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1、2022年中考冲刺：创新、开放与探究型问题(提高) 中考冲刺：创新、开放与探究型问题 一、选择题 1. （2022重庆校级二模）下列图形都是由同样大小的平行四边形按肯定的规律组成其中，第个图形中一共有1个平行四边1.（2022重庆校级二模）下列图形都是由同样大小的小圆圈按肯定规律组成的，其中第个图形中一共有1个空心小圆圈，第个图形中一共有6个空心小圆圈，第个图形中一共有13个空心小圆圈，按此规律排列，则第个图形中空心圆圈的个数为（） A61 B63 C76 D78 2如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设
2、P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；设 Pn1Dn2的中点为Dn1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn1重合，折痕与AD交于点Pn（n2），则AP6的长为（） A B CD 3下面两个多位数1248624、6248624，都是根据如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数
3、，则这个多位数前100位的全部数字之和是 A495 B497 C501 D503 二、填空题 4. （2022合肥校级三模）如图，一个32的矩形（即长为3，宽为2）可以用两种不同方式分割成3或6个边长是正整数的小正方形，即：小正方形的个数最多是6个，最少是3个 （1）一个52的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是_个，最少是_个； （2）一个72的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是_个，最少是_个； （3）一个（2n+1）2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是_个；最少是_个（n是正整数） 5. 一园林设计师要运用长度为4L的材料建立如图1所示的花圃，该花圃是由四个
4、形态、大小完全一样的扇环面组成，每个扇环面如图2所示，它是以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过O点的两条直线段围成，为使得绿化效果最佳，还须使得扇环面积最大 （1）使图花圃面积为最大时Rr的值为_，以及此时花圃面积为_，其中R、r分别为大圆和小圆的半径 （2）若L160 m，r10 m，使图面积为最大时的值为_ 6如图所示，已知ABC的面积， 在图中，若，则； 在图中，若，则； 在图，若，则 按此规律，若，则_ 三、解答题 7（2022丹东模拟）已知，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），BAC=90，AB=AC，DAE=90，AD=AE，连接CE （l）如图1，当点D在线段BC上
5、时，求证：BDCE，CE=BCCD； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请干脆写出CE、BC、CD三条线段之间的关系； （3）如图3，当点O在线段BC的反向延长线上时，且点A、E分别在直线BC的两侧，点F是DE的中点，连接AF、CF，其他条件不变，请推断ACF的形态，并说明理由 8. 如图、，在ABC中，分别以AB，AC为边，向ABC外作正三角形、正四边形、正五边形，BE，CD相交于点O （1）如图，求证：ADCABE； 探究： 图中，BOC_； 图中，BOC_； 图中，BOC_； （2）如图，已知：AB，AD是以AB为边向ABC外所作正n边形的一组邻边；AC，AE是以
6、AC为边向ABC外所作正n边形的一组邻边BE，CD的延长相交于点O 猜想：图中，BOC_； 依据图证明你的猜想 9. 如图，梯形ABCD中，ADBC，ABC90，AD9，BC12，ABa，在线段BC上任取一点P，连接DP，作射线PEDP，PE与直线AB交于点E （1）试确定CP3时，点E的位置； （2）若设CPx，BEy，试写出y关于自变量x的函数关系式； （3）若在线段BC上能找到不同的两点P1，P2，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求出此时a的取值范围 10. 点A，B分别是两条平行线m，n上随意两点，在直线n上找一点C，使BCkAB连接AC，在直线AC上任取一点E，作BEFABC，
7、EF交直线m于点F （1）如图，当k1时，探究线段EF与EB的关系，并加以说明； 说明： 假如你经过反复探究没有解决问题，请写出探究过程； 在完成之后，可以自己添加条件，在图中补全图形，完成证明 （2）如图，若ABC90，kl，探究线段EF与EB的关系，并说明理由 答案与解析 一、选择题 1.A； 第个图形中空心小圆圈个数为：413+10=1个； 第个图形中空心小圆圈个数为：424+21=6个； 第个图形中空心小圆圈个数为：435+32=13个； 第个图形中空心圆圈的个数为：479+76=61个； 2.A； 由题意得，AD=BC=，AD1=ADDD1=，AD2=，AD3=，ADn=， 故AP1
8、=，AP2=，AP3=APn=， 故可得AP6=. 故选A. 3.A； 依据题意，当第1位数字是3时，按操作要求得到的数字是3624862486248，从第2位数字起每隔四位数重复 一次6248，因为被4整除得24余3，所以这个多位数前100位的全部数字之间和 是3+24495，答案选A 二、填空题 4.（1）4；10；（2）5；14；（3）4n+2；n+2 （1）一个52的矩形最少可分成4个正方形，最多可分成10个正方形； （2）一个72的矩形最少可分成5个正方形，最多可分成14个正方形； （3）第一个图形：是一个32的矩形，最少可分成1+2个正方形，最多可分成14+2个正方形； 其次个图形
9、：是一个52的矩形，最少可分成2+2个正方形，最多可分成24+2个正方形； 第三个图形：是一个72的矩形，最少可分成3+2个正方形，最多可分成34+2个正方形； 第n个图形：是一个（2n+1）2的矩形，最多可分成n4+2=4n+2个正方形，最少可分成n+2个正方形 故答案为：（1）4；10；（2）5；14；（3）4n+2；n+2 5.（1）Rr的值为，以及此时花圃面积为； （2）值为 要使花圃面积最大，则必定要求扇环面积最大 设扇环的圆心角为，面积为S，依据题意得： ， ， S在时取最大值为 花圃面积最大时Rr的值为，最大面积为 （2）当时，S取大值， ， ， 6. 三、解答题 7. （1）证
10、明：如图1中，BAC=DAE=90， BAD=CAE， 在ABD和ACE中， ， ABDACE， ABD=ACE=45，BD=CE， ACB+ACE=90 ECB=90， BDCE，CE=BCCD （2）如图2中，结论：CE=BC+CD，理由如下： BAC=DAE=90， BAD=CAE， 在ABD和ACE中， ， ABDACE， BD=CE， CE=BC+CD （3）如图3中，结论：ACF是等腰三角形理由如下： BAC=DAE=90， BAD=CAE， 在ABD和ACE中， ABDACE， ABD=ACE， ABC=ACB=45， ACE=ABD=135， DCE=90， 又点F是DE中点，
11、 AF=CF=DE， ACF是等腰三角形 8. （1）证法一： ABD与ACE均为等边三角形， ADAB，ACAE，且BADCAE60 BAD+BACCAE+BAC， 即DACBAE ADCABE 证法二： ABD与ACE均为等边三角形， ADAB，ACAE， 且BADCAE60 ADC可由ABE围着点A按顺时针方向旋转60得到 ABEADC 120，90，72 （2） 证法一：依题意，知BAD和CAE都是正n边形的内角，ABAD，AEAC， BADCAE BADDAECAEDAE， 即BAEDAC ABEADC ABEADC ADC+ODA180， ABO+ODA180 ABO+ODA+DA
12、B+BOC360 BOC+DAB180 BOC180DAB 证法二：延长BA交CO于F，证BOCDAF180-BAD 证法三：连接CE证BOC180CAE 9. 解： （1）作DFBC，F为垂足 当CP3时，四边形ADFB是矩形，则CF3 点P与点F重合 又BFFD， 此时点E与点B重合 （2）当点P在BF上时，) EPB+DPF90，EPB+PEB90， DPFPEB RtPEBARtDPF 又 BEy，BP12-x，FPx-3，FDa，代入式，得 ，整理， 得 当点P在CF上（不与C，F重合）时，（见上图)同理可求得 由FP3-x得 （3）解法一： 当点E与A重合时，yEBa，此时点P在线
13、段BF上 由式得 整理得 在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满意条件， 方程有两个不相等的正实根 240 解得 又a0， 解法二： 当点E与A重合时， APD90， 点P在以AD为直径的圆上设圆心为M，则M为AD的中点 在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满意条件， 线段BC与M相交即圆心M到BC的距离d满意 又ADBC， da 由式得 10. 解： （1）EFEB 证明：如图，以E为圆心，EA为半径画弧交直线m于点M，连接EM EMEA，EMAEAM BCkAB，k1， BCAB CABACB mn，MACACB，FABABC MACCAB CABEMA BEFABC， BEFFA
14、B AHFEHB， AFEABE AEBMEF EFEB 探究思路：如上图，BCkAB，k1， BCAB CABACB mn，MACACB 添加条件：ABC90 证明：如图，在直线m上截取AMAB，连接ME BCkAB，k1， BCAB ABC90， CABACB45 mn， MAEACBCAB45，FAB90 AEAE，MAEBAE EMEB，AMEABE BEFABC90， FAB+BEF180 又 ABE+EFA180， EMFEFA EMEF EFEB （2）EFEB 说明：如图，过点E作EMm，ENAB，垂足为M，N EMFENAENB90 mn，ABC90， MAB90 四边形MENA为矩形 MENA，MEN90 BEFABC90 MEFNEB MEFNEB ， 在RtANE和RtABC中， ， 第10页 共10页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页