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1、拳短吠孽硕士学位论文基于混沌系统的图像加密算法研究密 域保密期限ReseaJeh oll Image Enerypfion Algorithn Basedoil Chaotic System学 号姓 名学位类别学科专业(工程领域)指导教师完成时间答辩委员会主席签名P14201061王可工学硕士通信与信息系统李晓辉教授2017年5月恋献万方数据独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得安徽大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同
2、志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。学位论文作者签名：工j 签字日期： 20l-7 年亏月岁1日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解安徽大学有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权安徽大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。(保密的学位论文在解密后适用本授权书)学位论文作者签名：王j 导师签名：签字曰期： 201年箩月岁1日 签字目期： 渺勃7I 7年f月弓日万方数据摘要计算机和互联网技术的发展使信息的传输变得十分方
3、便，多媒体数据被频繁使用，但在完全开放的传输环境下，非法窃取、篡改等攻击行为对信息安全构成了很大威胁。数字图像作为主要的信息载体，在医疗、军事等领域作用非常突出，其传输安全问题广受关注，图像加密技术是保护图像信息的一种有效方法。图像数据量大、冗余度高的特点让传统加密算法不再适用，而混沌系统的初值敏感性、伪随机性、遍历性等特性则很符合图像加密要求，在加密安全性和效率上有明显优势，混沌图像加密也成为图像加密技术的一个重要分支。随着对图像加密算法各方面性能的要求持续提高，混沌系统正在朝高维、超混沌不断演进，同时混沌图像加密所涉及的研究范围也越来越广。本文介绍了混沌理论、密码学等基础知识以及混沌系统在
4、图像加密中的应用，研究了混沌图像加密与DNA计算、压缩感知理论的结合，在相关研究成果的基础上，提出两种图像加密算法，并进行了理论分析和Matlab仿真实验。一种是基于混沌系统和DNA编码运算的图像分块加密算法。针对图像加密过程中DNA编码方式和运算操作较为单一的问题，采用对图像分块处理的方式，将加密对象从一整幅图像转化成一个个图像块，利用超混沌系统生成的序列随机选择编码和运算方式，提高加密过程的复杂度，并且实现了类似一次一密的加密方式，实验结果以及安全性分析证明了算法的可行性，能够有效抵御多种攻击。另一种是基于混沌系统和压缩感知的双图像加密算法，该算法能同时完成对两幅图像的压缩与加密，并且在整
5、个过程中两图像相互关联，利用测量过程本身的加密作用与基于超混沌系统的置乱和扩散操作来保证图像信息安全，实验结果和分析证明算法具有良好的加密效果和压缩性能。关键词：图像加密；混沌系统；压缩感知；DNA编码运算；万方数据AbstractThe development of computer and Intemet technology has greatly facilitated thetransmission of information，and nowadays multimedia data is widely usedHowever，due to the openness of tran
6、smission environment，kinds of attacks such as theft andtampering pose a great threat to the security of informationAs a main carrier ofinformation，digital image plays an important role in medical，military and other fields，its security has attracted much attentionImage encryption technology is an eff
7、ectivemethodImage has many characteristics such as bulky data capacity and high redundancy，which make traditional encryption methods like DES，AES no longer applicableTheproperties of chaotic system such as high sensitivity to initial condition，pseudo-randomness and ergodicity can meet the requiremen
8、ts of image encryptionand bring advantages in security and efficiency,making chaotic image encryption animportant branch of image encryptionWith the increasingly high requirements on performance of image encryptionalgorithm，chaotic System is developing towards high-dimension and hyper-chaotic，and th
9、e realm of chaotic image encryption is growing wider and widerThe paperfirstly in仃oduce chaos theory,basic knowledge of cryptography and the application ofchaotic system in image encryption，then focus on the chaotic image encryptioncombining with DNA computing and compressive sensingOn the basis of
10、domesticand foreign related research，two image encryption algorithms are proposed withtheoretical analysis and simulmion experimentsAn image block encryption algorithm based on chaotic system and DNA codeoperation is proposedTo solve the problem that the mode of DNA encoding andoperation is limited，
11、the object to be encrypted changes from whole image to imageblockComplexity of the algorithm is increased by using pseudorandom sequencegenerated by hyper-chaotic systemThe algorithm also has similar effect ofone-time-one-keyThe simulation experiments and security analysis demonstrate thatII万方数据the
12、algorithm has ideal encryption effect and resistance to kinds of attacksA double-image encryption algorithm based on chaotic system and compressivesensing is proposedThe algorithm can accomplish encryption and compression ofimage simultaneously,the two plain images are interrelated during the proces
13、sEncryption effect of measurement and permutation confusion based on hyper-chaoticsystem can protect the securityResults and analysis of simulation experimentsdemonstrate that the proposed algorithm has good encryption effect and compressionperformanceKeywords：Image encryption；Chaotic system；Compres
14、sive sensing；DNA codeoperationIII万方数据目录第一章绪论111课题研究目的及意义112国内外研究现状213论文主要工作与安排5第二章混沌密码学与混沌图像加密621混沌理论一6211混沌的定义6212混沌的特性8213混沌的判定9214几种典型的混沌系统1l22密码学基础14221密码学基本概念14222密码分析1623混沌图像加密1624本章小结19第三章基于混沌系统和DNA编码运算的图像分块加密算法2031 DNA编码与运算2032加密算法和解密算法2l321加密算法结构21322加密算法和解密算法设计2233实验仿真及性能分析25331实验仿真结果25332
15、直方图分析26333信息熵分析26334相邻像素相关性分析27335密钥敏感性分析28336密钥空间分析29IV万方数据34本章小结29第四章基于混沌系统和压缩感知的双图像加密算法3041压缩感知理论3042加密算法和解密算法32421加密算法结构32422加密算法和解密算法设计3343实验仿真及性能分析36431实验仿真结果36432直方图分析37433信息熵分析37434相邻像素相关性分析37435密钥敏感性分析38436密钥空间分析39437压缩性能分析一4044本章小结41第五章总结和展望4251总结4252展望42参考文献。44致谢49攻读硕士期间的研究成果以及参与的科研项目50V万
16、方数据第一章绪论第一章绪论11课题研究目的及意义在过去的几十年里，计算机网络以及多媒体通信等相关技术取得了飞速的发展，给信息的传输带来了极大便利，电子邮件、视频通话等新的交流方式大量涌现，人们对于信息的需求呈爆炸式增长，与此同时，各种通信设备的普及使得信息交互愈加频繁，每时每刻都有海量的多媒体数据通过网络传播，例如文本、图像、视频、语音等，信息载体的多样化为社会生活增添了很多乐趣，在众多的信息载体中，图像生动形象、信息量丰富的特点使其在商业、军事、医疗等领域均扮演着重要角色，在多媒体信息中占据着非常高的比例，很多情况下图像甚至被视为第一选择。由于传输环境的开放性，信息在传输过程中面临各种不确定
17、因素和潜在隐患，例如非法篡改、复制，据美国联邦调查局统计，全球互联网每20秒钟就会有一次黑客攻击。部分信息可能涉及到个人隐私、军事情报，属于高度机密，一旦遭到来自不法分子的恶意攻击，势必对个人乃至国家造成不必要的损失，因此信息安全问题引起了人们的关注。信息安全特性包括保密性、完整性、可用性和可控性【11。为了保证信息的可靠传输，研究者们发明了多种安全处理措施，加密就是其中的一种。在信息化的时代背景下，政府部门、通信网络、金融系统等机构中的加密处理变得越来越不可或缺。重要信息通过各种变换转化成不可识别的形式在公开信道传输，在没有正确密钥的情况下无法恢复，以防被窃取利用，这是加密的核心思想。随着密
18、码学研究不断深入，逐渐形成了一套完善的体系，已经有不少性能上佳的加密算法可供选择。AES、DES等加密算法自提出以来已经有着广泛且成熟的应用，不受待加密信息类型的限制，全部都当作二进制流来处理，这样保证了加密的透明性，起初主要是针对文本数据，对图像也是可以采用的。图像数据量大、冗余度高、能量分布不均匀，并且考虑到人眼的视觉敏感度，一定程度上的失真是可以接受的，如果沿用类似加密算法的话，会产生计算量过大、效率低等问题，无法满足当今社会对信息实时性的需求，而且对图像的存储万方数据基于混沌系统的图像加密算法研究格式造成破坏，因此诸如AES、DES等传统的加密算法就不再适合用于图像，需要充分考虑图像的
19、自身特点，设计专门针对图像信息的安全加密算法。图像加密实际上就是利用密码学方法保护图像数据的技术，因而也属于密码学范畴。图像加密算法种类繁多，已经涉及到压缩理论、编码理论等多个学科，例如按作用域可分为空域加密和变换域加密，而按加密对象又可分为像素层次加密和比特层次加密。不同算法在安全性、复杂度等方面各有优缺点，其中基于混沌系统的图像加密算法一直以来都是研究重点，研究者们设计出了大量的相关图像加密算法。混沌系统是一种特殊的非线性系统，融合了确定性与随机性，与密码学有着诸多共通之处，其特性与加密过程非常契合，例如非周期性、初值敏感性、随机性等都很好地满足密码学要求，与香农在论文“Communica
20、tion Theory ofSecrecy System”中提出的混淆和扩散原则都能对应，利用混沌系统来对图像进行加密在效率以及安全性上相较于传统加密算法优势明显，此外，控制初始值和参数产生序列的方式也十分灵活，所以混沌图像加密算法的提出也就顺理成章了。混沌图像加密的发展显然与混沌理论息息相关，也可以和其他理论结合以进一步提高算法性能，例如信息处理领域中的压缩感知理论、生物学中的DNA计算等，因此在信息化潮流下，混沌图像加密涉及到的领域将会越来越多，有着极为广阔的研究前景。12国内外研究现状混沌理论的起源可以追溯到20世纪初，但其应用于信息安全领域的时间并不是很长，初期只停留在理论阶段，进入九
21、十年代后，混沌控制2。31与混沌同步(4。5】的突破性进展起到了很大的推动作用，为混沌理论迈入实际应用阶段铺平了道路，混沌理论成果开始受到人们的重视。1989年Mattews第一次在加密过程中引入混沌系统，将Logistic映射作为密钥流生成器的创新想法给予了研究者们极大的启发，拉开了混沌密码学研究的序幕。由于图像的重要性和特殊性，对于图像的加密逐渐成为密码学的一个主要分支。1998年Fridrich利用二维混沌映射针对图像提出了经典的置乱扩散加密架构，这一架构为现代图像加密算法的设计奠定了基础。万方数据第一章绪论混沌理论的引入丰富了图像加密研究内容，随着传统加密算法的缺陷渐渐被发现，基于混沌
22、的图像加密技术成为研究者们新的突破口，进展十分迅速，自2000年以来国内外专家学者提出了大量的有关图像加密算法。随着计算机数据处理能力的不断提升，密码分析破译难度越来越低，越来越多的加密算法被证明是不安全的，因此混沌图像加密算法也在不断演进，超混沌系统、分数阶混沌系统相继被提出，此外，在不同应用场景下，对于算法的要求也是不一样的，有的时候侧重实时性，有的时候则更侧重高质量，仅仅通过混沌系统可能很难达到，结合其他领域理论的优点来构建不失为一种理想选择。不论是置乱阶段还是扩散阶段，混沌的初值敏感性、伪随机性等特性均能发挥巨大作用。Guan等【6】首先利用Arnold变换置乱图像像素位置，随后采用C
23、hen系统产生的序列改变像素值。一些传统混沌系统的混沌特性不是很好，特别是在计算机精度的限制下，离加密算法安全性要求尚有一定差距，往往需要从不同方面改进，官国荣等【7】针对Lorenz混沌系统存在的不足进行了改进，并通过动力学分析验证，最后利用改进后Lorenz混沌系统产生的序列进行置乱和置换操作，仿真实验证明安全性有了显著提升。几个经典混沌系统自提出以来已被大量针对性研究，它们的动力学行为都可被预测，所以基于单一混沌系统的图像加密算法抵抗攻击的能力比较有限峭母J。刘浏等10在对彩色图像加密的过程中使用了Amold、Logistic和Henon三个混沌系统，首先用Amold变换对三个颜色分量像
24、素矩阵进行置乱，再用Logistic映射和Henon映射产生的序列完成扩散。Zhou等【ll】将Lo酉stic映射、Tent映射与Sine映射三者两两组合构造出三个具有优良特性的混沌系统并用于图像加密。混沌图像加密还可以延伸到变换域，通常会通过一些成熟的数学变换完成空域到变换域的转换，例如小波变换、傅里叶变换，空域加密与变换域加密的结合能进一步提高算法的抗攻击能力。Lai等【12】首先对图像进行分数傅里叶变换完成第一次加密，然后在变换域利用Logistic映射产生的矩阵再次加密，最终取得了理想的加密效果。多参数的变换本身也可以提供加密作用，通过控制参数来控制变换过程，正被越来越多的使用，Lan
25、g等【1 3】在图像加密过程中使用了保实多参数分数傅里叶变换，Zhou等【14】贝0使用了多参数离散分数随机变换。一般经逆变换后得到的图像相较于原始图像会有一定的信息损失，但由于人眼视觉对图像失万方数据基于混沌系统的图像加密算法研究真具有较高的鲁棒性，所以有损图像加密是允许的。此外，为了减少加密所耗时间，可选择只对图像的一部分数据进行加密，即图像选择加密，关于图像选择加密的研究也在逐渐开展。混沌系统在图像加密中的应用从低维系统开始，低维混沌系统含有的参数较少，结构较为简单，但基于低维混沌系统的加密算法是比较脆弱的，目前已经找到不少方法成功的破译【”。1 7】，于是研究者们开始了对超混沌系统的大
26、量研究。超混沌系统更为复杂，也更难以预测，可以看做是混沌系统的全面升级，能够较大程度提高破译难度，像常用的空间重构、穷举分析等方法对其都是很难奏效的，因而在密码学中应用时能更好的保证安全性。陈在平等181在AES图像加密算法中引入超混沌系统，对超混沌系统产生的序列排列构成S盒并替换明文图像像素灰度值，能很好地抵抗差分攻击。卢辉斌等119J首先提出了新的四维超混沌系统并对其动力学特性进行了分析，随后在新的超混沌系统基础上设计出一种图像加密算法，实验结果表明算法具有较高的安全性。除了不断改进混沌系统以提高算法性能，混沌图像加密与其他领域的理论结合也取得了很多成果，不仅拓宽了彼此的应用，也为图像加密
27、技术提供了新的思路。李敬医等【201将三维混沌映射与细胞自动机结合，首先利用混沌映射进行置乱，然后在比特级别利用细胞自动机进一步混淆，能在较少的迭代次数下实现良好的加密效果。丁群等【21】通过离散Hopfield神经网络产生伪随机序列并将其用于图像加密。压缩感知理论是目前国内外的研究热点，Orsdemir等【22】将压缩感知理论引入到图像加密过程中并证明了算法的安全性和鲁棒性，由于压缩感知理论的引入能够对图像起到数据压缩作用，因此具有很高的应用价值，此后一些基于压缩感知的图像加密算法相继被提出来，Huang等【23】提出了一种基于压缩感知的并行图像加密算法，算法结合了混沌系统，包含了s盒、异或
28、等操作，能有效抵抗选择明文攻击。DNA计算巨大的潜力引起了研究者们浓厚的兴趣，同时也为密码学指引了一个新的方向。Zhang等【24提出了一种应用DNA加运算的图像加密算法，对明文图像和混沌系统产生的序列编码并相加形成新的DNA序列，根据序列的值决定是否进行互补运算，最后DNA解码得到密文图像。涂正武等【25】提出一种基于4万方数据第一章绪论DNA序列的彩色图像加密算法，在比特位平面进行DNA编码、置乱，并加入了DNA运算中的加和异或操作。13论文主要工作与安排从上述分析可以看出，基于混沌系统的图像加密算法依然有着巨大的研究价值，在未来很长一段时间仍将是研究的热点。本文研究了混沌理论在图像加密中
29、的应用以及混沌图像加密算法的原理，特别是与DNA计算、压缩感知理论结合的新型图像加密算法。在对相关算法分析总结的基础上，结合现有研究成果，提出两种图像加密算法并进行理论分析和仿真实验。论文内容共分为五个章节，具体安排如下：第一章为绪论，首先说明研究混沌图像加密这一课题的目的与意义，然后介绍有关混沌图像加密的几个研究方向以及国内外研究现状，最后给出论文的主要研究内容和具体章节安排。第二章介绍了混沌理论与密码学基础。首先是混沌理论，包括混沌的几种定义、重要特性以及判定方法，并结合一些经典的混沌系统来具体说明。随后介绍了密码学中的基本概念、密码分析等内容。最后阐述了混沌理论与图像加密的密切联系，为后
30、面算法的提出提供理论基础。第三章基于混沌系统与DNA编码运算提出一种图像分块加密算法。介绍了DNA计算以及其在图像加密中的应用，对所提算法的加密过程进行了详细描述，最后对加密算法进行了仿真实验验证以及安全性分析。第四章提出了一种基于混沌系统和压缩感知理论的双图像压缩加密算法，同时完成对图像的压缩与加密，一次性传输两幅图像，并且两幅图像的加密压缩过程相互关联。最后对算法加以加解密仿真实验，分别从加密和压缩两个方面对算法性能进行分析。第五章对本文所做工作进行了简要的总结，指出还可进一步改进的地方，并对下一步的研究工作做出规划与展望。万方数据基于混沌系统的图像加密算法研究第二章混沌密码学与混沌图像加
31、密21混沌理论211混沌的定义20世纪初法国数学家庞加莱在研究三体问题的过程中发现确定性动力学方程的某些解是不确定的，首先预感到混沌存在的可能性。1963年美国数学与气象学家Lorenz在文章“决定性的非周期流”中提出了一个模拟天气情况的微分方程组，发现了初始值的细微改变会产生不可预测的结果，也就是著名的“蝴蝶效应”，这一奇特的现象马上激发了众多学者的研究热情，希望能够寻找到一个合理的解释，Lorenz也因这一开创性的工作被后人尊称为“混沌之父”261。混沌是非线性系统的奇异稳态演化行为，代表了自然世界里普遍存在的毫无规则、混乱无序的现象，例如天空中云彩的飘动、森林里溪流的奔腾，不同学科领域的
32、人为混沌赋予了诸多含义。混沌系统是一种确定的非线性系统，其表现出的随机行为实质上源于系统本身，将外在的随机性与内在的规律性融为一体，可以说是矛盾的统一。混沌的发现颠覆了人们的认知，对多个学科产生了极大的影响，在1977年意大利混沌会议召开后，混沌理论正式成为一门科学，并且与相对论以及量子力学被誉为20世纪物理学的三大成就，随着计算机技术的发展，关于混沌的研究经历了理论到应用的转变，混沌不再被认为是一种有害的行为，现在己拓展到各个研究领域，例如经济学27-281、生物学陟301、通信f31-3扣等，成为举世瞩目的研究课题。以下是混沌理论中的一些重要概念：吸引子：一种极限集合。随着时间流逝，相空间
33、中的轨迹都指向这个集合，而奇异吸引子是吸引子的集合。相空间：又称状态空间，在动力系统中指以状态变量为坐标构成的空间，能非常直观的描述系统运动演变过程。不动点：相空间中的一个点Xo，满足，叶00，x(O州o。分岔：指动力学系统因控制参数改变而在拓扑结构上发生的突变现象，连续万方数据第二章混沌密码学与混沌图像加密的分岔让系统产生质的变化，使系统从稳定走向混沌。这个发生改变的参数叫分岔点。分岔图可以直观的描述系统状态随参数变化的过程。混沌运动不属于确定性动力系统中的平衡态、周期运动和准周期运动，也与噪声有着根本上的区别，其奇异性以及复杂性使得人们目前还无法完全透彻的理解，因此对于混沌的定义还没有达成
34、统一。研究者们为了探寻混沌的本质，基于混沌在各自领域的应用，从不同的角度给出了不同的定义。而在众多的定义中，Li和Yorke在论文“周期三意味着混沌”中从数学层面给出的定义最具代表性，也被称作LiYorke定义。LiYorke对混沌的定义如下【33】：对于闭区间【a，b1-_1拘连续映射，如果能满足以下条件，则可认为厂在闭区间a，b】上是混沌的：(1)fN期点的周期无上界(2)在闭区间存在不可数子集S对任意X、yS，且x-Cylim suplf”(x)-f”(y)I0 (2-1)H-),00 对x、yESlim inflf”(x)-f”(y)I=0 (2-2)月_00 对xES和的周期点Yli
35、m supf”(x)一f”(少)|0 (2-3)rt-oo sup表示上确界，inf表示下确界。从LiYorke定义可以明确混沌系统的三个重要特征【34】：(1)存在可数的无穷多个稳定的周期轨道。(2)存在不可数的无穷多个稳定的非周期轨道。(3)至少存在一个不稳定的非周期轨道。1989年Devaney则给出了混沌的另一种定义，该定义是基于拓扑层面的，具体如下35-36：对于度量空间y上的连续映射如果能满足以下条件，则可认为厂在度量空间y上是混沌的。万方数据基于混沌系统的图像加密算法研究(1)初值敏感性：存在o-0，对任意eO以及x盯在x的巧邻域内存在Y和nEN,使d(f”(x)，f”(y)仃
36、(2-4)(2)拓扑传递性：存在kO，使得。(即nZ痧 (2-5)Z和y是y上的任意一对开集。(3)f的周期点集在y中稠密。关于混沌的定义还有smale马蹄、拓扑混合等。这些定义是混沌在不同侧面上的反映，具有本质上的共通性。212混沌的特性现实世界中绝大多数系统都是非线性的，混沌系统是非线性系统中的特例，虽然还没有统一定义，但一般都具有以下特性：(1)初始条件敏感性：混沌系统中系统初值与参数值的微小变化都会导致完全不同的序列，有些类似于众所周知的“差之毫厘，失之千里”。因此这种特性能够很好的满足密码学中对于密钥的要求。(2)随机性：指由混沌系统自身产生的行为具有随机性。需要注意的是，这种随机性
37、完全源自确定性系统本身，与外在因素不相关，所以也可叫做内在随机性。(3)有界性：尽管混沌系统的运动轨迹十分复杂、随机，但始终局限于某一范围内，通常称这个有限的范围为吸引域。有界性也说明了混沌系统在整体上的稳定。(4)遍历性：在吸引域内，混沌系统的运动轨迹会遍历所有状态点。(5)确定性：也可以理解为内在的规律性，当给定了参数与初值，那么相应的运动轨迹也就确定下来了，也说明了混沌系统的运动轨迹是可控的，从而让混沌系统的实际应用成为可能。(6)普适性：虽然混沌系统可能不尽相同，但在趋向混沌状态的过程中会表现出一些十分相似的特性，即混沌系统所固有的特性不会因参数或运动方程而万方数据第二章混沌密码学与混
38、沌图像加密改变。(7)分形分维：混沌系统的运动轨迹在相空间拉伸、折叠形成的自相似嵌套结构叫做分形。分维指混沌维数是分数的而非整数。只有充分把握混沌系统的动力学特性，才能对其进行精确控制，实现真正的应用。213混沌的判定正如前面所提到的，混沌系统是特殊的非线性系统，在大量非线性系统中只占小一部分，因此需要能够快速准确地进行分辨，这是后续分析、预测和控制的前提。可以在计算机模拟绘制系统的运动轨道，通过观察状态变量的变化情况直观判断，相关的方法有庞加莱截面法、功率谱法。系统在时域和频域上的特征都是其自身性质的反映，虽然相互对应但形式上很可能有极大不同，一个在时域上呈现不规则运动的系统可以在频域展现出
39、很强的规律性。功率谱能够描述出系统在频域上的信息，功率谱法顾名思义就是以功率谱作为依据，如果某系统的功率谱具有连续但不平稳的特征时，则可判定该系统是混沌系统。庞加莱截面法是另一种直观判断法，将对动力系统的相轨道研究转化为对一个截面交点的研究。在相空间适当选取一个截面即庞加莱截面法，不能包含轨线，也不能与轨线相切，把相空间连续轨迹与截面的交点叫做截点，然后观察截点的分布情况。当截面上有少数离散点时，即可判定运动为周期运动；当截面上有具有分形结构的密集点集时，即可判定为混沌运动。直观的判别方式简单方便，但在很多因素的影响下并不可靠，对于混沌系统的判定需要数学化的方法以及定量的分析以提高准确性，例如
40、Lyapunov指数、Kolmogorov熵。Lyapunov指数是描述系统运动的一个重要参数，它定量表征了相邻轨迹随着时间聚合或分离的情况，定义如下：以一维系统为例：Y=(x) (2-6)给定两个初值洳和勒+s，这样一开始的距离疡为8，将两个初值代入到式中，万方数据基于混沌系统的图像加密算法研究那么经过一次迭代后距离变为了：变为d。=If(Xo+占)一厂(xo)lI羞l。lsl (2-7)从式(2-7)可以看出轨迹分离或者靠拢取决于吼径过两次迭代后距离则c如=l罢I，：，。Ia-I=I篆I，：而l妾I，：知l占I c2-8，以此类推，经过玎次迭代后的距离为以=睁i-O乱H以=I警I HIlt
41、=， (2-9)从式(29)可以看出距离在每次迭代后都会产生变化，为了从整体上把握轨迹问的分离程度，假设轨迹以指数形式分离，即则以=P知防 (2-10)吲骢吉薯In隐 (2-11)一o。刀：芹 l功cl，A是对数平均值，也就是Lyapuflov指数。若Lyapunov指数大于0，则代表两轨道是分离的。Lyapunov指数小于0则意味着靠拢合并。Lyapunov指数对高维动力系统也同样适用，n维动力系统有个Lyapunov指数。首先考虑离散系统。对于在F的差分方程组xi+t-J(x,)，设为连续可微分的，则厂的Jacobi矩阵为：令厂(x)：荽：d甄 瓠一一挑 魄嘶 戗。阢 识一一叙。 瓯C瞳l
42、 呶”f212)万方数据第二章混沌密码学与混沌图像加密以=f(Xo)f(五)f(薯一。) (2-13)求出Z的n个复特征根，全部取模后按从小到大的顺序排列：I硝oIl歪oII。l (2-14)那么差分方程组的个Lyapunov指数就为以=lim-1i 1n弦l(七=l，棚)(2-15)对于刀维连续系统，在t=-O时以XO为中心，c(xo，O)为半径形成一个球体，由于各方向收缩和扩散的不一致，所以一开始的球体会随着时间t的变化逐渐成为一个椭球，设椭球第f个主轴的长度为E，(xo，班则，2维连续系统的第i个Lyapunov指数以为丑=lim kIn II占xo，,两011-)QOt Z(Xo(f=
43、l，2，z)(2-l 6)1l ，o)l、 、 7一般地，判定某一非线性系统是否为混沌系统就取决于它是否有个正的Lyapunov指数，这种判定方法也是目前最为常用的。具有两个或两个以上正Lyapunov指数的系统是超混沌系统，它的不确定性更强，因而更加难以预测。所以如果仅从安全性考虑，对于加密来说超混沌系统是更好的选择，目前已有很多研究者通过现有混沌系统成功构造出超混沌系统。通常超混沌系统至少是四维的，过去由于运算复杂的原因，使超混沌系统的理论分析和实际应用都有所限制，随着计算机技术的不断发展，该难题得到很好地解决，可以预见超混沌系统前景将更为广阔。214几种典型的混沌系统混沌现象不是凭空产生
44、的，混沌理论研究的开展是以存在的混沌系统为基础的。混沌理论学发展至今，很多的混沌系统相继被用于生产生活中，有离散的也有连续的，都展现了良好的特性，也有各自的特点，下面给出几种比较常见的混沌系统：(1)Logistic映射Logistic映射是一维的，形式简单，易于实现，是最典型的混沌系统，其定义如下：万方数据基于混沌系统的图像加密算法研究Xn=txnl(1-Xn1) (217)叫做分支参数，它决定了系统的演变过程，当35699456，使长度均为MIt+Nt。I呵分解为8个比特面，即卢fl赴如西秀拓f7如)，将相邻的比特面合并得ll=ili2)，12=i3i4)，h=isi6，14=i7i8)，
45、令四个初值x(O)、畎0)、反0)、办(0)分别为 x(o)：趔、7 3MN巾)：焉等(3-4)z(01=坐塑 、7 3MN帅)：瓷等(6)xi和劬)分别决定着J与置各子块的DNA编码方式。以)为例，对应J，令序列中的所有元素按式(35)进行变换x，=mod(floor(x，104)，8)+1 (3-5)floor(x)表示不大于x的最大整数。显然Xi只有8种可能，按照从左到右，从上到下的顺序，J中第i个子块的DNA编码方式为麓，即块中每个像素都按照编码方式Xi转化为DNA序列。(7)乃决定着J与R对应块之间的运算方式。将锄)的所有元素按式(36)进行变换万方数据基于混沌系统的图像加密算法研究z，=mod(floor(zf1 04)，3)(3-6)这样乃)就只由0，1和2三种元素构成。分三种情况讨论：若刁