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1、2022年初中数学复习,常见辅助线 等腰三角形 1. 作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法； 2.作一腰上的高； 3过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。 梯形 1.垂直于平行边 2.垂直于下底，延长上底作一腰的平行线 3.平行于两条斜边 4.作两条垂直于下底的垂线 5.延长两条斜边做成一个三角形 菱形 1. 连接两对角 2. 做高 平行四边形 1.垂直于平行边 2.作对角线把一个平行四边形分成两个三角形3.做高形内形外都要留意 矩形 1. 对角线 2.作垂线 很简洁。无论什么题目，第一位应当考虑到题目要求，比如AB=AC+BD.这类的就
2、是想方法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 解几何题时如何画协助线? 见中点引中位线，见中线延长一倍. 在几何题中，假如给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。 在比例线段证明中，常作平行线。 作平行线
3、时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。 对于梯形问题，常用的添加协助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线 2、过上底的一个端点作一腰的平行线 3、过上底的一个端点作一对角线的平行线 4、过一腰的中点作另一腰的平行线 5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交 6、作梯形的中位线 7、延长两腰使之相交 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相像，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，找寻线段很关键。 干脆证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线 一 添协助线有二种状
4、况： 1按定义添协助线： 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添协助线。 2按基本图形添协助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添协助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应当叫做“补图”！这样可防止乱添线，添协助线也有规律可循。举例如下： （1）平行线是个基本图形： 当几何中出现平行线时添协助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线 （2）等腰三角形是个简洁的基本图形： 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与
5、平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。 （3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形： 出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。 （4）直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。 （5）三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且
6、与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。 （6）全等三角形： 全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；假如出现两条相等线段或两个档相等角关于某始终线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成始终线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线 （8）特别角直角三角形 当出现30，45，60，135，15
7、0度特别角时可添加特别角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：2；30度角直角三角形三边比为1：2：3进行证明 二 基本图形的协助线的画法 1.三角形问题添加协助线方法 方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，经常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很简单地解决了问题。 方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的学问解决问题。 方法3：结论是两线段相等的题目常画协助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。 方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这
8、类题目，常采纳截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于其次条线段。 2.平行四边形中常用协助线的添法 平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添协助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相像，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下： （1）连对角线或平移对角线： （2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形 （3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线 （4）连接顶点与对边上一点
9、的线段或延长这条线段，构造三角形相像或等积三角形。 （5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.3.梯形中常用协助线的添法 梯形是一种特别的四边形。它是平行四边形、三角形学问的综合，通过添加适当的协助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。协助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的协助线有：（1）在梯形内部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形内平移两腰（4）延长两腰（5）过梯形上底的两端点向下底作高（6）平移对角线（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。（9）作中位线当然在梯形的有关证明和计算中，添加的协助线并不肯定是固定不变的、单一
10、的。通过协助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。 作协助线的方法 一：中点、中位线，延线，平行线。 如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作协助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种协助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。 二：垂线、分角线，翻转全等连。 如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，这时协助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。 三：边边若相等，旋转做试验。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，
11、有时边角相互协作，然后把图形旋转肯定的角度，就可以得到全等形，这时协助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。 四:造角、平、相像，和、差、积、商见。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相像形有关。在制造两个三角形相像时，一般地，有两种方法：第一，造一个协助角等于已知角；其次，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相像，和差积商见。” 托列米定理和梅叶劳定理的证明协助线分别是造角和平移的代表） 九：面积找底高，多边变三边。 如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），
12、往往作底或高为协助线，而两三角形的等底或等高是思索的关键。 如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。 另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其协助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。 初中几何协助线 一初中几何常见协助线口诀 人说几何很困难，难点就在协助线。协助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭阅历。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线. 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三
13、角去。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形问题巧转换，变为和。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。 假如出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。 证相像，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，找寻线段很关键。 干脆证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 切勿盲目乱添线，方法敏捷应多变。 分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成果上升成直线。 二由角平分线想到的协助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线
14、，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的协助线的作法，一般有两种。 三由线段和差想到的协助线 口诀： 线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法： 1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想方法放在一个
15、三角形中证明。 一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如干脆证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明， 四由中点想到的协助线 口诀： 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 在三角形中，假如已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应当联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探究，找到解决问题的方法。 （一） 、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形 （二） 、由中点应想到利用三角形的中位线 （三） 、由中线应想到延
16、长中线 （四） 、直角三角形斜边中线的性质 （五） 、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线 （六）中线延长 口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。 题目中假如出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。 五全等三角形协助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论动身，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件动身，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加协助线，构造全等三角形。 三角形中常见协助线的作法： 延长中线构造全等
17、三角形；利用翻折，构造全等三角形；引平行线构造全等三角形；作连线构造等腰三角形。常见协助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考学问点经常是角平分线的性质定理或逆定理 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，详细做法是在
18、某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 特别方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的学问解答 六梯形的协助线 口诀： 梯形问题巧转换，变为和。平移腰，移对角，两腰延长作出高。假如出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。 通常状况下，通过做协助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。常见的几种协助线的作法如下： 第11页 共11页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页