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1、2022年4月13日高中数学必修三课件全册（人教A版）第一章第一章 算法初步算法初步算法知识结构：算法知识结构：基本概念基本概念算法算法基本结构基本结构表示方法表示方法应用应用自然语言自然语言程序框图程序框图基本算法语句基本算法语句顺序结构顺序结构条件结构条件结构循环结构循环结构辗转相除法和更相减损数辗转相除法和更相减损数秦九韶算法秦九韶算法进位制进位制赋值语句赋值语句条件语句条件语句循环语句循环语句输入、输出语句输入、输出语句算法的定义：算法的定义： 通常指可以用计算机来解决的某一类通常指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和
2、有效的，而且能够在有限步须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成。之内完成。算法最重要的特征：算法最重要的特征：1.有序性有序性 2.确定性确定性 3.有限性有限性算法的基本特点1、有限性一个算法应包括有限的操作步骤，能在执行有穷的操作步骤之后结束。2、确定性算法的计算规则及相应的计算步骤必须是唯一确定的，既不能含糊其词，也不能有二义性。3、有序性算法中的每一个步骤都是有顺序的,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步后,才能执行后一步,有着很强逻辑性的步骤序列。 用用程序框、流程线程序框、流程线及及文字说明文字说明来表示算来表示算法的图形称为程序框图，它使算法步骤显得法的图形称为程序框图，它
3、使算法步骤显得直观、清晰、简明直观、清晰、简明. .终端框终端框 (起止框起止框) 输入、输入、输出框输出框 处理框处理框 (执行框执行框) 判断框判断框 流程线流程线 连接点连接点 二、程序框图二、程序框图程序框图又称流程图，是一种用规定的图形，指向线及程序框图又称流程图，是一种用规定的图形，指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。文字说明来准确、直观地表示算法的图形。程序框名称功能终端框（起止框）表示一个算法的起始和结束输入、输出框表示算法的输入和输出的信息处理框（执行框）赋值、计算判断框判断一个条件是否成立，用“是”、“否”或“Y”、“N”标明二、程序框图二、程序框图l1、顺序结构
4、l 2、条件结构l 3、循环结构步骤步骤n步骤步骤n+1满足条件？满足条件？步骤步骤A步骤步骤B是是否否满足条件？满足条件？步骤步骤A是是否否循环体循环体满足条件满足条件?否否是是循环体循环体满足条件满足条件?是是否否先做后判，先做后判，否去循环否去循环先判后做，先判后做，是去循环是去循环二、程序框图二、程序框图l1、顺序结构设计一算法,求和1+2+3+ +100，并画出程序框图。算法：算法：第一步：取第一步：取n=100；第二步：计算第二步：计算 ；(1 )2nn 第三步：输出结果。第三步：输出结果。开始开始结束结束输入输入n=100s=(n+1)n/2输出输出s二、程序框图二、程序框图l2
5、、条件结构算法：算法：第一步：输入第一步：输入x;第二步：如果第二步：如果x0；则输出则输出x；否则输出；否则输出x。设计一个算法，求数x的绝对值，并画出程序框图。YN结束x0输入x开始输出x输出-x算法分析：实数算法分析：实数X的绝对值的绝对值(0)(0)xxxxx二、程序框图二、程序框图l3、循环结构AP是是否否否否 是是AP（A）AP否否是是（C）是是 否否AP（B）（D）直到型循环结构对应的程序框图是 当型循环结构对应的程序框图是 直到型循环结构直到型循环结构 当型循环结构当型循环结构 AD 设计一个计算1+2+3+100的值的算法，并画出程序框图。算法：算法：第一步：令第一步：令i=
6、1,s=0;第二步：第二步：s=s+i第三步：第三步：i=i+1；第四步：第四步： 直到直到i100时时,输出输出S，结束算法，否则返回第二步。结束算法，否则返回第二步。程序框图如下：程序框图如下：i100?i=1开始输出s结束否是s=0i=i+1s=s+i否否 是是循环体循环体条件条件循环结构循环结构直到型循环结构直到型循环结构 设计一个计算设计一个计算1+2+3+100的值的算法，并画出程序框图。的值的算法，并画出程序框图。算法：算法：第一步：令第一步：令i=1,s=0;第二步：若第二步：若i=100成立，则执行第三步；否则，输出成立，则执行第三步；否则，输出s，结束算法；，结束算法；第三
7、步：第三步：s=s+i；第四步：第四步：i=i+1,返回第二步。返回第二步。i=0 THEN PRINT XELSE PRINT -XEND IF程序程序:INPUT XEND条件语句：条件语句：练：设计一算法练：设计一算法,求和求和1+2+3+ +100。循环体循环体条件条件是是否否1i 0S 1i i S S i 100?i 是是否否1i 0S 1ii SSi 100?i 直到型循环语句否否是是否否 是是循环体循环体条件条件一、辗转相除法（欧几里得算法）一、辗转相除法（欧几里得算法）1、定义：、定义： 所谓辗转相除法，就是对于给定的两个所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较
8、小的数。若余数不为数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。(1)(1)、算法步骤：、算法步骤：第一步：输入两个正整数第一步：输入两个正整数 m,n(mn).第二步：计算第二步：计算m除以除以n所得的余所得的余 数数r.第三步：第三步：m=n,n=r.第四步：若第四步：若r0,则则m,n的最大的最大 公约数等于公约数等于m；否则；否则 转到第二步转到第二步. 第五步：输
9、出最大公约数第五步：输出最大公约数m.以求以求8251和和6105的最大公约数的过程为例的最大公约数的过程为例步骤：步骤：8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0显然显然37是是148和和37的最大公约数，的最大公约数，也就是也就是8251和和6105的最大公约的最大公约数数 更相减损术更相减损术 可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。更相减损，求其等也，以等数约之。第一步：任意给定两
10、个正整数；判断他们是否都是偶数。第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用若是，则用2约简；若不是则执行第二步。约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。（1）、九章算术中的更相减损术：1、背景介绍：（2）、现代数学中的更相减损术：2、定义：、定义： 所谓更相减损术，就是对于给定的两个所谓更相减损
11、术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。数的最大公约数。例例: : 用更相减损术求用更相减损术求9898与与6363的最大公约数的最大公约数. .解：由于解：由于6363不是偶数，把不是偶数，把9898和和6363以大数减小数，以大数减小数，并辗转相减并辗转相减 98986363353563633
12、5352828353528287 728287 7212121217 7212114147 77 7所以，所以，9898和和6363的最大公约数等于的最大公约数等于7 7 3、方法：比较辗转相除法与更相减损术的区别比较辗转相除法与更相减损术的区别（1 1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2 2）从结果体
13、现形式来看，辗转相除法体现结果）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为是以相除余数为0 0则得到，而更相减损术则以减数与则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。差相等而得到。1、用更相减损术求两个正数、用更相减损术求两个正数84与与72的最大公约数的最大公约数 练习：练习：思路分析：先约简，再求思路分析：先约简，再求21与与18的最大公约数的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数然后乘以两次约简的质因数4。2、求、求324、243、135这三个数的最大公约数。这三个数的最大公约数。思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公
14、约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。数的最大公约数即为所求。数书九章数书九章秦九韶算法秦九韶算法0111)(axaxaxaxfnnnn设设)(xf是一个是一个n 次的多项式次的多项式对该多项式按下面的方式进行改写：对该多项式按下面的方式进行改写：0111)(axaxaxaxfnnnn01211)(axaxaxannnn012312)(axaxaxaxannnn0121)(axaxaxaxannn0121)()(axaxaxaxaxfnnn要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式
15、的值，即11nnaxav然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即212naxvv323naxvv01axvvnn这种将求一个这种将求一个n次多项式次多项式f(x)的值转化成求的值转化成求n个一个一次多项式的值的方法，称为次多项式的值的方法，称为秦九韶算法秦九韶算法。 通过一次式的反复计算，逐步得出高次多通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个项式的值，对于一个n次多项式，只需做次多项式，只需做n次乘次乘法和法和n次加法即可。次加法即可。秦九韶算法的特点：秦九韶算法的特点：),2 ,1(循环体：10nkaxvvavknkkn在在秦九韶算法中反
16、复执行的步骤，可用循环结秦九韶算法中反复执行的步骤，可用循环结构来实现。构来实现。例例:用秦九韶算法求多项式用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当当x=5时的值时的值.解法一解法一:首先将原多项式改写成如下形式首先将原多项式改写成如下形式 : f(x)=(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2 v1=v0 x-5=25-5=5v2=v1x-4=55-4=21v3=v2x+3=215+3=108v4=v3x-6=1085-6=534v5=v4x+7=5345+7=2677所以所以,当当x=5时时,多多项式的值是项式的值是2677.然后由内向外逐层计算
17、一次多项式的值然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即即2 -5 -4 3 -6 7x=5105252110510854053426702677所以所以,当当x=5时时,多项式的值是多项式的值是2677.原多项式原多项式的系数的系数多项式多项式的值的值.例例.用秦九韶算法求多项式用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当当x=5时的值时的值.解法二解法二:列表列表2进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。进位制是一种记数方式，用有限的进位制是一种记数方式，用有限的数字数字在不同的位在不同的位置表示不同的数值。
18、可使用数字符号的个数称为基置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为数，基数为n n，即可称，即可称n n进位制，简称进位制，简称n n进制。进制。“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.基数：基数：二进制、七进制、八进制、十二进制、六十进制等二进制只有0和1两个数字，七进制用06七个数字十六进制有09十个数字及ABCDEF六个字母. 式中式中1 1处在百位，第一个处在百位，第一个3 3所在十位，第二个所在十位，第二个3 3所在所在个位，个位，5 5和和9 9分别处在十分位和百分位。十进制数是逢分别处在十分位和百分位。十进制数是逢十进一的。十进一的。 我们最常用最熟悉的就是十进
19、制数，它的数值部分是十个不我们最常用最熟悉的就是十进制数，它的数值部分是十个不同的数字符号同的数字符号0 0，1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8，9 9来表示的。来表示的。十进制：十进制：例如例如133.59133.59，它可用一个多项式来表示：，它可用一个多项式来表示：133.59=1133.59=1* *10102 2+3+3* *10101 1+3+3* *10100 0 +5+5* *1010-1-1+9+9* *1010-2-2 为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制一般不标注基数十进制一般不标注
20、基数. .例如十进制的例如十进制的133.59133.59，写成，写成133.59133.59(10)(10)七进制的七进制的1313，写成，写成1313(7)(7)；二进制的；二进制的1010，写成，写成1010(2) (2) 一般地，若一般地，若k是一个大于是一个大于1的整数，那么以的整数，那么以k为基数的为基数的k进制可以表示为一串数字连写在一起进制可以表示为一串数字连写在一起的形式：的形式：11 0( )110(0,0, , ,).n nknnaaaaakaa ak二进制与十进制的转换二进制与十进制的转换1 1、二进制数转化为十进制数、二进制数转化为十进制数例例1 1：将二进制数：将二
21、进制数110011110011(2)(2)化成十进制数。化成十进制数。解：解：根据进位制的定义可知根据进位制的定义可知012345)2(21212020212111001112116132151所以，所以，110011110011（2 2）=51=51110( )110110(10)nnknnnna aa aakakakak把其他进位制的数化为十进制数的公式是什么？把其他进位制的数化为十进制数的公式是什么？方法：除方法：除2取余法，即用取余法，即用2连续去除连续去除89或所得的商，然后取余数。或所得的商，然后取余数。例、例、 把把89化为二进制数化为二进制数解：解：根据根据“逢二进一逢二进一”
22、的原则，有的原则，有892441 2 (2220)+1 2( 2( 2110)+0)+1 2 (2 (2 (2 51)+0)+0)+15 2 212（2（2（2（221）1）0）0）189126025124123022021120所以：所以：89=1011001（2）2（2（2（2321）0）0）12（2（242220）0）12（2523+2200）12624+23002089244144 222022 211011 2 51 2 (2 (2 (2 (2 21)+1)+0)+0)+1所以所以892（2（2（2（2 2 1）1）0）0）1十进制转换为二进制十进制转换为二进制注意：注意：1. 1.
23、最后一步商为最后一步商为0 0，2.2.将上式各步所得的余数将上式各步所得的余数从下到上排列从下到上排列，得到：，得到： 89=101100189=1011001（2 2）另解（另解（除除2 2取余法的另一直观写法取余法的另一直观写法）：）：5 52 22 22 21 12 20 01 10 0余数余数11112222444489892 22 22 22 20 01 11 10 01 1练习练习将下面的十进制数化为二进制数？将下面的十进制数化为二进制数？（1 1）1010（2 2）2020例：把例：把8989化为五进制数。化为五进制数。解：解：根据根据除除k k取余法取余法以以5 5作为除数，
24、相应的除法算式为：作为除数，相应的除法算式为：所以，所以，89=32489=324（5 5）89895 517175 53 35 50 04 42 23 3余数余数除除k取余法取余法：十进制数转化为k进制数的方法 用用k连续去除该十进制数或所得的商，直连续去除该十进制数或所得的商，直到商为零为止，然后把每次所得的余数倒着到商为零为止，然后把每次所得的余数倒着排成一个数，就是相应的排成一个数，就是相应的k进制数。进制数。考题剖析考题剖析 点评点评本小题考查程序框图中的循环结构，主本小题考查程序框图中的循环结构，主要是根据框图，找到规律。要是根据框图，找到规律。解：解：由程序知由程序知s=21+2
25、2+250 =2550故选（故选（C） 1 502502 例、（例、（2007海南、宁夏）海南、宁夏）如果执行下面的程序框图，如果执行下面的程序框图，那么输出的那么输出的 s =（ ）。）。 A 2450 B 2500 C 2550 D 2652输出输出结束结束开始开始否否是是s s 2 kk k k1k 50？考题剖析考题剖析 点评点评本题考查条件结构的程本题考查条件结构的程序框图，求解时，对字母比较难理解，序框图，求解时，对字母比较难理解，可以取一些特殊的数值，代进去，方可以取一些特殊的数值，代进去，方便理解。便理解。解解:由程序框图可知第一个判断框由程序框图可知第一个判断框作用是比较作用
26、是比较x与与b的大小的大小,故第二个故第二个判断框的作用应该是比较判断框的作用应该是比较x与与c的的大小。故选（大小。故选（A）例、（例、（2008海南、宁夏）海南、宁夏）右面的程序框图，如果输入三个右面的程序框图，如果输入三个实数实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）。）。A cx B xcC cb D bc结束输出xxc否是xbb x?输入a，b，c开始xa是否（2010安徽理数）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x _。【解析】程序运行如下:1,2
27、,4,5,6,8,9,10,12xxxxxxxxx输出12 22221, 3,1, 2sisi第二次判断执行后，执行后解析：因为第一次判断2222100321 题目要求计算100n故，例、如图给出了一个算法流程图，该算法流程例、如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（图的功能是（ ）A.求求a，b，c三数的最大数三数的最大数 B.求求a，b，c三数的最小数三数的最小数C.将将a，b，c按从小到大排序按从小到大排序 D.将将a，b，c按从大到小排序按从大到小排序 统计统计用样本估计总体用样本估计总体随机抽样随机抽样简单随机抽样简单随机抽样系统抽样系统抽样分层抽样分层抽样变量间的相关关系变
28、量间的相关关系用样本的频率用样本的频率布估计总体分布布估计总体分布用样本的数字特征用样本的数字特征估计总体数字特征估计总体数字特征线性回归分析线性回归分析知识梳理知识梳理1. 1. 简单随机抽样简单随机抽样（1 1）思想：）思想：设一个总体有设一个总体有N N个个体，个个体， 从从中中逐个不放回逐个不放回地抽取地抽取n n个个体作为样本，个个体作为样本， 如果每次抽取时总体内的各个个体被抽如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等到的机会都相等, , 则这种抽样方法叫做则这种抽样方法叫做简单随机抽样简单随机抽样. .抽签法：抽签法：第一步，将总体中的所有个体编号，并第一步，将总体中的所有
29、个体编号，并把号码写在形状、大小相同的号签上把号码写在形状、大小相同的号签上. .第二步，将号签放在一个容器中，并搅第二步，将号签放在一个容器中，并搅拌均匀拌均匀. .第三步，每次从中抽取一个号签，连续第三步，每次从中抽取一个号签，连续抽取抽取n n次，就得到一个容量为次，就得到一个容量为n n的样本的样本. .（2 2）步骤：）步骤：随机数表法：随机数表法：第一步，将总体中的所有个体编号第一步，将总体中的所有个体编号. .第二步，在随机数表中任选一个数作为第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数起始数. .第三步，从选定的数开始依次向右（向第三步，从选定的数开始依次向右（向左、向上、向下）读
30、，将编号范围内的左、向上、向下）读，将编号范围内的数取出，编号范围外的数去掉，直到取数取出，编号范围外的数去掉，直到取满满n n个号码为止，就得到一个容量为个号码为止，就得到一个容量为n n的的样本样本. .2. 2. 系统抽样系统抽样（1 1）思想：）思想：将总体分成均衡的将总体分成均衡的n n个部分，再个部分，再按照预先定出的规则，从每一部分中抽取按照预先定出的规则，从每一部分中抽取1 1个个个体，即得到容量为个体，即得到容量为n n的样本的样本. .（2 2）步骤：）步骤：第一步，将总体的第一步，将总体的N N个个体编号个个体编号. .第二步，确定分段间隔第二步，确定分段间隔k k，对编
31、号进行分段，对编号进行分段. .第三步，在第第三步，在第1 1段用简单随机抽样确定起始个段用简单随机抽样确定起始个体编号体编号. .第四步，按照一定的规则抽取样本第四步，按照一定的规则抽取样本. .3.3. 分层抽样分层抽样（1 1）思想：）思想：若总体由差异明显的几部分组成，抽若总体由差异明显的几部分组成，抽样时，先将总体分成互不交叉的层，然后按照一样时，先将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，再将各层取出的个体合在一起作为样本再将各层取出的个体合在一起作为样本. .（2 2）步骤：）步骤：第一步，计算样本容量与
32、总体的个体数之比第一步，计算样本容量与总体的个体数之比. .第二步，将总体分成互不交叉的层，按比例确定第二步，将总体分成互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的个体数各层要抽取的个体数. .第三步，用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽第三步，用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的个体取相应数量的个体. .第四步，将各层抽取的个体合在一起，就得到所第四步，将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本取样本. .三种抽样方法的比较如下表三种抽样方法的比较如下表:类别类别共同点共同点相互联系相互联系适用范围适用范围各自特点各自特点简单随简单随机抽样机抽样(1)(1)抽样过抽样过程中每个个程中每个个体被
33、抽到的体被抽到的机会相等机会相等(2)(2)抽样过抽样过程都是不放程都是不放回的抽样回的抽样总体中的总体中的个数较少个数较少从总体中从总体中逐个抽取逐个抽取系统抽样系统抽样在起始部在起始部分抽样时分抽样时采用简单采用简单随机抽样随机抽样总体中的总体中的个数较多个数较多将总体均将总体均分成几部分成几部分分, ,按事按事先确定的先确定的规则在各规则在各部分抽取部分抽取分层抽样分层抽样每层抽样每层抽样时采用简时采用简单随机抽单随机抽样或系统样或系统抽样抽样总体由差总体由差异明显的异明显的几部分组几部分组成成将总体分将总体分成几层成几层, ,按一定的按一定的比例进行比例进行抽取抽取用样本估计总体用样本
34、估计总体:一般分成两种一般分成两种(1)是用样本的频率分布估计总体的分布是用样本的频率分布估计总体的分布;(2)是用样本的数字特征是用样本的数字特征(如平均数如平均数 标准差等标准差等) 估计总体的数字特征估计总体的数字特征.所谓第一种就是利用样本的频率分布表和频所谓第一种就是利用样本的频率分布表和频率分布直方图对总体情况作出估计率分布直方图对总体情况作出估计,有时也有时也利用频率分布折线图和茎叶图对总体估计利用频率分布折线图和茎叶图对总体估计第二种就是为了从整体上更好地把握总体的第二种就是为了从整体上更好地把握总体的规律规律,可以通过样本数据的众数可以通过样本数据的众数 中位数中位数 平平均
35、数和标准差等数字特征对总体的数字特征均数和标准差等数字特征对总体的数字特征作出估计作出估计几个概念几个概念:众数众数:样本数据中出现最多的数据样本数据中出现最多的数据;中位数中位数:把样本数据分成相同数目的两部分把样本数据分成相同数目的两部分,其中一部分其中一部分 比这个数小比这个数小,另一部分比这个数大的那个数另一部分比这个数大的那个数; 中位数是 一组数据的中间水平。平均数平均数:所有样本数据的平均值所有样本数据的平均值,用用 表示表示;标准差标准差:是反映样本数据分散程度大小的最常用统计量是反映样本数据分散程度大小的最常用统计量,其其 计算公式如下计算公式如下:方差方差:标准差的平方标准
36、差的平方注意：中位数和注意：中位数和众数众数不同，中位数不一定在这组数据中。而众数不同，中位数不一定在这组数据中。而众数必定在该组数据）必定在该组数据）例：2、3、4、5、6、7 中位数：中间的两个数相加后除2=（4+5）/2=4.5 x222121()()() .nsxxxxxxn4. 4. 频率分布表频率分布表（1 1）含义：）含义：表示样本数据分布规律的表表示样本数据分布规律的表格格. .（2 2）作法：）作法：第一步，求极差第一步，求极差. .第二步，决定组距与组数第二步，决定组距与组数（强调取整）（强调取整）. .第三步，确定分点，将数据分组第三步，确定分点，将数据分组. .第四步，
37、统计频数，计算频率，制成表第四步，统计频数，计算频率，制成表格格. .5. 5. 频率分布直方图频率分布直方图（1 1）含义：）含义：表示样本数据分布规律的图表示样本数据分布规律的图形形. .（2 2）作法：）作法：第一步，画平面直角坐标系第一步，画平面直角坐标系. .第二步，在横轴上均匀标出各组分点，第二步，在横轴上均匀标出各组分点，在纵轴上标出单位长度在纵轴上标出单位长度. .第三步，以组距为宽，各组的频率与组第三步，以组距为宽，各组的频率与组距的商为高，分别画出各组对应的小长距的商为高，分别画出各组对应的小长方形方形. .频率分布直方图的特征：频率分布直方图的特征：从频率分布直方图可以清
38、楚的看出数据分布从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。的总体趋势。从频率分布直方图得不出原始的数据内容，从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。息就被抹掉了。频率分布表与频率分布直方图的区别频率分布表与频率分布直方图的区别:频率分布表频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率。列出的是在各个不同区间内取值的频率。频率分布直方图频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率间内取值的频率。6. 6. 频率分布折线图频率分布折线图 在频率分布直
39、方图中，依次连接各小长方形在频率分布直方图中，依次连接各小长方形上端中点得到的一条折线，称为频率分布折线图上端中点得到的一条折线，称为频率分布折线图. .00.10.20.30.40.50.6 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5画出频率分布折线图画出频率分布折线图. . 频率频率/组距组距 月均用水量月均用水量/t (取组距中点取组距中点, 并连线并连线 ) 0.080.160.30.440.50.30.10.080.047. 7. 总体密度曲线总体密度曲线 当总体中的个体数很多时，随着样本容量的当总体中的个体数很多时，随着样本容量的增加，所分的组数增多，组距减少，相应的频
40、率增加，所分的组数增多，组距减少，相应的频率分布折线图越来越接近于一条光滑曲线，统计中分布折线图越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线称这条光滑曲线为总体密度曲线. .它能够精确地反它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息们提供更加精细的信息.月均用水量月均用水量/t/t频率频率组距组距0ab8. 8. 茎叶图茎叶图作法：作法：第一步，将每个数据分为第一步，将每个数据分为“茎茎”（高位）（高位）和和“叶叶”（低位）两部分；（低位）两部分；第二步，将最小的茎和最大的茎之间的第二步，将最小的茎和最大
41、的茎之间的数按大小次序排成一列，写在左（右）数按大小次序排成一列，写在左（右）侧；侧；第三步，将各个数据的叶按大小次序写第三步，将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧在茎右（左）侧. .例例: : 甲乙两人比赛得分记录如下：甲乙两人比赛得分记录如下：甲：甲：13, 51, 23, 8, 26, 38, 16, 33, 14, 28, 3913, 51, 23, 8, 26, 38, 16, 33, 14, 28, 39乙：乙：49, 24, 12, 31, 50, 31, 44, 36, 15, 37, 25, 36, 3949, 24, 12, 31, 50, 31, 44, 36, 15
42、, 37, 25, 36, 39用茎叶图表示两人成绩，说明哪一个成绩好用茎叶图表示两人成绩，说明哪一个成绩好甲甲乙乙0 12345 2, 55, 41, 6, 1, 6, 7, 9 4, 90 8 4, 6, 3 3, 6, 8 3, 8, 9 1 叶叶 茎茎 叶叶茎叶图茎叶图 ( (一种被用来表示数据的图一种被用来表示数据的图) ) （）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图（）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以
43、随时记录，随时添加，方便记录与表示。随时添加，方便记录与表示。（）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且（）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰。能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰。茎叶图的特征茎叶图的特征：9. 9. 众数、中位数和平均数众数、中位数和平均数众数：众数：频率分布直方图最高矩形下端中频率分布直方图最高矩形下端中点的横坐标点的横坐标. .中位数：中位数：频率分布直方图面积平分线的频率分布直方图面积平分线的横坐标横坐标. .平均数：
44、平均数：频率分布直方图中每个小矩形频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积的面积与小矩形底边中点的横坐标之积的总和的总和. .10. 10. 标准差标准差22212()()()nxxxxxxsn-+-+-=L11. 11. 相关关系相关关系 自变量取值一定时，因变量的取值带自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系叫做相关关系. .12. 12. 散点图散点图 在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图. 如果散点图中的点的分布，从整体上如果散点图中的点的分布，从整体上看大致
45、在一条直线附近，则称这两个变看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线做回归直线. .13. 13. 回归直线回归直线14.14.求回归直线方程的步骤求回归直线方程的步骤:221111221, ,a,.b;nnniiiiiiiniiiniix yxyx yx ynx ybxnxaybxybxa 先把数据制成表 从表中计算出计算回归系数的公式为写出回归直线方程例例1.某工厂人员及周工资构成如下：某工厂人员及周工资构成如下：人员人员经理经理管理人员管理人员高级技工高级技工工人工人学徒学徒合计合计周工资周工资22002502202
46、00100人数人数16510123合计合计22001500110020001006900（1）指出这个问题中周工资的众数、中位数、）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数平均数.（2）这个问题中，工资的平均数能客观地反）这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂的工资水平吗？为什么？映该厂的工资水平吗？为什么？200, 220，300.(2)因平均数为因平均数为300，由表格中所列出的数据，由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平实地反映该工厂的
47、工资水平.例例2.2.以往招生统计显示，某所大学录取的新生以往招生统计显示，某所大学录取的新生高考总分的中位数基本稳定在高考总分的中位数基本稳定在550550分，若某同学分，若某同学今年高考得了今年高考得了520520分，他想报考这所大学还需收分，他想报考这所大学还需收集哪些信息？集哪些信息？解析解析: (1): (1)查往年录取的新生的平均分数查往年录取的新生的平均分数. .若平均数若平均数小于中位数很多，说明最低录取线较低，可以小于中位数很多，说明最低录取线较低，可以报考报考. .(2)(2)查往年录取的新生高考总分的标准差查往年录取的新生高考总分的标准差. .若标准若标准差较大，说明新生
48、的录取分数较分散，最低录差较大，说明新生的录取分数较分散，最低录取线可能较低，可以考虑报考取线可能较低，可以考虑报考. .概率知识点：概率知识点：1 1、频率与概率的意义、频率与概率的意义3 3、古典概型、古典概型4 4、几何概型、几何概型2、事件的关系和运算、事件的关系和运算1、频率本身是随机的，在试验前不能确定。做、频率本身是随机的，在试验前不能确定。做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同。同样次数的重复试验得到事件的频率会不同。2、概率是一个确定的数，与每次试验无关。是、概率是一个确定的数，与每次试验无关。是用来度量事件发生可能性大小的量。用来度量事件发生可能性大小的量。3、频率是概率
49、的近似值，随着试验次数的增加，、频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率。频率会越来越接近概率。频率与概率的意义频率与概率的意义:事件的关系和运算：事件的关系和运算：（2）相等关系）相等关系:（3）并事件（和事件）并事件（和事件）:（4）交事件（积事件）交事件（积事件）:（5）互斥事件）互斥事件:（6）互为对立事件）互为对立事件:（1）包含关系）包含关系:)BAAB（或ABAB （）或或ABAB （）或或AB 且且 是必然事件是必然事件AB ABA=B()BAAB且互斥事件与对立事件的联系与区别：互斥事件与对立事件的联系与区别：1 1、两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立、
50、两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立2 2、互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件、互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件3 3、两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，、两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生， 即至多只能发生一个，但可以都不发生；即至多只能发生一个，但可以都不发生； 而两事件对立则表明它们有且只有一个发生而两事件对立则表明它们有且只有一个发生概率的基本性质概率的基本性质(1) 0P（A）1(2) 当事件当事件A、B互斥时，互斥时，()()()P ABP AP B (3) 当事件当事件A、B对立时，对立时，()( )( )1P ABP AP B