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1、导数的应用一-函数的单调性编稿：赵 雷 审稿：李 霞【学习目标】 1. 理解函数的单调性与其导数的关系。2. 掌握通过函数导数的符号来判断函数的单调性。3. 会利用导数求函数的单调区间。【要点梳理】要点一、函数的单调性与导数的关系我们知道，如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说在这一区间具有单调性，先看下面的例子：函数的图象如图所示。考虑到曲线的切线的斜率就是函数的导数，从图象可以看到：在区间（2，+）内，切线的斜率为正，即时，为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，即时，为减函数。导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，若，则在这个区间上为增函数
2、；若，则在这个区间上为减函数；若恒有，则在这一区间上为常函数.反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）要点诠释：1.因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。2.若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）。即在某区间上，在这个区间上为增函数；在这个区间上为减函数，但反之不成立。3. 在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区
3、间。在区间(a,b)内，（或）是在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增.4.只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.5.注意导函数图象与原函数图象间关系. 要点二、利用导数研究函数的单调性利用导数判断函数单调性的基本方法设函数在区间（a，b）内可导，（1）如果恒有，则函数在（a，b）内为增函数；（2）如果恒有，则函数在（a，b）内为减函数；（3）如果恒有，则函数在（a，b）内为常数函数。要点诠释：（1）若函数在区间（a，b）内单调递增，则，若函数在（a，b）内单调递减，则。（2）或恒成立，求参数值的范围的方法分离参数法：或。要点三、利用导数
4、求函数单调区间的基本步骤（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）在函数的定义域内解不等式或；（4）确定的单调区间。或者：令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号。要点诠释： 1.求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集。2.求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确。【典型例题】类型一：求函数的单调区间【高清课堂：函数的单调性370874 例1】例1.确定下列函数的单调区间(1)y=x39x2+24x (2)y=3
5、xx3【解析】(1) y=(x39x2+24x)=3x218x+24=3(x2)(x4)令3(x2)(x4)0，解得x4或x2.y=x39x2+24x的单调增区间是(4，+)和(，2)令3(x2)(x4)0，解得2x4.y=x39x2+24x的单调减区间是(2，4)(2)y=(3xx3)=33x2=3(x21)=3(x+1)(x1)令3(x+1)(x1)0，解得1x1.y=3xx3的单调增区间是(1，1).令3(x+1)(x1)0，解得x1或x1.y=3xx3的单调减区间是(，1)和(1，+)【点评】（1）解决此类题目，关键是解不等式或。（2）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号
6、“U”。举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：（1） （2）；（3）；【答案】（1）。令3x24x+10，解得x1或。因此，y=x32x2+x的单调递增区间为（1，+）和。再令3x24x+x0，解得。因此，y=x32x2+x的单调递减区间为。（2）函数的定义域为（0，+），。 令，即， 结合x0，可解得； 令，即， 结合x0，可解得。的单调递增区间为，单调递减区间为。（3）。0x2，使的，则区间0，2被分成三个子区间。如表所示：x0+000+&(&所以函数（0x）的单调递增区间为和，单调递减区间为。例2. 已知函数，求函数的单调区间并说明其单调性。【解析】图像的对称轴为且时值为。所以有如下
7、讨论： 【点评】（1）解决此类题目，关键是解不等式或，若中含有参数，往往要分类讨论。（2）特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域，再在定义域的范围内写出单调区间，即定义域优先考虑的原则。举一反三：【变式1】（a0且a1）。【答案】 函数的定义域为R。当a1时，函数在（，+）上是增函数。当0a1时，函数在（，+）上是减函数。【变式2】已知aR，求函数的单调区间.【答案】.（1）当a=0时，若x0，则；若x0，则.所以，当a=0时，函数在区间（，0）内为减函数，在区间（0，+）内为增函数.（2）当a0时，由2x+ax20，解得或x0；由2x+ax20，解得.所以，当a0时，函数在区间内为增函
8、数，在区间内为减函数，在区间（0，+）内为增函数.（3）当a0时，由2x+ax20，解得；由2x+ax20，解得x0或.所以，当a0时，函数在区间（，0）内为减函数，在区间内为增函数，在区间内为减函数.类型二：判断、证明函数的单调性例3当时，求证：函数是单调递减函数.【解析】，故函数在上是单调递减函数.【点评】 判断、证明函数的单调性的步骤：1、求导；2、变形（分解或配方）；3、判断导数式的符号,下结论。举一反三：yxOyxOyxOyxOABCD 【高清课堂：函数的单调性370874 例3】【变式1】设是函数f（x）的导函数，将y= f（x）和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
9、【答案】D【变式2】（2015 菏泽一模）若 ，则下列各结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，令 解得， 当时， ，为减函数，当时，为增函数， ，故选D。 例4设，讨论函数的单调性.【解析】. 当时 .（i）当时，对所有，有.即，此时在内单调递增.（ii）当时，对，有，即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，函数在（0，+）内单调递增（iii）当时，令，即.解得.因此，函数在区间内单调递增，在区间内也单调递增.令，解得.因此，函数在区间内单调递减.【点评】 （1）在判断函数的单调性时，只需判断函数的导数恒大于0或恒小于0。（2）在判断含参数函
10、数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定的符号，否则会产生错误判断。分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想在联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算的能力。（3）分类讨论是重要的数学解题方法。它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了。举一反三：【变式】已知函数，, a0 ，w讨论的单调性. 【解析】由于令 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当,即时, 恒成立.在(,0)及(0,)上都是增函数. 当,即时w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由得或 w
11、.w.w.k.s.5.u.c.o.m 或或又由得综上 当时, 在上都是增函数. 当时, 在上是减函数, w.w.w.k.s. 在上都是增函数.类型三：已知函数单调性，求参数的取值范围例5 ( 2015 秋 广东月考)若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【思路点拨】若函数 在区间 上单调递增，则 在区间 上恒成立，即在区间 上恒成立， 令，利用导数法求出函数的最小值，可得答案。【解析】若函数 在区间 上单调递增，则 在区间 上恒成立，即在区间 上恒成立，即在区间 上恒成立， 令，则，令 当时， ，为减函数；当时， ，为增函数；故当时，取最小值4
12、，故选B。【总结升华】（1）在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间。（2）恒成立，则；恒成立，只需，这是求变量a的范围的常用方法。举一反三：【变式1】 已知函数，。若在上是增函数，求a的取值范围。【答案】 由已知得，在（0，1上单调递增，即在x（0，1上恒成立。令，又在（0，1上单调递增，a1。当a=1时 ，对x（0，1）也有，a=1时，在（0，1上也是增函数。综上，在（0，1上为增函数，a的取值范围是1，+）。 【变式2】已知函数 在区间上是增函数，求实数的取值范围【答案】，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：所以实数的取值范围为【变式3】设恰有三个单调区
13、间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.【答案】（1）当时，则恒成立，此时f(x)在R上为单调函数，只有一个单调区间为，不合题意；（2）当时，当时，函数有三个单调区间，增区间为：；减区间为：，.【变式4】已知f(x)=x2+1, g(x)=x4+2x2+2且F(x)=g(x)-lf(x), 试问：是否存在实数l，使F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.【答案】假设存在实数l满足题设. F(x)=g(x)-lf(x)=(x4+2x2+2)-l(x2+1)=x4-(l-2)x2+(2-l), F(x)=4x3-2(l-2)x,令4x3-2(l-2)x=0, （1）若l2，则x=0. 当x(-,0)时，F(x)0. F(x)在(-,0)上单调递减，在(0,+)上单调递增，显然不符合题设. （2）若l2，则x=0或， 当时，F(x)0；当时，F(x)0.F(x)的单调增区间是，单调减区间是，. 要使F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数，则，即l=4. 故存在实数l=4，使F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数。