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1、第38卷第4期 电 子 与 信 息 学 报 Vol. 38No.4 2016年4月 Journal of Electronics & Information Technology Apr . 2016 一种基于KL分离度的改进矩阵CFAR检测方法 赵兴刚*王首勇 (空军预警学院 武汉 430019) 摘 要：矩阵CFAR检测器是根据信息几何理论提出的，但其恒虚警特性没有从理论上得到分析，且检测性能也有待进一步提高。该文首先根据矩阵流形上正态律的概念从理论上推导了矩阵CFAR检测器的恒虚警特性，并在此基础上，利用积累性能更好的KLD(KULLBACK-LEIBLER Divergence)代替测
2、地线距离，提出了一种改进的矩阵CFAR检测器。最后通过仿真实验验证了改进方法具有更好的检测性能。 关键词：信息几何；恒虚警检测；统计流形；测地线距离；KULLBACK-LEIBLER分离度(相对熵) 中图分类号： TN957.51 文献标识码： A 文章编号：1009-5896(2016)04-0934-07 DOI: 10.11999/JEIT150711 An Improved Matrix CFAR Detection Method Base on KL Divergence ZHAO Xinggang WANG Shouyong (Air Force Early Warning Aca
3、demy, Wuhan 430019, China) Abstract: The matrix CFAR detector is proposed according to information geometry theory, but its constant false alarm property is not analysed, and the matrix CFARs detection performance still needs to be improved. Firstly, the matrix CFARs constant false alarm property is
4、 analysed according to the normal law on matrix manifold, on this basis an improved matrix CFAR detector is proposed with replacing the geodesic distance with KULLBACK-LEIBLER Divergence (KLD). Finally, simulation experiments verify that the improved method has better detection performance. Key word
5、s: Information geometry; Constant False Alarm Rate (CFAR) detection; Statistic manifold; Geodesic distance; KULLBACK-LEIBLER Divergence (KLD) (relative entropy) 1 引言信息几何是近年来刚发展起来的新兴学科，文献1于1945年提出用Fisher信息矩阵来定义黎曼度量，开启了统计的几何学研究。1972年， 文献2引入了一个仿射联络族，与此同时，文献3定义了统计流形的曲率概念，并指出曲率在统计推断高阶渐进理论中的基本作用。此后，文献4,5引
6、入了单参数的仿射联络族，建立了统计流形的对偶几何结构，极大丰富和完善了统计的几何学理论框架，进而建立了信息几何。近年来，信息几何的理论基础不断完善，已在系统理论、神经网络和统计推断等领域得到了广泛应用6。 信息几何在雷达信号处理中的应用主要是文献7-9提出了一种矩阵CFAR检测方法，该方法利用收稿日期：2015-06-10；改回日期：2015-12-18；网络出版：2016-02-03 *通信作者：赵兴刚 基金项目：国家自然科学基金(61179014)，青年科学基金项目(61302193) Foundation Items: The National Natural Science Foun
7、dation of China (61179014), Youth Science Fund Project (61302193) 检测单元回波协方差矩阵与参考单元协方差矩阵均值之间的测地线距离作为检测量进行检测，克服了传统PD雷达CFAR检测中多普勒处理在短脉冲序列条件下所面临的多普勒分辨率降低、能量泄露、杂波谱污染等问题，有效提高了检测性能，而且利用了矩阵流形的内在结构对矩阵均值进行了准确估计，具有更稳健的恒虚警特性。然而矩阵CFAR检测方法仍存在一些不足：(1)它没有从理论上严格分析该方法是否具有恒虚警特性；(2)测地线距离的检测性能有待进一步提高。 针对以上不足，本文首先利用矩阵流形上
8、正态律的概念从理论上推导了矩阵CFAR的恒虚警特性，得到了检测门限的理论表达式，并在此基础上，使用积累性能更好的KULLBACK-LEIBLER分离度(KULLBACK -LEIBLER Divergence, KLD)代替测地线距离，提出了一种改进的矩阵CFAR检测器，最后通过仿真实验验证了改进方法的检测性能。 2 矩阵流形的基础知识 设雷达中某个距离单元观测的复包络信号为 第4期 赵兴刚等： 一种基于KL分离度的改进矩阵CFAR检测方法 935 :01HHxvxsv(1) 式中T (0), (1), , ( 1)x x xnx 为观测信号矢量，T (0), (1), , ( 1)s s s
9、ns 为目标回波矢量，v T (0), (1), , ( 1)v v vn为杂波矢量，n为CPI长度。假设杂波矢量v和目标回波矢量s都服从零均值的复高斯矢量分布，则在两种假设下，x分别服从零均值复高斯分布 ,v R0和 ,svRR0 ,sR和vR分别表示随机信号和杂波矢量的协方差矩阵。 对于任意一个n维随机矢量x，假如它服从零均值复高斯矢量分布，则其分布表达式为 H11( ) expnpx xRxR(2) 式中代表矩阵的行列式。考虑由协方差矩阵R nnC参数化的概率分布函数族 ( | )|Sp xRR nnC，其中nnC为nn维复向量空间中的开集，则根据信息几何理论，在一定的拓扑结构下S可以构
10、成一个可微的流形，并称之为统计流形10，R为该流形的坐标。由于流形S的参数R为协方差矩阵，则又可以称S为矩阵流形。两种假设分布 |0Hp x和 |1Hp x就成为流形上的两个点，且两点对应的坐标分别为sR和svRR。 2.1 测地线距离 矩阵流形上的任意一个点都代表了对应于某一个协方差矩阵的零均值复高斯矢量分布，且在定义Fisher信息矩阵为统计流形黎曼度量的基础上，可以得到流形上任意两点之间的最短距离，称为测地线距离，矩阵流形S上任意两点 |ap xR和 |bp xR之间测地线距离的表达式为11 1/2 1/2 21, lg lgna b a ba kkd R R R RR (3) 式中代表
11、弗洛宾尼斯(FROBENIUS)范数，且ATtr( )AA , tr为矩阵的迹。k为矩阵1/2 1/2a baR RR的第k个特征值。 2.2 矩阵的黎曼均值 上文给出了S上任意两点之间的测地线距离，除了距离之外，在后面还要用到一个重要概念即为流形S上的黎曼均值。对于只有 |ap xR和(|p x )bR两个点的情况，其均值为12。 1/21/2 1/2 1/2 1/2a b a a ba aR R R R RR R (4) 而对于矩阵流形上( 3)NN个点的黎曼均值，计算起来要复杂的多，不同的学者在这方面作出了研究，其中有代表性的主要是梯度下降算法13。 通过利用测地线方程，取切向量的方向为
12、目标函数的负梯度方向，就可以得到递推计算黎曼均值的梯度下降算法。对于矩阵流形上给定的N个点, 1, 2, ,kNR ，令01AR，梯度下降算法的迭代计算表达式为 1/2 1/2 1/2 1/211exp lgNt t t kt tk A A A RA A (5) 式中为迭代的步长，0, 1, ,tm 。 2.3 矩阵流形上的正态律 在得到均值R的基础上，可以定义矩阵流形上N个点的协方差矩阵为 T111NkkkN 式中有 1lgkk R RR 矩阵流形上的点本身有其内在的统计特性，如上面得到的N个点的均值和协方差矩阵，实际上，类比于统计学中的概率分布，流形上的一群点迹，在定义了其均值和协方差的基
13、础上，可以假定认为服从一个广义正态分布，又称为广义正态律，其分布表达式为13 3T1 /21/| , exp22mmOq RR(6) 式中()O 为同阶无穷小，标准差tr( ) , 为R处的单射半径，满足0lim ( ) 0, 0xx ，中心矩阵1/3 ( ) ( / )O , 为矩阵流形上R处的里奇(Ricci)曲率，m为流形的维度。在中心矩阵中使用了里奇曲率，就充分考虑到了流形上的局部结构，使得式(6 )能比较准确地反映出其统计规律，以便于后面分析矩阵CFAR的恒虚警特性。 3 常规CFAR检测器面临的问题 在一般PD雷达中所采用的常规CFAR检测器属于单脉冲检测，即对单个距离单元回波信号
14、相参积累(FFT)后，进行线性检波或平方律检波，再进行恒虚警检测，图1以CA-CFAR为例给出了其处理流程图。 图中1 (0), (1), , ( 1)Nk kk k knxxx x为N个参考单元的雷达观测数据， (0), (1), ,D DDxxx ( 1)Dn x为检测单元的观测数据，阴影部分为保护单元。1Nkky和Dy分别为观测数据经FFT处理并进行包络检波后存储在参考单元和检测单元的数值。在一般情况下，常规CFAR检测器具有较好的检测性能，但随着战场环境的复杂多变，对雷达系统提出了新的更高的处理要求：一是在复杂背景下能保持良好的恒虚警特性；二是对超机动及非对称 936 电 子 与 信
15、息 学 报 第38卷 图1 常规CFAR检测器 打击飞行目标要有更短的反应时间。 然而传统CFAR还不能满足这些新的处理要求，尤其是在非均匀或强杂波背景下，传统CFAR检测的恒虚警性能是较差的，另外对于多功能和多任务雷达，是通过使用较短的脉冲序列来减少时间预算，以获取更快的处理速度，然而，此时FFT处理会面临以下问题：(1)多普勒分辨率下降，如果目标多普勒频率位于两个多普勒滤波器之间，会发生能量泄露；(2)在地、海杂波等背景下，杂波谱会散布到目标所在的多普勒滤波器中，致使检测性能下降。 4 矩阵CFAR检测器 为了克服常规CFAR存在的以上问题，文献7-9基于信息几何理论，提出了一种在强非均匀
16、杂波背景下，且当雷达CPI脉冲数较少时，更加有效和稳健的矩阵CFAR检测器。其主要思想是：首先根据雷达观测数据计算参考单元和检测单元的协方差矩阵，然后将这些矩阵统一看做矩阵流形上的点，进而用检测单元协方差矩阵与参考单元协方差矩阵均值之间的测地线距离作为检测量与门限比较，实现目标检测，其处理流程如图2所示。 图2 矩阵CFAR检测器 参考单元协方差矩阵1NkkR的均值R是由第1节中给出的梯度下降算法计算得到，在此基础上，矩阵CFAR的检测量即为DR与R之间的测地线距离，根据式(3)可得 1/2 1/221, lglgD DDnkkTdR R R RR(7) 从理论上讲，协方差矩阵包含了回波的所有
17、信息，因而直接用矩阵进行检测就避免了常规CFAR中CPI脉冲数较少时FFT的性能损失；在恒虚警特性方面，流形上的矩阵均值与传统CFAR中用到的杂波功率的一阶估计(算术平均)相比，是利用了流形上的内在结构对均值进行估计，受杂波环境影响更小，因而在一些强的非均匀杂波背景下，具有更好的稳健性。 文献7为改善常规CFAR存在的问题而提出了上述的矩阵CFAR检测器，但矩阵CFAR只是给出了检测策略，对于能否真正具有恒虚警特性没有进行理论分析，也就没有给出检测门限的理论值；并且流形上距离定义有多种，利用测地线距离进行检测无法保证是最优的。 5 基于KLD的矩阵CFAR检测器 针对上节分析的矩阵CFAR存在
18、的不足，本节通过利用矩阵流形上的几何性质以及内蕴的统计特性逐一进行了分析和解决，并提出了一种改进的矩阵CFAR检测器。 5.1 恒虚警特性及门限 图3给出了矩阵CFAR检测器在流形上的示意图，在流形上参考单元的协方差矩阵可以看做流形上的一个粒子群，那么矩阵CFAR就是通过比较DR与这个粒子群中心点之间距离来实现检测的。在没有目标时，根据矩阵流形上的广义正态律，包括DR在内的所有点都服从一个如式(6 )所示的广义正态分布(,) R。从图3可以得出，式(7 )所示的检测器可以等价于。 ,DT d RR (8) 因为(,)DRR，类比于一般的高斯分布，可以将DR转化为广义的标准正态分布，即有 ,DR
19、RI0，则此时检测器为 DT RR(9) 通过估计杂波功率，式(9)是可以保持恒虚警特性的，且有 ，而式(7)中的矩阵均值就等 第4期 赵兴刚等： 一种基于KL分离度的改进矩阵CFAR检测方法 937 图3 矩阵CFAR在流形上的示意图 价于杂波功率的估计，因而矩阵CFAR检测器是具有恒虚警特性的。 门限可以根据给定的虚警概率FP，由广义标准正态分布的表达式积分得到 3T1 /21/exp d22FmmOP RI(10) 同样类比于一般的正态分布，式(10)中的门限可以通过右尾函数求得，进而就可以得到，最终根据式(3)就可以得到检测器(7 )中门限的解析表达式。需要说明的是，由于式(10 )求
20、解比较复杂，本文在此只是从理论上分析矩阵CFAR的恒虚警特性，并说明检测门限有其满足恒虚警特性的理论值，而这正是矩阵CFAR检测器成立的理论基础，具有重要意义。 5.2 用KLD代替测地线距离 考虑式(1 )所示的二元检测问题，两种假设下x分别服从的分布为N( , )vR0和N( , )svRR0，所以此时的检测问题可以归结为对两个均值相同，协方差矩阵不同的矢量高斯分布的假设检验问题。首先通过推导可得此时的对数似然比检测统计量为14 1T11()2vss vT x xRRR R x (11) 然后，我们从信息几何的角度来解决该检测问题，在矩阵流形上，两种假设分布分别为 01N, , N,v s
21、vffR RR00 (12) 对于矩阵流形上任意两点1(, )R0和2(, )R0，其KLD可以由式(13)计算得到15 1212211KLD , | ,det1ln tr2 detn RRRRRR00(13) 式中，det和tr分别代表矩阵的行列式和迹。由观测数据得到的分布为 N,f R 0，协方差矩阵R由x计算得到，则根据式(13)可得流形上f到0f和1f的KLD分别为 1101KLD , tr ln det2vvff RR I RR(14) 1111KLD , tr2ln detsvsvff R R RIRRR(15) 则可用KLD在信息几何框架下定义一种距离检测器6为 0111( )
22、KLD , KLD ,1tr2Dvss vT ff ff xRRR R R(16) 如果将式(16 )中的KLD用式(3 )所示的测地线距离替换，则可得基于测地线距离的距离检测器为 011/2 1/21/2 1/2() , ,lglggvsvT dff dff xR RRR R RR(17) 从直观上很难得到式(11 )，式(16)，式(17)三者之间的关系，因此采用蒙特卡洛方法对3种方法的检测性能进行比较，图4给出了似然比检测(LRT )、基于KLD的距离检测器(KDD )、基于测地线距离的距离检测器(GDD )3种检测方法的性能比较曲线。 从图中可以看出，KDD与LRT检测是完全等价的，在
23、给定虚警概率的前提下，具有最优的检测性能，而GDD的性能要差于KDD和LRT检测。在距离检测器中，距离本质上是代表了一种能量积累的方式，由检测性能的比较可以得出，KLD比测地线距离具有更好的积累性能。 实际上，通过比较式(7 )和式(17)可以发现，矩阵CFAR检测在本质上可以等价于“一半”的GDD。在GDD中，假设vR和sR是已知的，而在实际应用中，这两者是很难得到的，矩阵CFAR首先舍去了式(1 7)中1(, )dff，就不需要用到sR，再者类比于常规CFAR检测的思想，通过计算参考单元杂波协方差矩阵的均值对vR进行估计，因而矩阵CFAR更便于工程应用。根据矩阵CFAR与GDD之间的关系，
24、则同样可以利用“一半”的KDD定义一种新的矩阵CFAR检测器，即利用KLD代替式(7 )中的测地线距离， 111KLD , tr2ln detDDDTRR RR IRR (18) 上文已经提到，KLD比测地线距离具有更好的938 电 子 与 信 息 学 报 第38卷 积累性能，因而式(18)所示的基于KLD的矩阵CFAR检测器会比文献7 -9中的矩阵CFAR具有更好的检测性能。 6 仿真实验 本节使用SIRP法仿真产生K杂波来模拟目标检测背景，对常规CFAR，矩阵CFAR和改进的矩阵CFAR 3种方法的检测性能进行比较分析。 假设雷达脉冲重复频率1000 Hzrf , CPI脉冲序列长度8n
25、，参考单元数16N ，虚警概率310fP，蒙特卡洛仿真次数为510次。K杂波的仿真中，令形状参数v和尺度参数c都取1。矩阵CFAR和改进的矩阵CFAR中的矩阵均值估计迭代次数取20次。 针对第3节分析的常规CFAR在杂波背景和短脉冲序列条件下存在的杂波谱展宽、多普勒分辨率降低和能量泄露等问题，我们设置4种仿真场景，即场景1：不存在杂波谱展宽和能量泄露的影响；场景2：只存在能量泄露的影响；场景3：只存在杂波谱展宽的影响；场景4：杂波谱展宽和能量泄露的影响都存在。 4种场景的设置可以通过调节K杂波仿真中的杂波谱宽度和目标多普勒频率df来实现。场景1和2的设置中，我们令K杂波仿真中的功率谱3 dB带
26、宽为40 Hz，场景3和场景4对应为80 Hz，两种带宽的功率谱密度曲线如图5所示。 能量泄露的影响是由多普勒滤波器组和目标多普勒频率共同决定的，因为脉冲重复频率为1000 Hz，多普率滤波器的个数为8个，则可以令场景1和场景3中142.86 Hzdf ，场景2和场景4中df 214.29 Hz，图6以多普勒滤波器组的形式给出了4种场景的示意图。 然后我们利用常规CFAR、矩阵CFAR和改进的矩阵CFAR 3种方法分别对每一种场景下的仿真目标信号进行检测，信杂比范围设置为 10 dB, 20 dB，得检测性能曲线如图7所示。 从图7可以看出，场景1中，由于没有杂波谱展宽和能量泄露的影响，FFT
27、能使目标信号能量有效积累，且目标所在的多普勒滤波器中杂波能量微弱，此时常规CFAR的性能是较好的；场景2中，受到了能量泄露的影响，即df在两个多普勒滤波器之间，此时常规CFAR中检测量对应的多普勒滤波器只积累了一部分信号能量，因而检测性能下降；场景3中，杂波谱展宽，即目标信号所在的多普勒滤波器也散布了一部分杂波能量，使得检测性能下降；场景4中两种影响都有，因而检测性能是最差的。矩阵CFAR和改进的矩阵CFAR都是直接利用协方差矩阵进行检测，因而上述两个方面的影响是相对较小的，除了在场景1中，常规CFAR的检测性能较好以外，在其他3种场景下，矩阵CFAR的性能有优势，但在场景2和场景4中不明显，
28、而改进的矩阵CFAR的检测性能要明显优于矩阵CFAR和常规CFAR，这也验证了本文所提出的改进矩阵CFAR检测器的有效性。 矩阵CFAR和改进的矩阵CFAR都是利用了矩阵流形的内在结构对矩阵均值进行估计，因而它们的另一优势是稳健性，即在不同的背景下检测性能变化的程度相对较小，我们通过将3种方法在4种场景下的检测性能曲线放在一起比较，如图8所示，可以看出常规CFAR的检测性能在不同场景下的波动程度要更大，而矩阵CFAR和改进的矩阵CFAR具有更稳健的检测性能。 7 结束语 矩阵CFAR是信息几何理论在雷达目标检测中的一项重要应用，在一些场景下具有比传统方法更好的检测性能和恒虚警特性。本文在前人研
29、究的基础上，对矩阵CFAR进行了更深入的理论分析，提出了一种改进方法，进一步提高了性能，并通过仿 图4 LRT, KDD, GDD 3种方法检测性能比较 图5 杂波的功率谱密度曲线 第4期 赵兴刚等： 一种基于KL分离度的改进矩阵CFAR检测方法 939 图6 4种仿真场景示意图 图7 检测性能曲线 图8 3种方法在4种场景下的检测性能比较 真实验进行了验证。然而，除此之外，矩阵CFAR仍有许多问题需要继续深入研究，如矩阵流形本身是假定杂波序列服从零均值高斯分布的，那么在强非高斯杂波背景下，由于杂波类型的不准确，也会导致性能的下降16，这是在以后的研究中需要着重解决的问题。 940 电 子 与
30、 信 息 学 报 第38卷 参 考 文 献 1 RAO C. Information and accuracy attainable in the estimation of statistical parametersJ. Bulletin of the Calcutta Mathematical Society, 1945, 37(2): 81-91. 2 CHENTSOV N N. Statistical Decision Rules and Optimal InferenceM. Rhode Island, USA: American Mathematical Society, 198
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