高等数学（经济类）全书习题解答第7章（微分差分方程）.doc

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1、第7章 微分方程与差分方程习题解答习题7-11下列方程哪些是微分方程？若是微分方程请指出它的阶：（1）； 解 方程中含有，故是微分方程，且为一阶微分方程。（2）；解 方程中含有，故是微分方程，且为一阶微分方程。（3）；解 方程中含有，故是微分方程，且为一阶微分方程。（4）；解 不是微分方程。（5）；解 方程中含有，故是微分方程，且为二阶微分方程。（6）；解 方程中含有，故是微分方程，且为二阶微分方程。（7）；解 方程中含有，故是微分方程，且为三阶微分方程。（8）。解 方程中含有，故是微分方程，且为阶微分方程。2验证 是微分方程的解; 并说明是通解还是特解.解 因为 3验证是微分方程的通解，并求

2、满足初始条件的特解解 由可得，将及代入方程中，得 ，所以函数是微分方程的解又因为方程是一阶的，而函数含有一个任意常数，且任意常数的个数等于方程的阶数，所以函数是微分方程的通解将代入中，得所求特解4验证由方程所确定的隐函数是微分方程的通解，并求满足初始条件的特解解 由可得 ，将及代入方程中，得，所以函数是微分方程的解又因为方程是一阶的，而函数含有一个任意常数，且任意常数的个数等于方程的阶数，所以函数是微分方程的通解将代入中，得所求特解5已知某企业的纯利润对广告费 的变化率与常数和纯利润之差成正比，写出纯利润所满足的微分方程. 解 由题意可知，纯利润所满足的微分方程为 其中为常数，且6设曲线在点处

3、的切线斜率等于该点横坐标平方的两倍，写出该曲线所满足的微分方程解 设所求曲线的方程为，根据导数的几何意义，由题意得 习题7-21求下列微分方程的通解：（1） ；解 分离变量有,两端积分 ,可得 通解为 （2）；解 分离变量有两端积分，可得通解为（3）；解 分离变量有两端积分，可得通解为（4）；解 分离变量有两端积分，可得通解为（5）；解 分离变量有两端积分，可得通解为（6）。解 分离变量有，两端积分，可得通解为2求下列微分方程的通解：（1） ；解 令，则，代入原方程，得，分离变量得，两边积分 ，得所求方程的通解为.（2）； 解 令，则，代入原方程，得，分离变量得，两边积分 ，得所求方程的通解为

4、.（3）；解 令，则，代入原方程，得，分离变量得，两边积分 ，得所求方程的通解为.（4）；解 令，则，代入原方程，得，分离变量得，两边积分 ，得所求方程的通解为.（5）；解 令，则，代入原方程，当时，得，分离变量得，两边积分 ，得所求方程的通解为 ，类似地，当时，可求得其解，综合的所求通解为.（6）；解 令，则，代入原方程，得，分离变量得，两边积分 ，得所求方程的通解为.（7）。解 令，则，代入原方程，得，分离变量后两边积分 ，得所求方程的通解为.3求下列微分方程满足初始条件的特解：（1） ,；解 分离变量有，两端积分，可得通解为，由 得 ，故所求特解为 （2）, ；解 分离变量有，两端积分，

5、可得通解为，由 得 ，故所求特解为 （3）；解 分离变量有，两端积分，可得通解为，由 得 ，故所求特解为 （4） ；解 分离变量有，两端积分，可得通解为，由 得 ，故所求特解为 （5） ，；解 原方程可化为由通解公式得所求通解， 再由，得 故所求特解.（6）。解 令，则，代入原方程得，分离变量得，两边积分 ，得所求方程的通解为 ，由 得 ，故所求特解为 4求下列微分方程的通解：（1）；解 原方程变形为，这是一阶线性非齐次微分方程，其中，由通解公式得所求通解即 .（2）+；解 此方程为一阶线性非齐次微分方程，其中，由通解公式得所求通解即 .（3）；解 原方程变形为，这是一阶线性非齐次微分方程，其

6、中，由通解公式得所求通解即 （4）；解 此方程为一阶线性非齐次微分方程，其中，由通解公式得所求通解即 .（5）；解 将看作自变量，看作的函数，则有，这是关于未知函数的一阶线性非齐次微分方程，且，.由通解公式得原方程的通解为即 .（6）。解 将看作自变量，看作的函数，则有，这是关于未知函数的一阶线性非齐次微分方程，且，.由通解公式得原方程的通解为即 .5求下列微分方程满足初始条件的特解：（1）。解 这是一阶线性非齐次微分方程，其中，由通解公式得所求通解即 .代入初始条件，求得，故所求特解是.（2）；解 这是一阶线性非齐次微分方程，其中，由通解公式得所求通解即 .（3）； 解 这是一阶线性非齐次微

7、分方程，其中，由通解公式得所求通解即 .代入初始条件，求得，故所求特解是.代入初始条件，求得，故所求特解是.（4），；解 这是一阶线性非齐次微分方程，其中，由通解公式得所求通解即 .代入初始条件，求得，故所求特解是.6求下列微分方程的通解：（1）；解 令，代入原方程，得分离变量得两边积分 ，得所求方程的通解为.（2）；解 原方程可化为 令，即有分离变量得两边积分，将代入得故所求通解为（3）。解 原方程可化为这是齐次方程，令即有分离变量得两边积分 ，得所求方程的通解为 习题7-31 求下列微分方程的通解：（1）；解 对原方程积分一次，得 ，再积分，得原微分方程的通解为（2）；解 对原方程积分一次

8、，得 ，再积分，又得 ，第三次积分，得原微分方程的通解为（3）；解 设，则，代入原方程，得这是可分离变量的微分方程，分离变量得两边积分，得，即 ，两边积分，得（4）；解 设，则，代入原方程，得这是可分离变量的微分方程，分离变量得两边积分，得，即 ，两边积分，得方程的通解为（5）解 设，则，代入原方程，得这是可分离变量的微分方程，分离变量得两边积分，得，化简解出，两边积分，得方程的通解为（6） ；解 设，则，代入原方程得，在时，约去并分离变量，得，两端积分，得，即，再分离变量，得方程的通解为2求方程 满足初始条件 的特解。解 设，原方程化为这是可分离变量的微分方程，分离变量得 两边积分，得将初始

9、条件代入上式，得，故分离变量并两端积分，得再由条件可得，故所求特解为.3求方程满足初始条件 的特解。解 设，原方程化为这是可分离变量的微分方程，分离变量得 两边积分，得将初始条件代入上式，得，故分离变量并两端积分，得再由条件可得，故所求特解为.4求方程满足初始条件 的特解。解 设， 代入原方程得，即，这是一阶线性非齐次微分方程，其中，由通解公式，得所求通解，即 ，代入初始条件，求得，故，积分得方程的通解为，再由条件可得，故所求特解为.5求方程满足初始条件 的特解。解 设，则，代入原方程得，这是可分离变量的微分方程，分离变量得 两端积分，得将初始条件代入上式，得，故分离变量并两端积分，得再由条件

10、可得，故所求特解为6求的经过点M（0，1）且在此点与直线2y=x+2相切的积分曲线。解 方程满足的初始条件为 对方程积分一次，得 ，将初始条件代入上式，得，故再积分，得方程的通解为再由条件可得，故所求特解为所以的经过点且在此点与直线相切的积分曲线方程为习题7-41.求下列微分方程的通解：（1）； 解 所给方程的特征方程是，特征根为两个不相等的实根：，故所求通解为.(2) ；解 所给方程的特征方程是，特征根为两个不相等的实根：，故所求通解为.(3). ；解 所给方程的特征方程是，特征根为两个相等的实根：故方程的通解为.（4）；解 所给方程的特征方程是.特征根是一对共轭复根：因此所求通解是（5）；

11、解 所给方程的特征方程为 ，它的根是 .因此所求通解为 .（6）；解 先求原方程对应齐次方程的通解.它的特征方程为 ，特征根为 ，所以对应齐次方程的通解为 .由于属于=型，其中方程，且不是特征方程的根，故可设所给方程的特解为.求导得，并代入所给方程，得 ，所求通解为.（7）；解 所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为，故对应齐次方程的通解为 .由于属于=型，其中，且是特征方程的根，故可设所给方程的特解为.求导得，并代入所给方程，得 ，所求通解为 （8） ；解 所给方程对应的齐次方程为齐次方程为其通解为，设特解 ，代入方程，解得 ，所求通解为(9) ；解 所给方程对应的齐次方程为齐次

12、方程为它的特征方程为，特征根为，故对应齐次方程的通解为 设特解 ，代入方程，解得 ，所求通解为（10）解 所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为，故对应齐次方程的通解为 .由于属于=型，其中，且是特征方程的重根，故可设所给方程的特解为.求导得，并代入所给方程，得 ，所求通解为（11）；解 所给方程对应的齐次方程为齐次方程为其通解为，设特解 ，代入方程，解得 ，所求通解为(12) 解 所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为，故对应齐次方程的通解为 方程是二阶常系数线性非齐次方程，属于型，其中,，由于是特征方程的根，故可设所给方程的特解为，求导得，并代入所给方程，得 ，所求

13、通解为（13）；解 先求原方程对应齐次方程的通解.它的特征方程为 ，特征根为 ，所以对应齐次方程的通解为 .设的特解，求导得并代入所给方程，得 ，设的特解，求导得并代入所给方程，得 ，故原方程的特解为所求通解为2确定下列各方程的特解的形式：（1）；解 所给方程对应的齐次方程为 ，它的特征方程为，特征根为.所给方程是二阶常系数线性非齐次微分方程，属于=型，其中因为不是特征方程的根，故所给方程的特解形式为.（2）；解 所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为.所给方程是二阶常系数线性非齐次微分方程，属于=型，其中因为是特征方程的重根，故所给方程的特解形式为 .（3）；解 所给方程对应的齐

14、次方程为 ，它的特征方程为，特征根为.所给方程是二阶常系数线性非齐次微分方程，属于=型，其中因为不是特征方程的根，故所给方程的特解形式为.（4）；解 所给方程对应的齐次方程为 ，它的特征方程为，特征根为.所给方程是二阶常系数线性非齐次微分方程，属于=型，其中因为是特征方程的根，故所给方程的特解形式为.（5）；解 所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为方程是二阶常系数线性非齐次方程，属于型，其中,，由于是特征方程的根，故所给方程的特解形式为.（6）解 所给方程对应的齐次方程为 ，它的特征方程为，特征根为.方程是二阶常系数线性非齐次方程，属于型，其中由于是特征方程的根，故所给方程的特解

15、形式为3.求下列微分方程满足初始条件的特解：(1) ；解 所给方程的特征方程是，特征根为两个不相等的实根：，故所求通解为代入初始条件，得， 对求导，得代入，得，解得 ，；故所求特解为.(2) ；解 所给方程的特征方程是，特征根是一对共轭复根：因此所求通解是代入初始条件，得， 对求导，得代入，得；故所求特解为.（3）解 所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为，故对应齐次方程的通解为 .由于属于=型，其中，且是特征方程的单根，故可设所给方程的特解为.求导得，并代入所给方程，得 ，所给方程的通解为代入初始条件，得， 对求导，代入，得；并且可解得 故所求特解为4设二阶线性非齐次微分方程有一

16、特解，它对应的齐次方程有一特解为，试求：（1）的表达式；解 由条件可知 解得 （2）此方程的通解。解 将代入原方程得显见有另一解，方程的通解.5（1）若证明微分方程有一特解；若证明微分方程有一特解。 （2）根据（1）的结论求满足的特解。（1）证明 因为，代入到方程中，注意有可知是的一个特解.又因为，代入到方程中，注意有可知是的一个特解.（2）已知方程 ，即有，因为故为的一个特解，故为的一个特解，且线性无关，因此为方程 的通解，由，可得所求特解为习题7-51. 英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料,于1798年提出了人口指数增长模型. 设单位时间内人口的增长量与当时的人口总数成正比. 若

17、已知时的人口总数为, 求时间与人口总数的函数关糸. 根据我国国家统计局1990年10月30日发表的公报,1990年7月1日我国人口总数为11.6亿，过去8年的年人口平均增长率为14.8,若今后的年增长率保持这个数字，预报2000年我国的人口总数.解 设时间为时的人口总数为, 由题意得这是一个变量可分离的方程，易求出满足初始条件的解为将，代入上式，得年我国的人口总数为（亿）2设某商品的供给函数与需求函数分别为其中表示时间时刻的价格, 且，试求均衡价格关于时间的函数。解 由题意可知，在市场处于均衡价格时，有两端积分，得有，得故所求均衡价格关于时间的函数.3. 假设有一个很小的相对独立的小镇, 总人

18、口1800人, 并假设最初有5人患流感, 且流感以每天12.8%的比率蔓延, 那么10天内将有多少人被感染? 经过多少时间该镇将有一半人被感染.解 设是第天被感染流感的人数, 由题意得4.设某商品的供给函数为，需求函数为，且有，若在每一时刻市场均是出清的，求价格函数.解 由于在每一时刻市场均是出清的，故可知习题7-61求函数的差分.解 由差分定义，得= .2求函数的差分.解 由差分定义，得= .特别, 当为正整数时, = .3. 设函数，求.解 由差分定义，得4.设函数，求，.解 由差分定义，得。 5. 设函数，求.解 由差分定义，得。6确定下列差分方程的阶:（1）；解 由差分方程的定义，可知

19、为一阶差分方程.（2）；解 由差分方程的定义，可知为一阶差分方程.（3）；解 由差分方程的定义，可知为二阶差分方程.（4）；解 由差分方程的定义，可知为二阶差分方程.（5）；解 由差分方程的定义，可知为三阶差分方程.（6）.解 由差分方程的定义，可知为五阶差分方程.7验证函数是差分方程的解，并求时方程的特解.解 因为，所以 将上三式代入到方程的右端，得，所以是差分方程的解，将代入到，得 即 ，故所求的特解为.8试改变差分方程的形式.解 由差分定义，得 将上两式代入差分方程中，得.习题7-71.求下列差分方程的通解：（1）；解 因为且，故可设特解其中为待定系数，将其带入原差分方程中，得(C为任意

20、常数).（2）；解 因为且，故可设特解其中为待定系数，将其带入原差分方程中，得(为任意常数).（3）；解 原方程为所以其通解为 (C为任意常数).（4）.解 显然其齐次方程的通解为(C为任意常数).设其特解为 , 所以有, 从而得 b=-7.因此,原方程的通解为.2.求差分方程满足初始条件的特解解 因为，故可求得方程的通解为 由，得,所求特解为 .3.求差分方程满足初始条件的特解.解 因为，故可求得方程的通解为 由，得,所求特解为 .4.求差分方程满足初始条件的特解.解 方程可变形为，可求得对应的齐次方程的通解为 原方程的特解为 故原方程的通解为将代入上式，得,所求特解为 .5.求下列二阶差分

21、方程的通解.（1）；解 所给差分方程的特征方程为,特征根为 ，所以所求通解为 (是任意常数).（2）；解 所给差分方程的特征方程为, 特征根为 ，所以所求通解为, (是任意常数).（3）；解 所给差分方程对应齐次方程的特征方程为，其特征根为，对应齐次方程的通解为(是任意常数),原方程有形如的特解，代入原方程求得，故原方程的通解为 (是任意常数).（4）；解 所给差分方程对应齐次方程的特征方程为，其特征根为，对应齐次方程的通解为原方程有形如的特解，代入原方程求得，故原方程的通解为 （5）；解 所给差分方程对应齐次方程的特征方程为，其特征根为，对应齐次方程的通解为原方程有形如的特解，代入原方程求得

22、，故原方程的通解为 , (是任意常数).6.求差分方程满足初始条件，的特解.解 所给差分方程对应齐次方程的特征方程为，其特征根为，对应齐次方程的通解为 (是任意常数)，原方程有形如的特解，代入原方程求得，故原方程的通解为 (是任意常数),将，代入上式，得，所求特解为。7.求差分方程满足初始条件，的特解.解 所给差分方程的特征方程为,特征根为 ，所以所求通解为 (是任意常数).将，代入上式，得，所求特解为。8.求差分方程满足初始条件，的特解解 所给差分方程对应齐次方程的特征方程为.，其特征根为，对应齐次方程的通解为原方程有形如的特解，代入原方程求得，故原方程的通解为 , (是任意常数).将，代入

23、上式，得，所求特解为。习题7-81.某家庭从现在着手, 从每月工资中拿出一部分资金存入银行, 用于投资子女的教育, 并计算20年后开始从投资账户中每月支取1 000元, 直到10年后子女大学毕业并用完全部资金. 要实现这个投资目标, 20年内要总共筹措多少资金? 每月要在银行存入多少钱? 假设投资的月利率为0.5%.解 设第t个月, 投资账户资金为每月存资金为b元, 于是20年后, 关于的差分方程模型为 且解此方程，得通解以及 故有 从现在到20年内，满足的差分方程为且解上式方程得以及从而有即要达到投资目标，20年内要筹措资金元，平均每月要存入银行元。2. 一辆新轿车价值20万元，以后每年比上

24、一年减少20%，问t（t为正整数）年后这辆轿车价值为多少万元？若这辆轿车价值低于1万元就要报废，这辆轿车最多能使用多少年？解 依题意通解为 由，得所以由得即这辆轿车最多能使用13年5个月。总习题71选择题(1) 微分方程的阶数是（ ）.（A）1 （B）2 （C）3 （D）4解 方程中含有，故是一阶微分方程；即选项A 正确(2)下列结论正确的是（ ）.（A）微分方程的通解一定包含它的所有解（B）所有微分方程都存在通解（C）用分离变量法解微分方程时，对方程变形可能会丢掉原方程的某些解（D）函数（为两个任意常数）为方程的通解解 用分离变量法解微分方程时，对方程变形确实可能会丢掉原方程的某些解；即选项

25、C 正确(3)差分方程的通解是（ ）.（A） （B） （C） （D）解 注意到差分方程是二阶的，故其通解中应含有两个任意常数，四个选项中只有D符合；即选项D 正确(4)设函数满足关系式，则（ ）.（A） （B） （C） （D）解 求导得，分离变量可得通解 因为，即 ，即选项B正确(5)设函数是微分方程的一个解，且，则在点处（ ）.（A）有极大值 （B）某邻域内单调增加（C）有极小值 （D）某邻域内单调减少解 因为在点处，所以在点处有极大值，即选项A 正确(6)设线性无关的函数 都是微分方程的解，则此方程的通解为（ ）.（A）（B）（C）（D）解 因为 是微分方程的解，所以都是的线性无关的解，有

26、解的结构定理可知，是的通解，即选项D正确2填空题(1)已知函数在任意点x处的增量，则 .解 两端同除，并求极限得分离变量可得通解 由，得，即所以(2)以函数为通解的微分方程是 .解 由可得，两边求导，得 ，即为以函数为通解的微分方程.(3)以为通解的微分方程是 .解 有通解可知，特征根为两个不相等的实根：，方程的特征方程为 ，所以，对应的齐次方程为(4)已知微分方程的一个特解为，则该方程的通解为 .解 所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为，故方程的通解为.(5)某公司每年的工资总额在比上一年增长的基础上再追加万元，若以表示第年的工资总额（单位：百万元），则满足的差分方程为 .解

27、由题意可知.3求下列方程的通解或特解：(1)解 原方程可化为分离变量可得通解（2）；解 此方程为一阶线性非齐次微分方程，其中，由通解公式得所求通解即 .（3）解 将原差分方程改写成标准形式：即则通解为（4）；解 此方程为一阶线性非齐次微分方程，其中，由通解公式得所求通解即 .（5）；解 将看作自变量，看作的函数，则有，这是关于未知函数的一阶线性非齐次微分方程，且，.由通解公式得原方程的通解为即 .（6）；解 原方程可化为令，代入原方程，得分离变量得两边积分 ，得所求方程的通解为.（7）；解 原方程可化为令，代入原方程，得这是一阶线性非齐次微分方程，其中，由通解公式得所求通解原方程的通解为 （8

28、）解 显然其齐次方程的通解为(为任意常数).设其特解为 , 所以有, 从而得 .因此,原方程的通解为.（9）；解 设，原方程化为这是可分离变量的微分方程，分离变量得 两边积分，得即分离变量并两端积分，得（10）；解 设，则，代入原方程得，分离变量，得，两端积分，得，由，得 即再分离变量，得方程的通解为由，得所以所求特解为（11），；解 所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为，故对应齐次方程的通解为 .由于属于=型，其中，且是特征方程的根，故可设所给方程的特解为.求导得，并代入所给方程，得 ，所求通解为将代入，得所求特解（12）；解 所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，其特征根

29、为 ，.故对应齐次方程的通解为 .由于属于=型，其中，且是特征方程的根，故可设所给方程的特解为.求导得，并代入所给方程，得 ，所求通解为4.确定下列微分方程的特解的形式(1)解 所给方程的特征方程是，特征根为两个相等的实根：故可设的特解为.(2) 解 所给方程对应的齐次方程为 它的特征方程为，特征根为.方程是二阶常系数线性非齐次方程，属于型，其中由于是特征方程的根故所给方程的特解形式为5设在上连续，对任意的满足，且，求。解 令，原方程为两边求导得 求得通解为又，得故6.已知二阶常系数微分方程有特解， 求的值，并求该方程的通解。解 将代入方程得解得故所给方程为对应的齐次方程为特征方程为特征根为因

30、此方程的通解为 而方程的特解可设为代入得因此的通解为）.7. 某市几十家专业商场，今年销售全自动洗衣机15千台, 预计今后几年销售数量将以每年60%的速率增长, 估计年销售达60千台, 销售市场基本趋于饱和. 试写出自动洗衣机的销售曲线方程. 解 设是第年自动洗衣机的销售数, 由题意, 年销售达60千台, 销售市场基本趋于饱和,得8一曲线过点（4，-1），且其上任意点处的切线在切点与x轴之间的线段被y轴平分，求该曲线的方程。解 设曲线的方程为，由题意可得，即 分离变量有，两端积分，可得通解为又曲线通过原点，即得 ，故曲线的方程为 9.据统计，某城市2010 年的猪肉产量为30 万吨，价格为6.

31、00 元/公斤。2011 年生产猪肉25 万吨，价格为6.00 元/公斤。已知2012 年的猪肉产量为28 万吨，价格为8.00 元/公斤。若维持目前的消费水平与生产方式，并假定猪肉产量与价格之间是线性关系。问若干年以后的产量与价格是否会趋于稳定？若稳定请求出稳定的产量和价格。解 设2010 年猪肉的产量为，猪肉的价格为，2011年猪肉的产量为，猪肉的价格为，依此类推。根据线性假设，需求函数是一条直线，且和在直线上，因此得需求函数为 ()，供给函数也是一条直线，且和在直线上，因此得供给函数为 ()，将上两式合并化简，得关于的差分方程利用迭代法解此方程，于是有所以从而于是（万吨）类似于上述推导过程，得到关于的表达式于是（元/公斤）若干年以后的产量与价格都会趋于稳定，其稳定的产量为26.875（万吨），稳定的价格为7.25（元/公斤）。69