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1、第37卷第4期 石 油 学 报 V0137 No42016年4月 ACTA PETROLEI SINICA Apr 2016文章编号：02532697(2016)04048307 DOI：107623syxb2叭604007基于贝叶斯理论的Shearlet域一次波与多次波分离刘成明 王德利(吉林大学地球探测科学与技术学院吉林长春130026)摘要：多次波的去除效果很大程度上决定了地震成像的质量，尽管表面相关多次波的压制(SRME)研究方法取得了很大进步，但预测出来的多次波在相位和振幅上的混乱仍然是一个难题，因此减去的效果好坏尤为关键。常规的最小平方匹配方法并不能很好地处理这种预测的误差，利用S
2、hearlet变换的多尺度、多方向特性，可以使预测的信号在Shearlet域变得稀疏、圆滑。以此为前提，结合贝叶斯概率最大化理论，建立了一个有效的一次波与多次波分离算法。以SRME预测的多次波为例，从贝叶斯预测角度出发，通过精确求解最优化问题就可以达到一次波与多次波分离的目的，该算法能够更好地控制预测信号和实际信号的误差。理论和实际数据的实验表明，相比最小平方匹配减去方法，该方法可以有效地提高减去效果，更好地压制多次波以及高频混叠，并且可以更好地估计一次波。关键词：Shearlet变换；贝叶斯理论；波场分离；多次波；地震数据处理中图分类号：P6314 文献标识码：APrimary and mu
3、ltiple separation in Shearlet domain based on Bayesian theoryLiu Chengming Wang Dell(College of Geo-Exploration Science and Technology，J ilin University，J ilin Changchun 1 30026，China)Abstract：The quality of seismic imaging is greatly determined by the effect of multiple eliminationDespite great adv
4、ances in the surface-related multiple elimination method，the chaos in phase and amplitude of predicted multiples remains a difficulty，SO that theeffect of multiple subtraction is criticalThe conventional least-squares matching method is unable to handle this prediction errorwellUsing multiscale and
5、multidirection Shearlet transform，the predicted signals become sparse and smooth in Shearlet domainOn the premise of this method in combination with Bayesian probability maximum theory，an effective primary and multiple separation algorithm has been createdTaking the multiples predicted by SRME as ex
6、ample and from the perspective of Bayesian prediction，the target primary and multiple separations can be achieved by precisely solving the optimization problemThis method is ableto better contr01 the errors between predicted and actual signalsThe experiments on theoretical and actual data indicate t
7、hat compared with least-squares matching subtraction method，this method is able to efficiently improve the subtraction effect，preferablysuppress multiple and highfrequency aliasing and better estimate primariesKey words：Shearlet transform；Bayesian theory；wavefield separation；multiples；seismic data p
8、rocessing引用：刘成明，王德利基于贝叶斯理论的Shearlet域一次波与多次波分离EJ石油学报，2016，37(4)：483489C ite：Liu Chengming，Wang DellPrimary and multiple separation in Shearlet domain based on Bayesian theoryJAeta Petrolei Sinica，2016，37(4)：483489在地震资料处理过程中，相干噪声严重影响着地震资料的信噪比，成功分离相干信号是地震资料处理中十分关键的一步。相干噪音的分离如SRME中一次波和多次波的分离14以及干涉面波分离嘲主
9、要包含2个步骤：噪音预测阶段和噪音与有效波分离阶段，在第2个阶段需要采取措施补偿预测出的噪音在动力学和运动学上的误差】，6。表面上，预测的相干噪音可以很容易从原始数据基金项目第一作者通信作者中减去，但在实际处理中，预测与实际的相于噪音在相位和振幅差别很大。以预测多次波为例，首先，不同方法预测出来的多次波会不同；其次，受勘探环境的影响，在复杂的地质以及地球物理环境下往往不能采集到完整的地震波场，导致表面相关多次波的压制(SRME)预测出的多次波以及干涉面波变得不准确；最后，炮点以及检波点由于时间和深度改变造成的误差都会导致预测的多次波产生很大的误差。这样在噪音分离的过程国家重大科技专项(2011
10、ZX05023005008)和国家自然科学基金项目(No41374108)资助。刘成明，男，1990年11月生，2013年获吉林大学学士学位，现为吉林大学地球探测科学与技术学院博士研究生，主要从事地震数据稀疏变换方向的研究。Email：cmliul5mailsjlueducn王德利，男，1973年1月生，1995年获长春地质学院学士学位，2002年获吉林大学工学博士学位，现为吉林大学地球探测科学与技术学院教授、博士生导师，主要从事各向异性介质波场正、反演理论和高精度地震勘探研究。Email：wangdelijlueducn万方数据484 石 油 学 报 2016年第37卷中，可能会导致相干噪声
11、残留以及有效波混乱，从而直接影响到后续的成像质量以及地质解释。目前应用最为广泛的减去方法是Verschuur和Berkhout73提出的最小平方减去法。这种方法允许预测的多次波在旅行时间、振幅以及相位出现误差，然而这种误差必然会在一次波的保留和多次波的压制效果之间做出让步，尤其是一次波和多次波相交叉之处，其可能会产生导致多次波残留、高频混叠以及一次波损失的现象豳10。为此，Herrmann1们首先提出利用Curvelet变换的稀疏性以及多方向性进行一次波和多次波分离；Herrmann和Wang等21提出了自适应的Curvelet匹配，在多次波振幅有误差条件下可以更好地估计出一次波；Wang等口
12、33提出了基于贝叶斯框架下的一次波和多次波分离方法。笔者以SRME预测的多次波为例，对预测的多次波和一次波进行分离，虽然只对一次波和多次波分离，但是该方法同样适用其他波场分离问题。同时笔者还在Herrmann和Wang的研究基础之上，采用了Shearlet变换替代了Curvelet变换来稀疏表示地震数据。由于Shearlet变换具有很好的波前检测能力，基于Shearlet变换的多尺度以及多方向特性，通过利用2种信号在Shearlet域的稀疏性求解权重最优化问题，从而达到分离的目的。在最优化求解过程中，一次波和多次波数据经Shearlet稀疏表示之后会变得圆滑；由于噪音的Shearlet系数较小
13、，阈值迭代过程会修正预测出的噪音误差，并且压制随机噪声；Shearlet域非线性减去方法可以有效地提高分离效果。1 方法原理11 Shearlet变换在地震数据处理过程中，对数据进行有效的稀疏表示是数据处理的核心。尽管小波变换在地震数据处理的理论和实际应用上取得了巨大的成功，但是小波变换对一维信号良好性质的表示不能很好地拓展到二维以及高维数据上。Candes等口43提出了基于第二代Curvelet变换的2种快速离散Curvelet实现方法，能够最佳稀疏表示二维地震数据。而后Herrmann等no121将其应用到地震处理上，显示出了其比小波变换更加优异的性质。然而Curvelet的抛物线尺度算子
14、、平移算子和旋转算子作为改变Curvelet方位的方式不能够使其完全数字化，因此不能够与连续系统做统一处理。Guo等D 5-183通过合成小波理论，将仿射系统和多尺度几何分析有力结合起来，通过特殊形式的具有合成膨胀的仿射系统构造了一种接近最优的多维函数稀疏表示法Shearlet变换。Shearlet变换作为一种多尺度稀疏变换方法具有多尺度性、多方向性以及良好的稀疏性，提出之后便得到迅速发展，其优越的稀疏表示性以及方向性已经应用到地震数据随机噪声压制1叼和面波压制20等方面。Shearlet系统通过具有抛物线尺度算子、平移算子和剪切算子来改变位置，1个Shearlet的基函数9通过正交算子|s。
15、改变方位、尺度算子A。改变尺度，平移算子Tt实现二维空间的基函数展布。因此Shearlet系统可以写成：S(妒)一A。S。Ttp (1)式(1)中抛物线尺度矩阵A。或A。的结构决定了Shearlet对数据的稀疏表示程度，即：faj 0 f口2 0AaI o蚓和Aal olQ)若尺度矩阵的2个轴是相同的，那么就不能够表示各向异性特征，因此Shearlet采用具有抛物线特征的尺度矩阵，这样就能够很好地表示出各向异性特征。为了改变Shearlet的方向，其采用剪切方式而不是Curvelet的旋转方式：s。一(j i) 采用了剪切参数不是旋转角度的优点是能够使Shearlet系统在离散系统和连续系统间
16、做统一处理，简而言之这种方式能够得到最佳的逼近方式。最后，平移算子是为了改变基函数位置：Tm(9)一9(一m) (4)对Shearlet基函数通过扩张、剪切、转换得到Shearlet系统：他。(z)：一a-亍so-A211(z一)岔0，sR，tR2 (5)那么任意函数，的连续剪切波变换为：SH，f(口，S，)一(厂，9。，。) (6)图1为Shearlet在频率域中水平锥和垂直锥在不同n、s值所对应的Shearlet，a、邑为频率域剖分的2个轴。不同尺度的Shearlet表征了不同频率成分的数据，低尺度的Shearlet刻画了数据的低频特性，高尺度的Shearlet刻画了数据的高频特性，不同角
17、度的Shearlet表达了图像的各向异性特征。12贝叶斯公式包含2种相干信号的分离方法，需要给出其中1种信号的预测成分，在SRME中这个问题就转化为给出预测的不准确多次波来求解一次波和多次波的分离问题。为了解决这个问题，笔者引入了贝叶斯公式，该万方数据第4期 刘成明等：基于贝叶斯理论的Shearlet域一次波与多次波分离 485支 L丁，形(4田=喧Io)亏2，2(；之1、纩iI)lr-I号l汐 ，(4曲=(去0)图1不同a、s值的频率域ShearletFig1 Frequency suplrt of Shearlets witll different valuesof口蛆d s方法允许原始数
18、据以及预测的数据包含噪声。将原始数据和预测的多次波作为输入数据来估计一次波和多次波，预测的多次波通过SRME匹配滤波给出，也可以通过其他方法给出。可将一次波和多次波分离问题转化为一个在概率框架下的问题：b一51+s2+以 (7)令b：为SRME预测的多次波数据，其中包含了与真实多次波的误差，假设：b2一s2+咒2 (8)根据Herrmann等伽的研究，笔者将2种信号在Shearlet域重新写为：siS-1zi(i一1，2) (9)由此可以得到：fbl一S-121+咒1【b2=S-122+咒2式(10)中咒，=咒一挖：，此外未知的一次波系数z，和多次波系数z。与SRME预测的一次波b，=bb：及
19、多次波b：有关。利用式(10)可以讨论Shearlet域的2种信号稀疏性。在给出了上述模型方程的基础上，通过假设给出的加权Laplace概率密度函数的2个独立分量，得到了未知Shearlet系数的条件概率，这个条件概率可作为稀疏促进先验信息。其目标是在给出预测的b和b：，从而估计出一次波系数z，和多次波系数z：，预测的数据可以通过SRME方法得到。从贝叶斯公式的角度，就是为了找到一个能够使条件概率最大的系数z1和z2：P(z1，z2 b1，b2)一P(z1，z2)P(b1 z1，z2)P(62 b2，z1，z2)P(61，b2)坠瓮掣b，P(61，2)7由于b，和b：都是已知的，因此其目标就是
20、找到一次波和多次波的Shearlet系数，使之满足式(11)的概率条件，需满足的假设前提条件为：卵和咒：都是独立分布的高斯白噪；z，和z。有加权拉普拉斯先验分布信息。即可通过z，和z：来解决最优化问题：maxP(x1，z2 b1，b2)一maxP(x1，z2)P(咒)P(n2)一zIz2 TlT2maxexp一口1|z1|1。一口2|I z21。一S-1 z2一b2惦 l|S-1( z，+z2)一(61+b2)|；7一maxexp一口，II z-II 1,wI+n：II zz II，+JT2S-122一b2忙盯； +!量二!兰!垄三二!鱼!垒! d一(12)估计的一次波为S，=S1z，多次波为
21、s：=S1z：。假设噪声，z和咒：都是独立分布的高斯白噪，z，和z：都是具有不同权重的拉普拉斯先验信息，可将式(12)转化为求解最小化方程：argmaxP(x1，z2 bl，b2)一argminf(x1，z2)J12(13)f(x。，z2)一A1 1l z1 II 1。+A2 11 z2 l|1。，+|STz2一b2 l|；+刁0 sT(z1+z2)一(61+b2)|；(14)一2其中：A，=口t，Az=012盯z2，7=，IIxi忆叶=，I硼声咖1，肛M为Shearlet稀疏z。权重，M为Shearlet系数的索引，为了保证权重叫，和叫：严格为正值，这个权重由SRME预测出2个信号给出：f硼
22、1一maxl S61 I，e)【w2一maxI S62 I，e)参数A，和A：控制着一次波和多次波系数的稀疏度，以及估计的多次波系数与SRME预测的多次波误差。参数A。越小，预测的一次波越稀疏，使得一次波的Shearlet系数稀疏，从而一次波和多次波重叠概率就会变小。参数叩为原始数据对预测多次波的信任度，如果预测的多次波足够准确，那么呀一1；反之，若7-*则表示预测的多次波与原始数据存在着十分巨大的误差。这3个参数的选取与一次波和多次波的能量强度有关，目前还只能根据经验获得，笔者将会进一步研究有关自适应选取参数的算法。13分离算法为了使目标方程f(x。，z：)最小化来达到一次波和多次波分离的目
23、的，需要选择合适的参数A。，A：，rl以及精确的SRME结果。为了最小化式(14)，采用Wang等13提出的阈值迭代算法，从任意z，和z：中万方数据486 石 油 学 报 2016年第37卷初始估计z?和z：，则第，z次迭代结果为：zrl一TI(Sb 2一SS一1 z；+Sb一SS一1z：+x7)z尹1一T未熹(Sb zSS一1 zn，+zzn+；南(Sb，_Ss-1荆n) (16)软阈值算子L为：L，(觋)一sgn()max(O，III郎1)(17)通过分离算法求解式(14)的最优化问题，其中E=bb。一b：为噪声水平。2理论模型实验为了验证本文方法的有效性，用二维各向异性速本文选取其中第1
24、81炮地震记录。图2为该地震记录，其在Shearlet域中的分布特点见图3。度模型采用声波有差分模拟出1组361炮和361道的地震数据，其中检波器从0m到5400m，检波距为15m。偏移距rn 偏移距m一2000一l 000 0 l 000 2 000 2000一l 000 0 l 000 2 000之匠鲁(a)原始地震数据在第1尺度倾斜方向的1个Shearlet之厘鲁(b)原始地震数据在第4尺度倾斜方向的1个ShearletOO1020304O5060708三09到13141516171819偏移距m一2000-1 000 0 l 000 2000图2合成地震数据Fig2 Synthetic
25、 seismic data、屋窖偏移距m-2000一l 000 0 l 000 2000(c)原始地震数据在第2尺度水平方向的1个Shearlet(d)图(a)对应的频率域Shearlet基 (e)图(b)对应的频率域Shearlet基 (f)图(c)对应的频率域Shearlet基图3地震数据在Shearlet域中的特点Fig3 Characteristics of seismic data in Shearlet domain从图3(a)一图3(c)可以看出，低尺度的Shearlet Shearlet系数变得很小，这种稀疏性质非常适合处理表征了数据的低频信息，而高尺度的Shearlet刻画了
26、数据的高频信息，并很好地保留了数据的细节部分；Shearlet的稀疏性使得平行或接近平行该方向的Shearlet系数变大，而垂直或者接近垂直该方向的各向异性的地震数据。为了验证本文算法的有效性，对模拟的地震数据进行的多次波和一次波分离测试，其中多次波数据通过Berkhout和Verschuurcll提出的SRME方法预测。采用0l234567890123456789O0000000011l11lllllOl23456789O12345678900O0O0000lll1lll1ll0l23456789Ol23456789O0O0O00OOlll1l1tll1万方数据第4期 刘成明等：基于贝叶斯理
27、论的Shearlet域一次波与多次波分离 487传统的最小平方匹配方法以及Wang等”3提出的Curve一 6、真实的多次波数据S2以及吸收边界条件下没有表面let波场分离的方法与本文方法对比。由于分离参数A，、Az和刁很大程度影响着匹配效果，通过多次测试，选取了测试效果较好的一组参数A，=08、A：=12和叩，=13。图4(a)一图4(c)分别为包含多次波的原始数据偏移距m一20001 000 0 l 000 2000(a)包含一次波和多次波的总数据b偏移距m一20001 000 0 l 000 2000、厘鲁、厘留相关多次波的真实一次波数据5，。图4(d)一图4(e)分别为SRME预测的一
28、次波经最小二乘匹配减去后结果、基于Curvelet变换的波场分离方法以及本文采用的方法。对比图4(C)一图4(e)中06 s处，基于最小偏移距m一2000一1000 0 1 000 2000(b)经子波匹配后的SRME预测的多次波s，偏移距，m一20001 000 0 l 000 2000偏移距，m一2000-1000 0 t000 2000(c)吸收边界条件下没有表面相关多次波的数据s。偏移距m-2000一l 000 0 l 000 2000(d)SRME估计的一次波经匹配后结果 (e)Curvelet域贝叶斯算法估计一次波 (f)Shearlet域贝叶斯算法分离一次波00102O3厘04莒
29、O506O7O82000 l o()o偏移距mO l 000 2000 2000偏移距m-1 000 0 1 000 2000(g)图(e)的局部放大 (h)图(f)的局部放大图4 理论数据一次波与多次波分离Fig4 Primarymultiple separation on a synthetic shot record0l234567890l23456789OOOOOO0O01lllllll1l、厦岔01234567890l23456789O00OOO0OOllll1lllllOl234567890l23456789O00OOO0OOllLl1l1l1l譬，庭茁0l234567890l23
30、456789o叭眈”啦mm：2”B，厦莒Ol234567890l23456789OOO0OOOOOlll1l1ll11Ol2345678901234567890O0OOO0O0lllllll1l1、匿留Ol23456780nO0OO0O之匣窖万方数据石 油 学 报 2016年第37卷二乘方法估计的一次波有着明显的多次波残留，而基于Curvelet变换以及Shearlet变换的波场分离估计的一次波在06s出多次波被很好压制；此外这2种方法在深层远偏移距处多次波压制效果也优于常规方法；但是将图4(e)和图4(f)局部放大，从图4(g)和图4(h)可以看出，基于Curvelet变换的波场分离方法在同
31、相轴曲率大的部分不能很好地表示地震数据，使得图4(g)箭头所指部分出现模糊的现象；而Shearlet变换却很好地解决了这一问题，使得同相轴更加清晰圆滑。可以看出，基于稀疏约束的一次波多次波分离方法，在结合了贝叶斯方法后取得了比常规方法更好的效果，而基于Shearlet稀疏约束的方法克服了基于Curvelet稀疏约束方法在大曲率同相轴的模糊现象。为了更加清楚展示3种分离方法的差异，图5为吸收边界合成的真实一次波3种方法分离的一次波的差剖面。图5(a)为最小二乘方法匹配结果的差剖面，、厘莒之垦鲁偏移距m一2000一looo o looo 2000匹配后结果不仅包含多次波信息而且一次波能量也有损失；
32、图5(b)为基于Curvelet变换匹配结果的差剖面，增益后在04 s处可以明显看到同相轴变模糊，而且浅层的多次波也有残留；图5(c)为基于Shearlet变换匹配结果的差剖面，相比于图5(b)不仅浅层大曲率同相轴清晰，而且残留多次波能量也要稍弱于基于Curvelet变换匹配结果。可以看出本文方法要优于最小二乘匹配以及Curvelet匹配方法。3 应用实例从某地实际数据中选取其中一部分，其中图6(a)和图6(b)分别为原始地震记录和常规SRME预测的多次波，图6(c)为经匹配后的SRME估计的一次波，图6(d)为Shearlet域贝叶斯分离后估计的一次波信息。比较图6(c)和图6(d)，经和最
33、小二乘匹配减去后的多次波在箭头所指部分有残留，34s的多次波能偏移距，m-2000一l 000 0 1000 2000之厘留偏移距m一20001 000 0 l 000 2000(a)最小二乘匹配 (b)Cunelet匹配 (c)Shearlet匹配图5 真实一次波与三种方法估计一次波的差剖面Fig5 Residual error profiles of true primaries and estimated primaries by three different methods、厘留、匿富(a)原始数据， (b)经子波匹配后的 (c)SRME估计的一次 (d)贝叶斯分离算法包含一次波和多
34、次波 SRME方法估计的多次波 波经匹配后结果 减去后的一次波图6 实际数据一次波与多次波分离Ol23456789Ol23456789O0OO0OOOOllllllllll0l234567890123456789OOO0O00O01111111111万方数据第4期 刘成明等：基于贝叶斯理论的Shearlet域一次波与多次波分离 489量大量残留，并且同相轴连续性差。而本文方法估计的一次波同相轴更加连续、光滑；34s的多次波压制效果明显，一次波数据保留较为完整。4结论(1)将贝叶斯公式应用到一次波和多次波分离方法中，通过对预测的多次波与数据中的真实多次波进行减去，相比常规减去方法估计的多次波更准
35、确。其减去是在Shearlet域进行，在不同尺度和不同方向的Shearlet，数据变得更加稀疏、圆滑。(2)理论和实际数据实验表明，Shearlet域贝叶斯一次波多次波分离方法能够比常规方法得到更好的结果，在预测的多次波振幅和相位与真实多次波含有误差的情况下，估计的一次波得到有效保留；多次波减去效果更佳，估计的一次波同相轴相比常规方法更加连续光滑。符号注释：S(驴)一Shearlet系统；0-Shearlet基函数；口尺度参数；s一剪切参数；一平移参数；Tm一平移算子；J、m一参数；z一基函数的自变量；SH。一Shearlet系统变换；6一观测数据；6，、6：一预测的一次波和多次波数据；起一噪
36、声；挖；、站：一一次波和多次波噪声；s，、5：一真实的一次波和多次波数据；S一Shear一1et逆变换；x1、z：一一次波、多次波系数；a。、口2一系数；w。、w：一权重；cr2、Z一观测数据和多次波数据的噪声水平；S1-Shearlet正变换；u。一系数；a。一阈值。参考 文献Ell23456Verschuur D J，Berkhout A J，Wapenaar C P AAdaptive surface-related multiple eliminationJGeophysics，1992，57(9)：1 1661177Fokkema J T，van den Berg P MSeismi
37、c applications of acousticreciprocityMAmsterdam，The Netherlands：Elsevier，1993Berkhout A J，Verschuur D JEstimation of multiple scatteringby iterative inversion，Part I：theoretical considerationsJGeophysics，1997，62(5)：15861595Weglein A B，Gasparotto F A，Carvalho P M，et a1An inverse-scattering series met
38、hod for attenuating multiples in seismic reflection dataJGeophysics，1997，62(6)：19751989Dong Shuqian，He Ruiqing，Schuster G TInterferometric prediction and least squares subtraction of surface wavesc200676th SEG annual international meetingNewOdeans，Louisiana，USA：Society of Exploration Geophysicists，2
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