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1、六年级下册奥数试题统计与概率.题库（含答案）人教版_小学六年级奥数概率题 8-7概率与统计 教学目标 1. 能精确推断事务发生的等可能性以及嬉戏规则的公允性问题. 2. 运用排列组合学问和枚举等计数方法求解概率问题 3. 理解和运用概率性质进行概率的运算 学问点拨 学问点说明 在抛掷一枚硬币时，原委会出现什么样的结果事先是不能确定的，但是当我们在相同的条件下，大量重复地抛掷同一枚匀称硬币时，就会发觉“出现正面”或“出现反面”的次数大约各占总抛掷次数的一半左右这里的“大量重复”是指多少次呢？ 历史上不少统计学家，例如皮尔逊等人作过成千上万次抛掷硬币的试验，随着试验次数的增加，出现正面的频率波动越
2、来越小，频率在这个定值旁边摇摆的性质是出现正面这一现象的内在必定性规律的表现，恰恰就是刻画出现正面可能性大小的数值，就是抛掷硬币时出现正面的概率这就是概率统计定义的思想，这一思想也给出了在实际问题中估算概率的近似值的方法，当试验次数足够大时，可将频率作为概率的近似值 在统计里，我们把所要考察对象的全体叫做总体，其中的每一个考察对象叫做个体。 从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。样本中个体的数目叫做样本的容量。 总体中全部个体的平均数叫做总体平均数，把样本中全部个体的平均数叫做样本平均数。 概率的古典定义：假如一个试验满意两条：试验只有有限个基本结果：试验的每个基本结果出现的可能性是一
3、样的 这样的试验，称为古典试验 对于古典试验中的事务，它的概率定义为：，表示该试验中全部可能出现的基本结果的总数目，表示事务包含的试验基本结果数小学奥数中，所涉及的问题都属于古典概率其中的和须要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出 相互独立事务：事务是否发生对事务发生的概率没有影响，这样的两个事务叫做相互独立事务 公式含义：假如事务和为独立事务，那么和都发生的概率等于事务发生的概率与事务发生的概率之积 举例：明天是否晴天与明天晚餐是否有煎鸡蛋相互没有影响，因此两个事务为相互独立事务.所以明每天晴，并且晚餐有煎鸡蛋的概率等于明每天晴的概率乘以明天晚餐有煎鸡蛋的概率. 第一次抛硬币掉下来是正面
4、对上与其次次抛硬币是正面对上是两个相互独立事务所以第一次、其次次抛硬币掉下来后都是正面对上的概率等于两次分别抛硬币掉下来后是正面对上的概率之积，即. 掷骰子，骰子是否掉在桌上和骰子的某个数字向上是两个相互独立的事务，假如骰子掉在桌上的概率为，那么骰子掉在桌上且数字“”向上的概率为 例题精讲 【例 1】 （“希望杯”二试六年级)气象台预报“本市明天降雨概率是”对此信息，下列说法中正确的是 本市明天将有的地区降水 本市明天将有的时间降水 明天确定下雨 明天降水的可能性比较大 【解析】 降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间 的概率也不是指确定下雨，的概率才是确定下雨 的概率
5、是说明有比较大的可能性下雨因此的说法正确 【巩固】 一个小方木块的六个面上分别写有数字、，小光、小亮两人随意往桌面上扔放这个木块规定：当小光扔时，假如朝上的一面写的是偶数，得分当小亮扔时，假如朝上的一面写的是奇数，得分每人扔次，_得分高的可能性比较大 【解析】 因为、中奇数有个，偶数只有个，所以木块向上一面写着奇数的可能性较大，即小亮得分高的可能性较大 【例 2】 在多家商店中调查某商品的价格，所得的数据如下（单位：元）25 21 23 25 27 29 25 28 30 29 26 24 25 27 26 22 24 25 26 28 请填写下表 【解析】 ： 【例 3】 在某个池塘中随机捕
6、捞条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞尾，发觉其中有条鱼是被作过标记的，假如两次捕捞之间鱼的数量没有增加或削减，那么请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？ 【解析】 200尾鱼中有条鱼被标记过，所以池塘中鱼被标记的概率的试验得出值为，所以池塘中的鱼被标记的概率可以看作是，池塘中鱼的数量约为尾 【例 4】 有黑桃、红桃、方块、草花这4种花色的扑克牌各2张，从这8张牌中随意取出2张。请问：这2张扑克牌花色相同的概率是多少？ 【解析】 先从8张牌中选2张牌有28种选法。然后满意条件的选法只有4种，即4种不同的花色，所以这两张牌花色相同的概率是4/281/7 【巩固】 小悦从1、2
7、、3、4、5这5个自然数中任选一个数，冬冬从2、3、4、5、6、7这6个自然数中任选一个数。选出的两个数中，恰好有一个数是另一个数的倍数的概率是多少 【解析】 小悦从1、2、3、4、5这5个自然数中任选一个数，有5种选法 冬冬从2、3、4、5、6、7这6个自然数中任选一个数，有6种许选法 所以总共的组合有5630种不同选法， 其中满意倍数关系的分别有小悦取1时，有6种 小悦取2时，有3种, 小悦取3时，有2种, 小悦取4时，有2种，小悦取5时，有1种， 一共有14种.所以满意条件的概率是14/307/15 【例 5】 妈妈去家乐福购物，正好碰上了橘子、香蕉、葡萄和榴莲大降价。于是她确定从这4中
8、水果中任选一种买回家。爸爸下班时路过集贸市场，发觉有苹果、橘子、香蕉、葡萄和梨出售。他也确定任选一种买回家。请问：他们买了不同的水果的概率是多少？ 【解析】 妈妈爸爸都买香蕉的概率是1/41/5=1/20 都买橘子的概率是1/41/5=1/20 都买葡萄的概率是1/41/5=1/20。 所以他们买的水果不同的概率为1-3/20=17/20 【巩固】 在标准英文字典中，由2个不同字母组成的单词一共有55个.假如从26个字母中任取2个不同的排列起来，那么恰好能拍成一个单词的概率是多少？ 【解析】 从26个自母中任选2个字母进行排列有650种不同的选法，满意条件的只有26种，全部恰好构成一个单词的概
9、率是55/650=11/130 【巩固】 口袋里装有101张卡片，分别写着1，2，3，101.从中随意抽出一张。请问：（1）抽出的卡片上的数正好是37的概率是多少？ （2）抽出的卡片上的数是偶数的概率是多少？ （3）抽出的卡片上的数是质数的概率是多少？ （4）抽出的卡片上的数是101的概率是多少？ （5）抽出的卡片上的数小于200的概率是多少？ 【解析】 随机抽出有101种可能，所以是37的概率是1/101 101种有50个偶数，所以是偶数概率是50/1011/2 101以内有25个质数，所以是质数的概率是1/4 抽出卡片不行能是101，所以概率为0 抽出全部数都小于200，所以概率为1. 【
10、例 6】 在一只口袋里装着2个红球，3个黄球和4个黑球。从口袋中任取一个球，请问：（1）这个球是红球的概率有多少？ （2）这个球是黄球或者是黑球的概率有多少？ （3）这个是绿球的概率有多少？不是绿球的概率又有多少? 【解析】 口袋里一共有9个球，2个红球，随机取有2/9的概率取到红球 这个球不是是红球就是黄球或者黑球，所以取到黄球或者黑球的概率是7/9， 由于没有绿球，所以取到旅求概率是0，不是绿球的概率是1 【巩固】 一只口袋里装有5个黑球和3个白球，另一只口袋里装有4个黑球和4个白球。从两只口袋里各取出一个球。请问：取出的两个球颜色相同的概率是多少？ 【解析】 总共的取法数是8864种满意
11、条件的选法有当选出都是黑球5420种，当选出都是白球 3412种 ，一共有32种满意条件 所以两个球颜色相同概率是32/641/2 【巩固】 一只一般的骰子有6个面，分别写有1、2、3、4、5、6。掷出这个骰子，它的任何一面朝上的概率都是1/6.假设你将某一个骰子连续投掷了9次，每次的结果都是1点朝上。那么第十次投掷后，朝上的面上的点数恰好是奇数的概率是多少？ 【解析】 本题要留意当你投掷9次之后的结果其实对第十次是没有影响的，所以第十次投掷只要投掷出1，3，5就满意条件，而总共有16六种可能，所以概率是1/2. 【巩固】 甲、乙两个学生各从这个数字中随机选择了两个数字（可能相同），求：这两个
12、数字的差不超过的概率，两个数字的差不超过的概率 【解析】 两个数相同（差为0）的状况有种， 两个数差为有种， 两个数的差为的状况有种， 所以两个数的差不超过的概率有 两个数的差为的状况有种 两个数的差为的状况有种 两个数的差为的状况有种 所以两个数字的差超过的概率有. 两个数字的差不超过的概率有. 【巩固】 小悦掷出了2枚骰子，掷出的2个数字之和恰好等于10的概率有多少？ 【解析】 掷出2个骰子总状况有66=36种， 其中和为10的有第一次掷出4，其次次掷出6 第一次掷出5，其次次掷出5 第一次掷出6，其次次掷出4， 所以满意条件状况只有三种，所以恰好为10的概率是1/12。 【巩固】 分别先
13、后掷2次骰子，点数之和为6的概率为多少？点数之积为6的概率为多少？ 【解析】 依据乘法原理，先后两次掷骰子出现的两个点数一共有种不怜悯况 将点数为的状况全部枚举出来有：点数之积为的状况为： 两个数相加和为6的有5组，一共是36组，所以点数之和为6的概率是：点数之积为6的概率为 【例 7】 一枚硬币连续抛掷3次，至少有一次正面对上的概率是 【解析】 从反面考虑，先求三次都是正面对下的概率，为，所以至少有一次正面对上的概率为 【巩固】 冬冬与阿奇做嬉戏：由冬冬抛出3枚硬币，假如抛出的结果中，有2枚或2枚以上的硬币正面朝上，冬冬就获胜；否则阿奇获胜。请问：这个嬉戏公允吗？ 【解析】 冬冬获胜的概率为
14、，两枚或者两枚以上硬币正面朝上， 两枚硬币正面朝上的概率为从三次投掷中选两次正面朝上有3种可能，每种的概率是3个1/2连乘。等于3/8，三枚硬币都正面朝上概率为1/8。 所以冬冬获胜的概率为1/2.也就是阿奇获胜概率也是1/2，所以嬉戏是公允的。 【巩固】一枚硬币连续抛4次，求恰有2次正面的概率 【解析】 首先抛掷一枚硬币的过程，出现正面的概率为，又因为连续抛掷四次，各次的结果之间是相互独立的，所以这是独立事务的重复试验，可得恰有2次正面的概率为 另解：每抛一次都可能出现正面和反面两种状况，抛4次共有种状况，其中恰有2次正面的有种状况，所以恰有2次正面的概率为 【巩固】 一枚硬币连续抛掷3次，
15、求至少有两次正面对上的概率 【解析】 至少有两次正面对上，可分为2次正面对上和3次正面对上两种情形: 2次正面对上的：此时只有1次正面对下，可能为第1次、第2次和第3次，所以此时共3种状况；3次正面对上，此时只有一种状况所以至少有两次正面对上的共有4种状况，而连续抛掷3次硬币，共有种状况，所以至少有两次正面对上的概率为： 【巩固】 阿奇一次指出8枚硬币，结果恰有4枚硬币正面朝上的概率是多少？有超过4枚的硬币正面朝上的概率是多少？ 【解析】 投掷8枚硬币，恰有4次正面朝上，应当从8次中选择4次正面朝上，这四次朝上的概率是4个1/2的联乘，这时不要遗忘剩下的4次肯定是反面朝上，也是4个1/2的连乘
16、，所以恰好4枚硬币朝上的概率是35/128。 利用对称的思想，有超过4枚硬币正面朝上的概率应当和有少于4枚硬币朝上的概率相同，所以有超过4枚硬币正面朝上的概率为（135/128）293/256 【例 8】 如图所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿轨道落下，球落究竟部的从左至右的概率依次是_ 【解析】 球在顶点时的概率是1，而每到一个岔口，它落入两边的机会是均等的，因此，可以采纳标数法，如右上图所示，故从左至右落究竟部的概率依次为、 【巩固】 如图为、两地之间的道路图，其中表示加油站，小王驾车每行驶到出现两条通往目的地方向道路的路口时（全部路口都是三叉的，即每到一个路口都只有一条或两条路通往目的地
17、），都用抛硬币的方式随机选择路途，求：小王驾车从到，经过加油站的概率小王驾车从到，经过加油站的概率 【解析】 运用标数法，标数规则（性质）：从起点起先标“” 以后都将数标在线上，对于每一个节点，起点方向的节点相连线路上所标数之和与和目标方向节点相连线路上标数之和相等 对于每一个节点，目标方向的各个线路上标数相等如图：从到经过加油站的概率为；如图：从到经过加油站的概率为. 【例 9】 小明爬楼梯时以抛硬币来确定下一步跨个台阶还是个台阶，假如是正，那么跨个台阶，假如是反，那么跨出个台阶，那么小明走完四步时恰好跨出个台阶的概率为多少？ 【解析】 小明跨出步的全部状况有种状况，其中恰好跨出个台阶的状况
18、有： 、六种， 所以概率为 【巩固】 小明爬楼梯掷骰子来确定自己下一步所跨台阶步数，假如点数小于，那么跨个台阶，假如不小于，那么跨出个台阶，那么小明走完四步时恰好跨出个台阶的概率为多少？ 【解析】 掷骰子点数有16这6种状况，其中小于3的有2个，不小于3的有4个。所以，小明每跨出一步，有的概率跨个台阶，有的概率跨个台阶， 对于步跨个台阶的每一种状况，必定是有2步跨1个台阶，2步跨2个台阶，这4步的走法共有种；对于里面的每一种走法，例如，发生的可能性有，所以步跨台阶发生的总概率为 【巩固】 从小红家门口的车站到学校，有路、路两种公共汽车可乘，它们都是每隔分中开来一辆小红到车站后，只要望见路或路，
19、立刻就上车，据有人视察发觉：总有路车过去以后分钟就来路车，而路车过去以后分钟才来路车小红乘坐_路车的可能性较大 【解析】 首先某一时刻开来路车，从今时起，分析乘坐汽车如下表所示： 明显由上表可知每分钟乘坐路车的几率均为，乘坐路车的几率均为，因此小红乘坐 路车的可能性较大 【例 10】 四位同学将各自的一张明信片随意放在一起相互交换，恰有一个同学拿到自己写的明信片的概率是_ 【解析】 一共有种可能的拿法，而其中一位同学拿到自己的明信片的状况是种，此时其他3位同学拿到的都是别人的明信片，各有2种状况，所以恰有一个同学拿到自己写的明信片的状况有种，概率为 【巩固】两封信随机投入4个邮筒，则前两个邮筒
20、都没有投入信的概率是_ 【解析】 总的投信方法为种投法而前2个邮筒不能投，那么信就只能投入后2个邮筒了，有种可能，所以前两个邮筒都没有投入信的概率是 【巩固】 一张圆桌旁有四个座位，、四人随机坐到四个座位上，求与不相邻而坐的概率 【解析】 四人入座的不怜悯况有种 、相邻的不怜悯况，首先固定的座位，有种，支配的座位有种，支配、的座位有种，一共有种 所以、相邻而座的概率为 【例 11】 小悦与阿奇竞赛下军棋，两人水平相当，两人约定塞7局，先赢4局者胜，现在已经比了三局，小悦胜了2局，阿奇胜了1局。请问：小悦获得最终成功的概率有多少？ 【解析】 小悦已经胜了2局， 假如5局结束竞赛，则第4第5局小悦
21、都成功了，概率为1/4 假如6局结束竞赛，则4，5局中阿奇胜了1局，第六局小悦胜， 概率为21/21/21/2=1/4 假如进行了7场竞赛，则4，5，6局竞赛中小悦只赢了一局，第7局小悦成功， 31/21/21/21/2=3/16 所以小悦总共获胜的概率是11/16 【巩固】 (2022年“奥数网杯”六年级)一块电子手表，显示时与分，运用小时计时制，例如中午点和半夜点都显示为假如在一天(24小时)中的随机一个时刻看手表，至少看到一个数字“1”的概率是 【解析】 手表的时刻可以显示为的形式，其中的取值从01到12，的取值从00到59，因此手表上能显示出来的时刻一共有种。 冒号之前不出现“1”的状
22、况有：02，03，04，05，06，07，08，09，共8种。 冒号后为两位数，十位不出现“1”的状况有0，2，3，4，5共5种，个位不出现“1”的状况有0，2，3，4，5，6，7，8，9共9种，所以不出现“1”的状况有种。 因此至少出现一个数字“1”的状况有种。 所以至少看到一个数字“1”的概率为。 【例 12】 某列车有4节车厢，现有6个人打算乘坐，设每一位乘客进入每节车厢的可能性是相等的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为多少？ 【解析】 6个人乘坐4节车厢，每个人都可能进入其中的某一节车厢，所以一共的可能数为种 出现6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3
23、的状况的可能性为种可能，所以所求概率为 【巩固】 三个人乘同一辆火车，火车有十节车厢，则至少有两人上同一节车厢的概率为_ 【解析】 三个人均上不同车厢的概率为，因此，至少有两人同上一节车厢的概率为 【巩固】 某人有5把钥匙，一把房门钥匙，但是遗忘是哪把，于是逐把试，问恰好第三把打开门的概率？ 【解析】 从把钥匙中排列出前三把，一共有种， 从把钥匙中将正确的钥匙排在第三把，并排出前二把一共有种， 所以第三把钥匙打开门的概率为 【巩固】 一辆肇事车辆撞人后逃离现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌是由、五个数字组成，却把它们的排列依次遗忘了，警察在调查过程中，假如在电脑上输入一个由这五个数字
24、构成的车牌号，那么输入的车牌号正好是肇事车辆车牌号的可能性是_ 【解析】 警察在调查过程中，在电脑上输入第一个数字可能是、中的任何一个，有种可能，其次位数字有种可能，第五位数字有种可能，所以一共有种可能，则输入正确车牌号的可能性是 【例 13】 某小学六年级有个班，每个班各出名学生，现要在六年级的个班中随机抽取个班，参与电视台的现场消遣活动，活动中有次抽奖活动，将抽取名幸运观众，那么六年级学生小宝成为幸运观众的概率为多少？ 【解析】 小宝所在班级被抽中参与消遣活动的概率为，假如小宝参与了消遣活动，那么小宝成为幸运观众的概率为，所以小宝成为幸运观众的概率为. 【巩固】 （全国数学资优生水平测试）
25、编号分别为110的10个小球，放在一个袋中，从中随机地取出两个小球，这两个小球的编号不相邻的可能性是_。 【解析】 从10个小球中取出两个的取法总数为种，其中编号相邻的取法有9种（1与2、2与3、3与4、4与5、5与6、6与7、7与8、8与9、9与10），所以不相邻的取法有种，那么取出来的两个小球编号不相邻的可能性为。 【例 14】 一个年级有三个班级，在这个年级中随意选取3人，这3人属于同一个班级的概率是多少? 【解析】 设三个班分别为，从三个班级中随意选取1个人，选自各个班级的概率都相等，都是，那么3个人都选自班的概率为同理，3个人都选自班和班的概率也都是，所以这三个人这3人属于同一个班级
26、的概率是 【巩固】 一个班有女生25人,男生27人，随意抽选两名同学,恰好都是女生的概率是几分之几? 【解析】 从25名女生中随意抽出两个人有种不同的方法 从全体学生中随意抽出两个人有种不同的方法计算概率： 【巩固】 从6名学生中选4人参与学问竞赛，其中甲被选中的概率为多少？ 【解析】 法一：从6名学生中选4人的全部组合数为种，甲在其中的计数，相当于从另外5名学生中再选取3名，因此组合数为种，所以甲被选上的概率为。 法二：明显这个人入选的概率是均等的，即每个人作为一号选手入选的概率为，作为二号入选的概率为，作为三号入选的概率为，作为四号入选的概率为，对于单个人“甲”来说，他以头号、二号、三号、
27、四号入选的状况是不重复的，所以他被入选的概率为 【例 15】 （武汉明心奥数挑战赛六年级）学校门口常常有小贩搞摸奖活动某小贩在一只黑色的口袋里装有颜色不同的50只小球，其中红球1只，黄球2只，绿球10只，其余为白球搅拌匀称后，每2元摸1个球奖品的状况标注在球上（如图） 假如花4元同时摸2个球，那么获得10元奖品的概率是 【解析】 （法1）计数求概率。摸两个球要获得10元奖品，只能是摸到两个黄色的球，由于只有2只黄球，所以摸到2只黄球只有1种可能，而从50只小球里面摸2只小球共有种不同的摸法，所以获得10元奖品的概率为。 （法2）概率运算。摸两个球要获得10元奖品，只能是摸到两个黄色的球，而摸第
28、1个球为黄球的概率为，摸第2个球为黄球的概率为，因此获得10元奖品的概率为 【巩固】 用转盘(如图)做嬉戏，每次嬉戏嬉戏者需交嬉戏费1元嬉戏时，嬉戏者先押一个数字，然后快速地转动转盘，若转盘停止转动时，指针所指格子中的数字恰为嬉戏者所押数字，则嬉戏者将获得嘉奖36元该嬉戏对嬉戏者有利吗？转动多少次后，嬉戏者平均每次将获利或损失多少元？ 【解析】 在此嬉戏中，指针落在37个区域的可能性是一样的，而嬉戏者押中的概率为 ，押错的概率为、，每押中一次获得奖金(361)35元，押错损失1元，因此转动多次后，嬉戏者平均每次将获利351(元)因此，该嬉戏对嬉戏者不利，嬉戏者平均每次损失元 【巩固】 用下图中
29、两个转盘进行“配紫色”嬉戏分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可配成紫色，此时小刚得1分，否则小明得1分这个嬉戏对双方公允吗？若你认为不公允，如何修改规则，才能使该嬉戏对双方公允呢？ 【解析】 为了保证自由转动转盘，指针落在每个区域的可能性相同，我们把转盘(1)按逆时针把红色区域等分成四部分，分别记作红1、红2、红3、红4，转盘(2)也类似地把蓝色区域分别记作蓝1、蓝2、蓝3、蓝4接下来，我们就可以用列表法计算分别旋转两个转盘，其中一个转盘转出红色，另一个转出蓝色可配成紫色的概率列表如下： 注：“”表示可配成紫色，“”表示不行配成紫色 分别转动两个转盘，可配成紫色的
30、概率为，不行配成紫色的概率为 因此，这个嬉戏对双方不公允，对小明不利 【巩固】 小明和小刚改用如图所示的两个转盘做“配紫色”嬉戏配成紫色，小刚得1分否则小明得1分，这个嬉戏对双方公允吗？为什么？ 【解析】 由上面两个转盘做“配紫色”嬉戏，等可能的结果列表如下： 由上面的表格可得：配成紫色的概率为，配不成紫色的概率为，因此嬉戏不公允，对小刚不利 【巩固】 转动如图所示的转盘两次，每次指针都指向一个数字两次所指的数字之积是质数，嬉戏者A得10分；乘积不是质数，嬉戏者B得1分你认为这个嬉戏公允吗？假如你认为这个嬉戏不公允，你情愿做嬉戏者A还是嬉戏者B？为什么？你能设法修改嬉戏规则使得它对嬉戏双方都公
31、允吗？ 【解析】 依据题意，我们可以用列表法计算出两次指针所指数字之积是质数的概率和积不是质数的概率列表如下： 由表格可求得转动转盘两次，指针所指数字之积是质数的概率为，指针所指数字之积不是质数的概率为，当然愿做A，因为A得高分的可能性较大若使嬉戏公允，嬉戏规则应修改为：两次所指的数字之积是质数，则嬉戏者A得5分；乘积不是质数，嬉戏者B得1分这样对嬉戏者双方都公允 【例 16】 小红的箱子中有4副手套，完全相同，但左、右手不能互换，有一副是姑姑送的，两副是奶奶送的，还有一副是自己买的，她从中任拿一副，恰好是姑姑送的那副的概率是多少？ 【解析】 箱子里总共有8只手套，其中有一左一右是送姑姑的，不
32、妨设为、 第一次拿出的概率是，尔后其次次拿出的概率是，所以拿出的概率是；同样，也可以第一次拿出，其次次拿出，同理可求出其概率是；所以，拿出的恰好是姑姑送的那副的概率为上面两种的概率之和，为 另解：箱子里总共有8只手套，从中取出2只有种取法，其中只有1种恰好是姑姑送的那副，所以拿出的恰好是姑姑送的那副的概率为 【巩固】 盒子里装着20支圆珠笔，其中有5支红色的，7支蓝色的，8支黑色的。从中随意抽出4支，每种颜色的笔都被抽出的概率是多少？ 【解析】 20支笔从中选出4支笔，总共 4845种不同选法， 其中3种颜色都有的状况是， 一：2支红色1支蓝色1支黑色 1078=560种， 二：1支红色2支蓝
33、色1支黑色 5218=840种， 三：1支红色1支蓝色2支黑色 5728=1010种。 所以一共有560+840+1010=2380种 满意条件的概率是2380/4845=28/57 【例 17】 、六人抽签推选代表，公证人一共制作了六枚外表一模一样的签，其中只有一枚刻着“中”，六人根据字母依次先后抽取签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被推选为代表，那么这六人被抽中的概率分别为多少？ 【解析】 抽中的概率为，没抽到的概率为， 假如没抽中，那么有的概率抽中，假如抽中，那么抽中的概率为，所以抽中的概率为. 同理，抽中的概率为，抽中的概率为，抽中的概率为，抽中的概率为. 由此可见六人抽中的概率相等，
34、与抽签的先后依次无关. 【巩固】 还是上面的题干，假如每个人抽完都放回，随意一个人假如抽中，则后边的人不再抽取，那么每个人抽中的概率为多少？ 【解析】 抽中的概率依次为：、， 在这种状况下先抽者，抽中的概率大 【巩固】 在一次军事演习中，进攻方确定对目标进行两次炮击。第一炮命中的概率是0.6，其次炮命中的概率是0.8.请问：两炮都集中目标的概率是多少？恰好有一炮击中目标的概率是多少？两炮都未击中目标的概率是多少？ 【解析】 两炮都击中目标的概率是同时都击中时的0.60.80.48 恰有一炮击中目标，第一炮击中其次炮没击中，等于0.60.20.12 其次炮击中第一炮没击中，等于0.40.80.3
35、2 恰有一炮击中概率为0.44 【巩固】 张先生每天早晨上班时有1/3的概率遇到堵车。在不堵车的时候，张先生按时到达单位的概率为0.9，吃到的概率为0.1；而堵车的时候，张先生上班迟到的概率高达0.8，按时到达的概率只有0.2.请问：张先生上班迟到的概率是多少？ 【解析】 张先生迟到的概率分为不堵车时，2/30.11/15 堵车时，1/30.84/15 所以迟到的概率是1/3 【例 18】 某射手在一百零一步之外射箭恰好射到靶心的概率为，假如该射手在一百零一步之外连射三箭，三箭全部射中靶心的概率为多少？有一箭射中靶心的概率为多少？有两箭射中靶心的概率为多少? 【解析】 全部射中靶心的概率为 第
36、一箭射中，其他两箭射空的概率为 其次箭射中，其他两箭射空的概率为 第三箭射中，其他两箭射空的概率为有一箭射中的概率为.第一箭射空，其他两箭射中的概率为其次箭射空，其他两箭射中的概率为 第三箭射空，其他两箭射中的概率为 有两箭射空的概率为. 【例 19】 设在独立重复3次试验中，至少有一次试验胜利的概率为，问每次试验胜利的概率是多少？ 【解析】 重复试验，就是同一个试验，而同一个试验，同样的做法，完成的概率都是一样的，设每次试验不胜利的概率为 由于至少有一次试验胜利的概率为，里面包括了试验胜利一次、两次和三次的情形，而全部的试验里面，除此之外只剩下三次试验都没有胜利这一种情形，所以这种情形的概率
37、为 由于每次试验不胜利的概率为，那么三次试验都不胜利的概率为，所以，所以，即每次试验不胜利的概率是，那么胜利的概率就是 【例 20】 已知10件产品中有3件次品，为了保证使3件次品全部检查出来的概率超过，则抽出来检验的产品最少有 件 【解析】 由于要求3件次品都被抽出来检验，所以未被抽出来检验的产品都是正品，考虑未被抽出来检验的产品的件数，假如是1件，那么这1件有10种可能，其中7种状况下是正品，所以这1件是正品的概率为，也就是3件次品全部抽出的概率为，满意题意；假如未被抽出来检验的产品的件数为2件，那么这两件都是正品的概率为，不合题意，所以未被抽出来检验的产品的件数最多为1件，那么抽出来检验
38、的产品最少有9件 【巩固】 工厂质量检测部门对某一批次的件产品进行抽样检测，假如这件产品中有两件产品是次品，那么质检人员随机抽取件产品，这两件产品恰好都是次品的概率为多少？这两件产品中有一件是次品的概率为多少？这两件产品中没有次品的概率为多少？ 【解析】 从件产品中选择件一共有种状况 所以这两件产品恰好都是次品的概率为 两件产品中有一件次品的状况有种状况，所以两件产品中有一件次品的概率为 两件产品中都不是次品的概率有种状况，所以两件产品都不是次品的概率为 【例 21】 一批零件中有9个合格品和3个废品，安装机器时，从这批零件中随机选取一个，假如每次取出的废品不放回去，分别求在取得第一件合格品以
39、前已取出件废品数的概率，1，2，3 【解析】 时，就是第一件就取得了合格品，概率是；时，就是第一件是废品，其次件是合格品，第一件废品的概率是，其次件取出合格品的概率为(是因为前面已经取出了一件)，概率是；时，分别是废品()、废品()、合格品()；概率是；时，分别是废品()、废品()、废品()、合格品()，概率是 【例 22】 甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是，现三人各投篮一次，求3人都没投进的概率现在3人各投篮一次，求至少有两人投进的概率 【解析】 甲、乙、丙没投进的概率分别是，故3人各投一次都没投进的概率为： 至少有2人投进，可分为恰有2人投进和3人都投进两种情形，所以其概率为： 另解：
40、也可从反面考虑，计算没人投进的概率与只有一个人投进的概率，为 ，所以至少有两人投进的概率为 【巩固】 某篮球运动员投球的命中率为，则他投球10次，恰好连续投进5球的概率是多少？ 【解析】 将各次投球分别编号为 球投中球不中，其余的不考虑，概率为；球不中球中球不中，概率为；球不中球中球不中，概率为；球不中球中球不中，概率为；球不中球中球不中，概率为；球不中球中，概率为；所以恰好连续投进5球的概率为： 【例 23】 在某次的考试中，甲、乙、丙三人优秀（互不影响）的概率为，考试结束后，最简单出现几个人优秀？ 【解析】 留意他们的优秀率是互不影响的三人都优秀的概率是；只有甲乙两人优秀的概率为，（或）只
41、有甲丙二人优秀的概率，只有乙丙二人优秀的概率，所以有两人优秀的概率为；甲一人优秀的概率，乙一人优秀的概率，丙一人优秀的概率，所以只有一人优秀的概率为；全都不优秀的概率为；比较可知最简单出现只有一人优秀的状况 【巩固】 在某次的考试中，甲、乙两人优秀（互不影响）的概率为，考试结束后，只有乙优秀的概率为多少？ 【解析】 只有乙优秀的概率为 【巩固】 有个同学在一起，小亮的年龄不是最小的，那么小亮年龄最大的可能性是 【解析】 在小亮的年龄不是最小的前提下，小亮的年龄可能是第，第，第，第，这四个事务是互斥的等概率事务，所以小亮年龄最大的可能性是 【例 24】 甲、乙、丙、丁、戊五位同学参与一次节日活动
42、，很幸运的是，他们都得到了一件精致的礼物，事情是这样的：墙上挂着两串礼物（如图），每次只能从其中一串的最下端取一件，直到礼物取完为止甲第一个取得礼物，然后，乙、丙、丁、戊依次取得第件到第件礼物，当然取法各种各样，那么共有 种不同的取法事后他们打开这些礼物细致比较，发觉礼物最精致，那么取得礼物可能性最大的是 ，可能性最小的是 【解析】 本题须要留意的隐含条件：对于每个人，假如摆在面前的有两串礼物，那么该人选择其中一串的概率为，假如摆在面前的只有一串礼物，那么该人选择那一串 第一件取的有种取法, 第一件取的有种取法 所以有不同的取法种 视察这种取法的树状图可知，甲和戊不行能取得，所以取得可能性最小
43、的是甲和戊， 乙、丙、丁谁的可能性大不能看谁的取法较多，因为每种取法实现的可能性不同. 法一：计算枚举出的每一种取拿方法的全部概率（各种取拿方法流程之间是互斥事务）：第一件取有种方法：第一件取有种方法：乙取得的可能性是；丙取得的可能性是；丁取得的可能性占 所以取得可能性最大的是丁 法二：计算流程各个阶段，事务发生状况：（每个人选择哪一串在是否取完一串的条件已知的状况下与后一个人选择哪一串相互独立）. 乙取得的可能性是；丙取得的可能性是；丁取得的可能性占 所以取得可能性最大的是丁 【例 25】 从立方体的八个顶点中选个顶点，你能算出：它们能构成多少个三角形？ 随机取3个顶点，这3个点构成正三角形
44、的可能性有多少？ 【解析】 这8个顶点随意3点都不在一条直线上，所以从个顶点中任取个顶点都能构成三角形，所以应当有个 如下图所示，只有三角形的3条边分别是正方体各个面上的对角线时，才是正三角形，这样的三角形共有8个。所以构成正三角形的可能性有 【拓展】一个标准的五角星(如图)由个点连接而成，从这个点随机选取个点，则这三个点在同一条直线上的概率为多少，这三个点能构成三角形的概率为多少？假如选取个点，则这四个点恰好构成平行四边形的概率为多少？ 【解析】 个点中随意取个的状况为种， 其中涉及到条直线，每条直线上各有个点，其中随意点都共线，所以取这3点不能够成三角形，这样的概率是，所以点构成三角形的概
45、率为 个点中取个点的情形为种，个点中平行四边形有2种（如上右图实线所示），每种各5个，共个，所以构成平行四边形的概率为 【巩固】从立方体的八个顶点中选个顶点，你能算出：它们能构成多少个三角形？ 随机取3个顶点，这3个点构成正三角形的可能性有多少？ 【解析】 这8个顶点随意3点都不在一条直线上，所以从个顶点中任取个顶点都能构成三角形，所以应当有个 如下图所示，只有三角形的3条边分别是正方体各个面上的对角线时，才是正三角形，这样的三角形共有8个。所以构成正三角形的可能性有 第30页 共30页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页