ev【51给出的CVaR特殊表达式并结合非参数核估计方法，得到核估计框架下的均值CVaR模型，并利用优化算法求解模型得到投资组合的组合边界不同Yao等心川的研究，本文直接利用两步核估计方法对CVaR进行估计。并将CVaR的两步核估计式嵌入均值一CVaR模型，这样就不需 在分布函数满足连续性的条件下，ES与cVaR是同一个风险度量
12、指标的两个不同称呼万方数据一116一 管理科学学报 2016年5月要借助于Rock如llar和uryasev1的cVaR特殊形式，而且模型的自变量维数比Yao等旧u的少本文基于迭代思想设计了简单的算法对该模型进行求解蒙特卡洛模拟结果显示，在偏差意义下，基于两步核估计方法的均值CVaR模型和算法准确有效，比现有方法的估计误差小最后将模型和算法拓展到存在无风险资产时的情形，并将它们应用到中国A股市场1 组合风险CVaR的两步核估计11 非参数核估计方法基础非参数核估计方法是近年发展起来的统计计量方法，它不需要事先设定任何的分布函数形式，而是在非常一般的条件下(如未知函数满足一定的光滑性等正则条件)
13、，利用收集的数据来拟合出分布函数，能够给出分布函数的稳健估计当对金融时间序列的分布函数进行估计时，大多数情况下，并不知道样本数据服从什么类型的分布，这时需要借助于非参数核估计方法给定一维时间序列的样本数据h：。，假设其密度函数和分布函数为连续可导的未知函数八菇)和F(并)，则它们的非参数核估计量分别为心21 r欠戈)2去；g(等)，。r (1)卢=厂。灭州丁=专荟G(孚)，一 J，一l 、 凡 ，其中函数G(y)=J g(下)dr，而g(丁)称核函数，满足o1)种风险资产，第i种资产的收益率r。为随机变量，则，=(r，r：，k)为n种风险资产的收益率向量投资者在第i种资产上持有头寸为艽i，则x
14、=(算。，聋：，石。)就构成了投资组合，组合的收益率尺=工，n种资产在r期内的收益率记为h乙，其中r。=(r n，r：I一，r)，则样本均值向量r=丁。1，l，样本协方差f：lr阵s2=(丁一1)。1(，l一，)(，一，)投资组合I：l的收益率样本为尺。；：。，其中尺。=zr。，投资组合收益率的样本均值R=工，样本方差为zS2工记投资组合z在损失概率d下的VaR和CVaR分别为秽(z，a)和u(z，a)根据VaR的定义，投资组合的VaR数学表达式为秽(z，a)：=一infz：FR(z)ajFR(一秽(z，a)=d (2)式中F。()为尺的分布函数，设其连续可导根据CVaR的定义，投资组合的CV
15、aR数学表达式为刮u(工，a)：=E一尺l一尺(工，a)，一(ra)=一a。1 J 矾(z)出 (3)万方数据第5期 黄金波等：基于CVaR两步核估计量的投资组合管理 一117一式中厶()为尺的密度函数，E为期望算子，边际CVaR(marginal CVaR，MCVaR)被定义为组合CVaR对头寸的导数16】；H(工，d)=E一，I一尺秽(工，a) (4)由式(2)可知VaR实际上是组合收益率的下a分位数的相反数所以，可以利用前节介绍的核估计方法先估计(z)和，。(z)，然后基于估计出的分布函数来估计组合VaR和CVaR记秽(工，a)和M(z，a)的核估计量分别为0(工，0)和五(工，a)，根
16、据Scaillet161及刘静和杨善朝的研究，以下给出u(z，a)的两步核估计法第一步估计；(工，a)定义ft。，f丑，f，。：=(z先)1砉f-。g(三二L)其中g()为核函数，为窗宽，则尺的密度函数厶(z)和分布函数F。(z)的核估计量分别为(z)=1，R。，z， 一 (5)F。(孑)=J 1，尺。，rd丁上式经化简即为式(1)的特例从而，0(x，a)可以通过下式得到氕(一；(工，a)：r41，R。，下曲：a(6)FR(一秽(工，a)=J 1，R。，下d丁=a(6)第二步估计五(J，a)令，(f)=J rI，尺。，丁d下条件期望E，I一尺口(工，a)的估计量为丛丛生业-61，从而cvaR和
17、McvaR的核估计量为 五(工，仪)：羔笪蛐，Q(7)，五(工，a)：型趔13组合风险CVaR的凸性引理1231 组合风险CvaR对组合头寸的二阶导数矩阵的解析式为曼：i量羞主箬上=p(o)1一P(o)一1yr I尺=一秽(工，d) (8)式中p()为一尺一口(工，a)的概率密度函数；P()为它的分布函数；y为方差算子由式(8)容易看出理论上CVaR的二阶导数矩阵为半正定矩阵，即CVaR满足凸性下面给出芝氅乏掣的核估计量，由式(1)，可得p(o)和 dxdxP(0)的核估计值分别为；(0)=(”嘻g(丛辜盟)，P(0)=又一砉G(半) ， (9)yr I尺=一(z，a)=E，I R=一tJ(工
18、，0f)一E，I R=一钞(x，a)E，I R=一口(z，a)则其核估计公式为y，I R=一口(工，a)=扣：g(半)l=J 、 ， 翻半)l：l 、 凡 ，隆g(譬掣)】降g(譬掣)翻堕掣(10)由此可得二阶导数矩阵的核估计量为旦：考羹丢主譬上=；(。)1一声(。)一y，I尺=一口(工，a) (11)定理1组合风险CVaR的二阶导数矩阵的 这里用到非参数核估计的回归技术，具体可见参考文献22的第6066页万方数据管理科学学报 2016年5月核估计量芷掣为半正定矩阵dxdx此定理的证明可参见文献15和文献232 均值-CVaR模型基础知识21均值-CVaR建模假设存在n(n1)种风险资产，资产
19、交易无摩擦，市场上不存在卖空限制，投资者的财富标准化为1，其它条件同上记P为元素全为1的玎维列向量，观为投资者要求的最低期望收益率，u为投资者愿意承受的用CVaR度量的最大风险，A为投资者的风险厌恶系数，均值CVaR最优化模型可由以下3种方式构建fmin u(z，d)(审1)卜j“【st E【尺】沉，zP=1rmax ER(2)“z“【st u(z，d)u，z 7P=lrmax E尺一A(z，仅)，A0(1lr3)“j“【st 工，P=l令参数沉，M，A变动，便产生了各自意义下的均值CVaR组合边界Kmkhmal等(241证明在一定条件下，3种模型得到的组合边界是等价的，所以，下文只讨论模型1
20、lr，假设市场引入一个无风险资产rf为无风险资产的收益率x=(菇。，石：，戈。)为投资者在风险资产上持有的头寸，则(1一工7P)为投资者在无风险资产上持有的头寸投资组合的收益率R=(1一ze)rf+工r根据CVaR的平移不变性4，存在无风险资产时组合cVaR为u(rf，工，a)=一(1一xP)rf+u(x，d) (12)由此，可以建立含有无风险资产时的均值CVaR模型fmin一(1一工F)rf+M(z，a)(A。)一j4【stE尺沉rmax E月(A2)“j“【st 一(1一工7P)rf+u(工，d)u(人，)max E尺一A一(1一xP)rf+u(工，a)，AO22 正态分布假设下的均值-C
21、瓢瓜模型与显示解在凡(n1)种风险资产的收益率，服从联合正态分布(p，三)的假设下，投资组合的CVaR可表达成期望和标准差的线性组合汹1(工，d)：一E尺+尘羔三生!盟式中盯()为标准差算子；咖()为标准正态分布的概率密度函数；乙为标准正态分布的下a分位数均值CVaR模型退化为均值一方差模型，以问题叩为例，退化为(l，：)f翼粤(工，a)=一E尺+半Lst E刚=z0吼， 工P=1利用均值一方差的组合边界表达式，可以得出均值一CVaR的组合边界表达式为旧纠 警一掣舯(气)2 旦、7I了Jc2其中A=P三一p；日=p 7三p；c=P三-1P；D=BCA2在引入一个无风险资产的情况下，均值一CVa
22、R的组合边界方程为251 等嬲严：掣，细(孑。)2 月、。其中日=cr；一2A rf+B在实践中，通常并不知道真实均值向量和协方差矩阵，所以还要估计这n种风险资产收益率的均值向量和协方差矩阵通常的做法是，用n种风险资产的样本均值向量于和样本协方差矩阵酽代替理论均值向量弘和理论协方差阵三，这样可以得到正态分布假设下的均值cVaR曲线的近似估计本文把这种在正态分布假设下将样本均值向量和方差阵带人到均值CVaR曲线表达式的做法叫做传统方法3 基于CVaR两步核估计量的均值-CVaR模型31模型与求解在两步核估计的框架下，模型霍。啦，里的万方数据第5期 黄金波等：基于cVaR两步核估计量的投资组合管理
23、 一l 19一理论CVaR都用核估计量五(工，a)代替，投资组合的期望收益率用其样本均值代替以问题尘为例，在两步核估计框架下，问题变为 fmin乏(苫，a)：_丑蛐(1lr”I)卜” a【。t 五：工，歹吼 工，P：l由于五(工，a)的两步核估计中用到VaR的核估计量勘(工，理)和窗宽，所以两步核估计框架下的均值-CVaR模型必须同时满足如下约束条件条件1 满足窗宽的估计公式=106r。0 2石Js2工条件2 0(工，a)满足VaR的估计式(6)，一；(，d)f 1，R。，丁d丁=a直接求解上面优化问题难度是很大的，由于；(j，a)没有显示表达式，条件l和条件2无法以显示表达式的形式进入优化问
24、题，所以问题尘：的目标函数也不是决策变量的显示表达式然而，仔细观察可以发现，条件1和条件2实际不是对z取值的约束给定石值，可以通过条件l和条件2计算出，刍(工，a)，然后基于此可以估计出五(工，a)，这正是CVaR两步核估计的思路所以，这一特点为利用迭代算法求解问题提供了方便 设定啪ge函数L(工，p1，心)=五(工，a)+pl(工r一吼)+(z P一1) (15)记y=(z。，肛。，心)，则一阶条件为，=筹=(t，)=石其中，=。M(工，a)+弘l，+舰P，匕。=工r一沉， (16)k=工el由于，五(z，a)的复杂性，从一阶条件中得到显示解是十分困难的定义二阶导数矩阵，。+ L单。 L掣：
25、、肚翥=卜f ，L：，乙班。 舭：L。，=旦：i妻丢；譬上，掣，=丘。，=；， (18)arg畸n C1，工z，小r一口J=c”1毫厶(宰卜汀1塞G(竿) t=i 、 儿 7万方数据一120一 管理科学学报 2016年5月式中g()和G()是分别取标准正态分布的密度函数和分布函数容易算得，lim侈(口)=l，lim毋(秽)=0，又因为毋(秽)为连续函数且a(0，1)，由介值定理，方程痧(口)=a至少存在1个解简单推导可得毋b)一r1蚤g(二竽)1)种资产收益率向量r服从n维正态分布J7、r(肛，三)，协方差阵三正定，则由Cholesky分解得三=QQ，Q为上三角矩阵令r=p+Q8，为n维标准正
26、态分布，通过简单推导可知r(p，互)，这样通过8就可以生成多维正态分布(肛，三)的随机数本文以下模拟数据都通过cholesky分解法生成令p=(10 15 20)，f 1 l o 1互=l 1 4 3Io 3 9J模拟1设定风险资产数量n=3，资产收益率服从正态分布(弘，三)，模拟过程如下第1步，采用Cholesky分解生成多元正态分布的样本，取样本容量r=500，1 000，1 500，2 000，4 000，8 000，设定损失概率分另0为1，5和10第2步，在每个样本容量和概率下，取30个不同的收益率mi，i=l，2，30，用以下4种方法计算每个收益率对应的最小CVaR1)把m。，肛，三
27、代入式(13)，得到真实的最小CVaR，记为。；2)基于两步核估计框架下的非参数模型和优化算法(记为NP方法)估计出最小cVaR，记为M吼。；3)利用Yao等211的模型(记为YL方法)估计出最小CVaR，记为u，1i；4)基于Rock如llar和Uryasev5“1的线性规划方法(记为LP方法)，估计出最小cVaR，记为u。为比较后3种估计方法的精度，以NP方法为例，定义如下误差指标：绝对误差(absolute error，Ae)和相对误差(relativeerror，m)，有AenP 2刍荟一l，眠，：嘉圣监掣Q”第3步，重复前面两个步骤40次，即进行40次蒙特卡洛模拟然后将40次得到的误
28、差指标进行平均，得到平均绝对误差和平均相对误差(见表1和表2)表l平均绝对误差模拟结果Table 1 Simulation results of average absolute e肿r方法7 NP YL LP1 5 10 1 5 10 l 5 10500 O556 6 0547 7 0364 4 O629 O 0407 0 O387 5 0692 2 O433 2 042l 4l 000 O462 5 O377 6 O294 O O485 6 0322 2 O266 7 O427 3 O283 6 O219 2l 500 0419 2 O305 5 O245 2 O394 0 O285 2
29、O209 3 0248 4 0284 52 000 O380 0 0252 l O167 8 O371 7 O215 3 0178 8 0220 8 0196 84 Ooo O262 7 0221 2 O143 3 O234 5 017l 6 O134 9 O154 8 O158 68 000 O156 3 0105 8 O098 5 O177 6 0124 3 O105 3 O085 O需要说明的是，这里的数据是虚拟数据，数据的量纲(或单位)可以是任意的如果是金融资产的收益率数据，单位为1或1万方数据第5期 黄金波等：基于CVaR两步核估计量的投资组合管理 一121一从表1可以得出以下结论：
30、1)3种估计方法的平均绝对误差都随着样本容量的增加而减小，反映基于3种估计方法得到的组合边界随着样本容量的增加而收敛于真实的组合边界基于两步核估计方法和YL方法得到的组合边界收敛是因为随机变量的分布函数的核估计量一致收敛于真实的分布函数；2)3种估计方法的平均绝对误差都随着损失概率的增加而减小这是因为CVaR度量的是损失超过VaR的期望值，各种CVaR估计方法准确性受到质疑的重要方面就是极端风险的样本数据太少，以至不能全面反映尾部分布的特征a值越大，a分位数以上的样本点越多，从而能够有效利用的数据信息越多，估计也更加准确另外a值越大，cVaR的绝对数值越小，从而估计方法的平均绝对误差的大小来看
31、3种方法的估计精度相当，在不同的样本容量和损失概率下，各有优劣但当损失概率较小，比如取l，或者样本容量较大时，LP方法失效这是因为LP模型里有n+1+r个自变量，2个等式约束和2r个不等式约束旧1|，LP模型里的自变量数和约束方程数随样本容量增加而增加，当样本容量r太大时，LP算法的收敛速度会降低甚至失效(表l和表2中，表示优化算法失效)而NP方法的模型里只有n个自变量，2个等式约束，而且随着样本容量r增加，两步核估计方法的估计精度越来越高YL方法的模型里有n+1个自变量，3个等式约束怛1|绝对误差指标没有考虑真值的大小，CV抓的真实值越大，它的估计值与真实值之间的绝对误差也会越大，所以剔除了
32、估计的绝对误差也越小是符合预期的；3)从3种 这种水平效应的相对误差指标更有意义表2平均相对误差模拟结果7rable 2 Simul撕r鹊tllts 0f盯erage陀l“ve enDr方法r NP YL LP1 5 10 l 5 10 1 5 lO500 0118 9 O169 8 O148 8 014l 8 0143 4 O166 l 0145 7 O13l 3 0168 31 000 O102 9 0114 8 O117 5 O109 7 O116 6 O123 8 0090 3 O084 l 0090 71 500 0089 0 0093 8 O099 6 O090 9 O097 l
33、O102 3 0077 2 O105 62 Ooo 0080 8 O077 7 O068 7 0085 O 0078 0 O087 4 O065 l 0077 44 ooO 0056 9 O068 9 O060 9 O057 0 0062 2 0070 4 O048 l O062 78 000 O034 3 0034 2 O042 2 O042 5 O046 l 0054 O O032 9从表2可以得出以下结论：1)同绝对误差指标相同，3种估计方法的平均相对误差都随着样本容量的增加而减小，这说明3种估计方法满足大样本性质；2)除了a=5，r=500和a=5，r=4 000外，NP方法的平均相对
34、误差都小于YL方法，说明NP方法的估计精度在大多数时候高于YL方法，这可能是因为NP方法里的自变量和约束条件更少；3)与LP方法相比，NP方法在小概率和大样本情况下表现更好，在实际的金融风险监管和金融机构的风险计算中，通常要计算小概率(小于1)下的CVaR，所以NP方法在实际应用中更加有效限于篇幅，图1仅给出了样本容量为4 000，损失概率为10时某一次的模拟结果(共模拟40次)，图上直观地显示：基于NP方法得到的组合边界几乎与真实的组合边界重合，而基于YL方法和LP方法得到的组合边界偏差较大表2的数据也显示样本容量为4 000，损失概率为lO时，NP方法的相对误差(O060 9)小于YL方法
35、(O070 4)和LP方法(0062 7)图l 3种估计方法的精度比较啮l COIIlI埘蛐0f硎mali鲫u嗽y based on NP，LP舳d YL r袖0ds万方数据一122一 管理科学学报 2016年5月模拟2假设资产数量n=3，资产收益率向量，服从3维分布。(弘，三)，其中均值p和散度三取值同上，m为自由度，本例取5设定样本容量为8 000，损失概率为1，分布随机数的生成可采用cholesky分解法本文分别基于NP方法、YL方法和传统方法(记为MN方法)估计多维z分布下的均值一CVaR曲线，并与真实的均值一CVaR曲线比较在多维t分布的情形下CVaR可表达成均值和方差的线性函数旧列
36、u(工，a)=一E尺+七。盯(尺) (20)其中 和吉者黜(-+鲁)丁式中f。一。为自由度为m的经典一维分布的下la分位数；r()为Gama函数将式(13)中的9(z。)n替换成矗。可得到多维#分布下真实的均值CVaR曲线结果见图2从图中可以得出以下结论：首先，MN方法，即传统方法，是在正态分布假设下将样本均值和样本方差阵代入式(13)得到均值一cVaR曲线的估计，如果真实分布不是正态分布(本例中是多维分布)，这种方法将是有偏的，图2直观地显示MN方法系统地低估投资组合的风险；其次，对比图1和图2可以发现，在相同的均值向量、方差阵(或散度)和损失概率下，多维分布下的极端(即小概率下)风险值要大
37、于正态分布，即在相同收益率下，多维分布下的有效前沿擎=的CVaR更大第三，NP方法和YL方法估计出来的均值CVaR曲线与真实的均值CVaR曲线比较接近，而NP方法的估计偏差更小一些图2多维分布下的均值CVaR曲线估计Fig2 M唧一CVaR curv圆esmation under咖dbv撕ate t dis岫buti33实例分析本节选取我国A股市场10只股票的日收益率数据进行实例分析，它们是：万科A、深物业A、深深宝A、云南白药、铜陵有色、格力电器、罗牛山、承德露露、新希望和青岛啤酒数据期间为200701一0120121231，由于在某些交易日，有些股票由于各种原因会停盘，所以必须选出那些每只
38、股票都有交易的交易日收盘价数据，经过删减和匹配处理后，每只股票的可用日对数收益率数据为1 278个由于日对数收益率数据都很小，为了方便，把所有的日对数收益率数据都乘以100容易算得10只股票日对数收益率的样本均值和样本协方差阵分别为，=(一0012 l 0058 1 0103 9 0090 9 0038 1 0091 3 O043 6 O027 9 0062 3 0030 6)7633 5 o089 3 一o钾8 5 一o084 9 0058 5 013969 028D 5 o104 3 0015 4 一o173 7、0089 3 11684 8 一ocr7l 8 o190 9 o870 7
39、o515 8 0048 2 0885 5 0185 O 一0016 20478 5 0cr7l 8 14046 0 o118 9 0169 3 0l 562 9 o480 7 0265 7 0033 3 0268 8一o084 9 01909 O1189 4901 1 0099 2 o145 1 o381 6 o6820 o057 8 0c155 6o058 5 o870 7 0169 3 0099 2 12612 O 0139 O 0615 9 o_608 0 0-43ll 0266 80396 9 0515 8 o562 9 o145 l o139 O 6994 0 0383 6 o-55
40、4 0 0112 1 o381 50280 5 一oO牾2 0480 7 o381 6 0615 9 o383 6 1 o264 6 0316 2 0296 8 o648 90104 3 0885 5 0265 7 0682 0 o608 0 0554 O o316 2 6986 6 一o083 0 0178 1o015 4 一O185 0 0033 3 0c157 8 o431 1 0112 l 0296 8 一o083 0 l o91l 3 00趁0一o173 7 0016 2 0268 8 00155 6 0266 8 o38l 5 o648 9 o178 1 00220 5282 0一
41、本文分别基于传统方法(即MN方法)、NP方法、YL方法和LP方法4种估计方法得到a=多维分布随机数的生成过程可见参考文献265时的组合边界(见图3)传统方法假设这10支股票的联合分布为正态分布，而另外3种估计万方数据第5期 黄金波等：基于CVaR两步核估计量的投资组合管理方法都不需要对分布进行事前设定在实践中，事先并不知道这10只股票的收益率服从何种分布，从估计的结果来看，如果这10只股票的联合分布确实服从正态分布，那么传统方法与另外3种方法得到的组合边界趋向一致，图3并没有显示出这种趋势特别是在组合边界的下半部分，传统方法估计出来的组合边界明显不同于其它3种估计方法得到的结果，而其它3种估计
42、方法得到的组合边界趋向于一致，这也就说明这lO只股票的联合分布不服从正态分布在不服从正态分布情况下，传统方法将是有偏的，它给出的组合边界不是最有效的，也就是说它基于正态分布假设给出的CVaR估计式本身是不恰当的，所以在优化模型里得到的最小化CVaR并不是真正的最小CVaR图3中国A股市场的均值-CVaR曲线估计Fig3 M啪一CVaR cun髑estimtion of ChineAsha陀market4引入无风险资产41模型与求解在两步核估计的框架下，模型A。一模型A3里的理论CVaR都用其两步核估计量五(工，a)代替，投资组合收益率的期望用其样本均值代替以模型A为例，在核估计框架下模型变为r
43、min 一(1一x口)rf+u(z，0c)(A：)“【。t 焘：(1一工，P)，+工，；吼由于五(工，a)的两步核估计需用VaR的核估计量玉(z，a)和窗宽，所以模型A，A3需满足前述的条件1和条件2同问题屯：一样，很难得到问题人：的解析解，但能求出其数值解，求解算法与31节相同，只是引入无风险资产后拉格朗日函数里的变量少了1个，在迭代算法步骤2，组合CVaR的计算公式变成(rf，j，a)=一(1一工IP)rf+五(工，a)42蒙特卡洛模拟模拟3仿照基于均值一方差模型的资本市场线定义，本文把存在无风险资产时均值一cVaR模型的有效边界定义为资本市场线(capital m廿ket line，CM
44、L)假设存在3种风险资产和1种无风险资产，风险资产的收益率服从联合正态分布(肛，三)，p和三取值同上无风险资产的收益率为05，取样本容量为4 000，损失概率5将真实参数代人式(13)和式(14)可以得到真实的组合边界曲线和CML，基于两步核估计框架可以得到估计出来的组合边界曲线和cM L从模拟结果来看(见图4)，基于两步核估计方法得到的cML和真实CML非常接近，说明利用两步核估计方法对CVaR进行估计是合适的，引入无风险资产后，本文的模型和算法也是可行且准确的20 一一 一v j1 8_。” ，十，lrl，6 一+J。r， ，r未14 ， (：U。三二 I：m“日姜 ， 均饵-ch，。l
45、0 ，一。 一均值一“aR“m 。，0一，06 一卜，o暗一一丽l：j一jb!5甜)一jjji)“掘J图4均值一CVaR曲线和CML(d=5)Fig4 Me蛐-CVaR curves卸d c印i“marketlines(d=5)43实例分析继续使用33节的10只股票作为风险资产，取无风险资产收益率为l，分别估计损失概率为3和5时的组合边界曲线与CM L值得注意的是，与基于均值一方差模型的资本市场线不同，基于均值一CVaR模型的资本市场线不过点(0， 由于前面10只股票的日收益率都乘以100，此处无风险资产的日利率取为l是合适的万方数据一124一 管理科学学报 2016年5月r，)，而是过点(一
46、r，r，)，模拟结果也证实了这一点，即CML与纵轴交点的纵坐标不是1(见图5)另外，虽然没有严格的证明，但模拟的结果显示在各自的损失概率下，组合边界曲线和CML相切，这一点说明在非正态分布情况下，CAPM依然成立最后值得一提的是，这里的估计结果完全是利用样本数据基于本文的两步核估计方法建模并通过简单迭代算法计算得到，不需要任何的分布假设和参数设定，只需要一组样本数据，前面的蒙特卡洛模拟说明这种方法是准确有效的一cm把。叭。卜蜀纽璐。，磐： J一。l一均值删氐一z夕 J零 。0，_：，遥o06 。： 1露 ， 、O04 一 、 J。 。O02 ， 、 I 、o扣1亨1矿1r石r爱厂葡厂蠢蠢刊CVaR(1图5中国A股市场的均值一CVaR曲线和CML估计Fig5 Me蚰CVaR cun，es卸d c印ital mad【et lin船of Chine靶Ashare madct蟑5 结束语一直以来，金融风险的估计和基于均值一参考文献：风险模型的投资组合选择理论相对独立发展，本文尝试将二者结合起来，建立一个完整框架实现风险估计与投资组合优化同步进行近年来核估计方法因具有模型设定灵活、能够抓住金融序列的尾部风险特征、允许数据序列相依等优点，备受国内外学者的关注，是对金融市场风险进行估计的