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1、融入数学建模的大学数学课程抽象理论教学研究 摘要：通过对概率统计中两个最原始的概念和高等数学中一个最抽象的定理的教学中如何融入数学建模思想的分析，揭示了在高校数学核心课程的教学中，数学建模与深化学生对基本概念的理解以及加强对抽象数学理论的实际应用实力的培育之间的关系。 关键词：数学建模；高校数学；基础理论教学；实力培育 作者简介：于林，男，山东滨州人，三峡高校理学院，教授。 基金项目：本文系三峡高校教学探讨项目的探讨成果。 中图分类号：G642.1 文献标识码：A 文章编号：1017-007932-0124-02 高校生数学建模竞赛和数学建模活动在对高校生创新实力培育和数学技术应用实力培育中的
2、重要作用已经是一个不争的事实，而在高校数学课程教学中融入数学建模思想的理念也被广阔的数学老师所公认，并且取得了很多珍贵的实践阅历。但是，在众多关于此问题的教学探讨文献中，基本上都是仅仅就高等数学课程中那些本身就具有很强的应用性的数学方法和数学技术介绍了其在数学建模中的一些应用实例，而难得见到有关如何将原始的数学概念和抽象的数学定理的教学与数学建模相互联系的探讨和分析。本文旨在通过对概率统计中两个最原始的概念和高等数学中一个最抽象的定理的教学中如何融入数学建模思想的分析，揭示了在高校数学核心课程的教学中，数学建模与深化学生对基本概念的理解以及加强对抽象数学理论的实际应用实力的培育之间的关系。目的
3、在于进一步探讨如何借助数学建模来激发学生对数学课程的学习爱好，深化学生对抽象理论的理解。 一、最原始的概念，最基本的模型 众所周知，概率论和数理统计理论中有两个最原始的基本概念，一个是概率空间，另一个是统计结构。通常在“概率论与数理统计”课程教学中一般总是这样进行的，在给定了概率空间之后，探讨定义在其上的随机变量及其分布等性质；在给定了统计结构 之后，探讨其上的样本、抽样分布及其由此而建立起来的统计推断问题。例如，一般的课本上几乎都是主要介绍建立在“正态分布总体”这样一种统计结构上的统计推断理论的。但是，只要略微细致思索一下，就会发觉一个被忽视的问题：这种作为探讨起点的所谓“概率空间”和“统计
4、结构”是怎么来的？这一问题一般状况下被老师和学生所忽视，因为同学们只须要会做课后的习题就够了，而在每一个习题里这些所谓的“起点”早就被题目的设计者给设计好了。于是，时间久了，同学们也就习惯了，很简单由此而造成一种假象，好像这些作为“起点”的东西是天生的，或者是自然就有的，很简单对这一课程中最基本的两个概念缺乏必要的理解。 然而，假如将这一问题与数学建模结合起来则状况就大不一样了。对于数学建模，任务不再是求解那种被人设计好的习题，而是面对的各类实际问题。运用概率分析的方法或者统计分析的方法对这些实际问题进行探讨，但是概率分析理论、统计分析理论都不能干脆作用于任何实际问题，这就须要首先确定这一实际
5、问题所对应的“概率空间”或者“统计结构”是什么。事实上，“概率空间”就是架设在实际问题和概率分析理论之间的一座桥梁，而“统计结构”即是贯穿在实际问题和统计分析理论之间的一条隧道。随机数学建模或者统计分析建模从对“概率空间”和“统计结构”的建立就已经起先了。 1.概率空间 随机现象与随机试验。数学建模的探讨对象都是一些实际的问题，假如这一实际问题表现为具有某种随机性的时候则被认为是一种随机现象，因此打算运用概率分析的方法进行探讨。但是，概率理论干脆的探讨对象并不是随机现象，而是为探讨随机现象所作的随机试验。为简洁计，今后凡是在概率论中的随机试验皆简称为试验，并记之以英文字母E。对于数学建模者须要
6、指出的是：对于同一随机现象，依据探讨者的探讨目的和探讨方法的不同可以设计不同的随机试验。 例如，某同学打篮球投篮，这当然是一个随机现象，因为他可能投中也可能投不中，也就是说他每次投篮是否能投中具有随机性。假设现在要考察该同学投篮的命中率，可以设计如下两种不同的随机试验。试验E1是让该同学先后投篮10次，看他其中能投中几次；试验E2是请该同学连续投篮直到投中为止，看该同学共须要投几次才能投中。由于所设计的随机试验不同，因而所产生概率空间就不同，以后所运用的概率分析方法也就不一样。 样本空间。当确定了随机试验E之后，称试验E的每一个可能结果为样本点，并称由全体样本点的集合为试验E的样本空间，并分别
7、用希腊字母和表示样本点和样本空间。 例如，对于上述的两个试验，试验E1的样本空间可以表示为，其中表示该同学在该次试验中共投中k个球；试验E2的样本空间可以表示为，其中表示该同学在该次试验中总共的投篮次数。留意，是一个有限样本空间，而则是一个无限样本空间。 几何概率模型的实例。几何概率在现代概率概念的发展中起到了特别重大的作用。在19世纪，人们一度认为任何概率问题都有唯一的解答，然而Joseph Bertrand在1888年提出的一个问题变更了人们的想法，这就是贝特朗奇论。 Bertrand奇论：在一半径为1的园内“随意”作一弦，试求此弦长度l大于园内接正三角形的边长的概率P。 解法1：由于对称
8、性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60120之间，其长才合乎要求。全部方向是等可能的，则所求概率为1/3。 解法2：由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与 3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。全部交点是等可能的，则所求概率为1/2。 解法3：弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中点位置都是等可能的，则所求概率为1/4。 于是得到了三个不同的答案，缘由是什么呢？这是因为三种解法中运用了三个不同的随机试验，从而得到三种不同的概率空间。解法1 的样本空间1是全圆周；解法2的样本空间2
9、是直径上点的全体；解法3的样本空间3是二维区域C。这一例子说明，对于同一个问题，由于构造了不同的概率空间而可以得到不同的结论。相对于各自的概率空间，每一种解法都是正确的，而概率空间即是最基本的数学模型。 2.统计结构 对统计总体的相识。正如“概率空间”是概率探讨的起点一样，“统计结构”则是统计分析的起点。数理统计学就是这样一门学科：它运用概率论和数学的方法，探讨怎样收集带有随机误差的数据，并在设定的统计结构之下，对这种数据进行分析，以对所探讨的问题做出推断。 面对应用中遇到的实际问题，统计结构是如何得来的呢？首先，来看一下如何相识统计的总体。所谓统计总体是指具有某种分布的随机变量。所以，通常总
10、体记为随机变量，它听从某分布P。 统计结构。统计总体的随机变量量及其听从的分布P统称为统计结构，P代表的事实上是一族分布函数。假如已经知道P的分布类型，即已知分布函数的类型，只是对其中的某个或者某几个参数未知，则问题就归结为依据样本值推断参数原委取何值为好。此类统计模型就是参数模型，涉及的统计问题就是参数统计问题。假如连分布函数的类型也知道得很少，以至于不能给出参数模型，那么问题就成为非参数统计问题。 以对某物理量的测量问题为例：假设有某物理量，实行多次测量的方式以求得到该物理量真实值的估计。如何建立统计模型呢？ 模型一：设总体随机变量，其中，所以 该探讨者认为：测量仪器工作状态稳定，可以认为
11、测量结果只存在随机误差。依据误差分析理论，此时有理由认为误差听从正态分布，由此总体随机变量。其中均值和方差都未知。所以该模型是一个含有两个未知参数的正态分布函数族。 现在再设想，假如该项测量工作是由一个特别专业的测量团队来完成的，因此事前可以假设测量的精确程度是已知的，即可以假设上述的方差已知，且取值为，于是又有如下模型。 模型二：设总体随机变量，其中，所以 当然，与建立模型二时相反，建模者可能非常悲观，或者事实上也是如此，这就是事前对该总体的信息收集实在太少。探讨者只能确定的是测量者既不会有意把数据夸大，也不会有意缩小，也就是测量所得的随机变量关于真实值应当是左右对称的，除此之外没有其它信息
12、了。这样就只能设置模型如下： 模型三：设总体随机变量对称分布。 模型三得到的只是一个非参数统计模型，因此确定了首先必需运用非参数统计进行分析和探讨，这较之前两种模型要困难得多。 二、最抽象的定理，最干脆的应用 1.Weierstrass定理 有界闭区间上连续函数的性质表现为一系列非常抽象的定理，Weierstrass定理是其中的一个。一方面，从理论上讲，它们在微积分理论体系中具有特别重要的地位；而另一方面，它们在形式上非常抽象。因此，一般状况下，学生们会认为其没有好用价值。其实正好相反，在数学建模中Weierstrass定理就常常被用到。该定理说：假如是上的一个连续复函数，那么便有多项式的序列
13、，使得在上一样地成立。假如是实函数，则是实多项式。 2.在数学建模中的一个应用 土豆施肥效果分析：在土豆生长期间，施用不同量的氮和钾肥，土豆产量结果见附表1，求土豆产量与施肥量之间的关系。 首先，为了计算便利，对数据作中心标准化处理，即令： ， 假如说，施肥量x1、x2与土豆产量y有很亲密的关系，则应当有，其中可能是线性函数，也可能是非线性函数，探求的详细形式是本题的目的，须要用回来分析方法。 失败的线性回来模型。通常状况下，同学们首先想到的是线性模型：。依据最小二乘法计算得回来方程：。但是这个模型的效果原委如何呢？计算多重判定系数得。明显，该线性模型对所给数据的拟合效果很差，由对数据的直观视
14、察亦可以看出，用线性模型去拟合所给数据是不合适的。 有效的多项式回来模型。明显，所求的函数关系确定不是线性函数，而肯定是一个非线性函数。然而，非线性函数有多数种，最有可能是哪一种呢？此时，Weierstrass定理帮了大忙。其实，无论是什么样的非线性函数，总可以用多项式去靠近。因此，可以考虑为多项式函数，且不妨从最低阶的二次多项式起先。 设模型为：， 同样依据最小二乘法计算得回来方程：。经计算多重判定系数为：。由此可知该模型拟合效果特别好，问题得到圆满解决。 三、结论 由上述实例分析可见，恰当地将数学建模融入高校数学课程教学，不仅有利于对学生数学应用实力的培育，而且更重要的是还可以帮助学生对抽
15、象的基本概念和理论的理解。因此，对于更多的抽象概念和定理，如何引入适当的数学模型是一个特别值得进一步具体探讨的问题。 参考文献： 1李大潜.中国高校生数学建模竞赛M.第四版.北京：高等教化出版社，2022. 2李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程J.中国高校教学，2022，：5-10. 3李炳照.数学建模思想融入数学类课程的思索与实践J.高等理科教化，2022，：32-35. 第9页 共9页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页