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1、关于实变函数教学的几点注记 摘 要：实变函数是高等院校数学类专业的一门重要专业基础课，在本课程的教学过程中开展探讨式教学，可以充分调动学生发觉问题、探讨问题的主动性和主动性，激发学生的学习爱好，培育学生的创新意识和科研意识。本文对实变函数课程教学方法进行探讨与探究。 关键词：探讨式教学;实变函数;应用 实变函数数学与应用数学，统计学专业的重要专业基础课之一。一方面是数学分析理论的深化和持续，另一方面是泛函分析，Fourier分析，概率论，分形几何，偏微分方程和调和分析等后继专业课程的基础，是培育学生数学思维、提升专业素养的钥匙，因此实变函数课程教学的胜利与否对数学类专业学生的数学思维和数学素养
2、的培育及提高有着特别重要的作用。1-5由于实变函数本身具有较高的理论性和抽象性，学问内容偏难，传统教学模式更加注意依照教材内容和教学大纲完成既定的教学任务和安排，偏重于课程本身的理论和学问的讲授和解答，而忽视了学问的应用以及不同学问之间的联系，导致了学生对学习实变函数的恐惊，觉得怎么学也学不会的消极现象。 我们认为在实变函数教学上开展探讨式教学是一种特别好的途径，它不仅可以变更目前学生被动学习的方式，还可以充分调动学生发觉问题、探讨问题的主动性和主动性，激发学生的学习爱好，培育学生的创新意识和科研意识。 1 实变函数教学过程中应留意的几点 下面我们结合教学实践、实变函数课程教学过程中应当留意的
3、几点进行探讨。 1.1 讲清晰集合概念的基本学问 实变函数可能是全部本科数学课程中介绍集合论最为具体的课程，其他课程只介绍一些简洁的概念，实变函数则用了相当的篇幅来介绍集合论的基本内容，在具体介绍集合论之前，讲授者有必要对集合论的前世今生做一个简洁的介绍，因为集合论虽然成了现代数学的基石，但存在的问题迄今并未得到很好的解决。 对学生而言，集合论中出现的第一个生疏概念是集合序列的极限，有两个问题经常是老师没有交代清晰的： 为什么要定义集合序列的极限？ 为什么要如此这般定义集合序列的极限？ 要说清晰第一个问题，老师自己须要清晰实变函数的思维特征以及学习实变函数的关键是什么？从可测函数的定义可以看出
4、，我们经常是把函数的某种性质用集合的语言表达出来，有时也须要反过来做。而分析学的灵魂则是极限，如何将函数序列的极限概念转换为集合的语言明显是个须要考虑的问题，于是集合序列的极限概念应运而生。 1.2 讲清晰测度概念的本质 作为实变函数的打算学问，集合概念介绍完了以后起先讲实变函数的重要内容测度论。实变函数的主要探讨对象是可测函数，而函数的可测性定义在集合的可测性之上，因此集合的测度概念至关重要。 测度概念可以追溯到面积问题。而面积概念的最早推广是关于集合的“容量”，探讨“容量”的代表性人物包括Jordon以及Borel，然而Lebesgue测度的出现取代了十九世纪几乎全部的工作，其中也包括他的
5、导师Borel的工作。不过Lebesgue测度并非测度论的终极，还有许多测度。事实上，假如没有更一般意义上的公理化测度，我们就很难把概率论与测度论相联系，概率论也就难以在数学上找到强大的理论基础。 老师讲课的时候不要从概念到概念，而更多注意概念的来龙去脉的阐述以及如何启发学生学会探究从而建立一个新的概念。测度作为区间“长度”、区域“面积”、立体“体积”概念的推广，当然不能脱离了这些原型去讲，否则学生学到的也只是详细的学问，而不学到发觉与创建实力。鉴于在课程的引言中老师已经交代清晰了为什么要定义一般集合的“长度”，所以老师在测度这一章节无需在这个问题上过多纠缠。 1.3 恰当运用类比教学法 介绍
6、外测度定义的时候，外测度定义方法跟曲边梯形面积的定义方法进行比较。定义曲边梯形的面积的时候，分别用若干小矩形从外面包住曲边梯形，同时用另一些小的矩形从里面尽量填满曲边梯形，随着分割的加細，假如内外小矩形面积之和趋于同一个值，就把这个极限称为对应函数的定积分。这种想法推广到一般的集合，用“矩形”从外面包住一个集合并不难，难的是集合的“内部”未必包含任何“矩形”。由此可见，我们第一步只能考虑从外部靠近，即用一些小“开矩形”的并包住一个给定的集合。取包住一个给定集合的小“开矩形”之并的面积的最小就得到外测度定义。 介绍Lebesgue积分的时候，Lebesgue积分思想跟Riemann积分思想进行比
7、较。Riemann定积分是怎么定义的，那里是将函数的定义域作分割，而Lebesgue积分是将函数的值域作分割的。 函数列的一样收敛性的重要性是不言而喻的，一个函数列一旦一样收敛，积分与极限的交换依次问题、求导与极限的交换依次问题以及级数的求和问题都变得简洁了。解决从到处收敛得到一样收敛的定理就是叶果洛夫定理。讲解叶果洛夫定理的条件时，让学生回顾函数列xn在开区间内非一样收敛，而挖掉很小数>0后的区间M.北京：高等教化出版社，2022. 2江泽坚，吴志泉.实变函数论M.北京：高等教化出版社，2022. 3周民强.实变函数论M.北京：北京高校出版社，2001. 4张晓岚.实变函数与泛函分析简明教程M.北京：高等教化出版社，2004. 5邓东皋，常心怡.实变函数简明教程M.北京：高等教化出版社，2022. 基金项目：本文由喀什高校教研教改项目资助 作者简介：买买提艾力喀迪尔，男，新疆疏附县人，博士，讲师，探讨方向：Fourier分析、分形几何和谱测度理论。 第5页 共5页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页