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1、第1期2016年1月电 子 学 报ACTA ELECTRONICA SINICAV01“NoIJan 2016传感器位置误差情况下基于多维标度分析的时差定位算法朱国辉1，冯大政1，聂卫科2(1西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室，陕西西安710071；2西北大学信息科学与技术学院，陕西西安710127)摘要： 传统时差定位方法一般是在假设传感器位置信息准确已知的前提下进行的然而在实际情形中，传感器位置信息往往含有随机误差，这些误差会严重影响对目标的定位精度针对这一问题，提出了一种传感器位置误差情况下的多维标度时差定位算法首先利用传感器位置和时差构造对称标量积矩阵，然后利用子空间理论建立关
2、于目标位置的伪线性方程，最后通过设计加权矩阵来减少传感器位置误差对目标定位精度的影响采用一阶小噪声扰动理论求出了目标位置估计的偏差及协方差矩阵，并通过仿真实验验证了该算法的有效性关键词： 无源定位；到达时间差；传感器位置误差；多维标度分析；加权最小二乘估计中图分类号：TN9117 文献标识码： A 文章编号：0372-2112(2016)01-0021-06电子学报URL：http：wwwejournalorgcn DOI：103969jissn03722112201601004MultidimensionaI Scaling Based TDOA Localization Algorithm
3、with Sensor Location ErrorsZHU Guohui 1，FENG Dazheng 1，NIE Weike2(1National Dlboratory of Radar Signal Processing，Xidian University，Xian，Shaanxi 7 1 007 1，China；2School ofInformation Science and凡ozogy，Northwest Univemity，Xiall，Shaanxi 710127，China)Abstract： Conventional location algorithms&re based
4、on the assumption that the sensor locations are exactly knownHowever，in practical situations，the sensor positions generally include random errors，which can considerably reduce the sourcelocalization accuracyTo tackle this problem，a multidimensional scaling analysis based time difference of arrival(T
5、DOA)localization algorithm with sensor location errors is proposedThe proposed algorithm firstly constructs a symmetric mamxusing the true sensor locations and TDOAsThen a set of pseudolinear equations with respect to the source position is for-mulated from the subspace theoryFinally，a weighting mat
6、rix is designed to mitigate the influence of the sensor location er-rors on the localization accuracyThe estimation bias and covariance matrix are derived by using firstorder perturbation analysisSimulation study validates the efficiency of the proposed algorithmKey words：passive location；time diffe
7、rence of arrival；sensor location errors；multidimensional scaling analysis；weighted least squares estimates1 引言无源定位技术在雷达、声纳、导航、无线通信和传感器网络等领域“。有着广泛的应用就具体的定位参数信息而言，主要包括到达时间、到达时间差(TimeDifference ofArrival，TDOA)和到达角等p；其中基于多站TDOA信息的定位技术对接收系统的要求较低，具有定位成本低、精度较高7。等优点，因而受到越来越多的关注目前，常见的利用TDOA测量信息对目标进收稿日期：2014-
8、07-28；修回日期：2015-05-12；责任编辑：李勇锋基金项目：国家自然科学基金(No61271293，No61373177)行定位的算法有泰勒级数(TaylorSeries，TS)法悼。、两级加权最小二乘(Two-Stage Weighted Least-Squares，TSWLS)法。91、近似最大似然估计法1叫和多维标度分析法(Muhidimensional Scaling analysis，MDS)。等然而，这些TDOA定位方法都是在假设传感器位置信息准确已知的前提下进行的；而在实际应用中，传感器常常被安装在运动平台上，其位置信息往往含有随机误差文献12的研究表明，传感器位置中含
9、有的随机误差，即使在很小的情况下，也会严重降低目标的万方数据22 电 子 学 报 2016年定位精度；同时，文献12提出了一种针对传感器位置误差的两级加权最小二乘法，该法利用传感器位置误差统计信息设计加权矩阵来减轻对目标定位精度的影响但是该方法在第二级求解时涉及到开方运算，可能出现虚数解文献13将总体最小二乘技术应用到含有传感器位置误差的TDOA定位中，所得定位结果并不能达到克拉美罗界(CramerRao Lower Bound，CRLB)文献14提出了一种修正泰勒级数法，该法同时估计目标和传感器位置，运算量较大，而且收敛性难以保证文献15提出了一种利用虚拟目标位置的两级加权最小二乘法，首先该
10、法需要目标虚拟位置估计，定位精度依赖于虚拟位置；其次该法也同时估计了传感器位置误差，运算量大大增加，并且文献16，17中的实验表明该法并不能明显提高传感器位置的精度基于MDS的定位方法由于对测量误差具有较强的稳健性1扎”。，已广泛应用于定位中；然而这些MDS定位方法没有考虑传感器位置误差，并且因其推导过程过于复杂，不能直接应用于传感器位置误差情况下的定位场景为此，本文提出了一种传感器位置误差情况下基于MDS的TDOA定位算法，利用传感器位置误差和TDOA测量误差的统计信息设计加权矩阵来减轻随机误差对目标定位精度的影响；并根据一阶小噪声扰动理论求出了目标位置的估计偏差和协方差矩阵仿真实验验证了该
11、算法的有效性2 TDOA定位模型假设三维空间中传感器真实位置坐标为s，=X。，Y，z，。，i=1，2，N5，且假设这些传感器不在同一直线、同一平面上真实目标位置为“=鼻，Y，。，则目标“到传感器s，的距离为：=I|Us。II 2，i=l，2，v (1)不考虑非视距传播的影响，根据TDOA定位原理可得：。l=t。l+At。l=r，lc+Ati=1，2， (2)其中，；。为TDOA测量值。t表示信号从目标U到传感器s，与s之间的真实时问差，f。为TDOA测量误差，c为信号传播速度，r1=rfr(当i=1时，；，r。和“均为零，为了下节公式推导的需要)将式(2)两端同时乘以信号传播速度c可得：r，l
12、=md=r，l+n n，i=l，2， (3)其中，n。=c。，表示相应的距离差测量误差然后将式(3)写成矢量形式为：r=rr2l，一，rI1=，+咒 (4)2 L l|，2l，I J 2，+咒 ()其中，r=rr2一，v11，l=nn2l，一，凡IT假定误差矢量胛服从均值为零，协方差矩阵为12=diag(0，Q，)的高斯分布，Q，为实际距离差测量误差协方差矩阵在实际应用中，传感器真实位置坐标s，一般未知，需要预先进行估计假设估计得到的含有随机误差的传感器位置坐标；，可以表示为：s，=s：+As。 (5)其中，厶，为传感器位置误差，将式(5)表示为矢量形式；=；j，西，；：”=s+As (6)其
13、中，s=si，sj，s：r，As=血j，厶；，厶：为传感器位置误差矢量，同文献12一样，我们假定其服从均值为零，协方差矩阵为Q。的高斯分布在传感器位置含有随机误差的情况下，基于多站TDOA测量信息的定位问题即为根据方程组(4)和(6)尽可能准确地估计目标位置坐标H3基于多维标度的TDOA定位算法由式(1)可知，距离差定位方程(3)是关于目标位置甜的非线性方程，利用传感器位置信息和TDOA测量信息构造关于目标位置的伪线性方程首先令x。=s!，jr。，z=H7，jr。，1，i=1，2，、，j为虚数单位，roI=一rl；再令E=X一1、X。，其中X=工l，z2，工v1是由真实传感器位置和TDOA组成
14、的N4维矩阵，1。为元素均为1的维列向量构造对称标量积矩阵Z=EE。，其第P行q列元素为，lp，qNZ(P，q)=(x。一工)1(X。一X)=(s，一H)1(s。一lf)一(r，Jr01)(r。lr01)(7)利用(s，一H)1(s。一H)与05悔一n旺+慨一U旺一11 s。峨之间的等价性可将式(7)化为：Z(P，q)=05(r，Ir。)2一|s，一s。|；】 (8)由于传感器位置信息和TDOA测量信息均含有随机误差，根据式(3)和式(5)，将rr训，s，和s。分别表示为rp J=；P】一npl，r口l=；。lnqI，sp=；pAsp和sq=；qAsq并代人式(8)，忽略二阶误差项，可得：Z(
15、p，g)=z(P，q)一AZ(p，q) (9)其中2(P，q)=05(；，一r。)2一ll；，一；，忙)和aZ(p，g)=(；，。一；，)(凡，一n。)一(；，一；。)7(As，一zXs。)分别为2和z的第P行第q列元素由文献11可知：E1K=(X一1、工。)1K=0。(。一。) (10)其中，E为z的噪声子空间同时去掉式(10)中x和z含有的虚数单位j，并联合恒等式K=1T，V可得：PV=i1：V。 (11)其中，P=1、，S，r1，S=s。，s2，。】，i=1，H1，一rr由于真实的传感器位置和TDOA均未万方数据第 1 期 朱国辉：传感器位置误差情况下基于多维标度分析的时差定位算法知，将
16、P表示为P=户一P，其中户=1。，雪，；7，P=0。，AS，拧1， = 【；。，；：，；。T，s=sl，s2，s1将P=户一P代人式(11)，两边同时右乘”1、，经整理可得：(E1。)(1j y。l，)=(户一AP)+x (12)其中，上标十表示伪逆对式(12)两边同时左乘以矩阵z可得： z黑：z(户一P)ti：0、(13)1；，。1、 、 。注意到z也由真实的传感器位置和TDOA组成，将z=2一zXZ代入式(13)可得：(2一zxz)(户一P)+i=O。 (14)对(户一P)+进行关于P的一阶扰动项展开得：2：(户一P)+=户+户+一+一尸P7P， (15)其中，P=J。一户+p和P，=(户
17、户7)将式(15)代入式(14)，忽略二阶扰动项，经整理可得：2户+i=呀=(zxzP+一2户+P户+2P【P1P，)i(16)令a=P+x=n，：，一、n b=Pr i=6。，62，6，1根据AZ和P的定义可知：Z户+i=BIn+DlAs (17)尸户+i=B2n+D2s (18)尸7Pr i=B3厅+D32Ls (19)其中，B=sdiag(；)一芦al+1、(口。砂一aTo；(20)D，=J。o(aTS)一sdiag(；j，；T，；：)+口70S一1、(口眨多，)1，O；)。 (21)B2=04。；口7】，D2=03T、_；。o，3；03T】(22)B，=b(5)，D，=，06(2：4)
18、。 (23)其中，s=1：a，o表示点积，O表示Kronecker积结合式(17)，(18)和(19)可得误差矢量呀=Bn+DAs，其中B=B。一2户+曰2+2PB3，D=Dl一2户+D2+2PD3记A=卯+=A。，A：，】，其中，A为幼+的第一列，A，；为2户+的第二至五列组成的矩阵，式(16)可化为：AI+A25H1=叩 (24)其中，U=H7，一r，7，可以看出式(24)即为关于目标位置的伪线性方程，其加权最小二乘解为：五。=一(A：暇：，)wA。 (25)加权矩阵W=E聊7】=(B妒7+OQ，D)-I加权最小二乘解五的前三个元素即为得到的目标位置估计利用一阶小误差扰动理论来求解估计五。
19、的偏差及协方差矩阵五。和A可以分别表示为五=比。+H，和A=A+A，其中A=ZP+=A，A：，H和A分别为五和A相对于H和A的偏差由式(25)可得：(A25+A25)1w(a25+A25)(“l+Aul) f26)=一(A：，+A25)1W(A。+A1)其中，A。和A：，分别A的第一列和第二至五列组成的矩阵，忽略高阶偏差项，根据式(13)及(24)可得：Aul=一(A：5WA25)“A：5w碲 (27)由假设n和心为零均值的高斯分布可知E，=0。，也就是说由式(25)所得目标位置估计在TDOA测量误差和传感器位置误差较小时为无偏估计根据加权矩阵w的定义可知估计五的协方差矩阵为：COY(H。)=
20、EAuAu：-(A：5WA25)“ (28)需要说明的是式(25)中估计五在求解过程中并没有考虑“，中分量雎和r，之间的关系；实际上，矩阵z的第1行第1列元素Z(1，1)=(x。一z)1(x。一x)已经利用等式约束(s。一H)1(s一比)一r0，没有再利用U和r，之间的关系来进一步优化式(25)中定位结果的必要在加权最小二乘估计过程中，加权矩阵w的取值依赖于真实目标位置“，可先令W=J。，由式(25)求出目标位置初始估计五，然后根据w的定义来求取加权矩阵，这样可以得到更准确的目标位置估计4仿真实验假设6个传感器位置坐标分别为：s=300，100，1501，s2=400，150，100。，s3=
21、300，500，2001，s4=350，200，1001，s，=一100，一100，一100。和s6=200，一300，一2001，所有位置坐标单位均为米假设距离差测量值服从均值为零、方差为盯：的高斯分布，协方差矩阵为Q，=05盯；。+1州1TH)；传感器位置误差协方差矩阵Q，=o-；diag(10，10，10，2，2，2，10，10，10，40，40，40，20，20，20，3，3，3)2“采用目标位置的估计偏差和均方根误差对各算法的定位性能进行衡量，其定义式分别为B(五)=|?：五L一比Il，R(五)=L lI五，一H旺L，其中五，为第f次目标位置估计，L=104表示蒙特卡罗仿真实验次数仿
22、真中用MDS表示文中算法，并用TSWLS法2。所得结果作为TS法的迭代初始值仿真中所用近场和远场目标位置分别为H=600，650，一5501和U=2000，2500，3000T仿真1图1(o)和(b)分别为各算法在盯10。万方数据24 电 子 学 报 2016年情况下对近场目标随or；变化时的位置估计偏差和均方根误差可以看出，在；较小时，各算法对目标位置的估计偏差均较小，这也说明了文中方法在TDOA测量误差和传感器位置误差较小时近似为无偏估计；TLS法的均方根误差明显高于CRLB，而文中方法和TSWLS法及TS法的均方根误差均接近CRLB随着TDOA测量误差的增加，各算法的估计偏差和均方根误差
23、均有所增加，Ts法出现发散的现象，而文中方法的估计偏差和均方根误差保持最小，具有较好的定位性能吕jll】i媸掣校蝴0 10 2010log(02)dBm2(口)估计偏差lOIog(o；)dBm2(b)估计均方根误差图1仿真2图2()和(b)分别给出了各算法在盯：=10。情况下对远场目标随矿：变化时的位置估计偏差和均方根误差在TDOA测量误差较小时，文中方法和TS法的估计偏差明显小于TLS法和TSWLS法；除TLS法外，几种方法的均方根误差都接近CRLBTS法的估计偏差和均方根误差有部分未显示出来，这是因为在TDOA测量误差较大时，rs法在迭代过程中出现局部收敛或者发散的现象，定位结果不可靠仿真
24、3图3(n)和(6)分别为各算法在or2-10。3情况下对近场目标随矿变化时的位置估计偏差和均方根误差从图3可以得出与图1类似的结论在传感器位置误差较大时，文中方法的性能要优于T15和TSWLS法仿真4图4()和(b)分别给出了各算法在盯：=lo。情况下对远场目标随矿：变化时的位置估计偏差和均方根误差在传感器位置误差较小时，TS法的估计偏差整体上较小，但是随着传感器位置误差的增加，出现发散的现象，而文中方法的性能则比较稳定，在传感器位置误差较大时要明显优于TS、TLS及TSWLS法罢 102剁粤七坦10，g剁蹬躁投露30 一25 20 15 10 5 01 0log(o；)dBm2(a)估计偏
25、差30 25 20 一15 10 5 010log(02)dBm2(6)估计均方根误差图2仿真5图5给出了文中方法对近场目标随Gr：和盯；同时变化时的位置估计均方根误差可以看出，随着传感器位置误差和TDOA测量误差的增加，文中方法对目标位置的估计均方根误差也逐渐增加仿真6假设目标位置坐标是在以坐标原点为中心的、边长为1200m的正立方体中随机产生，对应的目标的位置坐标范围为：z，Y，z一600，600图6为文中方法与TLS及TSWLS法在or：=10。情况下对1000次随机产生的目标位置随盯：变化时的估计均方根误差可以看出，在传感器位置误差较小时，文中方法与TSWLS法性能相当，随着传感器位置
26、误差的增加，文中方法要优于TLS和，rswLS法5结束语传感器位置误差的存在会严重影响目标的定位精度，本文针对这一问题提出了一种顾及传感器位置误万方数据第1期 朱国辉：传感器位置误差情况下基于多维标度分析的时差定位算法E辎g七坦黑10躺账轻收露10E劓堡去拄20 -10 0 10 200109(a；)dBm2(a)估计偏差10log()dBm2(b)估计均方根误差图310。篓掣娄僻100log(蟋)dBm2(口)估计偏差0-40 -30 -20 10 O1 0og(e)dBm?(6)估计均方根误差图4差的多维标度TDOA定位算法本文算法利用传感器位置和TDOA信息构造对称矩阵，然后利用传感器位
27、置误差和TDOA测量误差的统计信息设计加权矩阵来E凝裂型莰露E巅怒晕按露：5；L0109(02)dBm21030一201 01。g(。；)dBm2图51030 -20 -10 0 10 2010log()dBm2图6减轻对目标定位精度的影响；且本文算法不需要初始目标位置估计进行迭代运算，保证了定位结果的全局收敛性实验结果表明该方法在传感器位置误差和TDOA测量误差较小时对近场和远场目标位置的估计偏差均较小，估计均方根误差能够达到CRLB，在测量误差较大时与传统TDOA定位算法相比具有较好的定位性能参考文献1郝本建，李赞，等基于TDOAs与GROAs的多信号源被动定位J电子学报，2012，40(
28、12)：23742381Hao Ben-jian，Li Zan，et a1Passive multiple disjoint sourcelocalization using TDOAs and GROAsJ 1Acta ElectronicaSinica，2012，40(12)：23742381(in Chinese)2Fluckiger M，Neild A，Nelson B JOptimization of receiverarrangements for passive emitter localization methodsJUltrasonics，2012，52(3)：4474553
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34、ization usingTDOA and FDOA measurements in the presence of receiver location errors：analysis and solutionJIEEETransactions on Signal Processing，2007，55(2)：684696作者简介一-朱国辉男，1987年5月出生，河南驻马店人2006年在吉林大学获理学学士学位现为西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室硕博连读生主要从事无源定位、雷达信号处理等方面的研究Email：zhughstuxidianeducn13Weng Y，Xiao W D，Xie
35、 L HTotal least squares methodfor robust source localization in sensor networks usingTDOA measurementsJInternational Journal of Distributed Sensor Networks，201 1，Article ID 17290214Kovavisaruch L，Ho K CModified Taylorseries methodfor source and receiver localization using TDOA measurements with erro
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