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1、第38卷第10期 电 子 与 信 息 学 报 Vol. 38No.10 2016年10月 Journal of Electronics & Information Technology . Oct. 2016 基于压缩感知的加速前向后向匹配追踪算法 王 锋孙桂玲*张健平何静飞(南开大学电子信息与光学工程学院 天津 300350) (上海交通大学电子信息与电气工程学院 上海 200030) 摘 要：前向后向匹配追踪( FBP)算法作为一个新颖的两阶段贪婪逼近算法，因为较高的重构精度和不需要稀疏度作为先验信息的特点，受到了人们的广泛关注。然而，FBP算法必须运行更多的时间才能得到更高的精度。鉴于此
2、，该文提出加速前向后向匹配追踪( AFBP)算法。该算法利用每次迭代中候选支撑集的信息，实现对已删除原子的再次加入，以此减少算法迭代次数。通过不同非零项分布的稀疏信号和稀疏图像的仿真结果表明，相对于FBP算法，该文提出的方案在不降低重构精度的同时，大幅降低了算法运行时间。 关键词：压缩感知；贪婪算法；前向后向搜索；稀疏信号重构 中图分类号：TN911.72 文献标识码：A 文章编号：1009-5896(2016)10-2538-08 DOI: 10.11999/JEIT151422 Acceleration Forward-backward Pursuit Algorithm Based on
3、 Compressed Sensing WANG FengSUN GuilingZHANG JianpingHE Jingfei(College of Electronic Information and Optical Engineering, Nankai University, Tianjin 300350, China) (School of Electronic Information and Electrical Engineering, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200030, China) Abstract: The Forw
4、ard-Backward Pursuit (FBP) algorithm, a novel two stage greedy approach, receives wide attention due to the high reconstruction accuracy and the feature without prior information of the sparsity. However, FBP has to run more time to get a higher precision. To alleviate this drawback, this paper prop
5、oses the Acceleration Forward-Backward Pursuit (AFBP) algorithm based on Compressed Sensing (CS). In order to reduce the number of iterations, the algorithm exploits the information available in the support estimate to add the deleted atoms again. The run time of AFBP is sharply shorter than that of
6、 FBP, while the precision of AFBP is not lower than FBP. The efficacy of the proposed scheme is demonstrated by simulations using random sparse signals with different nonzero coefficient distributions and a sparse image. Key words: Compressed Sensing (CS); Greedy algorithms; Forward-backward search;
7、 Sparse signal reconstruction 1 引言压缩感知(Compress ed Sensing, CS)1, 2将稀疏信号的采样和压缩进行结合，从而降低测量系统的采样率和计算复杂度。这一特性使得压缩感知在无线传感器网络3、核磁共振成像等领域4, 5有广泛应用前景。压缩感知重构算法可以分为3大类：贪婪算法，凸松弛算法和贝叶斯框架。其中，贪婪算法因为有较快的速度和简单的框架而被广泛应用。贪婪算法主要包括匹配追踪(MP)算法6，正交匹配追踪(OMP)算法7，分段正交匹配追踪( StOMP)算 收稿日期：2015-12-14；改回日期：2016-05-05；网络出版：2016-0
8、7-04 *通信作者 孙桂玲 基金项目：国家自然科学基金( 61171140)，高等学校博士学科点专项科研基金( 20130031110032) Foundation Items: The National Natural Science Foundation of China (61171140), The Doctoral Program of Higher Education (20130031110032) 法8，子空间追踪(SP )算法9，压缩采样匹配追踪(CoSaMP)算法10，稀疏度自适应匹配追踪(SAMP )算法11，前向预测正交匹配追踪( LAOMP)算法12和前向后向匹配
9、追踪(Forward-Backward Pursuit, FBP)算法13。为了进一步提高算法性能，许多迭代14和融合15 17的改进策略被应用于这些贪婪算法。 由于OMP算法没有回溯机制，而SP算法又需要稀疏度作为先验信息，文献13 提出了FBP算法。在FBP算法中，每一步迭代主要包含两个阶段：前向阶段和后向阶段。前向阶段通过前向步长扩大估计支撑集，后向阶段通过后向步长减小估计支撑集。本文提出的加速前向后向匹配追踪(Acceleration Forward-Backward Pursuit, AFBP)算法，克服了FBP算法每次迭代只能以固定步长扩大支撑集、忽视被删除原子质量的缺点，利用前向
10、阶段支撑集中原子的信息，对后向阶段被删除原子万方数据第10期 王 锋等： 基于压缩感知的加速前向后向匹配追踪算法 2539 进行再此选入，达到自适应地决定每次迭代所增加原子数目的目的。虽然文献13 指出通过调节参数，可以降低FBP算法运行时间，但会导致重构精度的下降。而本文提出的加速策略则有效解决这一矛盾。 本文在第2节介绍了压缩感知模型与FBP重构算法；第3节首先提出加速策略，然后描述 AFBP算法的具体流程；第4节为性能比较试验，通过对1维稀疏信号和2维图像下 AFBP 算法与 FBP 算法的仿真结果进行分析比较，说明改进算法的有效性；第5节对该加速策略进行总结。 2 压缩感知和重构算法
11、2.1 压缩感知理论 标准压缩感知测量过程可表示成式(1 )形式： yx (1) 其中，x为长度为N的K稀疏信号，K表示x中非零元素的个数。y是长度为M的观测向量。为MN的随机矩阵，其中KMN。压缩感知主要任务是利用已有测量矩阵和观测向量y恢复出原始信号x。 2.2 传统的前向后向匹配追踪算法 FBP算法是一个两阶段迭代算法。该算法在不知道稀疏度的情况下，通过迭代以固定步长逐步扩大估计支撑集，最后实现对稀疏信号的逼近。表1给出了FBP算法的伪代码。 参数和可以调节FBP的性能。例如，增大同时保证固定能够提升FBP的重构精度，然而该算法的运行时间也会相应增长。降低或者可以加速FBP算法，同时也会
12、导致准确率的降低。 3 加速前向后向匹配追踪算法 3.1 加速策略 首先引入两个集合符号fT和bT。fT表示FBP算法前向阶段中被选入支撑集的个原子组成的集合。其中fT中的原子按照其与上一次迭代所得残差的相关程度从大到小进行排序。bT为后向阶段被淘汰的个原子组成的集合。bT中原子依据投影系数的幅度进行降序排列。 FBP算法对原子的操作主要集中在两个阶段：第一，利用相关性将原子选入支撑集；第二，依据投影系数将原子移除支撑集。本文算法在移除原子后，并不直接进入下一迭代，而是参考被移除原子在之前迭代过程中与残差的相关性情况，从而进一步判断该原子是否具有再次加入支撑集的资格。基于此，本文提出的算法可以
13、实现每次迭代自适应地改变选入估计支撑集的原子个数，克服FBP算法每次迭代只能以固定步长增加估计支撑集的弊端。如 表 1 FBP 算法 输入：,y 设定：max, ,K 初始化：00, ,0Tk ry 循环执行： 1kk 前向阶段： *11:| |arg maxkfJJJT r 1kkfTT T 2arg minkvv yv 后向阶段： 1:| |=arg minbJJJT v kkbTTT 投影： 2arg minkvv yv kkry v 终止判断： 如果22kry 或者maxkTK 则终止迭代。 迭代终止后，令0,kxxv，返回x 果在历次迭代中，某原子与历次残差的相关程度一直很高，则该原
14、子为正确原子的概率就会很大。此时如果仅仅依据删除阶段的投影系数大小来决定原子是否应保留在支撑集，则会延缓算法的运行，甚至导致算法迭代失败。然而，如果开辟一条选择原子的新渠道，及时将此原子加入支撑集，则会加速算法的运行。 加速方案的具体实施如下。若某原子在某次迭代中出现在集合fT中，即该原子在前向阶段被选入支撑集，则AFBP赋予该原子相应权重。权重数值由该原子在集合fT中的位置所决定。例如，若该原子位于前1s名，则相应权重为1w。为了保证算法简单性和有效性，AFBP引入分段策略，将权重值分为3个层次：1w , 2w , 3w。AFBP算法以此统计每个原子在历次迭代中的相关性信息。在后向阶段，AF
15、BP算法评估被删除原子，即集合bT中原子的价值。如果某原子历次迭代的累计权重超过预设阈值，则AFBP将该原子再次加入估计支撑集，从而建立一条选入原子的新渠道。由于在每次迭代中通过此渠道被选入支撑集的原子数目不是固定的，而是由每个原子的在历次迭代中的具体情况所决定的，从而使得AFBP算法在每次迭代中自适应地决定所增加原子的数目。即，在某次迭代中，若原子质量较好，则AFBP会相应增加本次迭代所选入原子的数目。反之，若原子质量较差，则AFBP会相应减少本次迭代所选入原子的数目。以此实现每次迭代根 万方数据2540 电 子 与 信 息 学 报 第38卷 据原子质量自适应调节所选原子数目。在后向阶段，A
16、FBP引入分段策略，依据原子在集合bT中的位置，分段设定阈值。为保证算法重构精度，本方案仅考虑集合bT中前3个原子，即投影系数最大的3个原子。 3.2 加速前向后向匹配追踪算法 每次迭代开始时，AFBP算法添加个原子至估计支撑集，同时记录这些原子的权重。随后，算法移除个投影系数幅度最小的原子。而后，算法进入二次筛选阶段。在此阶段，算法依据上面提到的加速方案，判断被淘汰原子是否需要被保留。最后，算法更新残差，同时继续迭代直到达到终止条件。AFBP的伪代码在表2中给出。其中fT中元素依据*11kr降序排列，bT中元素依据投影系数幅度降序排列。 表2 AFBP算法 输入：,y 设定：max 1 2
17、3 1 2 3 1 2 3, , , , , , , , , ,K ssswww 初始化：00, , 0, 0Tk ry B 循环执行： 1kk 前向阶段： *11:| |arg maxkfJJJT r 1 11( (1 : ) ( (1 : )ffTs Ts wBB 12 122( ( 1 : ) ( ( 1 : )Ts s Ts s w 23 233( ( 1 : ) ( ( 1 : )ffTs s Ts s w BB1kkfTT T 2arg minkvv yv 后向阶段： 1:| |=arg minbJJJT v kkbTTT 对 j = 1:3进行循环，如果( ( )bjTj B，
18、则()kkbT T Tj。 投影： 2arg minkvv yv kkTry v 终止判断： 如果 22kry 或者maxkTK， 则终止迭代 。 迭代终止后，令0,kx xv，返回x 4 实验结果及分析 4.1 1维稀疏信号重构 为了展示加速策略的优势，本文参照文献13，从准确重构概率，平均重构误差和运行时间3方面对AFBP算法和FBP算法进行比较。测试信号的非零项分别服从高斯，均匀和常数幅度随机符号(Constant Amplitude Random Sign, CARS)分布。其中，高斯稀疏信号非零项来自标准高斯分布。均匀稀疏信号非零项为 1, 1之间的均匀分布。CARS稀疏信号非零项由
19、单位幅度随机符号的元素组成。在实验中，每一稀疏信号均对应一个不同的观测矩阵。其中观测矩阵的元素服从均值为0，标准差为1/N的高斯分布，且每一列均进行归一化处理。为比较AFBP和FBP的运行时间，本文采用文献14的设定。即通过MATLAB自带的nullcputime函数计算平均运行时间。为避免MATLAB采用多线程计算，本文使用MATLAB中nullsingleCompThread的选项。该选项将限制MATLAB使用单线程工作。以下为运行仿真的计算机信息。Matlab 版本：R2010b (32-bit)， 操作系统：Windows (32-bit)， 处理器：Intel(R) Core(TM)
20、 i5-3210M CPU 2.50 GHz， 内存： 4 GB。 仿真中，信号长度和观测值分别设置为N 256, 100M ，同时信号稀疏度K从9增长到48。对每一个K分别重复500次实验，每次实验均采用不同的随机信号。平均重构误差用平均归一化最小均方误差( Average Normalized Mean-Squared- Error, ANMSE)进行衡量，定义为 250022211ANMSE500iiiixxx(2) 其中，ix表示第i个测量向量ix的重构向量。准确重构概率由准确恢复的测试信号和整个测试数据的比率来衡量。准确恢复条件为22210xx x 。支撑集最大限制参数max/2KM
21、，残差能量终止参数610。FBP和AFBP均使用相同的和maxK。AFBP算法的其他参数设定如下：15,s 23 1 2 310, 20, 2.0, 1.5, 1.0ssw w w 。 为达到较高重构准确率，文献13给出的推荐参数为0.2 ,0.3 MM , 1。AFBP旨在解决FBP算法在精度较高时运行时间过长的矛盾。故本文将加速策略分别应用到FBP( 20, 19)和 FBP( 30, 29)。 图1表示高斯稀疏信号下，AFBP ( =20, =19)和FBP( 20, 19)的性能比较。对于高斯稀疏信号，AFBP( 20, 19)阈值参数设定如下：17 , 28 , 39 。在图1中，可
22、以看到AFBP的准确重构概率不低于FBP。例如在K为48时，FBP准确重构概率为38.4%，而AFBP为39.8%。对于ANMSE, AFBP略优于FBP。这种优势随着稀疏度K的增大而增大。特别地，在K =48万方数据第10期 王 锋等： 基于压缩感知的加速前向后向匹配追踪算法 2541 时，FBP的ANMSE为0.282，而AFBP仅为0.221。对于运行时间， AFBP相对于FBP有明显改善。 图 1 高斯稀疏信号的重构结果比较( 20, 19) 例如，在K为48时，FBP需要14.5 ms才能得到结果，然而AFBP只需要8.8 ms，花费时间仅为FBP的60.7%。此外，在稀疏度K比较小
23、时，FBP和AFBP的运行时间基本相同。这是由于阈值参数1 , 2 , 3在数值上接近稀疏度K，导致算法终止迭代之前，几乎没有原子通过加速渠道进入支撑集。然而随着K的增加，算法需要的迭代次数逐渐增大，此时通过加速渠道进入支撑集的原子数目增多，推荐算法的时间优势凸显。 图2表示均匀信号下，AFBP ( 20, 19) 和 FBP ( 20, 19)的重构结果。阈值参数设定为17 ,28 ,38 。与上面的测试情况相似，在准确重构概率上，AFBP不低于FBP。在ANMSE上，AFBP相对于FBP有一定程度改善。而在运行时间上，AFBP比FBP有明显改善。研究图1和图2，可以看到相比高斯稀疏信号，A
24、FBP在均匀信号的表现相对较差。这与算法在前向阶段采用的原子选入机制有关。当原始信号的非零元素幅度差异不明显时，通过1kr方式选入错误原子的概率变大，导致算法性能下降。 图3表明，当原始信号为CARS稀疏信号时，AFBP( =20, =19) 相对于FBP( 20, 19)亦有显著速度改善。AFBP阈值参数设定如下：16 ,27 ,38 。当稀疏度K为33时，AFBP和FBP的准确重构概率均已接近于零。这是由于原始信号非零元素幅度没有差异导致所有以与残差相关性为选择原子依据的算法的性能大幅降低。尽管如此，对于所有的稀疏度K, AFBP的运行时间和ANMSE均低于FBP。 在图4，图5和图6中，
25、本文对AFBP ( 30, 29)和FBP ( 30, 29)的算法性能进行比较。对于不同分布的稀疏信号，AFBP ( 30, 29)算法阈值参数均采用相同设置：16 , 27 , 38 。由图可知，即便参数和发生变化，AFBP算法的时间和性能优势依然很明显。与20, 19情形相比，AFBP的重构性能因前向和后向步长的增大而提升，然而代价是运行速度的降低。 4.2 参数选择 对于FBP算法，所涉及参数主要为前向步长和后向步长。为了达到较高精度，文献13的推荐值为0.2 , 0.3 MM ，同时保证=1。文献13通过对1维信号，2维图像以及相变曲线等多个仿真结果的分析和比较得出此推荐值。由于本文
26、主要目的是解决FBP算法在精度较高时运行时间过长的矛盾，故FBP前向步长和后向步长参数采用文献13推荐值。作为改进算法，AFBP前向步长和后向步长亦与FBP算法相一致。AFBP的其他参数主要 万方数据2542 电 子 与 信 息 学 报 第38卷 图 2 均匀稀疏信号的重构结果比较( 20, 19) 图 3 CARS稀疏信号的重构结果比较( 20, 19) 图 4 高斯稀疏信号的重构结果比较( 30, 29) 图 5 均匀稀疏信号的重构结果比较( 30, 29) 图 6 CARS稀疏信号的重构结果比较( 30, 29) 有3类。第1类为位置参数123,sss，第2类为权重参数123,www，第
27、3类为阈值参数1 , 2 , 3。其万方数据第10期 王 锋等： 基于压缩感知的加速前向后向匹配追踪算法 2543 中前两类参数主要统计原子在每次迭代中的权重，选取依据为该原子与上一次迭代所得残差的相关性。相关性越大，相应权重越大。为保证算法简单性，每次前向阶段仅考虑前20个原子的权重，即前0.2M个原子。同时为保证算法有效性，利用分段策略将前20个原子分为4个不同区间。为了区分不同区间权重，同时也为避免不同区间权重差距过大，不同区间权重参数分别设定为122.0, 1.5,ww 31.0w 。而第4类参数则需在前两类参数确定后，经过多次仿真实验得到。由于后向步长中原子准确率随投影系数幅度降低而
28、逐渐递减，故相应的阈值参数需遵循一条基本原则：123。 图7给出了高斯稀疏信号下，不同参数AFBP算法的性能比较。其中AFBP和FBP的步长参数均为20, 19。AFBP前两类参数与上面实验设定一致，而第3类参数设定如下：AFBP1, 13 , 23 , 34 ; AFBP2, 17 , 28 , 39 ; AFBP3, 111 , 212 , 313 。由图7可知，对于准确重构概率，AFBP算法和FBP算法均高于OMP, SP和BP。AFBP算法准确重构概率基本随阈值增大而提升。其中，AFBP1准确重构概率在稀疏度比较大时，略低于FBP。而AFBP2和AFBP3准确重构概率一直优于FBP。对
29、于平均归一化最小均方误差，不同参数AFBP均优于FBP, OMP和SP。其中，不同参数AFBP虽性能差距不明显，但依然是AFBP3最优，AFBP1最差。BP仅是在稀疏度较大时优于AFBP。其他情况下，AFBP算法均优于其他算法。对于平均运行时间，不同参数AFBP均优于FBP。而随着阈值降低，AFBP运行时间也相应变短。其中，AFBP1的运行时间基本与OMP和SP相当。由于BP算法运行时间过长，所以并未在图中列出。 为保证AFBP算法准确重构概率和均方误差均不低于FBP算法，本文推荐AFBP2的阈值参数，即阈值参数基本为0.07M左右，且123。其它分布信号的参数规律与此情况类似，由于篇幅有限，
30、不再赘述。 为进一步分析所提出加速策略，本文在图8中展示了经加速渠道选入支撑集的原子的具体信息。由图8可知，阈值越低，经加速渠道选入原子越多。虽然随着阈值降低，经加速渠道选入的正确原子有所增加，但原子正确率却有一定程度降低。此外，随着稀疏度增加，经加速渠道选入的原子增多。可见，随着稀疏度增大，加速效果愈加明显。但是正 图 7 不同参数AFBP在高斯稀疏信号下的重构结果比较( 20, 19) 万方数据2544 电 子 与 信 息 学 报 第38卷 图 8 不同参数AFBP在高斯稀疏信号下经加速渠道选入原子的具体信息比较( 20, 19) 确原子的数目却在稀疏度超过39之后有所下降。由图8(c)可
31、知，经加速渠道选入原子的正确率在稀疏度大于30后开始下降。此稀疏度恰为FBP算法开始失败的稀疏度。可见，加速策略性能与FBP算法性能紧密相关。虽然，稀疏度超过30后，加速策略正确率开始降低，但是由图7可知，AFBP依然优于FBP。这是由于此时FBP算法准确率也在降低，所以总体上如果参数选择恰当AFBP依然可以优于FBP。值得注意的是，对于AFBP1，虽然在稀疏度较低时经加速渠道选入原子的正确率偏低，但是并不影响算法的整体性能。这是因为AFBP算法继承了FBP算法在稀疏度较低时的强大纠错能力。由图8可知，虽然AFBP1加速效果明显，但是经加速渠道选入原子的正确率一直低于AFBP2和AFBP3。而
32、AFBP3又用时过长，故推荐AFBP2的阈值参数。 4.3 2维图像重构 为验证AFBP对实际非零系数分布信号的重构性能，本文使用256256的图像L ena进行实验。实验参数与文献13类似。为将恢复问题分解一系列简单子问题，本文首先把图像分割为8 8的小块。分割处理保证每个88小块在2D的Haar小波基上是K稀疏的，其中K为12。即每个分块仅保留12个最大幅度的小波系数。对于每一分块，信号长度N为64，测量值M设定为32。观测矩阵从均值为0标准差为1/N的高斯分布中随机得到，并归一化每一列。max20K , 610。AFBP与FBP的前向和后向步长均设置为：10 , 9 。AFBP其他参数设
33、置如下，1232, 5, 10,sss 1 2 3 1232.0, 1.5, 1.0, 2, 3, 3www ，其中阈值参数遵循大小为0.07M左右且123的原则。 图9为算法仿真结果。其中，AFBP需0.608 s重构图像，而FBP的重构时间为1.014 s。AFBP算法的运行时间基本与SP相当。此外，FBP的PSNR为28.5 dB，然而AFBP将重构图像的PSNR提升至28.8 dB。由图9可知，AFBP和FBP的重构效果均优于OMP, SP和BP。2维图像的仿真实验证明，在实际稀疏信号情况下，相对于FBP算法，AFBP算法有能力更快速更准确地重构出原始信号。 5 结论 本文提出了基于压
34、缩感知的加速前向后向匹配追踪重构算法，即AFBP算法。AFBP算法继承FBP算法不需要稀疏度作为先验信息的优点，同时引入分段思想和加速策略。在前向阶段，AFBP算法利用不同权重记录估计支撑集中新加入原子的相关性信息。在后向删除阶段，通过比较被淘汰原子的权重和相应的预设阈值，AFBP算法建立了一条原子加入估计支撑集的新渠道。前向阶段的相关性权重累加和后向阶段的阈值比较，确保了经该渠道加入估计支撑集的原子的准确性，从而达到在保证精度的同时加快算法运行速度目的。 图 9 各算法对图像null Lenanull的重构效果 参 考 文 献 1 DONOHO D L. Compressed sensing
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