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1、费马点问题1-1. 如左图，0O为等边6ABC的外接圆，P 为劣弧B-C上一点，求证：P A =PB + PC.1-2. 如右图，P 为等边6ABC所在平面上的任意一点，求证P A PB + PC.2. 如图，P 在6ABC所在平面上，若6ABC的三个内角均小于120，试证：当PA + PB + PC达到最小值时，有APB = BPC = CPA = 120. (费马点问题)93. 如图，直线l为一条供水管道，点A、B为l同侧的两个居民区，A到l的距离AAt = 1，B到l的距离BBt = 2，AtBt = 2；现在需要规划一套连接A、 B与l的供水管道系统，希望铺设管道的总距离尽可能小，施工
2、队三个工作人员提出了以下三套方案：01 直接连接折线At A B，AtA + AB即为最佳方案；02 在直线l上合适位置找一点P ，当PA + PB最短时即为最佳方案；03 在直线l外合适位置找一点P ， 连接PA、 PB并向直线l作垂线PP t，当PA + PB + PP t最短时即为最佳方案；请你选择你认为最佳的方案并说明理由，求出你所选择的最佳方案需要铺设管道的总长度.4-1. 如左图，四边形ABPC内接于0O，连接PA、BC，试证：AB PC + AC PB = BC PA.4-2. 如右图，平面上任意四点ABP C，连接PA、BC，试证：AB PC + AC PB BC PA.(托勒
3、密定理的等式形式与不等式形式，不等式形式对千空间中四点仍成立)5. 如图，边长为1的正方形ABCD内一点P ，求PA + 2PB + 5PC的最小值. (加权费马点问题举例)费马点问题解答1-1. 如左图，0O为等边6ABC的外接圆，P 为劣弧B-C上一点，求证：P A =PB + PC.1-2. 如右图，P 为等边6ABC所在平面上的任意一点，求证P A PB + PC.1-1.证明：在AP 上取点P t， 使PB = PP t， BPA = BCA = 60， 知等边6BPP t， 故ABP t = CBP ， 6ABP t = 6CBP (SAS)， 因此PA =PP t + P tA
4、= PB + PC.1-2.证明：将6BPC绕点B旋转60至6BP tA，易知等边6BPP t，因此PA PP t + P tA = PB + PC.2. 如图，P 在6ABC所在平面上，若6ABC的三个内角均小于120，试证：当PA + PB + PC达到最小值时，有APB = BPC = CPA = 120. (费马点问题)证明：以BC为边，向下作等边6BCD，AD交6BCD外接圆于点P；对平面上任意一点P t，由上一题中的结论知P tA + P tB + P tC P tA + P tD AD，当且仅当P t与P 重合时，不等式取等号，此时显然有APB = BPC = CPA = 120
5、.注意，当6ABC某个内角，例如BAC，大于120时，P 在A点处时PA+PB + PC取得最小值，满足此条件的点P 称为6ABC的费马点. 我们可以以任意一边为基础向外作等边三角形，求出这个最小值，需要注意的是，在不同的边作等边三角形时的计算复杂度有可能不同.3. 如图，直线l为一条供水管道，点A、B为l同侧的两个居民区，A到l的距离AAt = 1，B到l的距离BBt = 2，AtBt = 2；现在需要规划一套连接A、 B与l的供水管道系统，希望铺设管道的总距离尽可能小，求最佳方案需要铺设管道的总长度.0解：以AB为边向上作等边6ABC，其外接圆交CP t l于P0，对于平面上任意一点P ，
6、PP t l，由第一题的结论，我们有PA + PB + PP t PC + PP t CP t = P0P t + P0C = P0A + P0B + P0C，即CP0.为铺设管道的最小总长度.000下面我们用轨迹法来求CP t的长度.作AB0 BBt，以AB0为边向上作等边6AB0C0，(由6AB0B = 6AC0C)易知0当点B由B0 B时，点C由C0 C，作CH CP t，易知CC0H = 30，因此有CP t = CH + HP t = 1 CC + C Ct = 1 + 1 + 3 = 1.5 + 3.00200 024-1. 如左图，四边形ABPC内接于0O，连接PA、BC，试证：
7、AB PC + AC PB = BC PA.4-2. 如右图，平面上任意四点ABP C，连接PA、BC，试证：AB PC + AC PB BC PA.(托勒密定理的等式形式与不等式形式，不等式形式对千空间中四点仍成立)4-1. 证明：在PA上取点P t，使ABP t = CBP ，又BAP t = BCP ，故有6ABP t 6CBP ；又BP tP = 180 BP tA = 180 BPC = BAC，ttABP tAACP tPBPP= BCA，故有6P BP 6ABC；于是有BC =，=，PCBCPB因此AB PC + AC PB = BC P tA + BC P tP = BC PA
8、.tBABP t4-1. 证明：将6BPC绕点B旋转相似至6BP A，由BC =，及ABC =BPP tBP ， 知6P tBP 6ABC； 与上面a 似， 有AB PC + AC PB =BC P tA + BC P tP = BC (P tA + P tP ) BC PA.注：当上面的6ABC为等边三角形时，得到命题1，故命题1中的结论为托勒密定理的推论. 我们在很多场合下见到的三边等式或不等式关系实际上不过是托勒密定理在一些特殊情况下的推论. 正如应用命题1能够得到费马点的结论，我们用托勒密定理可以得到如下的更强结论加权费马点.5. 如图，边长为1的正方形ABCD内一点P ，求PA +
9、2PB + 5PC的最小值. (加权费马点问题举例)解：以AB为直径作0O，在圆上取点Q，使QB : QA = 1 : 2，由托勒密定理，对任意点P ，有PA QB +PB QA AB PQ，即PA +2PB 5PQ，当且仅当P 为0O与CQ交点时取等号；因此有PA + 2PB + 5PC 5(PQ + PC) 5CQ；作QH BC于H，易知QH : BH = 1 : 2，故QH = 1 BQ = 1 ，552BH = 2BH =5，于是CQ2= QH2+ CH21= ( )25+ (1 +2 )25= 2，故所求最小值为5CQ = 10.注：费马点与加权费马点的物理本质是力学上三质点系统势能最小时即静力平衡态的空间位置，等同学们到高中学到力的向量加法时我会向大家讲解如何从物理上秒懂这一经典结论！